高考数学一轮复习知识点与练习空间几何体.doc

1． 空间几何体的结构特征

(1) 多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．

(2) 旋转体

①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．

②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．

③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由

平行于底面的平面截圆锥得到．

④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．

2． 空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：

(1) 原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或 135 °)， z′轴与 x′

轴、 y′轴所在平面垂直．

(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图

中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3． 柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

表面积 体积

几何体

柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 ＝S 侧 ＋2S 底 V＝ Sh

锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 ＝S 侧 ＋S 底 1 V＝ Sh

3

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1

V＝ (S 上＋ S 下 ＋

台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 ＝S 侧 ＋S 上 ＋ S 下 3

S上 S下) h

球 S＝ 4πR2

V＝ 4 3

3πR

4.常用结论

(1) 与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

(2) 几个与球有关的切、接常用结论

a．正方体的棱长为 a，球的半径为 R，

①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a；

②若球为正方体的内切球，则 2R＝ a；

③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a.

2 2 2

b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b， c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a ＋ b ＋ c .

c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶ 1.

(3) 斜二测画法中的“三变”与“三不变”

坐标轴的夹角改变，

“三变” 与 y轴平行的线段的长度变为原来的一半，

图形改变 .

平行性不改变，

“三不变” 与 x， z轴平行的线段的长度不改变，

相对位置不改变 .

【思考辨析】

判断下面结论是否正确 (请在括号中打“√”或“×” )

(1) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( )

(2) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ( )

(3) 用斜二测画法画水平放置的∠ A 时，若∠ A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且∠ A＝90°，则在直观

图中，∠ A＝ 45°.( )

(4) 圆柱的侧面展开图是矩形． ( )

(5) 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算． ( )

(6) 菱形的直观图仍是菱形． ( )

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1． (教材改编 ) 下列说法正确的是 ________．

①相等的角在直观图中仍然相等；

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③正方形的直观图是正方形；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

2．(教材改编 )已知圆锥的表面积等于 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____ cm.

12π cm

3．(2014 陕·西改编 )将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周， 所得几何体的侧面积是

________．

4．将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD ＝ a，则三棱锥 D －ABC 的体积为 ________．

5． 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是

__________ ．

题型一 空间几何体的结构特征

例 1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是 ________．

(2) 下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

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③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；

⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．

其中正确结论的序号是 ________．

(3) 设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

其中真命题的序号是 ________．

思维升华 (1) 解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据

条件构建几何模型，在几何模型中进行判断； (2) 解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是 ________．

题型二 空间几何体的直观图

例 2 已知△ A′B′ C′是△ ABC 的直观图，且△ A′ B′ C′是边长为 a 的正三角形，求△ ABC 的面

积．

引申探究

1．若本例改为 “已知 △ ABC 是边长为 a 的正三角形， 求其直观图 △ A′ B′ C′ 的面积 ” ，应如何求？

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2.本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形， ∠ ABC＝ 45°， AB＝AD ＝ 1， DC⊥BC ，则原图形的面

积为 ________．

思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x′ 轴或 y′ 轴平行， 原图中不与坐标轴平行的直线

段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点

后，用平滑的曲线连结而画出．

如图，矩形 O′A′ B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O′ A′＝ 6 cm，

C′ D′＝ 2 cm，则原图形是 ________．

①正方形； ②矩形；

③菱形； ④一般的平行四边形．

题型三 求空间几何体的表面积

例 3 (1)(2014 ·东山 )一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该

六棱锥的侧面积为 ________．

(2) 如图，斜三棱柱 ABC —A′ B′ C′中，底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b，侧棱 AA′与底面

相邻两边 AB 与 AC 都成 45°角，求此斜三棱柱的表面积．

思维升华 (1) 解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几

何体的组合情况； (2) 在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3) 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm，高是 3

cm. 2

(1) 求三棱台的斜高；

(2) 求三棱台的侧面积和表面积．

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