高中数学必做100题必修1

001.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数22y x x =-+的函数值的集合；（2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合.解：（1）2217224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭74y ∴≥，故所求集合为7|4y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.（2）联立335y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，故所求集合为(){}2,1-.002.已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B 、()R C A B 、()R C A B 、()R A C B .解：{}()|310R C A B x x x =<≥ 或，{}()|57R C A B x x x =≤≥ 或，{}()|710R C A B x x =≤< ，{}()|710R A C B x x x =<≥ 或.003.设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =.（1）求A B ，A B ，()U C A B ，()U C A B ；解：{}1,2,3,4,5,6A B = ，{}3A B = ，{}()7,8U C A B = ，{}()1,2,4,5,6,7,8U C A B = .（2）求U C A ，U C B ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ；解：{}4,5,6,7,8U C A =，{}1,2,7,8U C B =，{}()()1,2,4,5,6,7,8U U C A C B = ，{}()()7,8U U C A C B = .（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析.解：()()()U U U C A B C A C B = ，()()()U U U C A B C A C B = .004.设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=.（1）求A B ，A B ；解：①当4a =时，{}4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B = ，{}4A B = ；②当1a =时，{}1,4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B = ，{}1,4A B = ；③当4a ≠且1a ≠时，{},4A a =，{}1,4B =，故{}1,,4A B a = ，{}4A B = .（2）若A B ⊆，求实数a 的值；解：由（1）知，若A B ⊆，则1a =或4.（3）若5a =，则A B 的真子集共有个,集合P 满足条件()()A B P A B 刎，写出所有可能的集合P .解：若5a =，则{}4,5A =，{}1,4B =，故{}1,4,5A B ⋃=，此时A B 的真子集有7个.又{}4A B ⋂= ，∴满足条件()()A B P A B 刎的所有集合P 有{}1,4、{}4,5.005.已知函数3()41x f x x -=+.（1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示）（2）求证()f x 在1(,)4-+∞上递减.解：（1）要使函数有意义，则410x +≠，解得14x ≠-.所以原函数的定义域是1{|}4x x ≠-.()311241(41)1341441441113110444144x x x y x x x x ---++==⨯=+++=-+≠-+=-+，所以值域为1{|}4y y ≠-.（2）在区间1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上任取12,x x ，且12x x <，则()()121212334141x x f x f x x x ---=-++()()()2112134141x x x x -=++12x x < ，210x x ∴->又121,,4x x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，12410,410x x ∴+>+>，()()120f x f x ∴->()()12f x f x ∴>，∴函数()f x 在1(,)4-+∞上递减.006.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，求(1)f 、(3)f -、(1)f a +的值.（◎P 49B4）解：(1)5f =，()321f -=，()2265,1123,1a a a f a a a a ⎧++≥-⎪+=⎨--<-⎪⎩.007.已知函数2()2f x x x =-+.（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.解：（1）证明：在区间[1,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则有……（1分）221211222112()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=-+--+=-⋅+-，∵12,[1,)x x ∈+∞，12x x <，∴21120,x x x x ->0,+-2>即12()()0f x f x ->∴12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上是减函数．（2）由（1）知()f x 在区间[]2,5上单调递减，所以max min ()(2)0,()(5)15f x f f x f ====-008.已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（◎P 844）（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.解：（1）()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++-.若要上式有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，即11x -<<.所以所求定义域为{}11x x -<<（2）设()()()F x f x g x =+，则()()()log (1)log(1)()a F x f x g x x x F x -=-+-=-+++=-所以()()f x g x +是偶函数.（3）()()0f x g x ->，即log (1)log (1)0a a x x +-->，log (1)log (1)a a x x +>-.当01a <<时，上述不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得10x -<<.当1a >时，原不等式等价于101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得01x <<.综上所述,当01a <<时，原不等式的解集为{10}x x -<<；当1a >时，原不等式的解集为{01}x x <<.009.已知函数2()(0,0)1bx f x b a ax =≠>+.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若3211(1),log (4)log 422f a b =-=，求a ，b 的值.解：（1）()f x 定义域为R ，2()()1bx f x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数.（2）由1(1)12b f a ==+，则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3.由21043a b a b -+=⎧⎨-=⎩，解得a =1，b =1.010.对于函数2()()21x f x a a R =-∈+.（1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使得()f x 为奇函数.解:(1)()f x 的定义域为R ,设12x x <,则121211()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++,……（3分）12x x < ,1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数.（2）假设存在实数a 使()f x 为奇函数,()()f x f x ∴-=-即222121x x a a --=-+++,解得: 1.a =011.（1）已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2－1.5－1－0.500.51 1.52f (x )－3.51 1.02 2.37 1.56－0.38 1.23 2.77 3.45 4.89（2）已知二次方程2(2)310m x mx -++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m 的取值范围.解：（1）由(2)( 1.5)0f f -⋅-<，(0.5)(0)0f f -⋅<，(0)(0.5)0f f < ，得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.（2）设()f x =2(2)31m x mx -++，则()f x =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以(1)(0)0(2)(0)0f f f f -⋅<⎧⎨⋅<⎩，即(21)10(107)10m m --⨯<⎧⎨-⨯<⎩，∴17210m -<<．012.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个.由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<.易知，当228572(2)x =-=⨯-，y 有最大值.所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.013.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层.臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式4000t Q Q e -=，其中0Q 是臭氧的初始量.（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P 449）解：（1）∵00Q >，0400t -<，1e >，∴4000t Q Q e -=为减函数.∴随时间的增加，臭氧的含量是减少.（2）设x 年以后将会有一半的臭氧消失，则4000012x Q e Q -=，即40012x e -=，两边去自然对数，1ln 4002x -=，解得400ln 2278x =≈.∴287年以后将会有一半的臭氧消失.014.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据.用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =⋅+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.解：当选用二次函数2()f x px qx r =++的模型时，∵()()20f x px qx r p =++≠，由()()()12,2 1.2,3 1.3f f f ===，有142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.05,0.35,0.7p q r =-==，∴()4 1.3f =.当选用指数型函数()x g x a b c =⋅+的模型时，∵(),x g x a b c =⋅+由()()()11,2 1.2,3 1.3,g g g ===有2311.21.3a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩，解得0.8,0.5, 1.4a b c =-==，∴()4 1.35g =.根据4月份的实际产量可知，选用()0.80.5 1.4xy =-⨯+作模拟函数较好.015.如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t .试求函数()f t 的解析式,并画出函数()y f t =的图象.解：（1）当01t <≤时，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于C 、D 两点，则OC t =，又31CDBE OCCE ===，CD ∴=，()2113222f t OC CD t ∴=⋅=⋅⋅=（2）当12t <≤时，如图，设直线x t =与OAB ∆分别交于M 、N 两点，则2AN t =-，又1MN BEAN AE ===，)2MN t ∴=-()()2211222222f t AN MN t t ∴=⋅-⋅⋅=--=-+-（3）当2t >时，()f t =()223,0123222t t f t t t t <≤⎪⎪⎪⎪∴=-+-<≤⎨>⎪⎩xy O B A x=t16.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；当t ≥1时，1(2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上，∴114(,32a a -==，这时31()2t y -=.所以34(01)()1()(1)2t t t y f t t -≤≤⎧⎪==⎨≥⎪⎩.（2）∵340.25()0.25,1()0.252t t f t -≥⎧⎪≥⎨≥⎪⎩即，解得1165t t ⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，∴1516t ≤≤.∴服药一次治疗疾病有效的时间为115541616-=个小时.。

必修一幂函数专项练习题1. 下列命题中正确的是（ ）A. 当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点C. 若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则在定义域内y 随x 的增大而增大D. 幂函数的图象不可能在第四象限 2. 幂函数y ＝x 43，y ＝x 31，y ＝x －43的定义域分别是M 、N 、P ，则（ ）A. M ⊂N ⊂PB. N ⊂M ⊂PC. M ⊂P ⊂ND. A 、B 、C 都不对3. （湖南高考，文）函数f （x ）＝x 21-的定义域是（ ） A. （－∞，0］ B. ［0，＋∞） C. （－∞，0） D. （－∞，＋∞）4. （唐山十县联考）函数y ＝（－21+x ）－21的定义域是（ ） A. （－∞，－1） B. （－∞，－1］ C. （1，＋∞） D. ［1，＋∞） 5. （江西高考，理）已知实数a 、b 满足等式（21）a ＝（31）b ，下列五个关系式： ①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b ，其中不可能成立的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 下列函数中，是幂函数的为（ ） A. y ＝x x B. y ＝3x 21 C. y ＝x 21＋1 D. y ＝x 2-7. 若T1＝（21）32，T 2＝（51）32，T 3＝（21）31，则下列关系式正确的是（ ） A. T 1<T 2<T 3 B. T 3< T 1< T 2 C. T 2< T 3< T 1 D. T 2< T 1<T 38. （经典回放）对于幂函数f （x ）＝x 54，若0<x 1<x 2，则f （221x x +），x x f x f )()(21+的大小关系是（ ）A. f （221x x +）>x x f x f )()(21+ B. f （221x x +）<x x f x f )()(21+C. f （221x x +）＝x x f x f )()(21+D. 无法确定9. 已知函数f （x ）＝x a ＋m 的图象经过点（1，3），又其反函数图象经过点（10，2），则f （x ）的解析式为_________。

高中数学试卷必修一基础50题一、单选题（共15题；共30分）1.已知函数y=sinx的定义域为值域为,则的值不可能是( )A. B. C. D.2.已知集合, ,则（）A. B. C. D.3.设集合是锐角，，从集合到的映射是“求正弦值”，则与中元素相对应的中元素是（）A. B. C. D.4.设f(x)为周期是2的奇函数，当时，f(x)=x(x+1),则当时，f(x)的表达式为( )A. （x-5）(x-4)B. (x-6)(x-5)C. (x-6)(5-x)D. (x-6)(7-x)5.已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A. a≤1B. a＜1C. a≥2D. a＞26.已知集合，，则（）A. B. C. D.7.已知函数的定义域为，的定义域为（）A. B. C. D.8.已知偶函数在区间上是增函数，如果，则x的取值范围是（）A. B. C. D.9.二次函数图象的对称轴方程为（）A. B. C. D.10.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）单调递减的函数是（）A. y=﹣x3B. y=ln|x|C. y=cosxD. y=2﹣|x|11.函数f（x）=a x﹣1+2的图象恒过定点（）A. （3，1）B. （0，2）C. （1，3）D. （0，1）12.集合，，若，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.13.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“合一函数”，那么函数解析式为y=2x2﹣1，值域为{1，7}的“合一函数”共有（）A. 10个B. 9个C. 8个D. 4个14.已知，b=0.53，，则a，b，c三者的大小关系是（）A. b＜a＜cB. c＜a＜bC. a＜c＜bD. a＜b＜c15.若全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩∁U B=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|1＜x＜2}C. {x|0＜x＜1}D. {x|1≤x＜2}二、填空题（共20题；共21分）16.已知A={x|x＜2}，B={x|x＜m}，若B是A的子集，则实数m的取值范围为________．17.若二次函数的图象经过点，则代数式的值等于________．18.已知集合A={x|y=lg（2﹣x）}，集合B=[y|y= }，则A∩B=________．19.已知函数f（x）=2x﹣3，x∈N且1≤x≤5，则函数的值域为________．20.设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|0≤x＜2}，则M∪N=________．21.设函数在区间上的最大值为，则________．22.函数的定义域为________.23.若函数f（x）= 在（﹣1，+∞）上的值域为________．24.已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为________．25.设函数f（x）=（x﹣4）0+ ，则函数f（x）的定义域为________．26.若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=________．27.已知函数是奇函数，则＝________．28.已知全集U＝{﹣1，0，2，4}，集合A＝{0，2}，则________．29.函数的单调递增区间为________.30.已知函数f（x）=,则f[f（-2）]=________ ，f（x）的最小值是________.31.设函数，若，则________．32.计算：的结果是________ ．33.函数的单调增区间为________．34.化简：+=________35.已知集合，，若存在非零整数k，满足，则________.三、解答题（共15题；共135分）36.设，求证：（1）；（2）.37.设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若B=C，求a的值．38.（1）计算：；（2）已知( ) ，求的值.39.已知集合A={x|x＜﹣1或x＞4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．40.已知集合A={x|﹣3＜x≤4}，集合B={x|k+1≤x≤2k﹣1}，且A∪B=A，试求k的取值范围．41.比较下列各题中两个值的大小．（1）1.82.2，1.83；（2）0.7－0.3，0.7－0.4；（3）1.90.4，0.92.4.42.已知函数f（x）= 的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（）= ．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．43.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）是否存在实数a，使得为奇函数．44.已知全集U={x|﹣5≤x≤3}，集合A={x|﹣5≤x＜﹣1}，B={x|﹣1≤x≤1}．（1）求A∩B，A∪B；（2）求（∁U A）∩（∁U B），（∁U A）∪（∁U B）．45.设集合，.若,求的值46.设函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab的两个零点分别是﹣3和2．（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．47.已知全集，若集合，B={x|x-m<0} .（1）若，求；（2）若, 求实数的取值范围.48.已知集合，．（1）当m=4时，求，；（2）若，求实数m的取值范围．49.已知A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x||x﹣1|＜a}．（1）若A⊊B，求实数a的取值范围；（2）若B⊊A，求实数a的取值范围．50.已知，，全集.（1）求和；（2）已知非空集合，若，求实数的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】C13.【答案】A14.【答案】B15.【答案】C二、填空题16.【答案】17.【答案】[ ，1]18.【答案】{2，4}19.【答案】；20.【答案】821.【答案】b＜a＜c22.【答案】23.【答案】24.【答案】25.【答案】26.【答案】27.【答案】028.【答案】{0，2，6，10}29.【答案】30.【答案】231.【答案】②③32.【答案】33.【答案】[2，5）34.【答案】35.【答案】三、解答题36.【答案】（1）解：（2）。

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结单选题1、已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素，则a的取值集合为（）A．{1}B．{0}C．{0,−1,1}D．{0,1}答案：D分析：对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.}，此时满足条件；解：①当a=0时，A={−12②当a≠0时，A中只有一个元素的话，∆=4−4a=0，解得a=1，综上，a的取值集合为{0，1}．故选：D．2、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+ P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.3、已知集合A={x|1x>1}，则∁R A=（）A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}答案：B分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集由1x >1，得1−xx>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，所以A={x|0<x<1}，所以∁R A={x|x≤0或x≥1}故选：B4、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.6、若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，若A∪B={1,2,4}，则实数m的取值集合为（）A．{−√2,√2}B．{2,√2}C．{−2,2}D．{−2,2,−√2,√2}答案：D分析：由题中条件可得m2=2或m2=4，解方程即可.因为A={1,m2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}，所以m2=2或m2=4，解得m=±√2或m=±2，所以实数m的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选：D.7、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.8、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q >0，但是{S n }不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n }是递增数列，则必有a n >0成立，若q >0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q >0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．9、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C10、已知集合M ={x |x =m −56,m ∈Z }，N ={x |x =n 2−13,n ∈Z }，P ={x |x =p 2+16,p ∈Z }，则集合M ，N ，P 的关系为（ ）A ．M =N =PB ．M ⊆N =PC ．M ⊆N ⊈PD ．M ⊆N ，N ∩P =∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n-2与3p+1都是表示同一类数，6m-5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m-56,m∈Z}，x=m-56=6m-56=6(m-1)+16，对于集合N={x|x=n2-13,n∈Z}，x=n2-13=3n-26=3(n-1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n-1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m-1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m-1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M∈N=P.故选：B.多选题11、命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥−2D．a=4答案：BD分析：求出给定命题为真命题的a的取值集合，再确定A，B，C，D各选项所对集合哪些真包含于这个集合而得解.命题“∃x∈[1,2],x2≤a"等价于a≥1，即命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题所对集合为[1,+∞)，所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,+∞)，显然只有[4,+∞)[1,+∞)，{4}[1,+∞),所以选项AC不符合要求，选项BD正确.故选：BD12、下列说法正确的是（ ）A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合C ．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合D ．数1，0，5，12，32，64，√14组成的集合有7个元素答案：BC分析：根据集合的元素的特征逐一判断即可.我校爱好足球的同学不能组成一个集合；{1,2,3}是不大于3的正整数组成的集合；集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合；由于32=64,12=√14，所以数1，0，5，12，32，64，√14组成的集合有5个元素； 故选：BC13、对任意A ，B ⊆R ，记A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，x ∉A ∩B }，并称A ⊕B 为集合A ，B 的对称差.例如，若A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A ⊕B ＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝B ，则A ＝∅B ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝∅，则A ＝BC ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD ．存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ＝∁R A ⊕∁R BE ．存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ≠B ⊕A答案：ABD解析：根据新定义判断．根据定义A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]，A.若A⊕B=B，则∁R A∩B=B，A∩∁R B=∅，∁R A∩B=B⇒B⊆∁R A，A∩∁R B=∅⇒A⊆B，∴A=∅，A正确；B.若A⊕B=∅，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B=∅，A∩B=A=B，B正确；C. 若A⊕B⊆A，则∁R A∩B=∅，A∩∁R B⊆A，则B⊆A，C错；D.A=B时，A⊕B=∅，(∁R A)⊕(∁R B)=∅=A⊕B，D正确；E.由定义，A⊕B=[(∁R A)∩B]∪[A∩(∁R B)]=B⊕A，E错．故选：ABD．小提示：本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．14、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（）A．∃x∈R，x2−x+14<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2=0D．至少有一个实数x，使x3+1=0答案：AC分析：AC.原命题的否定是全称量词命题,原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；D. 原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.A.原命题的否定为：∀x∈R，x2−x+14≥0，是全称量词命题；因为x2−x+14=(x−12)2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2+2x+2=0，Δ=22−8=−4<0，所以x2+2x+2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有x3+1≠0，如x=−1时，x3+1=0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.故选：AC15、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，下列结论正确的是（ ）A ．方程x 2+(m −3)x +m =0有实数根的充要条件是m ∈{m|m <1或m >9}B ．方程x 2+(m −3)x +m =0有一正一负根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}C ．方程x 2+(m −3)x +m =0有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}D ．方程x 2+(m −3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m|m >1}答案：CD解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.在A 中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=(m −3)2−4m ≥0，解得m ≤1或m ≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m ∈{m|m ≤1或m ≥9}，故A 错误；在B 中，二次方程有一正一负根，等价于{(m −3)2−4m >0m <0，解得m <0， 方程有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0 }，故B 错误；在C 中，方程有两正实数根，等价于{Δ=(m −3)2−4m ≥03−m >0,m >0,解得0<m ≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}，故C 正确；在D 中，方程无实数根，等价于Δ=(m −3)2−4m <0得1<m <9，而{m |1<m <9 }⊆{m |m >1 }，故m ∈{m|m >1}是方程无实数根的必要条件，故D 正确；故选：CD ．小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的充分条件，则p 可推出q ，即p 对应集合是q 对应集合的子集；（2）若p 是q 的必要条件，则q 可推出p ，即q 对应集合是p 对应集合的子集；（3）若p 是q 的充要条件，则p ，q 可互推，即p 对应集合与q 对应集合相等.16、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x= 26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12=16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．17、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（）A．1B．12C．0D．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a 不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，∴A=∅或A={1}或A={2}，∴1 a 不存在，1a=1，1a=2，解得a=1，或a=1，或a=12．故选：ABC．小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．18、已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则下列关系一定正确的是（）A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉BC．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B答案：AB分析：根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁U B，则A，B，U的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确；因A∩B=∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确；若A∁U B，则(∁U A)∩(∁U B)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁U A)∩(∁U B)]，即x∉A且x∉B，C不正确；因A∩B=∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确.故选：AB19、下列各题中，p 是q 的充要条件的有（ ）A ．p ：四边形是正方形；q ：四边形的对角线互相垂直且平分B ．p ：两个三角形相似；q ：两个三角形三边成比例C ．p ：xy >0；q ：x >0，y >0D ．p ：x =1是一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根；q ：a +b +c =0（a ≠0）答案：BD分析：根据充要条件的定义对各选项逐一进行分析讨论并判定作答.对于A ，四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，即p 不是q 的充要条件，A 不是；对于B ，两个三角形相似与两个三角形三边成比例能互相推出，即p 是q 的充要条件，B 是；对于C ，xy >0不能推出x >0，y >0，可能x <0，y <0，即p 不是q 的充要条件，C 不是；对于D ，x =1是一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根，可得a +b +c =0，反之，当a +b +c =0时，把c =-a -b 代入方程ax 2+bx +c =0得ax 2+bx -a -b =0，即(ax +a +b )(x -1)=0，显然x =1是方程的一个根，即p 是q 的充要条件，D 是.故选：BD20、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0}, A ∩B =B ，则实数m 取值为（ ）A ．13B ．−12C ．−13D ．0 答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m， 因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题填空题21、已知集合A ={4,3,5m −6},B ={3,m 2}，若B ⊆A ，则实数m =___________.答案：−2或3##3或-2分析：利用子集关系B ⊆A 可知，4=m 2或5m −6=m 2，求出m 再验证即得结果.∵B ⊆A ，∴4=m 2或5m −6=m 2，解得m =2或m =−2或m =3，将m 的值代入集合A 、B 验证，知m =2不符合集合的互异性，故m =−2或3.所以答案是：−2或3.22、已知集合A ={x ∈Z ∣32−x ∈Z}，用列举法表示集合A ，则A =__________.答案：{−1,1,3,5} 分析：根据集合的描述法即可求解.∵A={x∈Z∣3∈Z},2−x∴A={−1,1,3,5}所以答案是：{−1,1,3,5}23、设集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是___________. 答案：(−3,−1)分析：由题意，S∪T=R，可得a<−1,a+8>5，求解即可由题意，集合S={x|x>5或x<−1}，T={x|a<x<a+8}，因为S∪T=R，故可得a<−1,a+8>5解得a∈(−3,−1).所以答案是：(−3,−1)。