2019-2020学年贵州省贵阳市高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年贵州省贵阳市高一(下)期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 观察下列各式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，则72016的末两位数字为( )．

A. 49 B. 43 C. 07 D. 01

2. 直线在轴上的截距为( )

A. B. C. D.

3. 已知△𝐴𝐵𝐶中，sinA：sinB：𝑠𝑖𝑛𝐶=1：√3：2.则A：B：C等于( )

A. 1：2：3 B. 2：3：1 C. 1：3：2 D. 3：1：2

4. 在空间直角坐标系中，点𝑃(−1,2，3)关于平面yOz对称的点的坐标为( )

A. (−1,−2,3) B. (−1,−2,−3) C. (1,2，3) D. (1,2，−3)

5. 已知a，b，c是任意实数，𝑎>𝑏，且𝑎𝑏≠0，则下列结论不正确的是( )

A. 𝑎𝑐2+1>𝑏𝑐2+1 B. 𝑎3>𝑏3 C. 𝑎−𝑏𝑎2𝑏2>0 D. 𝑎2>𝑏2

6. 四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的所有顶点都在半径为√6的球上，四边形ABCD是正方形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，当△𝑃𝐴𝐵面积最大时，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积为( )

A. 8√3 B. √3 C. √6 D. 4√3

7. 已知圆C经过𝐴(5,2)，𝐵(−1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是( )

A. (𝑥−2)2+𝑦2=13 B. (𝑥+2)2+𝑦2=17

C. (𝑥+1)2+𝑦2=40 D. (𝑥−1)2+𝑦2=20

8. 设l，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列说法正确的是( )

A. 若𝑙⊥𝑚，𝑚⊂，则𝑙⊥𝑎 B. 若𝑙⊥𝑎，𝑙//𝑚，则𝑚⊥𝑎

C. 若𝑙//𝑎，𝑚⊂𝑎，则𝑙//𝑚 D. 若𝑙//𝑎，𝑚//𝑎，则𝑙//𝑚

9. 一个圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设圆柱的侧面积为𝑆1，球的表面积为𝑆2，则𝑆1𝑆2=( )

A. 12 B. 23 C. 34 D. 1

10. 已知函数𝑔(𝑥)=2𝑥，且有𝑔(𝑎)𝑔(𝑏)=2，若𝑎>0且𝑏>0，则ab的最大值为( )

A. 12 B. 14 C. 2 D. 4 二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）

11. 已知𝜆为非零常数，数列{𝑎𝑛}与{2𝑎𝑛+𝜆}均为等比数列，且𝑎2012=3，则𝑎1= ______ ．

12. 对于在区间[𝑎,𝑏]上有意义的两个函数，如果对于区间[𝑎,𝑏]中的任意x均有，则称在[𝑎,𝑏]上是“密切函数”，[𝑎,𝑏]称为“密切区间”，若函数与在区间[𝑎,𝑏]上是“密切函数”，则的最大值为

．

13. 已知点，是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的射影的数量，则z的取值范围是

14. 在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，E，F分别为线段𝐴1𝐵1，AB的中点，O为四棱锥𝐸−𝐶1𝐷1𝐷𝐶的外接球的球心，点M，N分别是直线𝐷𝐷1，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为𝜃，则当𝜃最小时，𝑡𝑎𝑛𝜃=______．

15. 已知圆M的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=4，设P是直线3𝑥+4𝑦+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，则四边形PAMB面积的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

16. 已知数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛=2𝑛2−𝑛，正项数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛2=2−(𝑏𝑛+3)，数列{𝑐𝑛}满足𝑐𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛(𝑛∈𝑁∗).

(1)求通项𝑎𝑛，𝑏𝑛的通项公式；

(2)求数列{𝑐𝑛}的前n项和𝑇𝑛；

(3)若𝑐𝑛≤14𝑚2+𝑚−1对任意𝑛∈𝑁∗恒成立，求实数m的取值范围．

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶的对边分别为a，b，c，cos𝐴+𝐶2=√33．

(Ⅰ)求cosB的值；

(Ⅱ)若𝑎+𝑐=2√6，𝑏=2√2，求△𝐴𝐵𝐶的面积．

18. 如图，平面𝛼、𝛽、r两两相交，a、b、c为三条交线，且𝑎//𝑏，问：a与c，b与c之间有什么关系．

19. 已知圆：，点，为圆上的动点，设线段的中点为，当运动时，的轨迹为，

(Ⅰ)求轨迹方程；

(Ⅱ)直线同时与圆、曲线相切，求直线的方程．

20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵=𝜋3，𝐵𝐶=2．

(1)若𝐴𝐶=√7，求AB的长；

(2)若AC的垂直平分线DE与AB，AC分别交于D，E两点，且𝐷𝐸=√62，求角A的大小．

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：(1)71，72，73，74，75，…的末两位数字分别为07，49，43，01，07，…，周期性出现(周期为4)，

而2016=4×504，所以72016的末两位数字必定和74的末两位数字相同．

故选：D．

先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可．

本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键．

2.答案：C

解析：试题分析：直线中令，则即，所以在轴上的截距为，故选C．

考点：截距的概念．

3.答案：A

解析：解：△𝐴𝐵𝐶中，sinA：sinB：𝑠𝑖𝑛𝐶=1：√3：2，

由正弦定理可知，a：b：𝑐=1：√3：2，

不妨设𝑎=𝑥，𝑏=√3𝑥，𝑐=2𝑥，

则𝑎2+𝑏2=𝑐2，即𝐶=12𝜋，𝐴=𝜋6，𝐵=13𝜋，

则A：B：𝐶=1：2：3．

故选：A．

利用正弦定理列出关系式，表示出sinA，sinB，sinC，代入已知比例式中即可求出a，b，c的比值，然后结合特殊角的三角函数值即可求解．

此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

4.答案：C

解析：解：在空间直角坐标系中，

点𝑃(−1,2，3)关于平面yOz对称的点的坐标为(1,2，3)．

故选：C．

在空间直角坐标系中，点𝑃(𝑎,b，𝑐)关于平面yOz对称的点的坐标为(−𝑎,b，𝑐)．

本题考查点的坐标的求法，考查关于坐标平面yOz的对称点的坐标的特点等基础知识，是基础题．

5.答案：D 解析：解：若𝑎>𝑏，𝑐2+1>0，则𝑎𝑐2+1>𝑏𝑐2+1成立；

若𝑎>𝑏，则𝑎3>𝑏3成立；

若𝑎>𝑏，则𝑎−𝑏𝑎2𝑏2>0成立；

若𝑏<𝑎<0，则𝑎2>𝑏2不成立．

故选：D．

逐项判断即可．

本题主要考查不等式性质的运用，属于基础题．

6.答案：D

解析：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，𝑃𝐴⊥平面ABCD，

∴𝐵𝐶⊥面PAB，𝐶𝐷⊥面PAD，

∴△𝑃𝐶𝐵，△𝑃𝐶𝐷，△𝑃𝐴𝐶是有公共斜边PC的直角三角形，取PC中点O

∴𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑂𝑃，O为四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的外接球的球心，直径𝑃𝐶=2√6，

设四棱锥的底面边长为a，𝑃𝐴=√𝑃𝐶2−𝐴𝐶2=√24−2𝑎2．

△𝑃𝐴𝐵面积𝑆=12𝐴𝐵⋅𝑃𝐴=12𝑎⋅√24−2𝑎2=√22√𝑎2(12−𝑎2)≤√22𝑎2+12−𝑎22=3√2，

当且仅当𝑎2=12−𝑎2，即𝑎=√6时，△𝑃𝐴𝐵面积最大，此时𝑃𝐴=√24−2𝑎2=2√3，

四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积𝑉=13𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷⋅𝑃𝐴=13×6×2√3=4√3，

故选：D

，

设四棱锥的底面边长为a，可得PC中点O为四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的外接球的球心，用a表示△𝑃𝐴𝐵面积，得出当△𝑃𝐴𝐵面积最大时PA的表达式，利用不等式求出a的值即可．

本题考查了四棱锥与球的组合体中，考查了转化思想，关键是利用了基本不等式求最值．属于中档题．

7.答案：D 解析：设圆的方程为𝑥2+𝑦2+𝐷𝑥+𝐹=0，代入两点的坐标得5𝐷+𝐹+29=0且−𝐷+𝐹+17=0，解得𝐷=−2，𝐹=−19，即圆的方程为𝑥2+𝑦2−2𝑥−19=0，即(𝑥−1)2+𝑦2=20．

8.答案：B

解析：解：对于A，若𝑙⊥𝑚，𝑚⊂𝑎，则l可能在a内；故A错误；

对于B，若𝑙⊥𝑎，𝑙//𝑚，根据线面垂直的性质定理以及平行线的性质可得𝑚⊥𝑎；故B正确；

对于C，若𝑙//𝑎，𝑚⊂𝑎，则l与m平行或者异面；故C错误；

对于D，若𝑙//𝑎，𝑚//𝑎，则l与m平行、相交或者异面；故D错误；

故选：B．

利用线面垂直的判定定理和性质定理、线面平行的性质定理对选项分别分析选择．

本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理、线面平行的性质定理的运用；熟练掌握定理的条件和结论是关键．

9.答案：D

解析：解：设球的半径为R，则𝑆2=4𝜋𝑅2，

由题意可得圆柱的底面半径也为R，高为2R，所以圆柱的侧面积𝑆1=2𝜋𝑅⋅2𝑅=4𝜋𝑅2，

所以𝑆1𝑆2=4𝜋𝑅24𝜋𝑅2=1，

故选：D．

设球的半径，由球的表面积公式求出球的表面积，再由椭圆可得圆柱的底面半径及高，由圆柱的侧面积公式求出侧面积，进而求出两个面积的比值．

不同考查球的表面积公式及圆柱的侧面积公式，属于基础题．

10.答案：B

解析：

先根据条件得出𝑎+𝑏=1，再应用均值不等式可以把条件转化为关于√𝑎𝑏的不等式，进而解出ab的取值范围．本题是通过基本不等式，创造所要求的变量，通过解不等式求最大值，属于基础题．

∵函数𝑔(𝑥)=2𝑥，且有𝑔(𝑎)𝑔(𝑏)=2，

∴2𝑎⋅2𝑏=2⇒𝑎+𝑏=1，

∵𝑎，𝑏∈(0,+∞)，

∴𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏，即2√𝑎𝑏≤1，当且仅当𝑎=𝑏时取等号，

解得𝑎𝑏≤14，

故选B．