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2021人教B版数学必修第三册模块综合测评2

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模块综合测评(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C ．513D ．1213A [因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]2．若|a |＝2cos 75°，|b |＝4cos 15°，a 与b 的夹角为30°，则a ·b 的值为( ) A ．12 B ．32 C ． 3D ．2 3C [因为|a |＝2cos 75°＝2sin 15°，|b |＝4cos 15°， a 与b 的夹角为30°，所以a ·b ＝|a ||b |cos 30°＝2sin 15°·4cos 15°·cos 30° ＝4sin 30°cos 30°＝2sin 60°＝2×32＝ 3.]3．函数y ＝lg(x 2＋10x ＋6)的零点是x 1＝tan α和x 2＝tan β，则tan(α＋β)＝( ) A ．53 B ．52 C ．－52D ．－53B [因为y ＝lg(x 2＋10x ＋6)的零点是x 1＝tan α和x 2＝tan β，所以x 1，x 2是方程x 2＋10x ＋5＝0的两根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－10，tan α·tan β＝5，由两角和的正切公式得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝52.]4．已知点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限．记∠AOB ＝θ且sin θ＝35，则sin (π＋θ)＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2tan (π－θ)＝( )A ．2215B ．23C ．－2215D ．－23C [点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限，记∠AOB ＝θ且sin θ＝35，可得θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos θ＝－45，tan θ＝－34，则sin (π＋θ)＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2tan (π－θ)＝－sin θ＋2cos θ－2tan θ＝－35＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－2215.] 5．将函数y ＝sin (2x ＋φ)的图像沿x 轴――――→向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4B [y ＝sin (2x ＋φ)――――→向左平移π8个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.当φ＝3π4时，y ＝sin (2x ＋π)＝－sin 2x ，为奇函数；当φ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，为偶函数；当φ＝0时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数； 当φ＝－π4时，y ＝sin 2x ，为奇函数．故选B ．] 6．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为( )D [当x ＝π2时，y ＝1＞0，排除C ．当x ＝－π2时，y ＝－1，排除B ；或利用y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除B ．当x ＝π时，y ＝－π＜0，排除A ．故选D ．]7．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35 C ．35D ．－45B [由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35.]8．给出以下命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β；②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x －12的周期是π；⑤函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域是[0,2]． 其中正确命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0D [对于①来说，取α＝390°，β＝60°，均为第一象限角，而sin 60°＝32，sin 390°＝sin 30°＝12，故sin α＜sin β，故①错误；对于②，由三角函数的最小正周期公式T ＝2π|a |＝4π，得a ＝± 12，故②错误；对于③，该函数的定义域为{x |sin x －1≠0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π2＋2k π，k ∈Z ，因定义域不关于原点对称，故没有奇偶性，故③错误；对于④，记f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x －12.若T ＝π，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－12＝1.5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12＝0.5，显然不相等，故④错误；对于⑤，y ＝sin x ＋sin |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ＜0)2sin x (x ≥0) ，而当f (x )＝2sin x (x ≥0)时，－2≤2sin x ≤2，故函数y ＝sin x ＋sin |x |的值域为[－2,2]，故⑤错误．综上可知选D ．]二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像的对称中心可以是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0AB [由正切函数的对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，(k ∈Z )可以推出f (x )对称中心的横坐标满足x ＋π6＝k π2⇒x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，代入四个选项可知，当k ＝0时，x ＝－π6，当k ＝1时，x ＝π3.故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图像的对称中心．]10．下列四个选项，化简正确的是( ) A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12BCD [对于A ：法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24，A 错误； 法二：原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 对于B ：原式＝cos(15°－105°) ＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确；对于C ：原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确；对于D：原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D正确．]11．定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a||b|·sin〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有() A．a在b上的投影的数量为|a|·sin〈a，b〉B．(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2C．λ(a*b)＝(λa)*bD．若a*b＝0，则a与b平行BD[①对于选项A，a在b上的投影的数量为|a|·cos〈a，b〉，故选项A错误，②对于选项B，(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2(sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)＝|a|2|b|2，故选项B正确，③对于选项C，λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，λa*b＝|λa||b|sin〈λa，b〉，当λ<0时，不成立，故选项C错误，④由a*b＝0，所以sin〈a，b〉＝0，所以〈a，b〉＝0°或180°，即a与b平行，故选项D正确．]12．已知函数f(x)＝cos 2x－3sin 2x，则下列说法正确的是()A．f(x)的周期为πB．x＝π3是f(x)的一条对称轴C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6是f (x )的一个递增区间D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3是f (x )的一个递减区间ABD [因为f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )的周期为π，故A 正确； 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝－2，所以x ＝π3是f (x )的一条对称轴，故B 正确； 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6， 函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上不单调，故C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减，故D 正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．5 [因为∠ABO ＝90°，所以AB →⊥OB →，所以OB →·AB →＝0.又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，所以(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0，所以t ＝5.]14．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为__________．3 [因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋13k π，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝49π；当k ＝2时，x ＝79π；当k ＝3时，x ＝109π.因为x ∈[0，π]，所以x ＝π9或x ＝49π或x ＝79π，故零点的个数为3.]15．已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)2 1 [因为2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.]16．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值是0，则实数a 的值是________．－2 [f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＋sin x cos π6－cos x sin π6＋cos x ＋a ＝3sin x ＋cos x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a ，当x ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，f (x )max ＝a ＋2＝0，故a ＝－2.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.[解] (1)因为a ∥b ，所以θ＝0°或180°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2. (2)因为a －b 与a 垂直，所以(a －b )·a ＝0，即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， 所以cos θ＝22.又0°≤ θ ≤ 180°，所以θ＝45°.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3 ，求x 的值． [解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22 sin x －22 cos x ＝0， 所以tan x ＝1.(2)因为m 与n 的夹角为π3 ， 所以m ·n ＝|m |·|n |cos π3 ， 即22 sin x －22 cos x ＝12 ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12. 又因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，所以x －π4 ＝π6 ，即x ＝5π12 .19．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 因为sin 2 α＋cos 2 α＝1， 所以cos 2α＝925，因此cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos (α＋β)＝－55， 所以sin (α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，因此tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此，tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x sin x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和对称中心；(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最值． [解] (1)由已知，有f (x )＝cos x 12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以最小正周期为T ＝π， 由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z .所以对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0k ∈Z .(2)由g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，得g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，可得g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6上单调递增， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，可得g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递减．所以g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－14＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝14，所以g (x )min ＝－14.21．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α，β(β>α)的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.(1)若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，求cos(α＋β)的值；(2)若OA →·OB →＝31010，求sin β.[解] (1)因为α是锐角，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213在单位圆上，所以sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1213，cos β＝513，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×513－35×1213＝－1665.(2)因为OA →·OB →＝31010， 所以|OA →|·|OB →|cos(β－α)＝31010，且|OA →|＝|OB →|＝1，所以cos(β－α)＝31010，可得sin(β－α)＝1010(β>α)，且cos α＝45，sin α＝35，故sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝35×31010＋45×1010＝131050.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰好有两个不同的解，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )的最小正周期为T ， 则T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2， 解得φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)因为函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3， 又k ＞0，所以k ＝3，令t ＝3x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，若sin t ＝s 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，所以方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上恰好有两个不同的解， 则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．。

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2021人教B版数学必修第三册模块综合测评2

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模块综合测评(二)
(时间：120 分钟 满分：150 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知α是第二象限角，sin α＝ 5 ，则 cos α＝( ) 13
A．－12 13
B．－ 5 13
C． 5 13
D．12 13
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四
个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，
有选错的得 0 分)
9．函数 f(x)＝tan
x＋π 6
的图像的对称中心可以是(
)
A．
－π，0 6
B．
π，0 3
C．
π，0 2
D．
π，0 6
C．λ(a*b)＝(λa)*b
-5-
D．若 a*b＝0，则 a 与 b 平行 BD [①对于选项 A，a 在 b 上的投影的数量为|a|·cos〈a，b〉，故选项 A 错误， ②对于选项 B，(a*b)2＋(a·b)2 ＝|a|2|b|2(sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉) ＝|a|2|b|2，故选项 B 正确， ③对于选项 C，λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉， λa*b＝|λa||b|sin〈λa，b〉， 当λ<0 时，不成立，故选项 C 错误， ④由 a*b＝0， 所以 sin〈a，b〉＝0， 所以〈a，b〉＝0°或 180°， 即 a 与 b 平行，故选项 D 正确．]
[解] (1)若 m⊥n，则 m·n＝0.
由向量数量积的坐标公式得 2 sin x－ 2 cos x＝0，
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2020_2021学年新教材高中数学模块素养检测二含解析新人教B版选择性必修第三册

2020_2021学年新教材高中数学模块素养检测二含解析新人教B版选择性必修第三册

模块素养检测(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示,则( )A.f(x)在x=1处取得极小值B.f(x)在x=1处取得极大值C.f(x)是R上的增函数D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数【解析】选C.由导函数f′(x)的图像知,在R上f′(x)≥0恒成立,故f(x)是R上的增函数.2.等比数列{a n}的通项公式为a n=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{b n},那么162是新数列{b n}的( )A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项【解析】选C.162是数列{a n}的第5项,则它是新数列{b n}的第5+(5-1)×2=13项.3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,那么x+y+z的值为( )2 41 2xyzA.1B.2C.3D.4【解析】选B.由表格知,第三列为首项为4,公比为的等比数列,所以x=1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5,,故第四列所成的等比数列的公比为,所以y=5×=,同理z=6×=,所以x+y+z=2.4.已知函数f的导函数f′的图像如图,则下列叙述正确的是( )A.函数f在上单调递减B.函数f在x=-1处取得极大值C.函数f在x=-4处取得极值D.函数f只有一个极值点【解析】选D.由导函数的图像可得,当x<2时,f′≥0,函数f单调递增;当x>2时,f′<0,函数f单调递减.对于选项A,由于函数的单调减区间为,所以A不正确;对于选项B,由题意可得函数当x=2时取得极大值,所以B不正确;对于选项C,由题意当x=-4时函数无极值,所以C不正确;对于选项D,由题意可得只有当x=2时函数取得极大值,所以D正确.5.若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有( )A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根【解析】选B.设f(x)=x3-ax2+1,则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f(2)=1×=-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有一个根.6.已知数列{a n}的通项公式a n=-n2+10n-21,前n项和为S n,若m>n,则S m-S n的最大值是( )A.5B.10C.15D.20【解析】选B.依题意,S m-S n=a n+1+a n+2+…+a m,所以要使S m-S n的值最大,则a n+1+a n+2+…+a m包含所有的正项,令a n=-n2+10n-21>0,得4≤n≤6,代入得S m-S n=a4+a5+a6=3+4+3=10.7.已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,S n为其前n项和,则S60= ( )A.3 690B.1 830C.1 845D.3 660【解析】选B.因为a n+1+(-1)n a n=2n-1,所以a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,所以a1+a2+a3+a4=10.同理a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,所以a5+a6+a7+a8=26,同理可得a9+a10+a11+a12=42.由此可知,S4,S8-S4,S12-S8,…成等差数列,首项为10,公差为16,所以S60=15×10+×16=1 830.8.已知函数f(x)=把方程f(x)=x的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n},则该数列的通项公式为( )A.a n=(n∈N*)B.a n=n(n-1)(n∈N*)C.a n=n-1(n∈N*)D.a n=n-2(n∈N*)【解析】选C.令2x-1=x(x≤0),易得x=0.当0<x≤1时,由已知得f(x-1)+1=x,即2x-1-1+1=2x-1=x,则x=1.当1<x≤2时,由已知得f(x)=x,即f(x-1)+1=x,即f(x-2)+1+1=x,故2x-2+1=x,则x=2.因此,a1=0,a2=1,a3=2,结合各选项可知该数列的通项公式为a n=n-1(n∈N*).二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.数列{a n}的前n项和为S n,若数列{a n}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,…,,,…,,…,以下运算和结论正确的是( )A.a24=B.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列C.数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为T n=D.若存在正整数k,使S k<10,S k+1≥10,则a k=【解析】选ACD.以2到7为分母的数共有1+2+3+…+6=21个,故a22=,a23=,a24=,故A正确;++…+==为等差数列,B错误;数列的前n项和为T n=,C正确;可得T6==10.5,即S21=10.5>10;S20=-<10,此时a20=,D正确.10.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x对x∈(0,+∞)恒成立.下列结论正确的是 ( )A.2f(2)-3f(1)>5B.若f(1)=2,x>1,则f(x)>x2+x+C.f(3)-2f(1)<7D.若f(1)=2,0<x<1,则f(x)>x2+x+【解析】选CD.设函数g(x)=,则g′(x)==,因为(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x,所以g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上单调递减,从而g(1)>g(2)>g(3),整理得2f(2)-3f(1)<5,f(3)-2f(1)<7,故A错误,C正确.当0<x<1时,若f(1)=2,因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)>g(1)=,即>,即f(x)>x2+x+.故D正确,从而B不正确.11.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如图:a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……a n1a n2a n3……a nn该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S.下列结论正确的有( )A.m=3B.a67=17×37C.a ij=3(i-1)×3j-1D.S=n(3n+1)(3n-1)【解析】选ACD.由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5d=2+5m,所以2m2=2+5m+1,解得m=3或m=-(舍去),所以选项A是正确的;又由a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36,所以选项B不正确;又由a ij=a i1m j-1=[(a11+(i-1)×m]×m j-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C是正确的;又由这n2个数的和为S,则S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+a2n)+…+(a n1+a n2+…+a nn)=++…+=(3n-1)·=n(3n+1)(3n-1),所以选项D是正确的.12.设函数f(x)=,则下列说法正确的是( )A.f(x)定义域是(0,+∞)B.x∈(0,1)时,f(x)图像位于x轴下方C.f(x)存在单调递增区间D.f(x)在区间(1,2)上有最大值【解析】选BC.由题意,函数f(x)=满足解得x>0且x≠1,所以函数f(x)=的定义域为(0,1)∪(1,+∞),所以A不正确;因为f(x)=,当x∈(0,1)时,ln x<0,所以f(x)<0,所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方,所以B正确;因为f′(x)=,所以f′(x)>0在定义域上有解,所以函数f(x)存在单调递增区间,所以C是正确的;由g(x)=ln x-,得g′(x)=+(x>0),所以g′(x)>0,函数g(x)单调递增,且g(1)=-1<0,g(2)=ln 2->0,所以函数f(x)在(1,2)上先减后增,没有最大值,所以D不正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数;②函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;③函数f(x)在x=-处取得极大值;④函数f(x)在x=1处取得极小值.其中正确的说法有________.【解析】由题图知,当x∈(1,+∞)时,xf′(x)>0,于是f′(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,故①正确;当x∈(-1,1)时,f′(x)≤0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,②错误,③也错误;f(x)在区间(0,1)上是减函数,而在区间(1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在x=1处取得极小值,故④正确.答案:①④14.设曲线y=x n+1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,则log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014的值为________.【解析】因为y′|x=1=n+1,所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-=,即x n=.所以log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014=log2 015(x1·x2·…·x2 014)=log2 015=log2 015=-1.答案:-115.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么位于表中的第n行第n+1列的数是________.第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 ………………【解析】由题中数表,知第n行中的项分别为n,2n,3n,…,组成一等差数列,设为{a n},则a1=n,d=2n-n=n,所以a n+1=n+n·n=n2+n,即第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n16.函数y=x2(x>0)的图像在点(a k,)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.【解析】因为y′=2x,所以过点(a k,)处的切线方程为y-=2a k(x-a k),又该切线与x轴的交点为(a k+1,0),所以a k+1=a k,即数列{a k}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.答案:21四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知{a n}是公差为d的无穷等差数列,其前n项和为S n.又______,且S5=40,是否存在大于1的正整数k,使得S k=S1?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.从①a1=4;②d=-2这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.【解析】若选①,a1=4,因为{a n}是等差数列,所以S5=5×4+10d=40,故d=2,S k=4k+k(k-1)×2=k2+3k,S1=a1=4,由S k=S1可得k2+3k=4,可得k=1或k=-4(舍),故不存在k>1使得S k=S1.若选②,d=-2,因为{a n}是等差数列,由S5=5a1+10×(-2)=40,可得a1=12,S k=12k+×(-2)=13k-k2,因为S k=S1,所以13k-k2=12,解可得k=1或k=12,因为k=12>1,存在k>1使得S k=S1.18.(12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.【解析】(1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.因为f(x)在x=3处取得极值,所以f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,解得a=3.所以f(x)=2x3-12x2+18x+8.(2)A点在f(x)上,由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,f′(1)=6-24+18=0,所以切线方程为y=16.19.(12分)已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足:a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若数列{b n}是等差数列,且b n=,求非零常数c.【解析】(1){a n}为等差数列,因为a3+a4=a2+a5=22,又a3·a4=117,所以a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.又公差d>0,所以a3<a4,所以a3=9,a4=13.所以所以所以a n=4n-3.(2)由(1)知,S n=n·1+·4=2n2-n,所以b n==,所以b1=,b2=,b3=,因为{b n}是等差数列,所以2b2=b1+b3,所以2c2+c=0,所以c=-(c=0舍去).20.(12分)数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),若a n+S n=n,c n=a n-1.(1)求证:数列{c n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.【解析】(1)因为a1=S1,a n+S n=n,①所以a1+S1=1,得a1=.又a n+1+S n+1=n+1,②由①②两式相减得2(a n+1-1)=a n-1,即=,也即=,故数列{c n}是等比数列.(2)因为c1=a1-1=-,所以c n=-,a n=c n+1=1-,a n-1=1-.故当n≥2时,b n=a n-a n-1=-=.又b1=a1=,即b n=.21.(12分)(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0时,讨论函数g(x)=的单调性. 【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)≤2x+c⇒f(x)-2x-c≤0⇒2ln x+1-2x-c≤0(*),设h(x)=2ln x+1-2x-c(x>0),则有h′(x)=-2=,当x>1时,h′(x)<0,h(x)单调递减,当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=1时,函数h(x)有最大值,即h(x)max=h(1)=2ln 1+1-2×1-c=-1-c,要想不等式(*)在(0,+∞)上恒成立,只需h(x)max≤0⇒-1-c≤0⇒c≥-1.(2)g(x)==(x>0且x≠a),因此g′(x)=,设m(x)=2(x-a-xln x+xln a),则有m′(x)=2(ln a-ln x),当x>a时,ln x>ln a,所以m′(x)<0,m(x)单调递减,因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减;当0<x<a时,ln x<ln a,所以m′(x)>0,m(x)单调递增,因此有m(x)<m(a)=0,即g′(x)<0,所以g(x)单调递减,所以函数g(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上单调递减,没有递增区间.22.(12分)已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.【解题指南】解答本题,应先正确求出函数f(x)的导数f′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.【解析】(1)f′(x)=-=,因为f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0,即a·12+a-2=0,解得a=1.(2)f′(x)=,因为x≥0,a>0,所以ax+1>0.①当a≥2时,在区间[0,+∞)上,f′(x)>0,所以f(x)的单调增区间为[0,+∞).②当0<a<2时,由f′(x)>0,解得x>.由f′(x)<0,解得x<.所以f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(3)当a≥2时,由(2)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;当0<a<2,由(2)②知,f(x)在x=处取得最小值,且f<f(0)=1. 综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).。

【步步高】2021学年高中数学 模块综合检测（B）新人教A版选修1-1(1)

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模块综合检测(B)(时刻：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题12小题，每题5分，共60分)1．已知命题“p ：x ≥4或x ≤0”，命题“q ：x ∈Z ”，若是“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，那么知足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{－1,0,1,2,3}D ．{1,2,3}2．“a >0”是“|a |>0”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件3．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，那么双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.5 D ．24．已知双曲线的离心率为2，核心是(－4,0)，(4,0)，那么双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 5．已知△ABC 的极点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，极点A 是椭圆的一个核心，且椭圆的另外一个核心在BC边上，那么△ABC 的周长是( )A ．23 B ．6 C ．43 D ．126．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.y 24－x 22＝1D.y 22－x 24＝1 7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 8．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]，(0,1) D ．[－1,0)，(0,1] 9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，那么以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．32 B ．23 C.303 D.32610．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，那么a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－211．假设函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( ) 12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．113．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的核心到渐近线的距离为________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，那么P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 15．给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc . ②命题“假设x ≥3且y ≥2，那么x －y ≥1”为假命题．③若p ∧q 为假命题，那么p ，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________． 16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个核心F 1、F 2，假设P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，那么双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．假设“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．18．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个核心，Q 是椭圆上任意一点，从任一核心向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．19.(12分)假设r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.已知∀x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的一个极点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左核心F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右核心设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．21.(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．22．(12分)已知f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，(1)假设f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f (x )在(－1,1)内的极值点的个数． 模块综合检测(B) 答案 1．D2．A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，因此a >0⇒|a |>0，但|a |>0 a >0，因此“a >0”是“|a |>0”的充分没必要要条件．]3．C4．A [由题意知c ＝4，核心在x 轴上， 又e ＝ca＝2，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12， ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.]5．C [设椭圆的另一核心为F ，由椭圆的概念知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，因此△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝43.]6．D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 因此所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.]7．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3， ∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)， ∴y ＝－3x ＋2.]8．A [由题意知x >0，若f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－1x≤0，那么0<x ≤1，即函数f (x )的递减区间是(0,1]．]9．C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ②①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56.∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1－y 22＝303.] 10．D [y ＝x ＋1x －1，∴y ′|x ＝3＝－2x －12|x ＝3＝－12. 又∵－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴a ＝－2.]11．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，那么在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观看四个选项中的图象，只有A 知足．]12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c . 因为过点(0，－5)，因此c ＝－5.由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判定±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.] 13.3解析 核心(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ， 核心到渐近线的距离为2332＋1＝3.14.2解析 先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，那么通过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，依照题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，现在y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝2.15．①②解析 对①，a ，b ，c ，d 成等比数列，那么ad ＝bc ，反之不必然，故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，那么x －y ＝－1，因此该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．16．(1,3]解析 设|PF 2|＝m ， 则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ， 2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m . ∴e ＝c a ＝2c2a ≤3，又e >1，∴离心率的取值范围为(1,3]．17．解 命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m >0⇔m >2.命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根 ⇔Δ′＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0 ⇔1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2. 18．解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个核心，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，那么P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |， 因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |)＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．19．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立． ∴m ≥2. ①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题． ∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2. ② 故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.20．解 (1)由题意知b ＝1，e ＝ca ＝22，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2. ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， ∴直线与椭圆有两个公共点， 设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1x 2＝23，∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2| ＝5·x 1＋x 22－4x1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21．解 (1)由f (x )的图象通过P (0,2)知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令3x 2－6x －3＝0， 即x 2－2x －1＝0. 解得x 1＝1－2，x 2＝1＋2.当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0.当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数．22．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立；∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1≤0f ′1≤0 得－14≤a ≤14.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14.(2)当a >14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14>0f ′1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0， ∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0， 即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <－14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14<0f ′1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0. ∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0， 在(x 0,1)内f ′(x )>0.即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点． 当－14≤a ≤14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．综上，当a >14或a <－14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－14≤a ≤14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为0.。

2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册模块综合测评1 Word版含解析

2020-2021学年新教材人教B版数学必修第三册模块综合测评1 Word版含解析

模块综合测评（一）（时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边过点P（－4m,3m)（m≠0），则2sin α＋cos α的值是（）A．1或－1 B．错误!或－错误!C．1或－错误!D．－1或错误!B[当m〉0时，2sin α＋cos α＝2×错误!＋错误!＝错误!；当m〈0时，2sin α＋cos α＝2×错误!＋错误!＝－错误!.］2．已知向量a＝（cos 75°，sin 75°),b＝（cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为（)A．错误!B．1C．2 D．3B[如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝错误!，b＝错误!，则|a－b｜＝｜错误!｜且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因|a|＝｜b|＝1，则△AOB为正三角形，从而｜错误!|＝|a－b|＝1。

]3．函数f（x)＝sin（2x＋φ）（0<φ<π）的图像如图所示,为了得到g(x)＝sin 2x的图像，可将f(x）的图像( )A ．向右平移错误!个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移错误!个单位D ．向左平移错误!个单位A [因为f (x ）＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π),函数图像过点错误!，所以－1＝sin 错误!⇒φ＝错误!，因此函数f （x )＝sin 错误!的图像向右平移错误!个单位得到函数g （x )＝sin 2x 的图像，故选A ．］4．已知函数f （x )＝(1＋cos 2x ）sin 2x ，x ∈R ，则f （x )是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为错误! 的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 D [f （x ）＝(1＋cos 2x )错误!＝错误!（1－cos 22x ）＝错误!－错误!×1＋cos 4x 2＝错误!－错误!cos 4x , 所以T ＝错误!＝错误!,f (－x )＝f (x ），故选D ．]5．如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是错误!，则sin2θ－cos 2θ的值等于( )A．1 B．－错误!C．725D．－错误!D［依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边长cos θ，短直角边为sin θ,小正方形的边长为cos θ－sin θ，因小正方形的面积是错误!，即(cos θ－sin θ)2＝错误!,得cos θ＝错误!，sin θ＝错误!.即sin2θ－cos2θ＝－错误!。