几何体的内切与外接球

外接球与内切球【基础回顾】 球的体积公式：343V R π=球的表面积公式：24S R π= ☆核心：求出外接球/内切球的半径R . 【知识引导】一、多边形外接圆⇒几何体外接球（圆心到多边形各个顶点距离相等，距离为半径r ⇒球心到几何体各顶点距离相等，距离为半径R ） ☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r . 【1】常见多边形外接圆半径 1. 四边形长方形： 半径：22a br +=，圆心：对角线交点正方形： 半径：22r a =， 圆心：对角线交点2. 三角形☆等边三角形： 半径：3r =， 圆心：中线三等分点 （注意讲解中线上2:1关系）直角三角形： 半径：222a br +=， 圆心：斜边中点120︒等腰三角形： 半径：r a =，圆心：如图，在三角形外部普通三角形： 半径：利用正弦定理2sin ar A= （已知一组对边角） （这里r 即为外接圆半径）【2】常见几何体外接球半径1. 直棱柱：222hR r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，r为底面外接圆半径，h为柱体的高（注：斜棱柱无外接球）长方体：半径：222a b c R++ =正方体：半径：3R=，球心：体对角线交点直三棱柱：半径：222h R r⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2. 锥体：正三棱锥：外接球球心在底面的高线上球半径可利用勾股定理列方程求解正四面体：半径：64R=，二、多边形内切圆⇒几何体内切球【解题技巧与步骤】一、求解外接球半径R （☆核心：找到合适底面外接圆圆心，求出半径r ）【1】柱体：R =r 为底面外接圆半径. 【2】锥体步骤：（1）选合适底面，找圆心O '，求出底面外接圆半径r .（底面：长方形，正方形，等边∆，直角∆，120︒等腰∆，已知一组对边角的∆） （2）将圆心向上平移h ，得到球心O☆（3）利用PO AO =（R 相等）列方程求h （OA（4）将h 代入OA =R（三棱锥外接球为重点内容，重点讲解第3步列方程中各长度的求解）二、求解内切球半径R （核心：等体积法）题型一、柱体外接球1. 一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5cm cm cm ，则该长方体的外接球的体积是________3cm ．2. 长方体的长宽高分别是 ，，，则其外接球的体积是 ．3.长、宽、高分别为 、 、 的长方体的外接球的表面积为 ．4.一个棱长为2cm 的正方体的外接球的体积是_________3cm ．5.若正方体外接球的体积是 ，则正方体的棱长等于 ．6.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A . B. C.132D. 7.三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A. B. C.D.8.三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ，，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A.B.C.D.9.已知侧棱与底面垂直的三棱柱满足，，则其外接球的表面积为 ．10.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. 2a π B.273a π C.2113a π D. 25a π11.设正三棱柱中，，，则该正三棱柱外接球的表面积是．12.一个直六棱柱的底面是边长为的正六边形，侧棱长为，则它的外接球的表面积为．题型二：锥体外接球（等边三角形（含正三棱锥））1.在正三棱锥中，，分别是棱，的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是．2.已知三棱锥的所有棱长均为 ，则该三棱锥的外接球的直径为 ．3.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是___________.4.已知球的直径6SC =，,A B 是该球球面上的两点，且3AB SA SB ===，则棱锥S ABC -的体积为A . B.C.D.5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为_________________.6.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=︒，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角C BD A --的大小为120︒，已知,,,A B C D 四点在同一个球面上，则球的表面积等于___________.7.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且2PA PB ==，当三棱锥P ABC -表面积最大时，该三棱锥外接球的表面积为 A. 12π B. 8π C. 43πD.323π8.三棱锥中， 为等边三角形，，，二面角的大小为，则三棱锥 的外接球的表面积为A. B.C.D.9.已知三棱锥A BCD -中，2,2AB AC BD CD BC AD =====，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的体积为A. 8πB.C.D.（直角三角形） 1.设，，， 是球面上的四点，，， 两两互相垂直，且 ，，，则球的表面积为A. B. C. D.2.已知 的顶点都在球 的球面上，，，，三棱锥的体积为，则该球的表面积等于 ．3.已知三棱锥 中，，，，，则该三棱锥外接球的体积为 ．4.已知四面体P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ABC ⊥平面, AB AC ⊥,且AC =2PB AB ==,则球O 的表面积为_______________________.5.某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为A. B. C. D.6.一个三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积是．7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的A.外接球的体积为B.外接球的表面积为4πC.体积为D.18.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的表面积是A. B. C. D.9.已知点,,,A B C D 在同一个球的球面上，2AB BC ===,若四面体中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC =则这个球的表面积为___________________.10.在体积为43的三棱锥S ABC -中，2,90,AB BC ABC SA SC ==∠=︒=，且平面SAC ⊥平面ABC ，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是A.B. 92π C. 272π D. 12π11.如图，三棱锥中S ABC -，,6,12SA ABC AB BC ⊥==平面, AC SB ==则三棱锥S ABC -外接球的表面积为_______________.12.已知三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的三视图如图所示，三个视图的外轮廓都是直角三角形，则其侧视图面积的最大值为 ．13.在三棱锥 中，， 斜边上的高为 ，三棱锥的外接球的直径是 ，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为B. C.D.14.如图所示，平面四边形ABCD 中，,,AB AD BD CD BCD ⊥⊥∆BD 折成四面体ABCD ，满足二面角A BD C --为60︒.若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为( )A. 4πB.C. 8πD.（正弦定理）1.如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC ∆中，AB =60,90,,ACB BCD AB CD CD ∠=︒∠=︒⊥=则该球的体积为___________.2.三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，且2,5,6PA AB AC BC ====，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为___________.3.三棱锥P ABC -中，6,AB BC AC PC ===⊥平面ABC ，2PC =，则这三棱锥的外接球表面积为A . 253π B.252π C.833π D.832π（120︒等腰∆） 1.已知球的半径为 ，，， 三点在球 的球面上，球心 到平面的距离为，，， 则球的表面积为 A. B.C.D.（四棱锥）1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 ，底面边长为 ，则该球的表面积为 ．2.底面为正方形，顶点投影再底面中心的棱锥P ABCD-的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为4，侧棱长为，则这个球的表面积为_____________3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为A. 8πB. 252π C. 12π D.414π4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球体的表面积是A. 12πB. 24πC. 32πD. 48π5.某四棱锥的三视图如图所示，其中网格中的小正方形的边长为1，侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的外接球的表面积是___________.6.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PBC ABCD ⊥平面平面，PE BC ⊥于点E ，1EC =，AB =,3,2BC PE ==则四棱锥P ABCD -的外接球半径为________________.7.四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为( )A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π8.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的外接球表面积为________________.题型三：内切球1.在正四面体ABCD中，其棱长为a，若正四面体ABCD有一个内切球，则这个球的表面积为．2.已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为√2a．求它的内切球的表面积．。

八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享•不当之处，敬请大家批评指正•—、有关定义1•球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球2•外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球•3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球•二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1:过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2 :经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3:过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5 :在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）2.结论：结论1 :长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2 :若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4:圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7:圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论&圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9:侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直•（与直线切圆的结论有一致性）2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等•（类比：与多边形的内切圆）•3.正多面体的内切球和外接球的球心重合4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合5.基本方法：（3）在正三棱锥 S ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且 AMMN ,若侧棱SA 2・3则正三棱锥S ABC 外接球的表面积是解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直 .证明如下：如图（3） -1 , 取AB,BC 的中点D,E ，连接AE,CD , AE,CD 交于H ，连接SH , 则H 是底面正三角形ABC 的中心，SH 平面ABC : ,SH AB ,AC BC , ADBD , CD AB ,AB 平面SCD ,AB SC ,同理： BC SA , ACSB , 即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3） -2 ,AM MN ,SB//MN , AM SB , AC SB , SB平面SAC ,SB SA , SB SC , SB SA ,BC SA ,SA 平面SBC , SA SC ,故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，（2R ）2 !（2、3）2r — r~（2、、3）2（2、、36 2即4R 2 36 ,正三棱锥S ABC 外接球的表面积是36（4）在四面体S ABC 中，SA 平面ABC , BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接（1） 构造三角形利用相似比和勾股定理；（2） 体积分割是求内切球半径的通用做法（ 等体积法） 四、 与台体相关的，此略• 五、 八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 2（2R）..a 2 b 2 c 2，求出 R例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 4，体积为16，则这个球的表面积是（ A. 16 B . 20C . 24D . 32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,3，则其外接球的表面积是 _________________PbCB图1-1图1-2图1-3 图1-4C（3）题-1（引理）球的表面积为(求出R .球的表面积为 _________________ ,球的表面积为 ____________ . __________A11 B.7C.- 3(5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 (6) 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为 ________________D.40 6、4、3，那么它的外接球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几类型二、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等， 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱; 求外接球半径(AB第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c ， AD BC x ，AB CD AC BD z ，列方程组,2a b 2 2cb 22 c2a2 x2 y 2z2(2R) 2 . 2 2abcx 2补充： 2-1 中, V A BCDabc - abc6 -abc . 3第三步：根据墙角模型，2Ra 2b 2c 2R 2CD ，AD BC ，AC BD )2 2y __ j R 8 ，R2 2 2x y z { 8 ，例2( 1)如下图所示三棱锥A BCD ，其中 AB CD 5,ACBD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接(2)在三棱锥A BCD 中，AB CD 2，AD BC 3，AC BD 4，则三棱锥A BCD 外接A(1)题图(3)正四面体的各条棱长都为 ______________________________ 2，则该正面体外接球的体积为(4) 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形(正四面体的截面)的面积是类型三、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)图3-1 图3-2 图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是 任意三角形) 第一步：确定球心 0的位置，01是 ABC 的外心，则001 平面ABC ； 11第二步：算出小圆 0<!的半径A01r ，001 AA 1h ( AA , h 也是圆柱的高)；2 2 第三步：勾股定理： OA 2 01A 20102R 2(-)2 r 2 Rv r2(-)2，解出 R . 2V 2例3( 1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 -，底面周长为3，则这个球的体积为 __________________________8(2)直三棱柱 ABC A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若ABAC AA 2, BAC120，则此球的表面积等于(3)已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2,AEB 60，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为.（4）在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，AB 4, AC 6, A孑AA 14， 则直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球的表面积为r!,BccooAA2o第二讲锥体背景的模型1.如图4-1，平面PAC 心 三棱锥P ABC 的三条侧棱相等 锥的顶点.解题步骤：BC （即AC 为小圆的直径），且P 的射影是P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点确定球心 O 的位置，取 ABC 的外心01，则三点共线;图4-4图4-1图4-2 图4-3类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径一一正弦定理求大圆直径是通法） 平面ABC ，且AB三棱 ABC 的外 P 点也是圆第一步: 第二步: 先算出小圆 O i 的半径AO ir ，再算出棱锥的高 PO 1 h （也是圆锥的高）；第三步: 勾股定理：OA 2 O 1A 2 O 1O 2R 2 (h R)2 r 2，解出 R ；事实上,2.如图 ACP 的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理也可求解出R .4-2，平面PAC 平面ABC , 且AB BC （即AC 为小圆的直径），且PAAC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2PA 2 (2r)2 2R PA 2 (2r)2② R 2 r 2 OO 12 OO 123.如图4-3，平面PAC平面 ABC , 且ABBC （即AC 为小圆的直径） OC 2 O 1C 2 O 1O 2R 2 r 2 O 1O 2AC 2 R 2 O 1O 2平面ABC ，且AB BC （即AC 为小圆的直径） PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径第二步：在 PAC中，可根据正弦定理 — b— 2R ，求出R . sin A sin B sin C 4.题设：如图 4-4，平面 第一步：易知球心 O 必是PAC PAC 的外心，即 aAC 2r ;例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2 3 ,则该球的表面积为 （2）正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3） —个正三棱锥的四个顶点都在半径为三棱锥的体积是（ ）A .沁B .旦1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正^3 12（4）在三棱锥P ABC 中，PA PB PC . 3 ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1. 题设：如图5, PA 平面ABC ，求外接球半径解题步骤：第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心0 ;第二步：01为 ABC 的外心，所以 00^! 平面ABC ，算出小圆01的半径01D r （三角形的外接圆直 径算法：利用正弦定理，得 -^―-^―2r ），0011PA ；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2R ）2 PA 2 （2r ）22R . PA 2 （2r ）2 ；② R 2 r 2 0012R ... r 2 00：.2•题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是 ABC 的外心 三棱锥P ABC 的 三条侧棱相等 三棱锥P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的 顶点•33（5）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 0的求面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径,且SC 2，则此棱锥的体积为（ ）A •二B .C.1!D.迈6 6 3 2A . B.C. 4D.P图5-1OCA Oi BPP图5-4OCA DBO i P图5-6图5-7图5-8解题步骤:第一步：确定球心0的位置，取ABC的外心O i，则P,O,O i三点共线;第二步：先算出小圆O i的半径AO i r，再算出棱锥的高PO i h （也是圆锥的高）第三步：勾股定理：OA2 O i A2 O i O2R2（h R）2 r2，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为A. 3B. 2C.i63D.以上都不对第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图6）图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2;第二步：过H i和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE,OC ；第三步：解OEH i，算出OH i，在Rt OCH i中，勾股定理：OH； CH； 0C2注：易知O,H i,E,H2四点共面且四点共圆，证略•例6( 1)三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC，△ PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝U 三棱锥P ABC外接球的半径为____________________________ .(2)在直角梯形ABCD中，AB//CD , A 90 , C 45 , AB AD 1，沿对角线BD折成四面体A BCD，使平面ABD 平面BCD，若四面体A BCD的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(3)在四面体S ABC中，AB BC , AB BC 匹，二面角S AC B的余弦值为—贝y四3 面体S ABC的外接球表面积为____________________(4)在边长为2..3的菱形ABCD中，BAD 60，沿对角线BD折成二面角A BD C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 ____________________(5)在四棱锥ABCD 中，BDA 120 , BDC 150 , AD BD 2, CD . 3，二面角A BD C的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为 ________________类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设：如图7, APB ACB 90，求三棱锥P ABC 外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O ,1连接OP,OC ，则OA OB OC OP -AB ， O 为三棱锥P ABC 外接球球心，然后在 OCP 中 2求出半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值•例7 (1)在矩形ABCD 中，AB 4, BC则四面体ABCD 的外接球的体积为(3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角 BAC D ,).125D6125 3A125DA . B.121259C(2)在矩形ABCD 中，AB 2, BC 3, 沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC , 所得三棱锥A BCD的外接球的表面积为 ___________________第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题第一步：先现出内切球的截面图，E,H 分别是两个三角形的外心；1第二步：求DH -BD , PO PH r , PD 是侧面 ABP 的高；3第三步：由 POE 相似于 PDH ，建立等式： 坐 竺，解出rDH PD2. 题设：如图8-2，四棱锥P ABC 是正四棱锥，求其内切球的半径3. 题设：三棱锥 P ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等1.题设：如图8-1，三棱锥P ABC 上正三棱锥，求其内切球的半径第一步: 先现出内切球的截面图，P,O, H 三点共线；第二步: 求 1FH 丄 BC2 ，PO PH r , PF 是侧面PCD 的高;第三步:由POG 相似于 PFH OG ，建立等式：HF PO ，解出PFPCACB图8-1PGOHFC图8-2D第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积;3V P ABCS O ABC S O PAB S O PACS O PBC 例8 （ 1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是 ________________________（2）正四棱锥S ABCD 的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为 _________________（3）三棱锥P ABC 中，底面 ABC 是边长为2的正三角形，PA 底面ABC ，PA 2， 则该三棱锥的内切球半径为 ___________________习题：1 •若三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6C. 36D. 9 2.三棱锥S ABC 中，侧棱SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为..3的正三角形，SA 2 3，则该三 棱锥的外接球体积等于 . 3•正三棱锥S ABC 中，底面ABC 是边长为 3的正三角形，侧棱长为 2，则该三棱锥的外接球体积等 于4 •三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，△ PAC 边长为2的正三角形， AB BC ，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为5. 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC 3，AB BC ，则三棱锥P ABC 外接球的半径为6. 三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面ABC ，AC 2，PA PC ，AB BC ，则三棱锥P ABC第二步：设内切球的半径为 建立等式：V p ABC ABC V O PAB VO PAC V O PBC 1 V P ABC S ABC 3 11 PAB r S pAC 33 1 PBC 3 1 (S ABC S PAB S PAC S PBC ) r 3 第三步：解出r外接球的半径为_______ .。

球与几何体的外接与内切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .答： 43V π∴=球 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.三、补形法:补成长方体，正方体例3，则其外接球的表面积是 . 答： 249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =变式1：如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥BC ，DA=AB=BC=2，则球O 的体积等于 . 23 变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ B ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 变式3：棱长为2的正四面体的外接球的表面积为 . π3 内切球的表面积 .3π 变式4：四面体BCD A -中6==CD AB ,5====BC AD BD AC ,求其外接球的表面积. π43变式5：边长为2的正三角形ABC ∆,沿高AD 翻折使B 和C 距离1，求四面体ABCD 的外接球的表面积。

空间几何体的外接球与内切球。

专题汇编本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的定义、性质、结论和求解方法。

首先，球的定义是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，简称球。

在此基础上，定义了外接球和内切球。

外接球是指一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，这个球是这个多面体的外接球；内切球是指一个多面体的各面都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的内切球。

其次，文章介绍了外接球的性质和结论。

其中，外接球的性质包括过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面；球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心。

文章还列举了各种空间几何体的外接球的结论，如长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处等。

最后，文章介绍了内切球的一个重要结论，即若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。

同时，文章还提到了勾股定理、正定理及余弦定理等求解三角形线段长度的方法。

经过剔除格式错误和删除有问题的段落，本文更加清晰明了地介绍了空间几何体的外接球与内切球的相关知识和方法。

2.内切球与多面体各面的距离相等，外接球与多面体各顶点的距离相等，类比于多边形的内切圆。

3.正多面体的内切球和外接球的球心重合。

4.正棱锥的内切球和外接球的球心都在高线上，但不一定重合。

5.求解内切球半径的基本方法有两种：一是构造三角形利用相似比和勾股定理，二是体积分割法，即等体积法。

6.与台体相关的内容在此略过。

7.八大模型之一是墙角模型，其中三条棱两两垂直，可以直接使用公式(2R)2=a2+b2+c2求出内切球半径R。

8.举例说明：（1）已知同一球面上正四棱柱的高为4，体积为16，则其内切球表面积为24π；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球表面积为9π；（3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM垂直MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为 ，内切球半径为 ，棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。

例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。

解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

内切球的球心到多面体各面的距离均相等。

⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。

2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

二'外接球的有关知识与方法1.性质:性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.2.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。

空间几何体的外接球内切球问题空间几何体的外接球、内切球问题自己总结供参考红岩外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。

1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。

练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=?，则此球的表面积等于。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为。

3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ．π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。

练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA B．13π C．23π D二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。

专题：《确定几何体外接球与内切球球心的方法》高考定位：（1）几何体外接球和内切球的问题是近几年的高考热点内容之一，尤其是几何体外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。

从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。

主要考查几何体内切球或者外接球的体积或者表面积，或者已知球的信息，求几何体的体积或者表面积等等.（2）研究多面体的外接球或内切球的问题，关键是找球心，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球球心的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.热点一：特殊几何体的内切球和外接球的球心主要考查正方体，长方体，正四面体，正棱锥等特殊几何体的内切球、外接球的球心确定，或者直接利用球的定义确定球心，求内切球与外接球的体积和表面积。

命题角度1 特殊几何体求球心例题1 （1）一个正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 . 【答案】43π 【解析】设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的半径为，则， 正六棱柱的底面积为，，，上下底面中心的连线的中点为外接球的球心，即几何体的高为外接球的直径2R ，所以2221122R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，球的体积为. （2）四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体.现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与此正四面体的高的比值为（ ） A ．B ．C ．D ．893a h r 21=a 833)21(4362=⋅⋅=S 89833===h Sh V 柱∴3=h 34π=球V 12131415【答案】C【解析】当这个肉丸的体积最大时，肉丸所成的球是此正四面体的内切球，设正四面体的棱长为，高为， 肉丸所成的球半径为，如图正四面体P ABC −从点P 向底面引垂线，垂足为O '，所以球心在PO '上，设球心为O ,如图，，，高，正四面体的表面积为，由等体积可知：1133ABC S r S h ∆⋅=⨯⋅，即，解得，所以内切球的半径与此正四面体的高的比值为，故选C. 命题角度2 定义法求球心例题2 在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A.B. C. D. 【答案】C【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的a hr 2CD=233CO CD '==3h PO '====224S ==21133r ⋅=r =P ABC−14r h ==ABCD 4,3AB BC ==AC ABCD B AC D −−ABCD 12512π1259π1256π1253πO OA OB OC OD ===O A B C D 、、、C AO DB图4图2-1距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径.故.选C.【解法攻略】特殊几何体的外接球以及内切球的球心确定热点二：通过补体法求球心主要考查根据几何体的图形特征，将其补充成长方体或正方体，利用长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.进一步求球的体积和表面积等。

几何体的外接球和内切球问题大家知道，几何体的外接球和内切球问题是近几年的高考热点内容，尤其是几何体的外接球问题，基本上近几年的高考试题中都有出现。

归结起来这类问题主要包括两种类型：①已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的体积；②已知几何体的顶点都在同一球面上，几何体满足一定的条件，求球的表面积；解答这类问题的基本思路是根据问题给出的条件，求出球的半径，然后再运用球的体积（或表面积）公式进行计算得出结果。

从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题；从难易程度上看，属于中、低档难度的问题。

那么如何解答这类问题呢？下面通过例题的解析来回答这个问题。

【典例1】解答下列问题：1、已知三棱锥P —ABC 的三个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，∆ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF=.90，则球O 的体积为（ ）（2019全国高考新课标I （理））π π π π2、《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧 1视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个 1 2 球面上，则该球的体积为（ ）（2018成都市高三二诊）A πB πC πD 24π【解析】1、【考点】①正三棱锥的定义与性质；②正三棱锥外接球的定义与性质；③几何体外接球半径的求法；④球的体积计算公式与方法；【解题思路】运用正三角形的性质和正三棱锥外接球的性质求出外接球的半径，再运用球的体积公式进行计算得出结果； P【详细解答】如图，取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，设正三角形ABC 外接圆的圆心为1O ，连接P 1O ，设外接 E O 球的球心为O ，连接AO ，∆ABC 是边长为2的正 C 三角形，D ，F 分别BC ，AB 的中点，∴AD=CF=2⨯ A F 1O B⇒A 1O ，PA=PB=PC ，∆ABC 是正三角形，∴P —ABC 是正三棱锥，⇒PB ⊥AC ，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∴EF//PB ，⇒EF ⊥AC ，∠CEF=.90，AC CE=C ，AC ，EC ⊂平面PAC ，∴EF ⊥平面PAC ，⇒PB ⊥平面PAC ，⇒∠APB=.90，⇒⇒PD =1，⇒P 1O 3R ，在Rt ∆AO 1O 中，AO=R ，O 1O =-R ，A 1O =，2AO =21OO +21AO ，∴2R =2)R -+2(3，⇒R=2，∴O V 球=343R π=43⨯4π=π⇒选D 。

立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究一、由球心的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。

二、由上述性质可以得出以下多面体外接球的结论：结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。

结论4：正棱锥的外接球的球心是在其高上，具体位置可通过计算得到。

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。

一、定义法例1、 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259πC.1256πD.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C.二、求正方体、长方体的外接球的有关问题结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点。

①出现“墙角”结构利用构造法(补形法)，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=例1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。

几何体的外接球与内切球的有关问题一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键．（一） 由球的定义确定球心球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，21212OO BO BO +=，即.）结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得． （以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R .在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.） 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径．（二）构造正方体或长方体确定球心长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．1.可构造正方体的类型：①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.①②③②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.③四个面都是是直角三角形的三棱锥：最长的棱长对应正方体的体对角线.2.可构造长方体和正方体的类型①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体；②三个侧面两两垂直的三棱锥；③有三个面是直角三角形的三棱锥；①与②与③④④相对的棱相等的三棱锥：设对应长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则BC2=a2+b2，AC2=a2+c2，AB2=b2+c2. 所以对应长方体的体对角线为.⑤含有其它线面垂直关系的棱锥.（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O’的连线垂直于截面圆，确定球心．记球的半径为R，截面圆的半径为r，球心O与截面圆圆心O’的距离为d，则有R2=r2+d 2.（四）圆柱外接球模型计算球的半径一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径.（1）（2）（3）变形一：如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图（1）所示.我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型. 在这里棱柱的高就是公式中的h，而棱柱底面△ABC外接圆的半径则是公式中的r.变形二：如果把三棱柱上面的C1去掉，如图（2）所示，我们得到有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥，其中r为垂直底面的侧面△ABC的外接圆半径，h为垂直于那个侧面的底面边长AA1.变形三：如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉，如图（3）所示，我们得到一根侧棱⊥底面的三棱锥，其中r为底面△ABC外接圆半径，h为垂直于底面的那条侧棱AA1.二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.结论1：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.结论2：正多面体的内切球和外接球的球心重合.结论3：正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.结论4：基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理.结论5：体积分割是求内切球半径的通用做法.（一）正方体的的内切球设正方体的棱长为a，求（1）内切球半径；（2）与棱相切的球半径.（1）内切球：截面图为正方形的内切圆，得.（2）棱切球：切点为正方体各棱的中点，截面图为为正方形的外接圆，得.（二）棱锥的内切球(分割法)将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径的方程.设三棱锥的棱长为a ，内切球半径为r.V V V V V PAB O PBC O PAC O ABC O ABC P -----+++=r S r S r S r S PAB PBC PAC ABC 31313131+++= r S S S S PAB PBC PAC ABC )(31+++=所以一般地，记棱锥的体积为V ，表面积为S ，则内切球的半径为.（三）圆柱、圆锥的内切球(截面法)（1）圆柱的内切球：圆柱的轴截面为正方形，记圆柱的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，则R =r .（2）圆锥的内切球：圆锥的轴截面为三角形的内切圆，记圆锥的底面圆的半径r ，内切球的半径R ，由于在△ABC 中，所以.备注：1.三角形内切圆的半径S S S S AOB AOC BOC ABC ∆∆∆∆++=r c b a cr br ar )(21212121++=++=所以三角形内切圆的半径为，其中S 为△ABC 的面积，C 为△ABC 的周长.2. 三角形外接圆的半径利用正弦定理，.①正三角形：，其中a 为正三角形的边长.②直角三角形：，其中c 为直角三角形的斜边.3. 正三角形的内切圆与外接圆的半径之比正三角形的内切圆与外接圆的两个圆心“二心合一”.设正三角形的边长为a ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R.由于，a a a a a a C S r 6360sin 2122=++︒⋅⋅⋅⨯==， 所以，即圆心O 为正三角形高h 的三等分点.4. 正四面体的内切球与外接球的半径之比正四面体的内切球与外接球的两个球心“二心合一”.设正四面体A -BCD 的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则OA=OB=R ，OE=r.∵底面△BCD 为正三角形，∴BE=在BEO Rt ∆中，，即，得∴，即球心O 为正四面体高h 的四等分点.5.正三棱柱的内切球与外接球的半径之比正三棱柱的内切球与外接球的球心是重合的，过侧棱和它们的球心O 作截面如下图所示：设正三棱柱底面边长为. 由于内切球投影到底面的圆是底面正三角形的内切圆，所以，从而正三棱柱的高为.在O D A Rt 11∆中，得， 因此1:5:21=R R .。

第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法.（1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径.（2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ，有5个常用计算公式.（1）正方体外接球半径：R =，其中a 为正方体棱长，如图1.（2）长方体外接球半径：R =a ，b ，c 分别为长方体的长、宽、高，如图2.（3）正四面体外接球半径，4R a =，其中a 为正四面体棱长，如图3.（4）直三棱柱外接球半径：R =，其中r 为底面外接圆半径，h 为直三棱柱的高，如图4.（5）圆柱外接球半径：R =，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的母线长，如图5.提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.（★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，故a =3322R a ==，其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.（★★★）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=︒，E 为AB 中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使点A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）【解析】由题意，可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ，如图，那么在完成题干所描述的翻折后，还可将CDF △沿着CD 翻折，使得点F 也与点P 重合，显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体，即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体，其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ，则其外接球半径为64a ，内切球半径为612a ，证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.（★★）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =，其中a ，b ，c 分别为长、宽、高，故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径2R =4.（★★）已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱，它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱，也是一种特殊的长方体，高考这种名词都是直接给，必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==，故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.（★★）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ，则2416a =，即2a =，其外接球的半径2242R ==，故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.（★★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ，则1112=，故h =，即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.（★★★）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑，就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，是不是题干有问题呢？当然不是，事实上，斜棱柱是没有外接球的，所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径，如图，三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球，该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.（★★★）3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥，可补形为正方体（或长方体）来处理．如图，将三棱锥B ACD -补全为正方体，并放到了球体之中，可以看到二者有相同的外接球，正方体棱332R =，故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角三棱锥）可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.（★★★）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图，设G 为ABC △的中心，ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=，1122a OG AA ==，球的半径22712R r OG a =+，故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②关键是计算底面三角形外接圆半径，对于直角三角形，外接圆半径等于斜边长的一半，若是倍，等于高的23倍；若是普通的三角形，则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.（★★★）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA -==，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______.【解析】如图，在ABC △中，由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠，解得2r =，故1112OG AA ==，所以球的半径R ==，故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.（★★★）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A. B. C. D.【解析】如图，先计算ABC △外接圆的半径r ，设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=，解得6a =，所以62sin 60r =︒，解得r =，所以2OG ==，当D 点位于GO 延长线上时，三棱锥D ABC -的高最大，底面积不变，此时体积最大，最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时，D ABC -是正三棱锥，正三棱锥外接球的计算问题，解题的关键是构建AOG △，在这个三角形中，满足222OA AG OG =+，即222R r d =+，其实这就是前一小节的平面截球模型，只要是正棱锥，都可以采用这个办法处理.12.（★★★）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图，由题意，得14PO =，1AO =设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，故14OO R =-.在1OO A △中，22211AO OO AO +=，即()2224R R +-=，解得94R =，故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算，关键是构建1AOO ，在这个三角形中，利用22211OA AO OO =+建立等量关系，其实就是平面截球模型的处理方法.13.（★★★）正四棱锥S ABCD -点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_____.【解析】解法1：如图1，设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ，半径为R ，则OA R =，11OO R =-，在1AOO 中，22211OO AO AO +=，故()2211R R -+=，解得1R =，即外接球体积为34433V R ππ==.解法2：设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO ==，因为11SO AO =，所以1O 即为球心，球的半径为1，体积34433V R ππ==，本题实际的图形是图2.【答案】43π14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC BC ⊥，1AC BC ==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212B.312C.24D.34【解析】如图，由题意，2AB =，设D 为ABC △的外心，则1222AD AB ==，2222OD OA AD =-=，所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.（★★）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图，由题意得1OA =，112OO =，故132O A =，圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的高.16.（★★★★）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2224h r R rh +=≥，当且仅当2h r =时等号成立，故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.（★★）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ，则其内切球、外接球的半径分别为12aR =，2R =，故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径2a R =.18.（★★）如图，圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是______.【解析】如图，设球的半径为R ，则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图，该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为R ，则OB OG R ==，1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-，2PB PA AB =-=.在POB 中，222OB PB OP =+，故()224R R +=，解得22R =，即球的体积3433V R π==.【答案】2320.（★★★★）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题，得先搞清楚一件事，那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切，还是与底面相切？如图，可求得底面直角三角形的斜边10AC =，将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ，图中BP NQ r ==，故8PC r =-，即8CM PC r ==-，PN BQ r ==，故6AQ r =-，即6AM AQ r ==-，所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=，解得2r =，由123r AA >=知最大球的半径为32，体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.（★★★）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R，当点C位于如图所示位置（OC⊥平面AOB）时，三棱锥O ABC-的体积最大，最大值为321136326RR R⨯⨯==，即6R=，故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.（★★★）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为________.【解析】如图，由题意知，SAC△，SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形，设球O的半径为R，故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==，即3R=，故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图，设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得2222222m n t a b c ++++=，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R ++=，所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，5AD BC ==，则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥外接球表面积为（）C.432π D.43π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意，四面体ABCD 是对棱相等模型，设AB CD x ==，则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.（★★★）四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2524502R S R ππ====.【答案】C2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点，且AB CD x ==，BC AD y ==，AC BD z ==，则222x y z ++=（）A.16B.8C.4D.2【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，22218R x y z =⇒++=【答案】B3.（★★★）四面体ABCD 中，5AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==接球的半径为（）A.2B. C.132 D.13【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，132R =【答案】C4.（★★★）在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.（★★★★）在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，PB AC =，PC AB =，且4PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==，PC AB y ==，则4xy =，所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.（★★★★）四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上，4AB BC CD DA ====，AC BD ==，E 为AC 中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（）A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型，所以R =，将四面体ABCD 放入长方体如图，截面面积的最大值为215S R ππ==，当截面面积最小时，截面与OE 垂直，其中O 为球心，设FA a =，FB b =，FC c =，则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，即截面面积的最小值为222S r ππ==，故12:5:2S S =.【答案】D。