安徽省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(六)

安徽省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（六）

（理科）

（考试时间120分钟 满分150分）

一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（ ）

A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i

2．设函数f（x）的图象如图，则函数y=f′（x）的图象可能是下图中的（ ）

A． B．

C． D．

3．由曲线y=ex，y=e﹣x以及x=1所围成的图形的面积等于（ ）

A．2 B．2e﹣2 C． D．

4．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）时，从n=k（k∈N*）到n=k+1时左边需增乘的代数式是（ ）

A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．

5．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数共有（ ）种．

A．180 B．240 C．360 D．480

6．二项式（x3+）n的展开式中，第二、三、四项二项式系数成等差数列，则展开式中的常数项是（ ）

A．21 B．35 C．56 D．28

7．设a∈R，函数f（x）=ex+的导函数y=f′（x）是奇函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率为，则切点的横坐标是（ ）

A． B．﹣ C．ln2 D．﹣ln2

8．若a=，b=，c=，则（ ）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c

9．已知x∈（0，+∞）有下列各式：x+≥2，x+≥3，x+=≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+≥5，则正数a=（ ）

A．4 B．5 C．44 D．55

10．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）

A．70 B．140 C．280 D．840

11．若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ） A． B．8 C．2 D．2

12．定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），（x﹣）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，则有（ ）

A．f（x1）＜f（x2） B．f（x1）＞f（x2） C．f（x1）=f（x2） D．不能确定

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知复数z=a+bi（a、b∈R），且满足+=，则复数z在复平面内对应的点位于第

象限．

14．若（1+2x）100=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a100（x﹣1）100，则a1+a2+…+a100= ．

15．如图，y=f（x）是可导函数，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，令g（x）=，则g′（4）= ．

16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．

（1）比较与的大小，并证明你的结论；

（2）求证：角B不可能是钝角．

18．（12分）有4个不同的球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内．

（1）共有多少种放法？（用数字作答）

（2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？（用数字作答）

（3）恰有两个盒不放球，有多少种方法？（用数字作答）

19．（12分）由下列不等式：，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

20．（12分）已知函数，x∈R其中a＞0．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围．

21．（12分）如图，半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设OB与矩形材料的边OA的夹角为θ，圆柱的体积为Vcm3．

（Ⅰ）求V关于θ的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）求圆柱形罐子体积V的最大值．

22．（12分）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，求实数k的最大值．

参考答案

一、单项选择题

1． D．2． D 3． D．4． B．5． D．6． B．7． C．8． B．9． C

10． A．11． B．12． A．

二.填空题

13．答案为：四

14．答案为：5100﹣3100．

15．答案为：

16．答案为：．

三、解答题

17．解：（1）∵a，b，c任意两边长均不相等，若，，成等差数列，

∴=+＞，即＞，

则＞；

（2）∵=+，

∴b=，

由余弦定理得：cosB===≥==＞0，

则B不可能为钝角．

18．解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4=256种 （2）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，

从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C42A43=144种不同的放法．

（3）四个球分为两组有两种分法，（2，2），（3，1）

若两组每组有两个球，不同的分法有=3种，恰有两个盒子不放球的不同放法是3×A42=36种

若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有C43=4种恰有两个盒子不放球的不同放法是4×A42=48种

综上恰有两个盒子不放球的不同放法是36+48=84种

19．

解：根据给出的几个不等式

可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：

．

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，1，猜想正确．

②假设n=k时猜想成立，即，

则n=k+1时，

==， 即当n=k+1时，猜想也成立，

所以对任意的n∈N+，不等式成立．

20．解：由，得f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a=（x+1）（x﹣a）

由f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=a＞0．

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（﹣1，a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，

当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

故函数f（x）的增区间是（﹣∞，﹣1），（a，+∞）；减区间为（﹣1，a）．

（2）由（1）知f（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在区间（﹣1，0）内单调递减，

从而函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点当且仅当解得0＜a＜．

所以a的取值范围是（0，）．

21．解：（Ⅰ）∵半径为30cm的圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料OABC，

设OB与矩形材料的边OA的夹角为θ，圆柱的体积为V cm3．

∴V（θ）==，0．

（Ⅱ）令t=sinθ，t∈（0，1），cos2θ=1﹣t2，

∴f（t）=，t∈（0，1）， ∴，

由f′（t）=0，得t=，或t=﹣（舍），

由f′（t）＞0，得0＜t＜；由f′（t）＜0，得．

∴f（t）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，

即当t=时，体积V取得最大值Vmax=cm3．

22．解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣xcosx，f′（x）=xsinx，

f′（π）=0，f（π）=π，

故切线方程是y﹣π=0；

（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）﹣x3，，

g′（x）=x（sinx﹣x），令h（x）=sinx﹣x，h′（x）=cosx﹣1＜0，

∴h（x）在递减，故h（x）＜h（0）=0，

∴g′（x）＜0，g（x）递减，

∴g（x）＜g（）=＜0，

故当时，成立；

（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，

即k＜对恒成立，

令m（x）=，，

m′（x）=＜0，

∴m（x）在（0，）递减，

m（x）＞m（）=，

故k≤．k的最大值是．