高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2294 3

2024年高考仿真模拟数试题（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从小到大排列的数据1,2,3,,4,5,6,7,8,,9,10x y 的第三四分位数为（）A.3B.32x + C.8D.82y +【答案】D 【解析】【分析】由百分位数的估计方法直接求解即可.【详解】1275%9⨯= ，∴该组数据的第三四分位数为82y+.故选：D.2.若椭圆22:1(0)9+=>x y C m m 上一点到C 的两个焦点的距离之和为2m ，则m =（）A.1B.3C.6D.1或3【答案】B 【解析】【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若9m >，则由2=m 得1m =（舍去）；若09m <<，则由26m =得3m =．故选：B .3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3510a a +=-，642S =-，则10S =（）A.12B.10C.16D.20【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，在利用等差数列的求和公式可求得10S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()35111242610a a a d a d a d +=+++=+=-，①611656615422S a d a d ⨯=+=+=-，②联立①②可得117a =-，4d =，因此，()10111091010451017454102S a d a d ⨯=+=+=⨯-+⨯=.故选：B ．4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）A.32种B.128种C.64种D.256种【答案】C 【解析】【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有52种去法．故一共有552264+=种去法．故选：C .5.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.故选：C.6.已知点P 在圆22(1)1x y -+=上，点A 的坐标为(,O -为原点，则AO AP ⋅的取值范围是（）A.[]3,3- B.[]3,5 C.[]1,9 D.[]3,7【答案】D 【解析】【分析】设(),P x y ，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.【详解】设(),P x y ，因点A 的坐标为(-，所以((1,,1,AO AP x y ==+-，则14AO AP x y x ⋅=+--=-+，设4t x =+，即()33433y x t =+-，依题意，求t 的范围即求直线)33433y x t =+-与圆22(1)1x y -+=有公共点时在y 轴上截距的范围，即圆心()1,0到()33433y x t =+-的距离512t d -=≤，解得37t ≤≤，所以AO AP ⋅的取值范围为[]3,7，故选：D.7.若)sin s ()2in x x x f x =-，且()()123f x f x =-，则12x x -的最小值为（）A.πB.π2C.2πD.π4【答案】B 【解析】【分析】化简()f x 解析式，得函数最大最小值与周期，利用()()123f x f x =-条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.【详解】)si o (n )2s sin xx xf x =-222sin x x =-2cos 21x x =+-2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()f x 的周期为πT =，且令sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则[]1,1t ∈-，则()()21f x g t t ==-，由()g t 的值域为[]3,1-，故max min ()1,()3f x f x ==-，则123()13()1f x f x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，故()()1239f x f x -≤≤，由()()123f x f x =-知，12()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩，或21()1()3f x f x =⎧⎨=-⎩.即12(),()f x f x 为函数的最大与最小值，或最小与最大值，当12,x x 对应()f x 图象上相邻两最值点时，12x x -的值最小，故12minπ22T x x -==.故选：B.8.如图，已知12,F F 是双曲线22:221x y C a b-=的左､右焦点，,P Q 为双曲线C 上两点，满足12F P F Q ∥，且2213F Q F P F P ==，则双曲线C 的离心率为（）A.105B.52C.153D.102【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t a =，进而可得11290F P Q F PF ∠∠=='，结合勾股定理运算求解.【详解】延长2QF 与双曲线交于点P '，因为12F P F P '∥，根据对称性可知12F P F P ='，设21F P F P t ='=，则223F P F Q t ==，可得2122F P F P t a -==，即t a =，所以44P Q t a ='=，则1225QF QF a a =+=，123F P F P a =='，即22211P Q F P QF ''+=，可知11290F P Q F PF ∠∠=='，在12P F F ' 中，由勾股定理得2222121F P F P F F ''+=，即()22234a a c =+，解得102c e a ==.故选：D.【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b用a ，c 代换，求ce a=的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设复数1iz a b =+（,R a b ∈且0b ≠），则下列结论正确的是（）A.z 可能是实数B.z z =恒成立C.若2R z ∈，则0a =D.若1R z z+∈，则1z =【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.【详解】对于A ：若2222221i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++是实数，则0b =，与已知矛盾，故A 错误；对于B ：由A 项知2222ia b z a b a b =+++，所以z =，z z ==，故B 正确；对于C ：若()()()2222222222222i a b abz ababab=--=+++()()222222222i a b ababab--∈++R ，则()22220abab=+，因为0b ≠，所以0a =，故C 正确；对于D ：11i z a z a b +=++2222i i a b b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭R ，则220bb a b-=+，因为0b ≠，所以221a b +=，所以1z ==，故D 正确．故选：BCD ．10.在ABC 中，若tan sin 2A BC +=，则下列结论正确的是（）A.tan 1tan AB=B.0sin sin A B <+≤C.22sin cos 1A B +=D.222cos cos sin A B C+=【答案】BD 【解析】【分析】由tansin 2A BC +=化简得到90C =︒，再逐项判断.【详解】解：由cos12tan sin tan 2sin cos 22222tan sin 22CA B C C C C C Cπ+⎛⎫=⇒-=== ⎪⎝⎭，因为π0<22C <，所以cos 02C ≠，所以2212sin12sin 0cos 09022C C C C =⇒-=⇒=⇒=︒，所以1tan tan 2tan B A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，2tan tan tan A A B=不一定为1，A 错；因为()sin sin sin cos 45A B A A A +=+=+︒，0904545135A A ︒<<︒⇒︒<+︒<︒，∴()()2sin 4511452A A <+︒≤⇒<+︒≤，从而有0sin sin A B <+≤，所以B 正确，又cos cos sin 2B A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以222sin cos 2sin A B A +=也不一定等于1，C 错；而22222cos cos cos sin 1sin A B A A C +=+==，D 正确；故选：BD11.已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且()11f =-，则（）A.()01f =B.()f x 为奇函数C.()()()1220240f f f +++= D.()22112f x fx ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.【详解】对A ：令1x =，0y =，则()()()21210f f f =，因为()11f =-，所以()01f =，故A 正确；对B ：令0x =得：()()()()20f y f y f f y +-=，结合()01f =可得()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，故B 错误；对C ：令1y =可得：()()()()1121f x f x f x f ++-=，因为()11f =-，所以()()()112f x f x f x ++-=-⇒()()()()11f x f x f x f x ⎡⎤++=-+-⎣⎦，进一步可得：()()()()211f x f x f x f x ⎡⎤+++=-++⎣⎦，又()01f =，()11f =-，故()()010f f +=，故()()120f f +=，依次有()()()()()()()()233420222023202320240f f f f f f f f +=+==+=+= ,所以()()()()()123···20232024010120f f f f f +++++=⨯=，故C 正确；对D ：令x y =可得：()()()2202f x f f x ⎡⎤+=⎣⎦⇒()()2212f x f x +⎡⎤=⎣⎦;用12x +代替x ，y 得：()()2121022f x f fx ⎡⎤⎛⎫++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⇒()2211122f x f x ++⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合C 的结果，可得：()2212f x fx ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()22122f x f x +++()()01212f f ++==，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB 相对简单，对C ，令1y =得到()()()()11f x f x f x f x ⎡⎤++=-+-⎣⎦后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D ，用x y =和用12x +代替x ，y 是解决问题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若关于x 的不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}13x x -≤≤，则32a b c ++的取值范围是__________．【答案】3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后32a b c ++都表示成a 的形式即可.【详解】因为不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}13x x -≤≤，所以二次函数()2f x ax bx c =++的对称轴为直线1x =，且需满足()()()123210f f f ⎧-=⎪=⎨⎪≥⎩，即29320a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++≥⎩，解得232b a c a =-⎧⎨=-+⎩，所以123202a b c a a a a ++=--+≥⇒≤，所以10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以332326445,42a b c a a a a ⎡⎫++=--+=-∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.13.已知直三棱柱1111,,2,2ABC A B C AB BC AC AB A C -⊥==，则三棱柱111ABC A B C -的体积的最大值为__________；此时棱柱的高为__________.【答案】①.23②.3【解析】【分析】利用直三棱柱的特征、体积公式结合导数求单调性及最值计算即可.【详解】如图所示，不妨设AB x =，由题意则())12,,0,1AC x BC AA x ===∈，则12V x ==令()()()()()22210,123f t t t t x f t t t=-⨯=∈⇒=-'，则213t >>时，()0f t '<，203t >>时，()0f t '>，即()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()max max 2423273f t f V ⎛⎫==⇒=⎪⎝⎭，此时2122333t x AA ==⇒===.故答案为：23；233.14.已知正实数,,,a b c d 满足210a ab -+=，221c d +=，则当22()()a c b d -+-取得最小值时，ab =__________．【答案】212+【解析】【分析】将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，进而转化为(),a b 与圆心()0,0的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.【详解】可将22()()a c b d -+-转化为(),a b 与(),c d 两点间距离的平方，由210a ab -+=，得1b a a=+，而221c d +=表示以()0,0为圆心，1为半径的圆，(),c d 为圆上一点，则(),a b 与圆心()0,0的距离为：==≥=，当且仅当2212a a =，即a =时等号成立，此时(),a b 与圆心()0,0的距离最小，即(),a b 与(),c d 两点间距离的平方最小，即22()()a c b d -+-取得最小值.当a =时，22112ab a =+=+，故答案为：12+.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆221c d +=上的点到1b a a=+上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()212ln 212f x x ax a x =+-+.（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处切线与x 轴平行，求a ；（2）若()f x 在2x =处取得极大值，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先对()f x 求导，利用导数的几何意义即可得解；（2）分类讨论a 的取值情况，利用导数分析()f x 的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.【小问1详解】因为()()()212ln 2102f x x ax a x x =+-+>，所以()()()()()221212221ax a x ax x f x ax a x x x-'++--=+-+==，因为曲线()y f x =在()()1,1f 处切线与x 轴平行，所以()()()112101a f --'==，解得1a =，又()1513022f =-=-≠，所以1a =.【小问2详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()12ax x f x x--'=，①当0a =时，令()0f x ¢>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >，()f x \在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；②当a<0时，令()0f x ¢>，得02x <<，令()0f x '<，得2x >，()f x \在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；③当0a >时，（i ）当12a =时，()12,0f x a =≥'所以()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 无极值，不满足题意；（ii ）当12a >时，12a<，令()0f x '<，得12x a <<，令()0f x ¢>，得10x a<<或2x >.()f x \在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()f x \在2x =处取得极小值，不满足题意；（iii ）当102a <<时，12a>，令()0f x '<，得12x a <<，令()0f x ¢>，得02x <<或1x a>.()f x \在()0,2上单调递增，在12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.()f x \在2x =处取得极大值，满足题意；综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.16.盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为X ．求随机变量X 的分布列和数学期望．（2）若A 盒中有4个红球和4个白球，B 盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从A 号盒中摸出一个球并放入B 号盒，然后丁从B 号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．【答案】（1）分布列见解析；期望为34（2）4449【解析】【分析】（1）列出X 的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望.（2）用条件概率公式求解.【小问1详解】X 可取0，1，2.且：()11541187C C 50C C 14P X ===，()1123521187C C A 151C C 28P X ===，()11321187C C 32C C 28P X ===.所以X 的分布列为：X012P5141528328则：153********EX =⨯+⨯=.【小问2详解】设事件D =“丁取到红球”，事件E =“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.当甲、乙、丙三人取得1个白球，则丁取到红球的概率为1114341118763C C C 4C C C 7⨯；当甲、乙、丙三人取得2个白球，则丁取到红球的概率为1114431118763C C C 3C C C 7⨯；当甲、乙、丙三人取得3个白球，则丁取到红球的概率为111432111876C C C 2C C C 7⨯；当甲、乙、丙三人取得3个红球，则丁取到红球的概率为111432111876C C C 5C C C 7⨯；则所求概率为：()()()|P DE P E D P D =1111111114344434321111111118768768761111111111114344334324321111111111118768768768763C C C 3C C C C C C 432C C C 7C C C 7C C C 7443C C C 3C C C 3C C C 3C C C 543249C C C 7C C C 7C C C 7C C C 7⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯.17.在梯形ABCD 中，AB CD ，π3BAD ∠=，224AB AD CD ===，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）.将ACD 沿AC 折起到ACD '△位置，使得平面D AC '⊥平面BAC （如图2）.（1）求二面角A BD C '--的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为8若存在，求出PQ PD '的值；若不存在，请说明理由.【答案】17.77-18.存在，13PQ PD '=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解；（2）设()'01PQ PD λλ=≤≤ ，表示出CQ，利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.【小问1详解】因为在梯形ABCD 中，//AB CD ，224AB AD CD ===，π3BAD ∠=，P 为AB 的中点，所以，//CD PB ，CD PB =，所以ADP △是正三角形，四边形DPBC 为菱形，可得ACBC ⊥，AC DP ⊥，而平面'D AC ⊥平面BAC ，平面'D AC ⋂平面BAC AC =，'D O ⊂平面'D AC ，'D O AC ⊥，'D O ∴⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，'OD 两两互相垂直，如图，以点O 为坐标原点，OA ，OP ，'OD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()C，()2,0B ，()'0,0,1D ，()0,1,0P，()'AD ∴=，()AB =-，)'2,1BD =-，)'CD =，设平面'ABD 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AD m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩，即1111020z y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11x =，则11y z ==，(m ∴=，设平面'CBD 的一个法向量为()222,,x n y z =，则00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩''，即22222200y z z -+=+=，令21x =，则20y =，2z =(1,0,n ∴=，1107cos ,7m n m n m n⨯++⋅∴==-，所以二面角'A BD C --的余弦值为77-.【小问2详解】线段'PD上存在点Q ，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为8.设()'01PQ PD λλ=≤≤ ，因为)CP = ，()'0,1,1PD =-，所以)',CQ CP PQ CP PD λλλ=+=+=-，设CQ 与平面'BCD 所成角为θ，则6sin cos ,8CQ n CQ n CQ n λθ⋅-=== ，即23720λλ-+=，01λ≤≤ ，解得13λ=，所以线段'PD 上存在点Q ，且'13PQ PD =，使得CQ 与平面'BCD 所成角的正弦值为8.18.已知抛物线24y x =，顶点为O ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点．（1）如图1所示，已知8AB =|，求线段AB 中点到y 轴的距离；（2）设点P 是线段AB 上的动点，顶点O 关于点P 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值；（3）如图2所示，设D 为抛物线上的一点，过D 作直线DM ，DN 交抛物线于M ，N 两点，过D 作直线DP ，DQ 交抛物线于P ，Q 两点，且DM DN ⊥，DP DQ ⊥，设线段MN 与线段PQ 的交点为T ，求直线OT 斜率的取值范围．【答案】（1）3（2）4（3）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可；（2）由题意可知四边形OABC 的面积等于2AOB S △，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理和341222AOB S OF y y =醋-V 求解即可；（3）设D 点坐标为()2,2a a ，将抛物线方程与直线DM ，DN 联立，利用韦达定理将点M 和点N 坐标用a 表示，进而可得到直线MN 的方程，证明直线MN 过定点即可求解.【小问1详解】因为过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且8AB =，设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线的性质可得1228x x AB ++==，所以126x x +=，所以线段AB 中点的横坐标，即为线段AB 中点到y 轴的距离为1232x x +=.【小问2详解】由点C 与原点O 关于点P 对称，可知P 是线段OC 的中点，所以点O 与点C 到直线l 的距离相等，所以四边形OABC 的面积等于2AOB S △，设直线l 的方程为1x my =+，联立214x my y x⎧=+⎨=⎩，消去x 可得2440y my --=，设()33,A x y ，()44,B x y ，由韦达定理可得344y y m +=，344y y =-，所以341222AOB S OFy y =醋-==V ，当0m =时，四边形OABC 的面积取最小值为4．【小问3详解】设D 点坐标为()2,2a a ，M 点坐标为(),M M x y ，N 点坐标为(),N N x y ，由题意可知直线DM 的斜率k 存在，且不为0，则直线DM 的方程为()22y a k x a -=-，与抛物线24y x =联立，消去x 得224840a y y a kk-+-=，由韦达定理可得42M a y k +=，解得42M y a k=-，直线DN 的方程为()212y a x a k-=--与抛物线24y x =联立，消去x 得224840y ky ka a +--=，由韦达定理可得24N a y k +=-，解得42N y k a =--，显然直线MN 斜率不为零，当直线MN 斜率存在时，直线MN 的方程为()()()()2244M M M MN M N M N M N M N M x x x x y y x x y y x x y y y y y y ----===---+-，整理得：4N MN Mx y y y y y +=+，将42M y a k=-，42N y k a =--代入MN l 得：()()222224424244222411242x a k a k x a kx k a ak a k ky a ak k ak k a k a k骣÷ç+---÷ç÷--ç--++桫===-+-------，所以直线MN l 过定点()24,2a a +-，即T 点坐标为()24,2a a +-，直线OT 的斜率为224OT ak a=-+，当0a >时，21042a a>-³--+，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，当a<0时，21042a a <≤=--，当且仅当4a a -=-，即2a =-时，等号成立，当0a =时，0OT k =，当直线MN 的斜率不存在时，设M 点坐标为()2,2t t ，N 点的坐标为()2,2t t -，则()22,22DM t a t a =--uuu u r ，()22,22DN t a t a =---uuu r ，且根据题意220t a -≠，所以()()2222240DM DN t a t a ×=---=uuu u r uuu r ，解得224t a =+，所以直线MN 的方程为24x a =+过点()24,2a a +-，综上所述，直线OT 斜率的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x 或y 的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为12x x +，12x x 形式；（5）代入韦达定理求解.19.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【小问1详解】由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2Mn a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m Mn m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。

2022-2023学年高中高考专题数学高考模拟学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.如图，是全集，、、是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A.B.C.D.2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）A.B.C.D.3. 下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )A.B.C.D.4. 如图，在中，点是边的中点， ，则用向量，表示为( )U M P S U (M ∩P)∩S(M ∩P)∪S(M ∩P)∩(S)∁U (M ∩P)∪(S)∁U αP (−,)5131213sin 2α=1213−513−120169−60169y =1xy =1x 2y =−(x 313)xy =−x 3△ABC D BC =2AG −→−GD −→−AB −→−AC −→−BG −→−A.B.C.D.5. 袋子中装有大小、形状完全相同的个白球和个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为( )A.B.C.D.6. 年月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：两个旅游团队计划游览该景点．若分别购票，则共需支付门票费元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )A.B.C.D.7. 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，点是棱的中点，点是棱上靠近的三等分点，且三棱锥的体积为，则四棱柱的体积为（ ）=−+BG −→−23AB −→−13AC −→−=−+BG −→−13AB −→−23AC −→−=−BG −→−23AB −→−13AC −→−=+BG −→−23AB −→−13AC −→−221613121520203129099020303540ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD E BB 1F CC 1C 1−AEF A 12ABCD −A 1B 1C 1D 1A.B.C.D.8. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且．记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）A. B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是( )A.B.复数的共轭复数C.复数的虚部等于D.，10. 设，，则( )A.B.C.D.1282018F 1F 2P e 1e 2z =1−i ii |z |=2–√z =1+i z ¯¯¯z −1||=z 2n 2n n ∈N ∗0<a <b <10<c <1<c a c ba <blog c log c <a c b cc <clog a log b f (x)=2sin(ωx +φ)x ∈R f (x)11. 已知函数，，其中，．若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（ ）A.在区间上是增函数B.在区间 上是增函数C.在区间上是减函数D.在区间上是增函数12. 在三棱锥中，，且，，，分别是棱，的中点，下面结论正确的是( )A.B.平面C.三棱锥的体积的最大值为D.与一定不垂直卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. “”是“”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)14. 菲特台风重创宁波，志愿者纷纷前往灾区救援．现从四男三女共名志愿者中任选名（每名志愿者被选中的机会相等），则名都是女志愿者的概率为________．15. 如图，圆的半径为，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上一点，且，点从处开始以秒一周的速度绕点在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．秒钟后，点到直线的距离用可以表示为________．16. 若数列满足＝（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且＝，则的最大值是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）f (x)=2sin(ωx +φ)x ∈R ω>0−π<φ≤πf (x)6πx =π2f (x)f (x)[−2π,0]f (x)[−3π,−π]f (x)[3π,5π]f (x)[4π,6π]D −ABC AB =BC =CD =DA =1AB ⊥BC CD ⊥DA M N BC CD AC ⊥BDMN //ABDA −CMN 2–√12AD BC x =y =x 2y 2722O 2l O O l |OA |=3P 0∠AO =P 0π6P P 02O t P l t(t ≥0){}a n d n ∈N ∗d {}a n ++...+b 1b 2b 201920190b 2b 2018−a =2(b +c)2sin C :sin A =4:−−√17. 在中，已知，，若，求，， 18. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式；若，求数列的前项和.19. 已知分别是边的中点，其中，如图：沿直线将折起，使点翻至点，且二面角大小为，点是线段的中点，如图.证明：平面；求直线和平面所成角的正弦值.20. 已知一个圆的摆线过一定点，请写出该摆线的参数方程．21. 年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这名考生的本次数学竞赛的平均成绩（精确到整数）；（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩服从正态分布，其中山近似等于样本的平均数，近似等于样本的标准差，并已求得．用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取名学生，记这次数学竞赛成绩在之外的人数为，求的值（精确到）．附：（1）当时，，；（2）．22. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.求在点处的切线方程；若关于的方程有三个不同的实数根，求的取值范围.△ABC −a =2(b +c)a 2a +2b =2c −3sin C :sin A =4:13−−√a b c{}a n n S n =7a 3=48S 6{}b n 2=+2b n+1b n =3b 1(1){−2}b n {}a n {}b n (2)=(−2)c n a n b n {}c n n T n D ，E RtΔABC AB ，AC ∠ACB =，∠ABC =，BC =290∘60∘(1)DE ΔADE A A 1−DE −B A 1120◦M B A 1(2)(1)DM//EC A 1(2)B A 1DE A 1(1,0)2020500500x¯¯¯X N(μ,)σ2x¯¯¯σs s ≈1810(86,140]Y P(Y =2)0.001X ∼N(μ,)σ2P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6827P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545×≈0.00660.818680.18142f(x)R x <0f(x)=(x +1)e x(1)f(x)P(−1,f(−1))(2)x f(x)=m m参考答案与试题解析2022-2023学年高中高考专题数学高考模拟一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】根据图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由图可知，阴影部分的元素为属于且属于但不属于的元素构成，所以用集合表示为．故选：．2.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式任意角的三角函数【解析】【解答】解：由已知得，，所以，故选．3.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】Venn Venn M P S (M ∩P)∩(S)∁U C sin α=1213cos α=−513sin 2α=2sin αcos α=−120169C根据函数的奇偶性定义和单调区间判断．【解答】解：，在和上均是减函数，但当时，，当时，，故在定义域上不是减函数，故不符合题意；，，，故在其定义域内是偶函数，故不符合题意；，，则，故为非奇非偶函数，故不符合题意；，在上为减函数，且为奇函数，故符合题意.故选.4.【答案】A【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】由已知结的合向量加法的三角形法则及向量共线定理即可求解．【解答】解：由题意可得，.故选.5.【答案】B【考点】条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：袋中有大小相同的个红球，个白球，现不放回地摸取个球，则在第二次摸到的是红球的前提下，袋中还有个红球，个白球，故第一次摸到红球的概率.故选.6.A y =1x (−∞,0)(0,+∞)x <0y <0x >0y >0y =1x A B f(x)=1x 2f(−x)==f(x)1x 2f(x)B C f(x)=−(x 313)x f(−x)=(−x −(=−−)313)−x x 33x f(x)C D y =−x 3R D D =+=+BG −→−BA −→−AG −→−BA −→−23AD−→−=+×(+)BA −→−2312AB −→−AC −→−=++BA −→−13AB −→−13AC −→−=−+23AB −→−13AC −→−A 22212P =13BB【考点】函数模型的选择与应用【解析】1【解答】解：分析：一共有人．若两个旅游团的人数分别为人，人，则两个旅游团的人数分别为（人），（人），符合条件，人数差为；若两个旅游团的人数分别为人、人以上，则两个旅游团的人数分别为（人）（人），（人）人，不合理；若两个旅游团的人数都在人之间，则分别购票共要元，不合理．故选.7.【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】8.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.990÷9=1100−5051−100(1290−110×11)÷(13−11)=40110−40=70300−50100(1290−110×9)÷(13−9)=75>50110−75=35<10050−100110×11=1210≠1290BA,C,D【考点】共轭复数复数的模复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵ ，∴，故正确；，故错误；复数的虚部等于，故正确；，故正确．故选.10.【答案】C,D【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可判断出正误．【解答】解：∵， ，则：由在上单调递减，可得，故错误；由在上单调递减，可得，故错误；由在上单调递增，可得，故正确；由对数函数性质可得，故正确.故选．11.【答案】A,D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性三角函数的最值z z =1−i i ==−1−i (1−i)(−i)i ⋅(−i)|z |=2–√A =−1+i z¯¯¯B z −1C ||z 2n =|(−1−i |=)2n |(2i |=)n 2n D ACD 0<a <b <10<c <1=y 1c x R >c a c b A =x y 2log c R a >b log c log c B =y 3x c (0,+∞)<a c b c C c <c log a log b D CD【解析】【解答】解：的最小正周期为，∴，∵当时，有最大值，∴，，∵，∴，∴．由此函数图像易得，在区间上是增函数，而在区间或上均不是单调的，在区间上是单调增函数．故选．12.【答案】A,B,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算棱锥的结构特征【解析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：设的中点为，连接，，如图所示：则，，又，所以平面，所以，故正确；因为，所以平面，故正确；当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故错误；若与垂直，又因为，f (x)6πω=13x =π2f (x)×+φ=+2kπ(k ∈Z)13π2π2φ=+2kπ(k ∈Z)π3−π<φ≤πφ=π3f (x)=2sin(+)x 3π3[−2π,0][−3π,−π][3π,5π][4π,6π]AD AC O OB OD AC ⊥OB AC ⊥OD OB ∩OD =O AC ⊥OBD AC ⊥BD A MN //BD MN //ABD B DAC ABC V 三棱锥A−CMN V 三棱锥A−CMN =V 三棱锥N−ACM=××=13142–√42–√48C AD BC AB ⊥BC BC ⊥ABD所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以显然与不可能垂直，故正确．综上知，正确的命题为．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由，得或，∴由可以得到；反之，由得不到，∴是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】从四男三女共名志愿者中任选名，基本事件总数，名都是女志愿者包含的基本事件的个数，由此能求出名都是女志愿者的概率．【解答】解：从四男三女共名志愿者中任选名，基本事件总数，名都是女志愿者包含的基本事件的个数，∴名都是女志愿者的概率为：．故答案为：．15.BC ⊥ABD BC ⊥BD BD ⊥AC BD ⊥ABC BD ⊥OB OB =OD BD OB D ABD ABD =x 2y 2x =y x =−y x =y =x 2y 2=x 2y 2x =y x =y =x 2y 21772n ==21C 272m ==3C 23272n ==217×622m ==33×222p ===m n 3211717【答案】，【考点】在实际问题中建立三角函数模型【解析】由题意，周期为，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离．【解答】解：由题意，周期为，则秒钟后，旋转角为，则此时点的横坐标为，所以点到直线的距离为，．故答案为；，．16.【答案】【考点】数列递推式数列的求和【解析】先由“调和数列“的定义数列是正项等差数列，再由题设得到：＝，然后利用基本不等式求得结果．【解答】∵正项数列为“调和数列”，∴＝（，为常数），∴数列是正项等差数列，∵＝，∴＝，即＝＝，∴（）＝（当且仅当＝时取“＝“），四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：因为，由正弦定理可得．设，，3−2cos(πt +)π6t ≥02t ωt P P l 2t ωt =t =πt 2πT P x =2cos(πt +)π6P l d =3−2cos(πt +)π6t ≥03−2cos(πt +)π6t ≥0100⇒{}b n 20+b 2b 2018−b n+1b n d n ∈N ∗d {}b n ++...+b 2b 2b 20192019020190+b 1b 201920+b 2b 2018≤b 4b 20183100b 2b 2018sin C :sin A =4:13−−√c :a =4:13−−√c =4k a =k 13−−√13−k =2(b +4k),2−−√则解得或．又因时， ，故舍去，所以，所以， ，．【考点】正弦定理解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，由正弦定理可得．设，，则解得或．又因时， ，故舍去，所以，所以， ，．18.【答案】解：，所以数列是公比的等比数列，所以，即，.由解得，，所以．由知，所以，①，②①②得{13−k =2(b +4k),k 213−−√k +2b =8k −3,13−−√k =313k =1k =313b <0k =1a =13−−√b =5−13−−√2c =4sin C :sin A =4:13−−√c :a =4:13−−√c =4k a =k 13−−√{13−k =2(b +4k),k 213−−√k +2b =8k −3,13−−√k =313k =1k =313b <0k =1a =13−−√b =5−13−−√2c =4(1)=−2b n+1−2b n +1−212b n −2b n ==(−2)12b n −2b n 12{−2}b n q =12−2=(−2)=b n b 1()12n−1()12n−1=+2b n ()12n−1n ∈N ∗ =+2d =7,a 3a 1=6+d =48,S 6a 16×52=3a 1d =2=+(n −1)d =2n +1a n a 1(2)(1)=(−2)=(2n +1)c n a nb n ()12n−1=3⋅+5+7+⋯+T n ()120()121()122(2n −1)+(2n +1)()12n−2()12n−1=3⋅+5+7+⋯+12T n ()121()122()123(2n −1)+(2n +1)()12n−1()12n−=3+2[+++⋯+12T n ()121()122()123]−(2n +1)()12n−1()12n=3+2×−(2n +1)[1−]12()12n−11−12()12n3+2×[1−]−(2n +1)n−1n，所以.【考点】等比数列的通项公式等比关系的确定等差数列的通项公式数列的求和【解析】无无【解答】解：，所以数列是公比的等比数列，所以，即，.由解得，，所以．由知，所以，①，②①②得，所以.19.【答案】解：证明：如图，取中点，连接，=3+2×[1−]−(2n +1)()12n−1()12n =5−(2n +5)()12n =10−(2n +5)T n ()12n−1(1)=−2b n+1−2b n +1−212b n −2b n ==(−2)12b n −2b n 12{−2}b n q =12−2=(−2)=b n b 1()12n−1()12n−1=+2b n ()12n−1n ∈N ∗ =+2d =7,a 3a 1=6+d =48,S 6a 16×52=3a 1d =2=+(n −1)d =2n +1a n a 1(2)(1)=(−2)=(2n +1)c n a nb n ()12n−1=3⋅+5+7+⋯+T n ()120()121()122(2n −1)+(2n +1)()12n−2()12n−1=3⋅+5+7+⋯+12T n ()121()122()123(2n −1)+(2n +1)()12n−1()12n−=3+2[+++⋯+12T n ()121()122()123]−(2n +1)()12n−1()12n=3+2×−(2n +1)[1−]12()12n−11−12()12n=3+2×[1−]−(2n +1)()12n−1()12n=5−(2n +5)()12n=10−(2n +5)T n ()12n−1(1)C A 1N MN ，EN分别是中点，，又分别是中点，，，是平行四边形，，又平面且平面，平面.，且平面，平面，平面点到平面距离相等，设为，则直线与平面所成角满足，过在平面内作直线于，翻折前分别是中点，,又，翻折后，又平面，又，又平面，，在中，，则，，就是二面角的平面角为.，平面，∵M ，N B ，C A 1A 1∴MN BC =//12∵D ，E AB ，AC ∴DE BC =//12∴DE MN =//∴MNED ∴DM//EN ∵DM ⊂EC A 1EN ⊂EC A 1∴DM//EC A 1(2)∵DE//BC DE ⊂DE A 1BC ⊂DE A 1∴BC//DEA 1∴B ，C ED A 1d B A 1EC A 1θsin θ=d |B|A 1C EC A 1CH ⊥E A 1H ∵D ，E AB ，AC ∴DE//BC ∵∠C =,∴DE ⊥AC 90∘∴DE ⊥E ，DE ⊥EC A 1∵E ∩EC =C ，∴DE ⊥A 1EC A 1∴DE ⊥CH CH ⊥E A 1∵E ∩ED =E ，∴CH ⊥A 1ED A 1∴d =|CH|Rt △ABC BC =2AB =4，AC =2,E =EC =3–√A 13–√∵DE ⊥E ，DE ⊥EC A 1∴∠EC A 1−DE −B A 1120∘∴C =3,d =|CH|=A 132∵DE ⊥EC A 1∴DE ⊥C A，，，∴ , 直线和平面所成角的正弦值为.【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：证明：如图，取中点，连接，分别是中点，，又分别是中点，，，是平行四边形，，又平面且平面，平面.，且平面，平面，平面点到平面距离相等，设为，则直线与平面所成角满足，过在平面内作直线于，∴DE ⊥C A 1∵DE//BC ∴BC ⊥C A 1B ==A 1+B A 1C 2C 2−−−−−−−−−−−√13−−√sin θ==d |B|A 1313−−√26∴B A 1DE A 1313−−√26(1)C A 1N MN ，EN ∵M ，N B ，C A 1A 1∴MN BC =//12∵D ，E AB ，AC ∴DE BC =//12∴DE MN =//∴MNED ∴DM//EN ∵DM ⊂EC A 1EN ⊂EC A 1∴DM//EC A 1(2)∵DE//BC DE ⊂DE A 1BC ⊂DE A 1∴BC//DEA 1∴B ，C ED A 1d B A 1ED A 1θsin θ=d |B|A 1C ED A 1CH ⊥E A 1H D ，E AB ，AC翻折前分别是中点，,又，翻折后，又平面，又，又平面，，在中，，则，，就是二面角的平面角为.，平面，，，，∴ , 直线和平面所成角的正弦值为.20.【答案】解根据摆线的参数方程（为参数）可知只需求出其中的，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点代入参数方程求出值，再代入参数方程的表达式即可．令，可得，所以，代入，可得，所以，又根据实际情况知是圆的半径，故，所以应有，且，即，所以所求摆线的参数方程是（为参数）（其中）．【考点】圆的极坐标方程圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】略21.【答案】∵D ，E AB ，AC ∴DE//BC ∵∠C =,∴DE ⊥AC 90∘∴DE ⊥E ，DE ⊥EC A 1∵E ∩EC =C ，∴DE ⊥A 1EC A 1∴DE ⊥CH CH ⊥E A 1∵E ∩ED =E ，∴CH ⊥A 1ED A 1∴d =|CH|Rt △ABC BC =2AB =4，AC =2,E =EC =3–√A 13–√∵DE ⊥E ，DE ⊥EC A 1∴∠EC A 1−DE −B A 1120∘∴C =3,d =|CH|=A 132∵DE ⊥EC A 1∴DE ⊥C A 1∵DE//BC ∴BC ⊥C A 1B ==A 1+B A 1C 2C 2−−−−−−−−−−−√13−−√sin θ==d |B|A 1313−−√26∴B A 1DE A 1313−−√26{x =r (φ−sin φ)y =r (1−cos φ)φr (1,0)r r (1−cos φ)=0cos φ=1φ=2kπ(k ∈Z)x =r (φ−sin φ)r (2kπ−sin 2kπ)=1r =(k ∈Z)12kπr r >0k >0k ∈Z k ∈Z + x =(φ−sin φ)，12kπy =(1−cos φ)12kπφk ∈Z +=10(65×0.0028+75×0.01+85×0.01+95×0.018+105×0.02+115×0.018+125×0.012+135×0.008+145¯¯¯；由题意知，且，，∴，，∴，则或，可得，∴．【考点】正态分布的密度曲线频率分布直方图【解析】（1）直接由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率得答案；（2）由已知结合及原则求得，可得或，则，再由独立重复试验的概率公式求的值．【解答】；由题意知，且，，∴，，∴，则或，可得，∴．22.【答案】解：当时，，，， ，所以切线的方程为.当时，，函数为奇函数，，由因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，由知，当时，，当时，，所以函数在上为减函数；当时，，所以函数在上为增函数，=10(65×0.0028+75×0.01+85×0.01+95×0.018+105×0.02+115×0.018+125×0.012+135×0.008+145x ¯¯¯×0.0012)=10×10.416=104.16≈104X ∼N(μ,)σ2μ=104σ=1886=104−18=μ−σ140=104+18×2=μ+2σP(86<X ≤140)＝P(μ−σ<X ≤μ+2σ)＝＝0.81860.6827+0.95452P(X ≤μ−σX >μ+2σ)=1−0.8186=0.1814Y ∼B(10,0.1814)P(Y ＝2)＝××≈45×0.00663≈0.298C 2100.181420.81868σ2σP(86<X ≤140)P(X ≤μ−σX >μ+2σ)=0.1814Y ∼B(10,0.1814)P(Y =2)=10(65×0.0028+75×0.01+85×0.01+95×0.018+105×0.02+115×0.018+125×0.012+135×0.008+145x ¯¯¯×0.0012)=10×10.416=104.16≈104X ∼N(μ,)σ2μ=104σ=1886=104−18=μ−σ140=104+18×2=μ+2σP(86<X ≤140)＝P(μ−σ<X ≤μ+2σ)＝＝0.81860.6827+0.95452P(X ≤μ−σX >μ+2σ)=1−0.8186=0.1814Y ∼B(10,0.1814)P(Y ＝2)＝××≈45×0.00663≈0.298C 2100.181420.81868(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x ===k l |y ′x=−1e −11e f(−1)=0∴P(−1,0)l y =(x +1)1e(2)x >0−x <0,f(−x)=(−x +1)=−(x −1)e −x e −xf(x)∴f(x)=−f(−x)=(x −1)e −x f(x)R f(0)=0f(x)= (x −1),e −x 0,(x +1),e x x >0x =0x <0(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′f(x)(−∞,−2)−2<x <0(x)>0f ′f(x)(−2,0)(−2)=−<01，时，，当时，，结合函数时定义在上的奇函数，如图所示，作出函数的图象知：关于的方程有三个不同的实数根，等价于直线与函数的图象有个不同的交点，由图知，的取值范围为.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，，， ，所以切线的方程为.当时，，函数为奇函数，，由因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以，由知，当时，，当时，，所以函数在上为减函数；当时，，所以函数在上为增函数，，时，，f(−2)=−<01e 2x →0f(x)→1>1e 2x <−2f(x)<0f(x)R f(x)x f(x)=m L ：y =m y =f(x)3m {m|−<m <}1e 21e 2(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x ===k l |y ′x=−1e −11e f(−1)=0∴P(−1,0)l y =(x +1)1e(2)x >0−x <0,f(−x)=(−x +1)=−(x −1)e −x e −xf(x)∴f(x)=−f(−x)=(x −1)e −x f(x)R f(0)=0f(x)= (x −1),e −x 0,(x +1),e x x >0x =0x <0(1)x <0(x)=(x +2)f ′e x x <−2(x)<0f ′f(x)(−∞,−2)−2<x <0(x)>0f ′f(x)(−2,0)f(−2)=−<01e 2x →0f(x)→1>1e 2f(x)<0当时，，结合函数时定义在上的奇函数，如图所示，作出函数的图象知：关于的方程有三个不同的实数根，等价于直线与函数的图象有个不同的交点，由图知，的取值范围为.x <−2f(x)<0f(x)R f(x)x f(x)=m L ：y =m y =f(x)3m {m|−<m <}1e 21e 2。

2024年高考仿真模拟数试题（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可．【详解】这组数据为：1,1,,4,5,5,6,7a ，但a 大小不定，因为80.756⨯=，所以这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有6a =符合．故选：C ．2.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的3倍，则E 的离心率为（）A.3B.223C.33D.233【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得26a b =，再根据离心率公式即可得解.【详解】由题意，26a b =，所以13b a =，则离心率3c e a ====.故选：B .3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（）A.150B.120C.75D.68【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知78910911205a a a a a a ++++==，所以94a =，()1171791717682a a S a +===，故选：D.4.已知空间中，l 、m 、n 是互不相同直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则//l nB.若//l α，//l β，则//αβC.若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，则//αβD.若l α⊥，//l β，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 选项，可通过找反例排除，对D 选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理得到.【详解】对A 选项：若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则l 可能与n 平行或异面，故A 错误；对B 选项：若//l α，//l β，则α与β可能平行或相交，故B 错误；对C 选项：若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，可能//m n ，此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ，又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选：D.5.7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A.672 B.864 C.936 D.1056【答案】D 【解析】【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可.【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有554A 480=种站排方式；当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有1142443C C A 576=种站排方式；故总共有4805761056+=种站排方式.故选：D ．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A ，()0,3B ，动点P 满足OP xOA yOB =+，且1x y +=，则下列说法正确的是（）A.P 的轨迹为圆B.P 到原点最短距离为1C.P 点轨迹是一个菱形D.点P 的轨迹所围成的图形面积为4【答案】C 【解析】【分析】由题意得3x ab y =⎧⎪⎨=⎪⎩，结合1x y +=可知33a b +=，画出图形可知P 点轨迹是一个菱形，故C错误A 正确；由点到直线的距离即可验证B ；转换成ABC 面积的两倍来求即可.【详解】设P 点坐标为(),a b ，则由已知条件OP xOA yOB =+ 可得3a x b y =⎧⎨=⎩，整理得3x a b y =⎧⎪⎨=⎪⎩．又因为1x y +=，所以P 点坐标对应轨迹方程为33a b +=．0a ≥，且0b ≥时，方程为33a b +=；0a ≥，且0b <时，方程为33b a =-；a<0，且0b ≥时，方程为33b a =+；a<0，且0b <时，方程为33a b +=-．P 点对应的轨迹如图所示：3AB CD k k ==-，且AB BC CD DA ====P 点的轨迹为菱形．A 错误，C 正确；原点到AB ：330a b +-=1.10=<B 错误；轨迹图形是平行四边形，面积为122362⨯⨯⨯=，D 错误．故选：C ．7.已知函数()3sin 44sin 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，则02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭等于（）A.43-B.34-C.34D.43【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式得到()f x 最大值，即得到关于0x 的关系式，代入02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭利用诱导公式即可.【详解】()3sin 44sin 43sin(4)4sin(4)36323f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=++-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3sin(4)4cos(433f x x x ππ∴=+++，4()5sin(4)(tan 33f x x πϕϕ∴=++=，max 5()f x =∴，()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，0234(Z)2k k x πππϕ+=+∈+∴，0213tan 4tan(2)32tan 4x k πππϕϕ⎛⎫∴-=-+-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，离心率为e ，直线(0)y kx k =≠分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若1MF N 的面积为160MF N ∠=︒，则22e 3a +的最小值为（）A.2B.3C.6D.7【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，121F NF MF N S S == 124NF NF ⋅=，利用双曲线定义和余弦定理求出21243b F N F N ⋅=，求出23b =，进而求出22223e 31317a a a +=++≥+=.【详解】连接22,NF MF ，有对称性可知：四边形12MF NF 为平行四边形，故2112,NF MF NF MF ==，12120FNF ∠=︒，121F NFMF N S S ==由面积公式得：121sin1202NF NF ⋅︒=124NF NF ⋅=，由双曲线定义可知：122F N F N a -=，在三角形12F NF 中，由余弦定理得：()222221212121212244cos12022F N F N F N F N cF N F N c F N F N F N F N-+⋅-+-︒==⋅⋅2121224122F N F N b F N F N ⋅-==-⋅，解得：21243b F N F N ⋅=，所以2443b =，解得：23b =，故22223e 31317a a a +=++≥+=，当且仅当2233a a=，即21a =时，等号成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()2sin sin 2f x x x=-，则下列结论正确的有（）A.()f x 为奇函数B.()f x 是以π为周期的函数C.()f x 的图象关于直线π2x =对称 D.π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x的最大值为22-【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B ，判断()()πf x f x +=是否成立即可；对于C ，判断ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立即可；对于D ，可得π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，由此即可得解.【详解】对于A ，()2sin sin 2f x x x =-的定义域为()π,2k x k ≠∈Z （关于原点对称），且()()()()22sin sin sin 2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--= ⎪-⎝⎭，对于B ，()()()()22πsin πsin sin 2sin 2πf x x x f x x x +=+-=--≠⎡⎤+⎣⎦，故B 错误；对于C ，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，但ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象不关于直线π2x =对称，故C 错误；对于D ，π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin ,sin 2y x y x ==均单调递增，所以此时2sin 2y x=-也单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，其最大值为π2242f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：AD.10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则120z z = B.11,Z nnz z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用复数的三角形式计算判断B ；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD.【详解】对于A ，当121i,1i =+=-z z 时，12122z z z z +==-，而1220z z =≠，A 错误；对于B ，令1(cos isin ),0,R z r r θθθ=+≥∈，则1(cos isin )n nz r n n θθ=+，于是1|||cos isin |nnnz r n n r θθ=+=，而1||z r =，即有1||nnz r =，因此11nnz z =成立，B 正确；设复数1i(,R)z a b a b =+∈，2i(,)z c d c d =+∈R ，对于C ，由22120z z +=，得2222()(22)i 0a b c d ab cd -+-++=，则22220220a b c d ab cd ⎧-+-=⎨+=⎩，2222120z z -=-=，因此12=z z ，C 正确；对于D ，21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，则21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，因此1212z z z z ⋅=⋅，D 正确.故选：BCD11.已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则()()f x f y ≠.则（）A.()0f 的值为2B.()()4f x f x +-≥C.若()13f =，则()39f = D.若()410f =，则()24f -=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，令0x y ==，结合“若x y ≠，则()()f x f y ≠”即可判断；对于B ，由基本不等式相关推理结合()2040f =>即可判断；对于C ，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，由此即可判断；对于D ，令()1xf x =+，即可判断.【详解】对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+⎡⎤⎣⎦，解得()01f =或()02f =，若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，但这与②若x y ≠，则()()f x f y ≠矛盾，所以只能()02f =，故A 正确；对于B ，令y x =-，结合()02f =得，()()()()()()22f x f x f x f x f x f x ⎛⎫+-+-=⋅-≤ ⎪⎝⎭，解得()()4f x f x +-≥或()()0f x f x +-≤，又()02f =，所以()2040f =>，所以只能()()4f x f x +-≥，故B 正确；对于C ，若()13f =，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，所以()()121f x f x +=-，所以()()2161521f f =-=-=，所以()()21101932f f =-=-=，故C 正确；对于D ，取()1xf x =+，则()()11232xyx yx yf x f y +⎡⎤⎡⎤+++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⋅=⎣+⎦⎦()()()f x y f x f y +++=且()1xf x =+单调递增，满足()410f =，但()423f -=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是构造()1xf x =+，由此即可证伪.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合{}2,0,1M =-，{}1N x x a =-<，若M N ⋂的真子集的个数是1，则正实数a 的取值范围为______.【答案】()()0,11,3 【解析】【分析】分{}0M N = 和{}2M N = 讨论即可.【详解】{}1N x x a =-<，则11x a -<-<，解得11a x a -+<<+，若M N ⋂的真子集的个数是1，则M N ⋂中只含有一个元素，因为a 为正实数，则11a +>，11a -+>-，若{}0M N = ，则10120a a a -+<⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01a <<，若{}2M N = ，则012120a a a ≤-+<⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得13a <<，综上所述，a 的取值范围为()()0,11,3 .故答案为：()()0,11,3 .13.已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为4、6，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为______，外接球的半径为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】利用棱台的体积公式计算即可得第一空，根据棱台与球的特征结合勾股定理计算即可得第二空.【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：2212416,636S S ====，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()12176233V S S =++=；连接AC ，BD 交于点2O ，连接11A C ，11B D 交于点1O，如图所示：当外接球的球心O 在线段12O O 延长线上，设1OO h =，外接球半径为R，则(222O O h =-，因为12=O O ，上、下底面边长分别为4、6，则111112==D O B D 212DO BD ==，所以(22222112R D O h DO h h R =+=+-⇒==当外接球的球心O 在线段21O O 延长线上，显然不合题意；当球心O 在线段12O O 之间时，则)222O O h =，同上可得，h =故答案为：3.14.若sin 0αβγ+-=+-的最大值为______．【答案】【解析】≤=消去α、β求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得.【详解】由题意得：0sin 1αβγ≤+=≤，0α≥，0β≥，则()22αβαβαβαβ=+++++=+，当且仅当αβ=时等号成立，+≤=≤，则有0sin 10cos 1γγ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则π2π2π2k k γ≤≤+，Z k ∈,有sin γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，单调递增，cos γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递减，π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则当π2π2k γ=+时，即sin 1γ=、cos 0γ=时，，+-的最大值为..【点睛】本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将α、β消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.函数()e 2xf x ax a =--.（1）讨论函数的极值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下得到()f x '正负，进而得到()f x 单调性，由极值定义可求得结果；（2）由（1）可知()f x 单调性，分别讨论极小值大于零、等于零和小于零的情况，结合零点存在定理可得结论.【小问1详解】由题意得：()e 2xf x a '=-；当20a ≤，即0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，()f x \在R 上单调递增，无极值；当20a >，即0a >时，令()0f x '=，解得：ln 2x a =，∴当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f x \的极小值为()ln 22ln 2f a a a a =-，无极大值；综上所述：当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 极小值为2ln 2a a a -，无极大值.【小问2详解】由（1）知：当0a >时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增；当02a <<时，()ln 22ln 20f a a a a =->，()0f x ∴>恒成立，()f x 无零点；当a =时，()ln 22ln 20f a a a a =-=，()f x 有唯一零点ln 2x a =；当2a >时，()ln 22ln 20f a a a a =-<，又()010f a =->，当x 趋近于正无穷大时，()f x 也趋近于正无穷大，()f x \在()0,ln 2a 和()ln 2,a +∞上各存在一个零点，即()f x 有两个零点；综上所述：当e 02a <<时，()f x 无零点；当2a =时，()f x 有且仅有一个零点；当e 2a >时，()f x 有两个不同的零点.16.已知n 把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．（1）当12n =时，设两个人座位之间空了X 把椅子（以相隔位子少的情况计数），求X 的分布列及数学期望；（2）若另有m 把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅子坐下，若两人选择相邻座位的概率为114，求整数(),3,3m n m n >>的所有可能取值．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2511（2）9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）根据题意得到随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，并计算出相应的概率，列出分布列，利于期望公式计算即可；（2）利于概率求得两人选择相邻座位的概率，建立方程后依据条件可求得整数解即可.【小问1详解】由题意，得随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，其中()()21212220,1,2,3,4A 11P X i i ⨯====，()21212115A 11P X ⨯===，所以随机变量X 的分布列为：X012345P 211211************故()2222212501234511111111111111E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】记“两人选择n 把相同的椅子围成的圆环”为事件A ，“两人选择m 把相同的椅子围成的圆环”为事件B ，“两人选择相邻座位”为事件C ．因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，所以()()1111,2244P A P B =⨯==，()()()()()()()P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+()()12121114141211n m n n m m n m ⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪----⎝⎭．因为()114P C =，所以111117n m +=--．化简，得4988n m =+-．因为*3,3,m n n >>∈N ，所以498m ∈-Z ，且4958m >--．所以81,7,49m -=，即9,15,57m =，此时9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩所以,m n 的所有可能取值为9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，//EF 平面AB CD -，EAB 为等边三角形，22,60BC CE AB EF ABC ===∠=︒．（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面平面ECD 与平面FCD 的夹角的余弦值.【小问1详解】不妨设1AB =，则2BC CE ==，在平行四边形ABCD 中，2BC = ，1AB =，60ABC ∠=︒，连接AC ，由余弦定理得22212211cos 603AC =+-⨯⨯⨯︒=，即3AC =，222AC AB BC += ，AC AB ∴⊥.又 222AC AE CE +=，AC AE ∴⊥，AB AE A = ，AC ⊥平面EAB ，又 AC ⊂平面ABCD .∴平面EAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】取AB 中点G ，连接EG ，EA EB = ，EG AB ∴⊥，由（1）易知EG ⊥平面ABCD ，且32EG =.如图，以A 为原点，分别以射线,AB AC 所在直线为,x y 轴，竖直向上为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则1,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C，()D -，()12,B -，(11,C -，()1,0,0CD =- ，330,,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1322EC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面FCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n CD n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0022x y z -=⎧-=⎩，令1y =，得()0,1,1n = ，设平面ECD 的法向量为()111,,m x y z = ，则00m CD m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1111013022x x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令11y =，得()0,1,2m =，310cos ,10m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值31010.18.已知抛物线C ：22y px =（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若12344S S S S =，求直线AB 的方程.【答案】（1）22y x=（2）10x -=【解析】【分析】（1）结合抛物线定义即可.（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程联立得12y y +，12y y .将每条直线表达出来，1S 、2S 、3S 、4S 表达出来，再由12344S S S S =得出m 即可.【小问1详解】设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.【小问2详解】如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y==，∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==.又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，∴12342242S S S S m =+=，得m =，∴直线AB的方程为1x =+即10x ±-=.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。

2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（ ） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝ ＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限 则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中 侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形 则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球 其中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到两个同色球的概率是（ ） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立 则 A|x 1−x 2| 的最小值为（ ）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数 其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（ ） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合 舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内 设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中 评分在 [60,70) 内的为2人 评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中 这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立 消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立 即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。