高考数学模拟复习试卷试题模拟卷2302 14

2014届高三文科数学高考模拟（2）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

） ．BCD2.“x>2”是“（x －1）2>1”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 双曲线221169x y -=的离心率为（ ） A ．53 B ．54 C ．35 D ． 454．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上靠近B 的三等分点，则=（ ）． B．5．经过圆x 2﹣2x+y 2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（ ）6. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 为（ ） A ．55 B ．60 C ．65 D ．707．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若,//,//m n m n αα⊂则 ②若,//,m n m n αα⊥⊥则 ③若,,//m m αβαβ⊥⊥则 ④若//,//,//m n m n αα则 其中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 8.若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）A. 6+B.C. 6+D.9.设函数3()4(02)f x x x a a =-+<<有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<则下列结论 正确的是（ ）A .11x >-B .20x <C .201x <<D .32x > 10．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义 :若A={1，2}，B={x|（x 2+ax ）（x 2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a 的所有可能取值构二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．（5分）设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则= ．12．（5分）在△ABC 中，，AB=2，且△ABC 的面积为，则边BC 的长为 ．13.定义映射:f A B →，其中{}(,),A m n m n R =∈，B R =，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =，②若n m >，(,)0f m n =； ③[](1,)(,)(,1)f m n n f m n f m n +=+-，则(2,2)f = .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

2014年新课标高考数学全真模拟试卷二滨州 张正编辑本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 2． 若直线y x b =-+为函数1y =的一条切线，则实数b = ▲ ． 3． 若使“1x ≥”与“x a ≥”恰有一个成立的x 的取值范围为{}10x x <≤，则实数a 的值是▲ ．4． 已知点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB的长度大于1的概率为 ▲ ．5． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.566.5，）这组所对应的矩形的高为 ▲ ．6． 已知ππ2θ≤≤，且()sin π1θ=-，则cos θ= ▲ ． 7． 某圆锥的侧面展开图是半径为1cm 的半圆，则该圆锥的体积是 ▲ cm 3． 8． 对于定义在R 上的函数()f x ，下列正确的命题的序号是 ▲ ．①若(2)(1)f f >，则()f x 是R 上的单调增函数；②若(2)(1)f f >，则()f x 不是R 上的单调减函数；③若()f x 在区间(]0-∞，、()0+∞，上都是单调增函数，则()f x 一定是R 上的单调增函数．9． 给出下列等式：π2c o s 4，π2c os =，π2c os 16， ……请从中归纳出第n()n ∈*N 个等式：2222n +⋅⋅⋅+=个 ▲ ．10．已知电流(A)I 随时间(s)t 变化的关系式是sin [0)I A t t ω=∈+∞，，，设100π5A ω==，，则电流(A )I 首次达到峰值时t 的值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0 2)A ，，(2 0)B -，，(1 0)C ，，分别以△ABC 的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ▲ ．12．设x y ∈、(22)-，，且▲ ．13．已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆21y x +=的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为 ▲ ．14．已知λ为非零常数，数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，且20123a =，则1a = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知sin sin 1cos cos αβαβ+=+=, （1）求()cos αβ-的值； （2）求()cos αβ+的值．16．（本题满分14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，点M 为棱AB 的 中点，点N 为棱PC 上的点.（1）若PN NC =，求证：//MN 平面PAD ； （2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假. 若为真，请证明；若为假，请举反例. 17．（本题满分15分） 在平面直角坐标系xOy 中，设点( ) (0)A a b ab ≠，，点B 为直线l ：y bx =与抛物线C ：21x y ab =异于原点的另一交点． （第11题图）D N（第16题）PABCM（1）若a =1，b =2，求点B 的坐标；（2）若点A 在椭圆2214x y +=上，求证：点B 落在双曲线22441x y -=上；（3）若点B 始终落在曲线22()y c x d =-（其中c d 、为常数，且0c ≠）上，问动点A 的轨迹落在哪种二次曲线上？并说明理由． 18．（本题满分15分）如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层1111EFGH E FGH -转动α，如图乙，设α的对边长为x ． （1）试用α表示x ； （2）求魔方增加的表面积的最大值．19．（本题满分16分）设各项均为非负数的数列{}n a 的为前n 项和n n S na λ=（1a ≠2a ，λ∈R ）． （1）求实数λ的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（用2n a , 表示）．（3）证明：当2m l p+=（m l p ∈*N , , ）时，2m l p S S S ⋅≤．20．（本题满分16分）记定义在[]1 1-，上的函数2()f x x px q =++（p ，q ∈R ）的最大值、最小值分别为M 、N ，又记()h p M N =-．（1）当02p ≤≤时，求M 、N （用p 、q 表示），并证明()1h p ≥； （2）直接写出()h p 的解析式（不需给出演算步骤）；（3）在所有形如题设的函数()f x 中，求出所有这样的()f x 使得()f x 的最大值为最小．EFGH1E 1F（图甲） 1G 1H αE 'F 'GG 'E N Mx FH（图乙） H '试题Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，AT 为单位圆O 的切线，过切点T 引OA 的垂线TH ，H 为垂足． 求证：AO OH ⋅为定值．B ．（矩阵与变换）已知矩阵1221-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A ，515⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B 满足=AX B ，求矩阵X ．C ．（极坐标与参数方程）将参数方程1(e e )cos21(e e )sin 2t t t t x y θθ--⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，，（θ为参数，t 为常数）化为普通方程（结果可保留e ）．D ．（不等式选讲） 已知正实数a b c，，成等比数列，求证：2222()a b c a b c ++>-+．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所抽取的n 件产品中不合格品的个数． （1）若2n =，求X 的概率分布；（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．99.50）23．设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．（第21—A 题）（1）若d=3，试判断(mx 的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，(mx 的展开式中均不含常数项．2014年数学全真模拟试卷二参考答案1. 4；2. 2±；3. 0；4. 13；5. 15；6. 1-；7. ；8. ②；9. 12cos n +π2； 10. 1200； 11. 4140x y +-=； 12. 125； 13. 2225x y +=； 14.3．答案解析1．()(12)(40)4a ab ==⋅-⋅=，，；2. 由211y x '=-=-得1x =±，故切点为(1 1)，或(1 1)--，，代入y x b =-+得2b =±；3. 易得0a =；4. “劣弧AB 的长度大于1”的概率等于13；5. 落在区间[64.566.5，）的数据依次为65，66，66，65，共4个，则矩形的高等于4110==66.5-64.55频率组距；6. 法 1 由ππ2θ≤≤得π5366θππ-≤≤，且()s i n π162θ=-，所以π5266θππ<-≤，则()c o s π6θ=-，此时()cos cos ππ1116622θθ==⎡⎤-+-⨯=-⎢⎥⎣⎦；法2由ππ2θ≤≤得π5θππ-≤≤，且()sin π1θ=-，所以π5θπ-=，则cos cos 1θ==π-；7. 设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则由2πr =π得12r =，h ==，所以该圆锥体积()21V 1=π⨯；8. 对于①：不符合单调增函数的定义；②正确；对于③：注意在0x =处，若函数()f x 不连续时该命题就不一定正确；9. 易得第n()n ∈*N 个等式：2222n +⋅⋅⋅+=个12cos n +π2；10. 易得周期2150T π==200π，则函数sin [0)I A t t ϖ=∈+∞，，首次达到峰值时14200T t ==； 11. 易得(2 4) (2 3)F H -，，，，则直线FH 的方程为4140x y +-=； 12. 易得()()()()()()2222222222499472944949493794y x xy x y x y xy -+--++==-----+，设2294t x y =+，则t ≥12=（当且仅当2294x y =时等号成立），则原式723512137375t t t-==+--≥（当且仅当12t =时等号成立）；13. 易得椭圆221169y x +=的外切矩形的四个顶点()4 3±±，必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形的外接圆，方程为2225x y +=，可以验证过该圆上除点()4 3±±，的任意一点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆221y x +=的交点都各只有一个；14. 因为数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，所以()()()211222nn n a a a λλλ-++=++且211n n n a a a -+=，得112n n n a a a -+=+，故数列{}n a 也为等差数列，不难得数列{}n a为非零常数列，则120123a a ==．15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力．（1）因为sin sin 1αβ+=①， c o s c o s 3αβ+=②，②2+①2得2222sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 4ααββααββ+++++=，（3分）即2+2()cos 4αβ-=， 所以()cos 1αβ-=；（6分）（2）②2-①2得2222cos sin 2cos cos 2sin sin cos sin 2αααβαβββ-+-+-=即cos 22cos()cos 22ααββ+++=，（8分） 故[][]cos ()()2cos()cos ()()2αβαβαβαβαβ++-++++--=，（12分）化简得cos()cos()cos()1αβαβαβ+-++=， 由（1）得1cos()αβ+=. （14分） 16．命题立意：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．【证明】（1）延长CM ，DA 交于点Q ，连结PQ ，因为点N 为线段PC 上的点， 且PN NC =，所以点N 为线段PC 的中点， 又点M 为线段AB 的中点，所以//MN PQ ，（3分） 又MN ⊄平面PAD ， PQ ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .（6分） （2）（1）的逆命题为：若//MN 平面PAD ， 则PN NC =（真命题），（8分）下证之： 因为//MN 平面PAD ， MN ⊂平面PQC ， 平面PAD平面PQC PQ =，所以//MN PQ ，（12分）在PQC ∆中，点M 为线段AB 的中点，点N 为线段PC 上的点， 所以，点N 为线段PC 的中点.（14分）17．命题立意：本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解与探 D N（第16题图）P ABCM Q究能力．解：（1）由y bx =与则21x y =联立方程组得()1 b B a a ，， 又a =1，b =2，则()1 2B ，；（3分）（2）将( ) (0)A a b ab ≠，代入椭圆2214x y +=得2214a b +=，将()1 b B a a ，代入()()22222211444441bb x y a aa --=-=⨯=，即证；（7分）（3）将()1 b B a a ，代入22()y c x d =-（其中c d 、为常数，0c ≠）得()()212b c d aa =-，()0c ≠，① 若0d =，则22b ca =，()0c ≠，所以点A 的轨迹落在抛物线上；（9分）若0d ≠，则()222121124a d b cdd-+=()0c ≠， ②若1cd =，则点A 的轨迹落在圆上；（11分）③若0cd >，且12cd ≠，则点A 的轨迹落在椭圆上；（13分）④若0cd <，则点A 的轨迹落在双曲线上.（15分）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）由题意得3sin tan x x x αα++=，解得()3sin 0 1sin cos x ααααπ=∈++2，，，（6分）（2）魔方增加的表面积为28tan xS α=⋅， 由（1）得()272sin cos 0 (1sin cos )S αααααπ=∈2++，，，（10分）令()(sin cos 1t t αααπ=+=+∈4，，则()()(2236123613611081(1)t S t t -==-⨯=-++≤（当且仅当t 即απ=4时等号成立），答：当απ=4时，魔方增加的表面积最大为108-（15分）19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力． 解：（1）当1n =时，11a a λ=，所以1λ=或10a =，（2分）若1λ=，则n n S na =，取2n =得1222a a a +=，即12a a =，这与1a ≠2a 矛盾；所以10a =，取2n =得1222a a a λ+=，又1a ≠2a ，故20a ≠，所以12λ=，（4分）（2）记1n nS na =①，则111(1)2n n S n a --=- ()2n ≥②，①-②得111(1)22n n n a na n a -=-- ()2n ≥，又数列{}n a 各项均为非负数，且10a =，所以112nn a n a n --=-()3n ≥，（6分）则354234123411222n n a a aa n a a a a n --⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即()21n a a n =-()3n ≥， 当1n =或2n =时，()21n a a n =-也适合，所以()21n a a n =-；（10分） （3）因为()21n a a n =-，所以2(1)2n n n S a -=()20a ≠，又2m l p +=（m l p ∈*N ,, ） 则[]{}2222(1)(1)(1)pm n a S S S p p m m l l -=----[]{}222(1)(1)(1)a p p m m l l =----()2222(1)(1)422a m l m l ml m l ⎧⎫⎡⎤⎪⎪++=----⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭(222(1)(1)4a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦≥（当且仅当m l =时等号成立）(222(1)(1)a ml ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=)2221(1)(1)4aml m l⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=()224aml m l⎡+-⎣=≥（当且仅当m l=时等号成立）所以2m l pS S S⋅≤.（16分）20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活运用数形结合思想、分类讨论思想进行推理论证的综合能力．解：（1）当02p≤≤时，函数2()f x x px q=++的对称轴为[]1 02px=-∈-，，所以(1)1M f p q==++，()224p pN f q=-=-，此时，()2()112ph p M N=-=+≥；（3分）（2）由（1）同理可得，()()22221202()102222p ppph pppp p--⎧⎪⎪--<<⎪=⎨⎪+⎪⎪>⎩≤≤≤，，，，，，，，（6分）（3）记max()f xλ=，下证：1λ≥，且inf1λ=，所求函数21()f x x=-，（8分）①若12p->，即2p>时，则{}max(1)(1)f fλ=-，，所以2(1)(1)(1)(1)24f f f f pλ---=>≥+≥，即12λ>≥；（10分）②若12p-≤，即2p≤时，则()max(1)(1)2pf f fλ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，，，o1若12q-≤时，则()21242p pf q q-=--≥≥，所以12λ≥（当且仅当p = 0，12q=时等号成立）；（12分）o2若1q>-时，则(1)(1)(1)(1)221f f f f q->-+=+>+，所以(1) (1)f f -，中至少有一个大于12，即12λ>，（14分）由o1o2得，12λ≥，且inf 12λ=，此时21()2f x x =-，综上所述，所有形如题设的函数21()2f x x =-即为所求.（16分） 21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力． 证明：因为AT 为圆O 的切线，TH 为OA 的垂线， 所以ATH TOH ∠=∠，（3分）故直角三角形ATO 相似于直角三角形THO ，（6分） 则OH OTOT OA =，即21AO OH OT ⋅==，即证.（10分）B ．命题立意：本题主要考查矩阵的乘法，考查运算求解能力． 解：设X a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25 215 a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，（7分） 解得7 1 a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（10分）C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力． 解：当t =0时，y =0，x =cos θ，即y =0，且11x -≤≤；（2分）当t ≠0时，cos sin 11(e e )(e e )t t t t y x θθ--==+-，，所以2222111(e e )(e e )44t t t t y x --+=+-.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为正实数a b c ，，成等比数列，所以2b ac =，即有2a c b +=≥（当且仅当a c =时等号成立），（4分） 则[][]22222()()2()2()20a b c a b c b a c ac b a c b b ++--+=+-=+->≥，即证2222()a b c a b c ++>-+.（10分）22．命题立意：本题主要考查概率分布等基础知识，考查运算求解能力．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所抽取的n 件产品中不合格品的个数．（1）若2n =，求X 的概率分布；（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．99.50） 解：（1）当2n =时，~(2 3 100)X H ，，， 则203972100C C1(0)1650C P X ===，113972100C C 97(1)1650C P X ===，023972100C C1552(2)1650C P X ===，所以，X 的概率分布为：（5分）（2）1X =的概率为11397100C C (99)(100)(1)323400C n nn n n P X ---===，199n ≤≤，且*n ∈N （7分）记函数()(99)(100)f n n n n =--，则由2()339899000f n n n '=-+=得1 2n ，，99.50≈知133.17n ≈或299.50n ≈， 而(33)(34)336667346566660f f -=⨯⨯-⨯⨯=>，结合函数()f n 的图象性质可知，当33n =时，1X =的概率取得最大值．（10分）23．命题立意：本题主要考查二项式定理，考查探究与推理论证的综合能力． （1）解：因为{}n a是首项为1，公差为3的等差数列，所以32n a n =-．（2分）假设(mx 的展开式中的第r+1项为常数项（r ∈N ），321C C rm rr m r r r mm T xx--+==⋅，于是30m r -=.设32m n =-()*n ∈N ，则有3322n r -=，即423r n =-，这与r ∈N 矛盾. 所以假设不成立，即(mx 的展开式中不含常数项. （5分）（2）证明：由题设知an=1(1)n d +-，设m=1(1)n d +-，由（1）知，要使对于一切m ，(mx 的展开式中均不含常数项，必须有：对于*n ∈N ，满足31(1)2n d r+--=0的r 无自然数解， 即22(1)33d r n =-+∉N . （8分） 当d=3k ()*k ∈N 时，222(1)2(1)333d r n k n =-+=-+∉N .故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，(mx 的展开式中均不含常数项．（10分）。

黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期高考数学模拟试题（二模）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为整数集，，则（ ）U {}2Z 4A x x =∈>U A =ðA ．B ．C ．D ．{}0,1{}1,0,1,2-{}0,1,2{}2,1,0,1,2--2．若，则（ ）i i z z =+·z z =A ．B ．1C ．2D ．4123．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（ ）75%A ．16B ．17C ．23D ．244．在中，，，则（ ）ABC 2sin 3sin A B =2AB AC =cos C =A ．B ．C ．D ．1212-1414-5．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五60C 边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ）,,A B C ⋅=AB AC14．设为双曲线A Γ:x a 满足，4BC AC =AC =四、解答题：本题共515．已知不透明的袋子中装有中无放回地随机取球，每次取一个．【详解】当时，，单调递增，()1,x ∈-+∞()0P x '>()P x ，()()11e P x P ∴≥-=-，()1e e x f x x ∴≥≥-故选：B ．8．A【分析】利用累乘法，则得到规律，则求出，根据即可513a a =-41433k k a a +-=-50620253a =202520243a a =求出.2024a 【详解】，，()121π12cos 12a a =-+=-()23212cos π1a a =-+=-，，()3433π12cos 12a a =-+=-()45412cos2π3a a =-+=所以，53524112343a a a a a a a a a a =⨯⨯⨯=-同理可得，，．，953a a =-⋅⋅⋅41433k k a a +-=-因为，所以，则，202514506=+⨯()5065062025133a a =-=50620253a =因为，所以，()2024202520241cos1012π3a a =-+=50520243a =故选：A ．关键点点睛：本题的关键是得到，则得到，最后根据即可得到41433k k a a +-=-50620253a =202520243a a =答案.9．BD【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的性质逐项分()π2sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭析判断.【详解】由题意可得：【详解】，所以，A 选项正确；0102p+-=2p =设，将抛物线与直线联立，得，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2:4C y x =:10l x y +-=()241y y =-即.2440y y +-=所以由韦达定理得，，，B 选项错误；124y y +=-124y y =-22121236116641y y OA OB y y -⋅=-=+= 由直线的斜率为，知其倾斜角为，AB 1-3π4故，222212121212123πtan 24AB y y y y y y y y y y ⎛⎫=-+-=-+-=- ⎪⎝⎭所以，C 选项正确；()2121212224216448AB y y y y y y =-=+-=+⨯=设的坐标为，到直线的距离为，则的面积.D ()24,4t t D AB L ABD △142S AB L L =⋅⋅=从而的面积为当且仅当.ABD △422L =另一方面，直线的方程是，由点到直线的距离公式，AB 10x y +-=知到直线的距离.D AB 2222441441211t t t t L +-+-==+所以当且仅当，即.2L =24412t t +-=()2244140tt +--=而我们有()224414tt +--()()22443441t t t t =+-++()()2221214t t ⎡⎤=++-⎣⎦()()()2212123t t t =+-+.211316222t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故满足条件的恰有三个.t 113,,222--设水晶球的半径为，则r 设圆台的高为，则h 7π又因为水晶球球心到圆台上底面的距离所以该奖杯的高为h r +期望的定义求出期望即可.【详解】（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”．A 设事件为“第一次取出了黑球，第二次取出了白球”，则，B ()4246515P B =⨯=事件为“第一次取出了白球，第二次取出了黑球”，则，C ()2446515P C =⨯=因为事件与不能同时发生，故它们互斥．B C 所以，()()()()815P A P B C P B P C =+=+=所以前两次取出的球颜色不同的概率为；815（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，X 若第二次取出了全部白球，则只有两种取法（取决于2个白球取出的先后顺序），故，()2126515P X ===⨯若第三次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有2种可能，取出的那个黑球有4种可能，故．()2242365415P X ⨯⨯===⨯⨯若第四次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有3种可能，取出的另外2个黑球有种组合，它们又有2种排列方式，24C 6=故，()23621465435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯若第五次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有4种可能，取出的另外3个黑球有种组合，它们又有种排列方式，34C 4=3!6=故，()2446456543215P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯若第六次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有5种可能，取出的另外4个黑球只有1种组合，它们有种排列方式，4!24=故．()25124166543213P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯所以的分布列为X X23456P1152151541513设平面的法向量为，则PBC (),,m x y z =，即，·0·0m PB m PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 3332640x y z x z -++=-+=令，则，，故．2x =0y =3z =()2,0,3m =显然平面的一个法向量为.ABE ()1,0,0n =而，2213cos ,13131m nm n m n ⋅===⨯故平面与平面夹角的余弦值为．PBC ABE 2131317．(1)()12n n a -=-(2)36355.5T =【分析】（1）运用求解即可.11, 1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）依题意可知，插入数列后，与所构成的数列为，，，，，，{}n b {}n a {}n b 1a 1b 2a 2b 3b 3a ，，，，结合等差数列前n 项和公式及错位相减法求和即可求得结果.4b 5b 6b 4a L 【详解】（1）当时，，所以，1n =11321S a =+11a =当时，，即，2n ≥1133322n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=-所以，()12n n a -=-当时，符合，1n =()12n n a -=-所以；()12n n a -=-（2）依题意，，1212a a b +=，2323233222422a a a a b b a a +++=⨯--=，33453446433522a a a a b b b a a ++++=⨯--=︙．898929303689881022a a a a b b b a a ++++⋅⋅⋅+=⨯--=所以，1237893635131582a a a a a a T +++⋅⋅⋅++=即，①()()()()()()0126783622325213215282T =-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-则，②()()()()()()1237893642325213215282T -=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-+-由①②可得，-()()()()()()()()71788983621262222282152821292213312T ⎡⎤---⎣⎦=-+-+⋅⋅⋅+-+-----=+⨯+⨯=--，所以．36355.5T =18．(1)10x y --=(2)证明见解析【分析】（1）求导可得斜率，结合点斜式方程求解即可.（2）求，运用放缩可得，设，求导()g x '1ln 1x x +≥()e e sin x x g x x -≥-+'()e e sin x x h x x -=-+可得，结合基本不等式可得，从而可得单调性，进而可证得结果.()h x'()0h x '≥()g x 【详解】（1）解：当时，，则，2a =()12ln x f x x x -=+()1112ln101f -=+=又，所以，即，()222121x f x x x x -'=-=()211111f ⨯-'==()11k f '==所以在点处的切线方程为，即；()1,01y x =-10x y --=（2）证明：设（），则，()()e ln 1e cos x x g x x x-=++-0x ≥()00g =，()()1e ln 1e sin 1x x g x x xx -⎡⎤=++-+⎢⎥+⎣⎦'设，则，()1ln H x x x =+()22111x H x x x x ='-=-当时，，单调递减，()0,1x ∈()0H x '<()H x 当时，，单调递增，()1,x ∈+∞()0H x '>()H x ，()()1ln111H x H ∴≥=+=恒成立，1ln 1x x ∴+≥由可知，1ln 1x x +≥()1ln 111x x ++≥+所以（），()e e sin x x g x x-≥-+'0x ≥设（），则，()e e sin x x h x x-=-+0x ≥()00h =，()e e cos 2e e 110x x x x h x x --=++≥⋅-=>'所以当时，，单调递增，，[)0,x ∈+∞()0h x '≥()h x ()()()00g x h x h ≥'≥=所以单调递增，，()g x ()()00g x g ≥=所以．()e ln 1e cos 0x x x x -++-≥方法点睛：运用导数证明不等式常见方法：（1）将不等式转化为函数的最值问题：待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较：若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与ex ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．（3）适当放缩证明不等式：导数方法证明不等式中，最常见的是和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可e xln x 以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式e xln x 如下：(1) ，当且仅当时取等号．(2)，当且仅当时取等号．e 1xx ≥+0x =ln 1≤-x x 1x =19．(1)63(2)11,82⎛⎫ ⎪⎝⎭由题意知，，设(,0)A a -P 代入椭圆方程，可得222a a ⎛⎫⎪⎝⎭设点，直线方程为()11,P x y PA 联立直线方程与椭圆方程可得整理可得，解得，()2220x a x a x a k a b -+⎛⎫++= ⎪⎝⎭2321222ab a k x a k b -=+所以，()22222111222121ab PA x a y k x a k a k b =++=++=++将替换为，同理可得，，k 1k -2222221ab k QA k a b k =++由，可得，tan 8PQA ∠=()2222228PAa b k QA k a k b +==+整理得，()3222810,1,88k b k k k a -=∈≠-由，解得或，()()3322181088k k k k k k--=>--8k >102k <<，即，解得或，328118k k k -<-()()2218108k k k k +-<-188k <<0k <故解集为.3281018k k k -<<-11{|}82k k <<综上所述，的取值范围为．k 11,82⎛⎫ ⎪⎝⎭。

吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设集合}06|{2≤--=x x x A ，集合}40|{<<=x x B ，则=B A A ．}20|{≤<x x B ．}30|{≤<x xC ．}42|{<≤-x x D ．}43|{<≤-x x 2．在25个互不相等的数据中，记上四分位数为a ，中位数为b ，第75百分位数为c ，则A ．c b a <<B ．b c a <=C ．ab c <<D ．ca b =<3．已知等差数列}{n a 满足4852=++a a a ，前n 项和为n S ，则=9S A ．8B ．12C ．16D ．244．已知函数xax x f +=)()(R a ∈，则)(x f 的图象不可能是A ．B ．C ．D ．5．过点)0,0(与圆042422=+--+y x y x 相切的两条直线夹角为α，则=αcos xOyxOyxO yxOyA ．53B ．54C ．55D ．5526．如图，位于某海域A 处的甲船获悉，在其北偏东︒60方向C 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东︒51，且与甲船相距mile n 2的B 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为A ．mile n 2B ．mile n 2C ．mile n 22D ．milen 237．已知函数1)14()(22-+-+=x x log x f x，则关于x 的不等式)2()2(x f x f >+的解集为A ．)232(-B ．)2,21[32,1( --C ．)2,21[]21,32( --D ．)2,21[]21,1( --8．已知双曲线)0,0(1 2222>>=-b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ，左、右顶点分别为21,A A ，以21F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P ，且321π=∠A PA ，则双曲线C 的离心率为A ．332B ．2C ．321D ．13二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．CB ︒60︒15A北9．已知复数i z +=1，则A ．2||=zB ．2=⋅z zC ．1)1(2024-=-z D ．若关于x 的方程022=+-ax x ),(R a C x ∈∈的一个根为z ，则2=a 10．已知n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，且α⊥m ，β//n ，则A ．若n m //，则βα⊥B ．若β//m ，则n m ⊥C ．若β⊥m ，则nm ⊥D ．若n m //，则β//m 11．已知函数)2000)(()(π,,ωA ωx Asin x f <<>>+=ϕϕ的部分图象如图所示，则A ．3π=ϕB ．函数)(x f 在2,12(ππ上单调递减C ．方程1)(=x f 的解集为},12{Z k πkπx|x ∈-=D ．6π-=θ是函数)(θ+=x f y 是奇函数的充分不必要条件12．已知平面向量a ，b ，c ，32||=a ，6||=b ，18=⋅b a ，且60,>=--<c b c a ，则A ．a 与b 的夹角为30B ．)()(c b c a -⋅-的最大值为5C ．||c 的最小值为2D ．若),(R y x b y a x c ∈+=，则y x +21的取值范围是]67,31[三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．高三数学试题第4页（共8页）13．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”．亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的概率为．14．如图，M 是抛物线)0(22>=p px y 上的一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角︒=∠60xFM ，且8||=FM ，则=p ．15．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．右面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中21==AA AB ，411=B A ，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的体积为；Ω的外接球的表面积为．16．若实数0x 满足)()(00x g x f --=，则称0x 为函数)(x f y =与)(x g y =的“关联数”．若,0()(>=a a x f x且)1≠a 与2)(x x g -=在实数集R 上有且只有3个“关联数”，则实数a 的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从B A ,两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同20天的观测数据，得到B A ,两小区的同日室温平均值如下图所示：FxO yM18．（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -中，311π=∠=∠CAA ABB ，21===AA AC AB ，F E ,分别为11,AA C B 中点，且AC F B ⊥1．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角C ,B ,A 的对边分别为c ,b ,a ，ABC ∆的外接圆半径为3，且A sin sinBsinC C sin B sin 222=-+．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求ABC ∆的内切圆半径r 的取值范围．20．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）设21F ,F 分别为椭圆0)(1 2222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知21ΔF PF 的面积为2，3121=∠PF F cos ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，G ,N ,M 是椭圆上不重合的三点，原点O 是MNG Δ的重心．（ⅰ）当直线NG 垂直于x 轴时，求点M 到直线NG 的距离；（ⅱ）求点M 到直线NG 的距离的最大值．22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，OAB Rt ∆的直角顶点A 在x 轴上，另一个顶点B 在函数xlnxx f =)(的图象上．（Ⅰ）当顶点B 在x 轴上方时，求OAB Rt Δ以x 轴为旋转轴，边AB 和边OB 旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；（Ⅱ）已知函数xax ex e x g ax 1)(22-+-=，关于x 的方程)()(x g x f =有两个不等实根21,x x )(21x x <.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：ex x 22221>+.xOyMNG吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．12345678CDBDABCD二、多项选择题：本大题共4小题，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．13．10914．415．3228；π4016．12<<-a ee或eea 21<<（注：16题或写成1{2<<-a e |a e或}12ee a <<，或写成)(1,)1 ,(22eee e -）四、解答题17．【解析】（Ⅰ）A 小区当年随机抽取的20天数据中，供热等级达到“舒适”的有15天，所以可以估计A 小区一天中供热等级达到“舒适”的概率为432015=，··················································2分那么，在当年的供热期内，A 小区供热等级达到“舒适”的天数约为12943172=⨯天········································3分9101112BDACABDACD（Ⅱ）由题意，样本空间Ω中共有20个样本点，设21,x x 表示B A ,两小区室内温度，用),(21x x 表示可能的结果.)}20,24(),20,23(),20,21(),19,24(),19,22(),19,21{(=C ，6)(=C n ，所以，事件C 的概率103206)()()(===Ωn C n C P .··················································6分（Ⅲ）（选择A ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择A 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区室温大于B 小区室温的有14天，B 小区室温大于A 小区室温的有5天，由此可以估计，每天A 小区室温大于B 小区室温的概率为1071=P ，B 小区室温大于A 小区室温的概率为412=P ，2P 远远小于1P ；②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A 05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，B A T T >；③在随机抽取的20天中，B 小区供热等级达到“舒适”的天数为9天，远小于A 小区供热等级达到“舒适”的天数；④A 小区室温中位数为C Z A 5.22=，B 小区室温中位数为C Z B 20=，B A Z Z >10分（选择B ）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择B 小区，理由如下：①在20天的数据中，A 小区中存在供热不达标的情况，而B 小区供热等级全部达标.②随机抽取的20天中，A 小区室温平均数为C T A05.22=，B 小区室温平均数为C T B 7.20=，在B A T T ,全部达标的情况下，A 小区室温方差大于B 小区室温方差，B 小区室温波动较小，说明B 小区供热更加稳定.（A 小区室温方差为84.7≈2A s ，B 小区室温方差为01.4≈2B s ，以上数值仅作参考，不要求计算方差具体值）.·····························10分赋分说明：①只做判断没能说明理由的不给分；②给出一个正确理由的给3分，给出两个及以上正确理由的给4分；③除以上理由外，其它符合统计概率知识的判断依据都可酌情给分.18．【解析】（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连接EG AG ,，E 为C B 1中点，1//BB GE ∴，121BB GE =，在三棱柱111C B A ABC -中，111,//AA BB AA =F 为1AA 中点，AF GE AF GE =∴,//，∴四边形AGEF 为平行四边形，GA EF //∴，又⊂GA 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC .··································5分（Ⅱ）解：在平行四边形11A ABB 中，3,11π=∠=ABB AA AB ,∴平行四边形11A ABB 为菱形，连接1AB ，则11ΔB AA 为正三角形，F 为1AA 中点，11AA F B ⊥∴，同理可证1AA CF ⊥，又AC F B ⊥1，A AA AC =1 ，⊥∴F B 1平面CC AA 11∴以F 为原点，FC FB FA ,,1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Fxyz ，)23,23,0(),3,0,0(),0,3,0(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,0(1E C B B A F ∴，)23,23,1(),3,0,1(),0,3,1(-=-==∴AE AC AB ，··································8分设),,(z y x n =是平面ABC 的法向量，F EA1A CB1B 1C xyz则ACnABn⊥⊥,，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅∴,03,03zxACnyxABn⎩⎨⎧=-=∴,3,3zxyx取1=z，则1,3-==yx，)1,1,3(-=∴n是平面ABC的一个法向量，565210123)1(2331||||,-=⨯⨯+-⨯+⨯-=>=<∴nAEnAEnAEcos，设直线AE与平面ABC所成角为θ，则56|,|=><=nAEcossinθ，即直线AE与平面ABC所成角的正弦值为56.··················································12分19．【解析】（Ⅰ）AsinsinBsinCCsinBsin222=-+由正弦定理可得bcacbabccb=-+∴=-+222222由余弦定理得2122222==-+=bcbcbcacbcosA3),0(ππ=∴∈AA······················································································5分设ABCΔ外接圆半径为R，则3=R，由正弦定理得323322=⨯==RsinAa····················································································································6分注意：求角未写范围扣1分.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3,3π==Aa由余弦定理Acosbccba2222-+=得32922πcosbccb-+=bccb3)(92-+=∴4)(39)(322cbcbbc+≤-+=36)(2≤+∴cb acb>+63≤+<∴cb.当且仅当3==cb时取等号 (8)分又由等面积法可知r c b a bcsinA )(2121++=cb a bc r ++=∴2339)(2-+=c b bc ，)3(63339)(232-+=++-+⨯=∴c b c b c b r ····························10分23)3(630,330≤-+<∴≤-+<c b c b r ∴的取值范围为230(，···············································································12分20．【解析】（Ⅰ）42=a ··········································································································1分93=a ··········································································································2分（Ⅱ）由22221ππn sinn cosa a n n +-=+，可得22221ππn sina n cos a n n +=++即）（）（）（*1,2222221N n n sin a n sin a n sin a n n n ∈+=+=+++πππ·····················4分又因为0221≠=+πsina 所以2{πn sin a n +是首项为2，公比为2的等比数列············································5分所以n n n sin a 22=+π，即*22N n n sin a n n ∈-=，π·········································6分（Ⅲ）)( 2)2(*N n n nsin a n n n ∈-=-，π·····································································7分①当)( 4*N k k n ∈=，时，[]0)1(0)3()0705()0301(+-++--+⋯++++-++++-=n n T n 22224n n=+⋯++=个令20242==mT m，得4048=m······································································8分②当)(,14*Nkkn∈-=时，[]nnT n++--+⋯+++-+++-+++-=0)2()1190()750(3121222243+=+⋯+++=-nn个令202421=+=mT m，得4047=m································································9分③当)(24*Nkkn∈-=，时，[]0)1()2()097()053(1+--+-+⋯++-+++-+++-=nnT n2221)2()2()2(142nnn-=---=-+⋯+-+-+-=-令20242=-=mT m，得4048-=m舍去··························································10分④当)(34*Nkkn∈-=，时，))2(0()970()530(1nnT n-+-++⋯+-+++-+++-=21211)2()2()2(141+-=---=-+⋯+-+-+-=-nnn个令202421=+-=mT m，得4049-=m舍去······················································11分综上：4048=m或4047··············································································12分21．【解析】（Ⅰ）由题可知222121Δ==⨯⨯=bcbcS FPF····························································1分3112222221=-∠=∠=∠OPF cos OPF cos PF F cos 362=∠∴OPF cos 在2OPF Rt ∆中，362==∠a b OPF cos ·····························································2分222c b a += ································································································3分解得1,2,3===c b a 即椭圆C 的标准方程为12322=+y x ···································································4分（Ⅱ）（ⅰ）当NG 垂直于x 轴时，点M 为椭圆C 的左顶点或右顶点，此时3==a OM ，O 是MNG ∆重心，设线段NG 的中点为D则2321==OM OD M ∴到直线NG 的距离是2333=OD ·······················6分（ii ）当NG 斜率存在时，设直线NG 方程为)0(≠+=t t kx y 设),(11y x N ，()22,y x G ，)(33y ,x M 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12322y x t kx y 消去y 得：0636)3(2222=-+++t ktx x k 02)24(322>+-=∆t k ，则2223t k >+由韦达定理得221326k kt x x +-=+，22213263k t x x +-=··········································7分O 是MNG Δ重心，2213326)(k ktx x x +=+-=∴222212133242326]2)([)(k tt k t k t x x k y y y +-=-+=++-=+-=∴M在椭圆C上1)322(61)323(632222222=+++∴ktkt k即2222)326()32(24kkt+=+0322>+k22324kt+=∴222324tkt>+=，符合0>∆tkkktx2332623=+=∴，tkty132423-=+-=······················································8分设1,23(ttkM-到直线NG：0=+-tykx的距离为d2222222221433143313k12223k1123tttktttktttkd+=+=+=+++=+++=·················10分232422≥+=kt212≥∴t233223<≤∴d················································11分由（i）知，当NG垂直于x轴时，M到直线NG的距离为233.综上所述，M到直线NG的距离取值范围为233,223[.故M到直线NG的距离的最大值为233···························································12分22．【解析】（Ⅰ）设)0,(xA，则1),,(>xxlnxxB则xxlnxxlnxOAABV3)(3||||31222πππ=⋅⋅=⋅⋅=···············································2分令xxlnxh2)(=，1>x则2)2()(xlnxlnxxh-=',令0)(='x h ，2e x =；令0)(>'x h ，21e x <<；令0)(<'x h ，2ex >故)(x h 在),1(2e 单调递增，在)(2∞+，e 单调递减.故224)()(e e h x h max ==，故234)(3e x h V maxmax ππ==···········································4分（Ⅱ）(ⅰ)由)()(x g x f =得lnx ax ex eax =-+-122，即)(22ex ln ex ax e ax +=+令x e x x+=)(ϕ，则)]([)(2ex ln ax ϕϕ=，又11)(>+='xe x ϕ，故)(x ϕ在R 上单调递增，故)(2ex ln ax =在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，············································5分即21xlnx a +=在)0(∞+，上有两个不等实根21x x ，令21)(x lnx x F +=，312)(x lnx x F --='，令0)(='x F ，21-=e x ；令0)(>'x F ，210-<<ex ；令0)(<'x F ，21->ex 故)(x F 在),0(21-e单调递增，在),(21+∞-e 单调递减.故2)()(21e eF x F max ==-又0)1(=eF ，当+→0x 时，-∞→+1lnx ，02→x -∞→∴)(x F ；当+∞→x 时，+∞→+1lnx ，+∞→2x ，与对数函数相比，二次函数增长速度更快，→∴)x (F 故当且仅当20ea <<时，直线a y =与)(x F y =图象有两个不同公共点，故实数a 的取值范围是2,0(e .············································································8分（ⅱ）由(ⅰ)知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22212111lnx ax lnx ax ，两式作差得212221lnx lnx ax ax -=-，即alnx lnx x x 2122212221=--，··················································································9分令1)1(2)(+--=x x lnx x G ，1>x ，则0)1()1()1(41)(222>+-=+-='x x x x x x G 故)(x G 在),1(+∞单调递增，故0)1()(=>G x G ，即当1>x 时，1)1(2+->x x lnx ，又012>>x x ，故1)1(2212221222122+->x x x xx x ln 故2221222122212lnx lnx x x x x -->+···········································································11分故a x x 2122221>+，由(ⅰ)知20e a <<，故ex x 122221>+，即e x x 22221>+·········12分。