随机事件的概率
【学习目标】
1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；
2.正确理解事件A 出现的频率的意义；
3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n (A)与事件A 发生的概率P(A)的区别与联系. 【要点梳理】
要点一、随机事件的概念
在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
(1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件； (2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；
确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件.
(3)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件.
要点诠释：
1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究；
2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性.
要点二、随机事件的频率与概率 1．频率与频数
在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()A
n n f A n
为事件A 出现的频率。 2．概率
事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率
n
m
总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A).
由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释： （1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用
A
n n
来表示()P A 越精确。 （2）任一事件A 的概率范围为0()1P A ≤≤，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率
不在[01]，
范围内，则运算结果一定是错误的. 3．概率与频率的关系
（1）频率是概率的近似值。
随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，在实际问题中，事件的概率未知时，常用频率作为它的估计值。
（2）频率是一个随机数
频率在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同。 （3）概率是一个确定数
概率是客观存在的，与每次试验无关。
（4）概率是频率的稳定值
随着试验次数的增加，频率就会逐渐地稳定在区间[0，1]中的某个常数上，这个常数就是概率。 要点三、事件间的关系
(1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；
(2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；
(3)包含：事件A 发生时事件B 一定发生，称事件A 包含于事件B(或事件B 包含事件A)； 要点诠释：
从集合角度理解互斥事件为两事件交集为空，对立事件为两事件互补.
若两事件A 与B 对立，则A 与B 必为互斥事件，而若事件A 与B 互斥，则不一定是对立事件. “对立”只能是两个事件之间的关系，不会出现多个事件之间相互“对立”. 要点四、事件间的运算 (1)并事件(和事件)
若某事件的发生是事件A 发生或事件B 发生，则此事件称为事件A 与事件B 的并事件. 注：当A 和B 互斥时，事件A+B 的概率满足加法公式： P(A+B)=P(A)+P(B)(A 、B 互斥)；且有P(A+A )=P(A)+P(A )=1.
(2)交事件(积事件)
若某事件的发生是事件A 发生和事件B 同时发生，则此事件称为事件A 与事件B 的交事件. 要点诠释：
(1)在应用互斥事件的概率加法公式时，需先判断相关事件是否互斥，特别是在两事件中有一个或两个是由多个事件组成的并事件时，需仔细分清并事件中的每一事件是否都与另一事件互斥.在不互斥的事件中应用互斥事件的概率加法公式是本部分易错点之一.
（2）在求某些稍复杂的事情的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先求此事件的对立事件的概率. （3）“对立”更多的是一种解题思想，若某个事件的概率不易求解，而其对立事件的概率较易求，则应从其对立事件的概率入手求解，以提高解决问题的效率.“对立”思想推广开来即数学中的“正难则反”的思想，若从某个角度解决问题较复杂，不妨考虑其对立面，往往有较好的效果，如反证法的应用等.
要点五、概率的性质
(1)任一事件A 的概率()P A 有：0()1P A ≤≤；
(2)必然事件B 的概率P(B)=1； (3)不可能事件C 的概率P(C)=0. 要点诠释：
概率性质的掌握可以类比频率的性质与概率的关系. 【典型例题】
类型一：概率的意义
例1．掷一枚硬币，连续出现10次正面朝上，试就下面两种情况进行分析． （1）若硬币是均匀的，出现正面向上的概率是1
2
，由于连续出现10次正面，则下次出现反面朝上的概率必大于
1
2
，这种理解正确吗？ （2）若就硬币是否均匀作出判断，你更倾向于哪一种结论？ 【答案】（1）不正确（2）硬币不均匀 【解析】 （1）对于均匀硬币，抛掷一次出现正面向上的概率是
12，大多数次抛硬币时，大约有1
2
出
现正面朝上，而对于抛掷一次来说，其结果是随机的，多次重复抛硬币试验，其结果又呈现一定的规律性，实际上，连续抛掷10次均正面朝上的概率为10
1
0.00097662≈．尽管比较小，但发生的可能性是有的．对于第11次来说，其出现正面的概率仍为
12
． （2）由（1）知，对于均匀硬币来说，连续10次出现正面朝上的概率很小，几乎是不可能发生的，但这个事件却发生了．根据极大似然法，如果就硬币是否均匀作出判断，我们更倾向于这一枚硬币是不均匀的，即反面可能重一些．
【总结升华】 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性：即随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会越来越接近于该随机事件发生的概率．认识了这种随机}生中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性
概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，频率是概率的近似值，同频率一样，概率也反映了事件发生可能性的大小。但概率只提供了一种“可能性”，并不是精确值．
举一反三：
【变式1】某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？ 【答案】不一定
【解析】从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次，只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为9
10
n ，其中n 为射击次数，而且当n 越大时，击中的次数就越接近
9
10
n 。 类型二：频率与概率
例2．某人做了三次向桌面投掷硬币的试验，这三次试验的结果如下：
（2）设想：把这三个表格里面的试验次数不断地增加．预测1：每一个表格里面的试验次数增至原来的10倍时，这三次试验中，正面向上的频率是0.5；预测2：随着试验次数的不断增加，这三次试验中，反面向上的概率都是0.5．预测1、预测2正确吗？ 【解析】（1）第一次试验中，正面向上的频率1499
1000
f =． 第二次试验中，正面向上的频率2497
1000
f =
． 第三次试验中，正面向上的频率31497499
30001000
f ==．
