26.1.1二次函数的基本概念

专题训练(三) 与函数有关的最值问题

类型之一 由不等关系确定的最值问题

1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：

现将这50吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进行)

(1)设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)

(2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？

类型之二 由一次函数确定的最值问题

2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m3，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3.

(1)有多少种生产方案？

(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为 每吨加工费 每吨加工时间 成品每吨售价

粗加工 500元 13天 4000元

精加工 900元 12天 4500元

120元，运费为4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)

类型之三 由二次函数确定的最值问题

3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图Z－3－1)，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

图Z－3－1

4.[2015·青岛] 如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为172 m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，

如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

年级 九年级 课题 26.1 二次函数（1） 课型 新授

教学媒体 多 媒 体

教

学

目

标 知识

技能 1. 能列出实际问题中的二次函数关系式；

2. 理解二次函数概念；

3. 能判断所给的函数关系式是否二次函数关系式；

4. 掌握二次函数解析式的几种常见形式.

过程

方法 从实际问题中感悟变量间的二次函数关系，揭示二次函数概念.学生经历观察、思考、交流、归纳、辨析、实践运用等过程，体会函数中的常量与变量，深刻领悟二次函数意义.

情感

态度 使学生进一步体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力。

教学重点 理解二次函数的意义，能列出实际问题中二次函数解析式

教学难点 能列出实际问题中二次函数解析式

教 学 过 程 设 计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图

一、情境引入

播放实际生活中的有关抛物线的图片，概括性的介绍本章.

二、探究新知

㈠、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系：

1.正方体的棱长是x，表面积是y,写出y关于x的函数关系式；

2.n边形的对角线条数d与边数n有什么关系？

3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都必上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

㈡观察所列函数关系式，看看有何共同特点?

26xy、nnd23212、2040202xxy

㈢类比一次函数和反比例函数概念揭示二次函数概念：

一般地，形如)0,,(2acbacbxaxy是常数的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

实质上，函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系.

三、课堂训练

1.判断下列函数是不是二次函数，若是，指出各项系数.

22xy； xxy322；5322xxy；1223xxy；xxy12 ； 22)3(xxy.

_ 月_ _日 星期__ 第__周

课 题 26.1二次函数的概念 课 型 新授 教 时 1

教 学

目 标 1．理解二次函数的概念；

2．会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域；

3．在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义．

重 点 二次函数概念．

难 点 实际问题中函数解析式及定义域的确定．

教具准备 多媒体课件

教 学 过 程

教师活动 学生活动

一、复习旧知：

1、我们学过了哪些函数？

2、一次函数的表达式是什么？

3、表达式中的自变量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？

二、新授：

(一)引入：

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互依赖关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.

问题1：正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？

问题2：农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

观察这两个函数，比较他们的区别与联系。

归纳：(1)函数解析式的一边均为整式(表明这种函数与一次函数有共同的特征)．

(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．

(二)概念讲解：

1.二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．

(1)强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x、y来表示.

复习旧知

思考、回答问题

学生归纳

(2)在y=ax2＋bx＋c(a≠0)中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．

中小学1对1课外辅导专家

学科教师辅导讲义

讲义编号：____________

学员编号： 年 级： 课时数：

学员姓名： 辅导科目： 学科教师：

课 题 26.1二次函数及其图像（1）

授课日期及时段

教学目的 1：熟悉掌握几种形式的二次函数的图像及性质（重点）

2：用待定系数法求二次函数的解析式（难点）

教学内容

考点一：二次函数的概念

（1）一般的，形式如2yaxbxc(,,abc是常数，0a)的函数，叫做二次函数。

例如：,等都是x的二次函数

（2）等号左边是y，右边是x的二次多项式，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。

（3）任何一个二次函数的解析式都可以化成2yaxbxc(,,abc是常数，0a)的形式，因此我们也把这个

2yaxbxc(,,abc是常数，0a)叫做二次函数的一般式

注1：二次函数的概念及列函数关系式是中考的必考内容，也是重点考查内容。二次函数的概念在中考题中一般出现在选择题和填空题中，难度较小，只要把握x的最高次数是2，0a这两个隐含条件即可。

注2：列二次函数关系式多出现在解答题中，难度适中，而近年的中考中还出现了一些关于二次函数的实际问题，常需要列二次函数关系式，难度较大。列二次函数关系式时，需考虑自变量取值应使实际问题有意义

考查题目1：下列函数,,,,,,中是二次函数的是__________.

考点二：二次函数的图像及性质

（1） 图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0,0）

（2） 性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小