奥数中的数图形个数

四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。

练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。

四年级奥数思维训练专题-数数图形专题简析：当线段、角、三角形、长方形等图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形.要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律.2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏.例1：数一数下图中共有多少个三角形.分析：以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个；以EF上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个.所以图中共有6×2=12个三角形.试一试1：数一数下面各图中各有多少个三角形.（）个三角形（）个三角形例2：数一数下图中有多少个长方形.·分析：数长方形与数线段的方法类似.可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形.试一试2：数一数下面各图中分别有多少个长方形.（）个长方形数数图形（二）专题简析：“数图形”时，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来.例1：数一数下图中有多少个长方形？分析：AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形.即：长边线段数×宽边线段数=长方形的个数试一试1：数一数，下图中有( )个长方形.例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）分析：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个.所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个.经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n.试一试2：数一数下图中有（）个正方形.（每个小方格为边长是1的小正方形）例3：数一数右图中有多少个正方形？(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)分析：边长是1个长度单位的正方形有6×4=24个；边长是2个长度单位的正方形有（6－1）×（4－1）=15个；边长是3个长度单位的正方形有（6－2）×（4－2）=8个；边长是4个长度单位的正方形有（6－3）×（4－3）=3个；共有：24＋15＋8＋3=50个.如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m －2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)·1试一试3：数一数下图中有( )个正方形.。

三年级奥数数三角形的个数
在三年级奥数中，数三角形的个数一般是通过数学方法进行分析和计算的，而不是直接统计。

下面是一种常见的数三角形的方法：
1. 给定一个三角形，可以用顶点或边长来表示。

假设三角形的三个顶点分别为A、B、C。

2. 遍历三年级数学教材中相关知识点，并找到关于三角形的特征、性质和分类等概念，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

3. 根据不同分类的三角形特征，进行计算。

例如，如果要计算所有的等边三角形个数，可以遍历所有的三个顶点，以其中任意两个不同顶点作为等边三角形的两个顶点，然后找到剩下的一个顶点，从而确定一个等边三角形。

4. 统计不同分类的三角形个数，最终得到所有三角形的总个数。

需要注意的是，3年级奥数通常不会涉及过于复杂的三角形计算，而是从简单的几何图形开始，让学生对几何图形的特征有一个初步的了解和认识。

数数图形教学目标认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；学会数基本图形的个数；掌握数图形的规律。

知识梳理一、学会数图形同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。

要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。

首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。

当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

二、解题策略要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。

2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

典例分析考点一：基本图形例1、数出下图中有多少条线段？【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。

以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：CD1条。

所以，图中共有线段3+2+1=6(条)。

方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD2条；由3条基本线段构成的线段有：AD1条。

所以，图中一共有3+2+1=6(条)线段。

例2、数出图中有几个角？【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。

方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以OB为一边的角还有：∠BOC、∠BOD2个；以OC为一边的角还有：∠COD1个。

所以，图中共有角3+2+1=6(个)。

方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3个；由2个基本角构成的角有:∠AOC、∠BOD2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD1个。

第二讲：数【2 】数图形
常识要点：同窗们,在数图形时,必定要按次序细心数,假如给图形编个号,如许数起来就更便利,不会反复,也不会漏掉.
例【1】下图中有若干条线段？
A B C D E
教室反馈【1】下图中有若干条线段？
例【2】下面图形中有几个角？
O D
C
B
A
教室反馈【2】下面图形中有几个角？例【3】下图中共有若干个三角形？
A B C D E F
A
B C D E
教室反馈【3】数一数图中共有若干个三角形？
例【4】如下图,数一数各图中包含的长方形个数？
教室反馈【4】如下图,数一数各图中包含的长方形个数？例【5】下图中有若干个正方形？
教室反馈【5】下图中有若干个正方形？
课后功课
1.数一数下图中共有若干条线段？
2.数出下图中锐角的个数？
3.数一数下图中共有若干个三角形？
4.数一数下图中一共有若干个长方形？
5.数一数下图中一共有若干个正方形？。

几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。

图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。

三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。

（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。

二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。

（2）对应法数图形。

例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。

【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。

【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。

则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。

第2讲我会数图形一年级我们已经认识了各种图形，并会数简单的图形．在这个基础上，本节课我们就将进一步深入的学习图形计数的方法．从简单的数线段的方法入手，拓展到数角、三角形、长方形、正方形等．通过数图形的练习，来让学生总结方法，找到计数的技巧．培养学生有序的思考问题的能力．知识点：1．掌握数规则的图形的个数的方法．（如线段、三角形、长方形等）1．教学点将给老师提供本节课的挂图．2．老师把每个图形制成图片．第2讲【教学思路】课前复习通过数简单的图形，使学生养成做记号的好习惯，为后面的学习奠定基础．⑴ 三角形有6个，正方形有3个，长方形有4个，椭圆形有8个．⑵ 正方形有4个，长方形有6个，三角形有3个，平行四边形有4个，圆形有5个．⑴下面的图各画了几个三角形、正方形、长方形和椭圆形？（ ）个三角形 （ ）个正方形 （ ）个长方形 （ ）个椭圆形⑵ 这所漂亮的房子是用哪些图形拼成的呢？数一数．同学们，我们已经会数简单的图形，今天这节课我们将继续来学习数图形的方法．在数图形的时候，同学们要认真仔细，必须要做到按顺序、有条理、不遗漏、不重复得来数．这样我们在数图形的时候，才能数得又快又准．数一数，下图中有多少条线段？【教学思路】在一年级的时候，我们已经学过了数线段的基本方法，今天继续学习老师要引导学生把这种数图形，有方法， 要认真，别慌张．OEDC B AOE C（ ）条线段 （ ）个角 （ ）个三角形这些图形你会数吗？在数这些图形的时候，方法有什么相同和不同？方法进行推广和拓展．数线段有两种方法，具体分析如下：方法一：已知在两点间的直线部分就是一条线段，这两个点就叫做线段的端点，我们分别以不同端点为出发点按顺序数．⑴以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD，共3条．⑵以B点为左端点的线段有：BC、BD，共2条．⑶以C点为左端点的线段有：CD，共1条．总共有：3216++= (条)．方法二：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，即此图中AB、BC、CD是基本线段，我们也可从基本线段开始数．⑴由1条基本线段组成的线段有：AB、BC、CD共3条．⑵由2条基本线段组成的线段有：AC、BD共2条．⑶由3条基本线段组成的线段有：AD共1条．总共有：3216++= (条)．总结方法：在数线段中，我们一定要抓住端点个数减1就是基本线段的条数来计算，而若有n个端点，线段总数则有12321（）（）条．-+-++++n n1．数一数，下面图形中有多少条线段？【教学思路】数一数一共有6个端点，那么基本线段就有615++++-=条，这个图中一共就有：54321 =（条）线段．152．在一条直线上画9个端点，可以数出（36）条线段．【教学思路】一共有9个端点，那么基本线段就有918-=（条），这个图中一共就有：8765432++++++ +=（条），可以数出36条线段．136数一数，图中共有多少个锐角？【教学思路】从图上可以看出，任意两条从O 点发出的射线都能组成一个角，先数以OA 为公共边的锐角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 、∠AOE ，共4个；以OB 为公共边的锐角有：∠BOC 、∠BOD 、∠BOE ，共3个： 以OC 为公共边的锐角有：∠COD 、∠COE ，共2个： 以OD 为公共边的锐角有：∠DOE ，共1个． 所以，锐角总数： 432110+++=(个)．角的总数与射线的条数之间的关系：基本角(我们将相邻两条射线构成的角叫基本角)总比射线的条数少1，而角的总数应等于从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角的个数．如果有1n +条射线，则有n 个基本角，而角的总数应等于12n n -+-+（）（） 321+++．数角方法也可推广到数三角形．数一数，图中有多少个三角形？【教学思路】数线段的方法也可以推广到数三角形，在这个图中一共有4个基本三角形，那么一共有432110+++=（个）三角形．数一数下图中有多少个长方形？OED C B AOEC【教学思路】注意到图中AD 上的每一条线段与宽都可以构成一个长方形．因此，AD 上有多少条线段就有多少个长方形，AD 上有线段：432110+++= (条)，这10条线段都可以和宽AB 组成一个长方形，所以一共有10个长方形．数一数下图中有多少个长方形？【教学思路】上面第一层以AB 为宽的有10个长方形，下面第二层以BE 为宽的也就有10个长方形．另外把第一层和第二层合在一起以AE 为宽的长方形还有10个，一层有10个，共3层，这样一共就有10330⨯=（个）长方形．总结方法：数长方形时，分层数最简单，我们可以先数出一层有多少个，再数出有几层，长方形的个数就是：每层的个数×层数DCB AF E DCB A【教学思路】牧童指给秀才的是左边那条路．“句”字左边添一竖，念“向”，牧童的意思是向左边走．这些图形你会数吗？我们发现，在数图形时，如果图形比较复杂，就应观察能否将图形按某一位秀才赴京赶考．一日，他走到一处三岔路口，感到左右为难．正在这时，有一牧童路过此地，秀才忙上前向他问路．那牧童一句话也没说，只是低头用树枝在地上划了一个“句”字，起身便要离开．秀才以为牧童没有听清楚，不料牧童却指着地上的字说：“我不是已经告诉你了吗!”说完，扬长而去．秀才听了牧童的话，先是一愣，再看一眼牧童写下的这个字，高兴地上路了．你知道牧童指给秀才的是哪一条路吗？数一数，下图中共有多少个三角形？【教学思路】这个图形比较复杂我们可以分类来数，这样不会重复也不会遗漏．具体分析如下：⑴ 左边三角形ABD 中有3216++=（个）三角形； ⑵ 右边三角形ADC 中有3216++=（个）三角形； ⑶ 左右合起来三角形ABC 中有3个三角形； 一共有：66315++=（个）三角形．数一数，图中共有多少个三角形？【教学思路】这道题有两种分类的方法，分析如下：方法一：先看部分，再看整体．观察此图，发现三角形BCO 和三角形ACO 是相同类型的，所以我们仍可分为两类来研究．先看三角形BOC 中有213+=（个）三角形，所以CAO 中仍有3个三角形．最后看由三角形BCO 和三角形CAO 共同组成的三角形，有三角形ADB 和三角形AOB 共2个．所以此图三角形共有：3328++=（个）． F EDCBAODCBA方法二：根据三角形包含基本三角形的个数来分类数．先数基本三角形有4个；再数包含两个基本三角形的三角形有3个，分别是三角形BOC、三角形AOC和三角形BDA；最后数包含四个基本三角形的三角形有1个，是三角形AOB．所以此图三角形共有：4318++=（个）如下图，数数有（）个三角形．【教学思路】根据三角形包含基本三角形的个数来分类数，方法如下：分类数第一类（含1个基本三角形，最小的）：1359++=（个）；第二类（含4个基本三角形，次大的）：3个；第三类（含9个基本三角形，最大的）：1个．一共有93113++=（个）三角形．数一数，下图中共有多少个正方形？【教学思路】仔细观察，这个图形一共有三层．我们可以分层数，具体分析如下：最里面一层有5个正方形．中间一层有5个正方形．外面一层有5个正方形．合起来一共有55515++=（个）正方形．【教学思路】如果时间有限，拓展与提高可留为课后思考题．具体分析如下：⑴ 一共有30条线段．这个大五角星中有5条长线段，每条长线段上共可以数出：3216++=（条）线段，那么五角星中共有6530⨯=（条）线段．⑵ 一共有8个三角形．五角星的每个角上分别有1个小三角形，总共有5个；另外还有5个类似图中阴影的较大三角形，所以共有5510+=（个）三角形．（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用．）拓 展 与 提 高——巧 数 五 角 星蜘蛛妈妈织了一张漂亮的大网，如图所示．小蜘蛛想跟妈妈学织网，妈妈说：“要想学织网首先要弄明白这张网的结构．你先去数一数，这张网上有多少条线段，多少个三角形．”小蜘蛛数了半天，怎么也数不清，你能帮帮它吗？下面图中给出了五个点，在每两点之间画线段．一共可以画多少条？【教学思路】两点之间可以画一条线段．图中有5个点，每一点都可以向其他4点画线段，这样就可以画5420÷=（条）线段．⨯=条线段，但两点之间都算了两条线段，重复了，所以只能画20210数一数，下图中共有多少个小于180°角？【教学思路】用角的顶点和位置的变化进行分类：以A为顶点的角有∠BA0，∠DA0，BAD共3个，同理：以B、C、D为顶点的角各3个．以0为顶点的角有∠AOB，∠BOC，∠CDD，∠DOA共4个．图中共有小于180°角：34416⨯+= (个)数一数，下图中共有多少个三角形？【教学思路】图中共有44个三角形．其中最大的2个、次大的6个、次小的12个、最小的24个．1．数一数．o（10）条线段（6）个锐角2．数一数，图中有多少个三角形？（5）个（6）个（5）个3．图中有多少个正方形？（17）个（14）个4．数一数，图形中有几个长方形？5．数一数，下图中共有多少个三角形？【答案】根据三角形包含基本三角形的个数来分类数．只含有一个基本三角形的三角形有6个； 恰含两个基本三角形的三角形有3个； 恰含三个基本三角形的三角形有6个；恰含四个或五个基本三角形的三角形一个也没有；恰含六个基本三角形的三角形只有1个． 图中共有三角形：636116+++= (个)．（ 7 ）个（ 18 ）个 ⑴⑵FEDCB A什么海没有鱼呢？一只蚂蚁可以从日本爬到中国，可能吗？什么牛不会拉车、耕地？什么东西落在水里却不会湿？把一只鸡和一只鹅放到冰箱里，结果鸡冻有一只羊，一年吃了草地上一半的草，问它死了，鹅却活着，这是为什么呢？把草全部吃光，需要多少年？平平把鱼放在鱼缸里，不到十分钟鱼都死在地上有100元钱和一块肉骨头，可是为什了，为什么？么努比拣起了肉骨头而没有拣钱呢？【答案】1．辞海、林海2．可能，在地图上爬3．蜗牛4．影子5．企鹅6．不能全吃光，因为草会年年生长的7．鱼缸里没有水8．努比是一只小狗十大环祸患威胁人类（二）六、化学污染工业带来的数百万种化合物存在于空气、土壤、水、植物、动物和人体中。