误差理论与数据处理知识总结

2 3
n
Vi 2
i 1
n 1
4 5
n
Vi 2
i 1
n 1
测量列算术平均值的标准差
x

n
（2）别捷尔斯法
1.253
n
Vi
i 1
n n 1
（3）极差法（简便）
极差 n xmax xmin （两者从服从正态分布的 x1 xn 中选出。）
n
（5）三角函数。角度误差 10'' 1'' 0.1'' 0.01''
函数值位数 5 6 7 8
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的 方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误 差。（在等精度测量条件下）
一、随机误差产生的原因
1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形， 零件表面油膜不均匀，摩擦等。
Vi
i 1

li
i 1
n
i 1
n



n
0
（2）残余误差代数和绝对值 n Vi 应符合： i 1
当 n 为偶数时，则
n
Vi
i 1
n A；
2
当 n 为奇数时，则
n
Vi
i 1


n 2

0.5

A；
A
为x
末位数
的一个单位。
dn
其中 dn 极差系数（查表）
（4）最大误差法（可应用于单次测量）
真值未知，选取残余误差

误差理论与数据处理
②依据测量的条件进行分类
※等精度测量:
就是在一定的条件下，由同一测量者，操作同 一测量工具，采用同一方法，测量同一对象， 这样的测量称为等精度测量．即测量的一切条 件都是不变的，变化的因素很小时也可认为是 等精度测量．
不等精度测量 :
③依据测量可重复性进行分类
单次测量： ※多次测量：
误差理论与数据处理
①误差的绝对值有界 有界性 ②小误差出现的概率大于大误差出现 单峰性 的概率 对称性 ③n很大时，绝对值相等、符号相反的 误差，概率相等 ④n很大时，由于正负误差相互抵消， 抵偿性 各误差的代数和趋于零。 通过数学推导，可以得到随机误差的概率密度 分布函数
误差理论与数据处理
或者
一般难以控制，往往不可抗拒。
如：电磁场等的微扰，测量者的心理等。
误差理论与数据处理
•服从的规律： 服从数理统计规律。 •处理方法：
多次测量取平均值，也就是用最佳 估计的办法得近似真值。
③过失误差
由于实验者粗心大意或环境突发干扰而造成的, 该测量值不属于正常测量范围，在处理数据时 应予以剔除。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
《大学物理实验》课程安排
本学期（8次课16学时）
（1）误差理论与数据处理 （2）实验项目7个 14学时 2学时
误差理论与数据处理
本次课程内容：
一、基本概念 二、随机误差的正态分布率 三、数据处理 *（重点）
四、实验常用的数据处理 方法 *（重点） 五、物理实验课的基本程 序和要求
准确度高 精密度低
准确度高 精密度高
精 确 度 高
误差理论与数据处理
4）误差的表示方法：

③ 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 ④ 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 ⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度 有影响的因素 --- 定值/较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值 措施 --- 恒温、稳压或稳频
如：米 --- 公制长度基准
光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m = 1650763.73
--- 氪-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 ③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
⑧ 检测方法误差 检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间
⑨ 检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）
4 、误差分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替 估计（Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（^） 同一被测量 n 次测量 算术平均（Mean value） x 估计 真值x0

服从正态分布的随机误差具有以下特征：
①单峰性。绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大。
②对称性。绝对值相等的正、负误差出现的概率相等。
③有界性。绝对值很大的误差出现的概率很小，甚至趋近于零。
④抵偿性。随机误差的算术平均值随着测量次数的增加而越来越趋于零，即
1
lim n n
n
xi
i 1
计分布规律，可以用统计学方法估算随机误差。
3．异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有 3 准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
统计理论表明，测量值的偏差超过 3 的概率已小于 1%。因此，可以认为偏差超过 3
的测量值是由于其它因素（实验装置故障、测量条件的意外变化、较强的外界干扰）或过
失造成的异常数据，应当剔除。方法是用偏差 xi
Sx
(xi x)2 n 1
(7)
S x 的统计意义： S x 小，说明随机误差的分布范围窄，小误差占优势，各测量值的离 散性小，重复性好。反之， S x 大，各测量值的离散性大，重复性差。
一般情况下，在多次测量后，是以算术平均值表达测量结果的，而算术平均值本身也
是随机量，也有一定的分散性，可用平均值的标准偏差 S 来表征这一分散性： x
不确定度（Uncertainty）是指由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，用
符号U 表示。通过不确定度可以对被测量的真值所处的量值范围做出评定，而被测量的真
值将以一定的概率（例对于标准不确定度 P=68.3%）落在这个范围内；同时不确定度大小 反映了测量结果可信程度的高低，不确定度越小，测量结果与被测量的真值越接近。
为了能更直观地反映测量结果的优劣，需要引入相对不确定度 E ，即

205.30
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20

nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。

9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理
1.数据的归类整理 2.数据的分组整理
3.3.2 分布规律判断的基本方法— —统计直方图
1．统计直方图 为了对某个随机变量的分布规律作出判断，
如0.0121×25.64×1.05782,其0.0121为三 位有效数字，故计算结果宜记0.328
5 在所有计算式中，常数π ，e的数值，以及，1/2等 系数的有效数字位数，可以认为无限制，需要几位 就可以取几位。
6 在对数计算中，所取对数位数，应与真数的有效数 字位数相等。例如，pH12.25 和 [H+]=5.6×10-13M;
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源
设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类
系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差
系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。
当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。
1)．4d 法检验
根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。
即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。

误差理论与数据处理1. 绪论1.1 数据测量的基本概念1.1.1 基本概念（1）物理量物理量是反映物理现象的状态及其过程特征的数值量。

一般物理量都是有因次的量，即它们都有相应的单位，数值为1的物理量称为单位物理量，或称为单位；同一物理量可以用不同的物理单位来描述，如能量可以用焦耳、千瓦小时等不同单位来表述。

（2）量值一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。

无量纲的SI单位是“1”。

（3）测量以确定量值为目的的一组操作，操作的结果可以得到真值，即得到数据，这组操作称为测量。

例如：用米尺测得桌子的长度为1.2米。

（4）测量结果测量结果就是根据已有的信息和条件对被测物理量进行的最佳估计，即是物理量真值的最佳估计。

在测量结果的完整表述中，应包括测量误差，必要时还应给出自由度及置信概率。

测量结果还具有重复性和重现性。

重复性是指在相同的测量条件下，对同一被测物理量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。

相同的测量条件即称之为“重复性条件”，主要包括：相同的测量程序、相同的测量仪器、相同的观测者、相同的地点、在短期内的重复测量、相同的测量环境。

若每次的测量条件都相同，则在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量服从同一分布。

重现性是指在改变测量条件下，对被测物理量进行多次测量时，每一次测量结果之间的一致性，即在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量值服从同一分布。

（4）测量方法测量方法是指根据给定的测量原理，在测量中所用的并按类别描述的一组操作逻辑次序和划分方法，常见的有替代法、微差法、零位法、异号法等。

总之，数据测量就是用单位物理量去描述或表示某一未知的同类物理量的大小。

1.1.2 数据测量的分类数据测量的方法很多，下面介绍常见的三种分类方法，即按计量的性质、测量的目的和测量值的获得方法分类。

（1）按计量的性质分可分为：检定、检测和校准。

检定：由法定计量部门（或其他法定授权组织），为确定和证实计量器是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作。

1)误差的定义及其表示法。

(1) 绝对误差：绝对误差=测得值-真值；(2) 相对误差：相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值；(3) 引用误差：引用误差=示值误差/测量范围上限；2)误差的基本概念。

所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差。

误差=测得值-真值3)误差的来源。

(1) 测量装置误差； (2) 环境误差； (3) 方法误差； (4)人员误差； (5)被测量对象变化误差；4)误差分类：(1) 系统误差：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

(2) 随机误差：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。

(3) 粗大误差：指明显超出统计规律预期值的误差。

又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。

5)测量的精度。

① 准确度：表征测量结果接近真值的程度。

系统误差大小的反映②精密度：反映测量结果的分散程度(针对重复测量而言)。

表示随机误差的大小③ 精确度：表征测量结果与真值之间的一致程度。

系统误差和随机误差的综合反映6)有效数字答： (1)有效数字：含有误差的任何近似数，若其绝对误差界是最末位数的半个单位，则从这个近似数左方起的第一个非零数字称为第一位有效数字。

且从第一位有效数字起到最末一位数止的所有数字，无论是零还是非零的数字，都叫有效数字。

论是零还是非零的数字，都叫有效数字1 ．若舍去部分的数值大于保留末位的 0.5，则末位加 1 ， (大于 5 进) ；2 ．若舍去部分的数值小于保留末位的 0.5 ，则末位不变， (小于 5 舍) ；3 ．若舍去部分的数值恰等于保留末位的 0.5，此时:①若末位是偶数；则末位不变，②若末位是奇数，则末位加 1 ， (等于 5 奇进偶不进) 。

1 -1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。

答：研究误差的意义(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。

误差理论与数据处理简答题及答案基本概念题1. 误差的定义是什么？它有什么性质？为什么测量误差不可避免？答: 误差＝测得值－真值。

误差的性质有:（1）误差永远不等于零；（2）误差具有随机性；（3）误差具有不确定性；（4）误差是未知的。

由于实验方法和实验设备的不完善, 周围环境的影响, 受人们认识能力所限, 测量或实验所得数据和被测量真值之间不可避免地存在差异, 因此误差是不可避免的。

2. 什么叫真值？什么叫修正值？修正后能否得到真值？为什么？答: 真值: 在观测一个量时, 该量本身所具有的真实大小。

修正值: 为消除系统误差用代数法加到测量结果上的值, 它等于负的误差值。

修正后一般情况下难以得到真值。

因为修正值本身也有误差, 修正后只能得到较测得值更为准确的结果。

3. 测量误差有几种常见的表示方法？它们各用于何种场合？答: 绝对误差、相对误差、引用误差绝对误差——对于相同的被测量, 用绝对误差评定其测量精度的高低。

相对误差——对于不同的被测俩量以及不同的物理量, 采用相对误差来评定其测量精度的高低。

引用误差——简化和实用的仪器仪表示值的相对误差（常用在多档和连续分度的仪表中）。

4. 测量误差分哪几类？它们各有什么特点？答: 随机误差、系统误差、粗大误差随机误差: 在同一测量条件下, 多次测量同一量值时, 绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差。

系统误差: 在同一条件下, 多次测量同一量值时, 绝对值和符号保持不变, 或在条件改变时, 按一定规律变化的误差。

粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。

误差值较大, 明显歪曲测量结果。

5. 准确度、精密度、精确度的涵义分别是什么？它们分别反映了什么？答: 准确度: 反映测量结果中系统误差的影响程度。

精密度: 反映测量结果中随机误差的影响程度。

精确度: 反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。

准确度反映测量结果中系统误差的影响程度。

精密度反映测量结果中随机误差的影响程度。

2 2 12 2 ...... n

n

i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x

n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1

误差理论与数据处理笔记研究误差的意义：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。

2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。

3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

误差=测得值－真值（真值可以分为理论真值和约定真值）（一）绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差，即绝对误差=测得值－真值，所在实际工作中，经常使用修正值，为消除系统误差而用代数法加到测量结果上的值成为修正值。

修正值与误差值的大小相等而方向相反，测得值加修正值后可以消除该误差的影响。

（二）相对误差（有大小、方向）绝对误差与被测量的真值之比值成为相对误差。

相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值相对误差通常以百分数（%）来表示。

（三）引用误差：一种简化和使用方便的仪器仪表值的相对误差。

数据处理：object：array_like数组，公开数组接口的任何对象，array方法返回数组的对象，或任何（嵌套）序列。

dtype：数据类型，可选数组所需的数据类型。

如果没有给出，那么类型将被确定为保持序列中的对象所需的最小类型。

此参数只能用于“upcast”数组。

copy：bool，可选。

如果为true（默认值），则复制对象。

否则，只有当array返回副本，obj 是嵌套序列，或者需要副本来满足任何其他要求（dtype，顺序等）时，才会进行复制。

order：{‘K’，‘A’，‘C’，‘F’}，可选指定阵列的内存布局。

如果object不是数组，则新创建的数组将按C顺序排列（行主要），除非指定了F，在这种情况下，它将采用Fortran顺序（专业列）。

如果object是一个数组，则以下成立。

list=source_data.values.tolist()csv转换为listnp.array整理成二维矩阵关于np.wherenp.where()[0]表示行的索引，np.where()[1]则表示列的索引。

1、随机误差产生的原因（装环人）2、随机误差具有统计规律性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。

单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。

抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。

3、算术平均值非X=X1+X2+...+XiVi(残余误差)=Xi-非X4、标准差（1）单次测量的标准差（δi）标准差=根号下（δi平方和/n）标准差的估计值=根号下（Vi平方和/n-1）（贝塞尔公式）评定单次测量不可靠的参数或然误差p=2/3标准差的估计值平均误差θ=4/5标准差的估计值（2）算术平均值的标准差标准差非x=标准差/根号下n或然误差R=2/3算术平均值标准差非x平均误差T=4/5标准差非x5、极差法Wn=Xmax-Xmino=Wn/dn6、最大误差法真值可代替o=|δi|/Kn真值未知o=|Vi|/Kn'7、权的确定方法:按测量的次数确定权8、单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。

9、系统误差产生的原因（装环方人）10、系统误差的特征（服从某一确定规律变化的误差）不变的系统误差线性变化的系统误差周期性变化的系统误差复杂规律变化的系统误差11、系统误差的发现方法实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差比较法计算数据比较法秩和检验法t检验法12、系统误差的减小和消除（1）从产生误差的根源上消除系统误差（2）用修正方法消除系统误差（3）不变系统误差消除法（代替法抵消法交换法）（4）线性系统误差消除法（对称法）（5）周期性系统误差消除法（半周期法）13、粗大误差产生的原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因14、防止与消除粗大误差的方法（1）设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除（2）加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作（3）保证测量条件的稳定（4）采用不等精度测量方法（5）互相之间进行校核的方法15、判别粗大误差的准则3o准则（莱以特准则）罗曼诺夫斯基准则格罗布斯准则狄克松准则计算题测量某电路电流共5次，测得数据（单位位mA）为168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 试求算术平均值及标准差或然误差和平均误差。

vi2 (mm)
0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
0.250 1.253 mm 0.0330mm 1010 1
11 i
v l
i 1
11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
规则２：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n v 0 . 003 mm 0 . 5 A 0.005mm i 2 i 1
x
l (l
i 1 i
n
n
n

i 1
o
li )
n

l nl
i 1 i
n
o
n
l0
l
i 1
n
i
n
l0 x 0
三、算术平均值
例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表，求
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
理论值
x
vi
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
vi n(n 1)
四、测量标准差（方均根误差）
表 23
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
li (mm)

ห้องสมุดไป่ตู้d1 d2
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差

误差理论与数据处理知识总结1、1研究误差的意义1、1、1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1、2误差的基本概念1、2、1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1、2、2绝对误差：某量值的测得值之差。

1、2、3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1、2、4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。

1、2、5误差来源：1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差1、2、6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1、2、7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1、2、8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1、2、9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1、3精度1、3、1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1、3、2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1、4有效数字与数据运算1、4、1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

1、4、2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

误差理论与数据处理期末报告范文一、引言在科学实验和数据处理中，误差是一个不可避免的因素。

误差的存在会影响到数据的准确性和可靠性，因此正确理解误差是非常重要的。

误差理论作为一门独立的学科，主要研究在实验测量和数据处理中各种类型误差的产生、传递和处理的方法。

在本次报告中，我们将对误差理论的基本概念和数据处理方法进行介绍和分析。

二、误差理论的基本概念1. 误差的分类在实验测量和数据处理中，误差可以分为系统误差和随机误差两种基本类型。

系统误差是由某种固定原因引起的，通常具有一定的方向性和大小；而随机误差是由众多偶然因素造成的，其大小和方向是随机的，无法准确预测。

另外，在实际应用中还会遇到仪器误差、人为误差等其他类型的误差。

2. 误差的传递在实验测量过程中，误差会随着测量数据的传递而累积。

例如，测量仪器的精度、环境条件、操作者技术等因素都会对最终结果产生影响。

因此，在数据处理过程中需要考虑到误差的传递规律，采取相应的措施来减小误差的影响。

3. 误差的表示与估计误差通常通过误差限、标准差、置信度等指标来表示和估计。

误差限表示了测量结果的准确性，标准差表示了数据的离散程度，置信度则表示了对测量结果的信赖程度。

这些指标可以帮助我们更准确地评估测量数据的质量，从而做出科学合理的判断。

三、数据处理方法1. 数据整理在实验测量过程中，可能会出现各种原始数据，需要对其进行整理和筛选。

通常可以采用平均值、中值、众数等方法来处理数据，消除异常值和噪声。

2. 数据分析数据分析是对收集到的数据进行统计和推断的过程。

通过统计方法，可以得出数据的分布特征、相关性和趋势等信息，从而进行科学分析和判断。

3. 数据模型数据模型是描述数据之间关系和规律的数学模型。

通过建立数据模型，可以预测未来趋势、探索潜在规律、优化决策等。

常见的数据模型包括线性回归、非线性回归、时间序列分析等。

四、实例分析为了更好地理解误差理论与数据处理的原理和方法，我们通过一个实例来进行分析。