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专题：二次函数中的动点问题

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y

x O 二次函数中的动点问题（二）

平行四边形的存在性问题

一、技巧提炼

1、二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

a＞0 a＜0

图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值 当x＝ 时，y有最 值是 当x＝ 时，y有最 值是

增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而 y 随x的增大而

在对称轴右侧 y随x的增大而 y随x的增大而

2、平行四边形模型探究

如图1，点A11,xy、B22,xy、C33,xy是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。

图1 图2

如图2，过A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

3、平面直角坐标系中直线和直线l2:

当l1 ∥l2时k1= k2; 当l1 ⊥l2时k1·k2= -1

4、二次函数中平行四边形的存在性问题：

解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练

1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1）

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

2、（2013•黔西南州）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标。

【变式练习】

（2007•河南）如图，对称轴为直线x=27的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

四、方法规律

1、平行四边形模型探究

如图1，点A11,xy、B22,xy、C33,xy是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D的坐标。

图1 图2

以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。

2、平面直角坐标系中直线和直线l2:

当l1 ∥l2时k1= k2; 当l1 ⊥l2时k1·k2= -1

五、实战训练

1、抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是（） (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3）

2、已知抛物线20yaxbxca在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0

3、函数20yaxa与20yaxa在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

4、如图，一次函数)0(1knkxy与二次函数)0(22acbxaxy的图象相交于A(1，5)、

B(9，2)两点，则关于x的不等式cbxaxnkx2的解集为（ ）

A、91xB、91xC、91xD、1x或9x

5、出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8)x个，则当x为多少元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大。

6、（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上。

（1）求抛物线顶点A的坐标；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；

（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

7、已知，如图A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，点E为x轴上一个动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为D，交y轴于N点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设点E（t，0），△BEN的面积为S，请求出S与t的函数关系式；

（3）已知点F是抛物线y=ax2+bx+c上的一动点，点G是坐标平面上的一动点，在点E的移动过程中，是否存在以点B、E、F、G四点为顶点的四边形是正方形，若存在，请求出E点的坐标，若不存在，请说明理由．

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一次函数动点问题

一次函数动点问题

一次函数是指函数的最高次幂为1的多项式函数，其一般形式为 y = mx + b，其中 m 和 b

是常数。

针对一次函数的动点问题，我们可以考虑一个点在直线上的运动情况。假设有一条直线，用一次函数的方程 y = mx + b 来表示，其中 m 是斜率，b 是截距。

给定一点的初始位置 (x₀, y₀)，我们可以根据一次函数的方程计算点在直线上的位置。假设时间 t 经过后，点的位置为 (x, y)。根据直线上任意一点的坐标计算公式，我们可以得到：

x = x₀ + vt,

y = y₀ + mt,

其中 v 是点在 x 轴上的速度，m 是斜率。

这样，我们可以通过给定初始位置、速度和斜率来描述一次函数的动点问题。根据给定的条件和问题要求，我们可以进一步计算点的运动轨迹、到达特定位置的时间等。

需要注意的是，一次函数的动点问题通常与直线运动或直线关系有关，其中斜率和截距是重要的参数。具体问题的解决方法和计算步骤可能会因问题的具体条件而有所不同，所以在解决具体问题时，需要根据问题的要求和给定条件来进行适当的数学建模和计算。

二次函数动点问题的解题技巧

二次函数动点问题的解题技巧

二次函数动点问题的解题技巧

以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：

1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！

2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！

3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！

4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！

5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！

6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！ 7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？

8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！

总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！

二次函数动点问题研究

二次函数动点问题研究

y

O x C

N

B P

M A 1,黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线21410189yxx与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;

(3)当0＜t＜92时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由;

(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．

提示：第（3）问用相似比的代换，

得PF=OA（定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论

①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

直线上动点

2年湖南长沙）如图，二次函数2yaxbxc（0a）的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C．连结ACBCAC、，、两点的坐标分别为(30)A，、(03)C，，且当4x和2x时二次函数的函数值y相等．

（1）求实数abc，，的值；

（2）若点MN、同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN△沿MN翻折，B 点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，，为项的三角形与ABC△相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

提示：第（2）问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°

二次函数动点问题专题练习答案

二次函数动点问题专题练习答案

二次函数动点问题专题练习答案

1. 运用二次函数知识解决问题

（1） 当自变量 x 取何值时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）？

答：当自变量 x 取 -b/2a 时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）。

（2） 若已知抛物线上两点坐标为（x1, y1）, （x2, y2）, 试写出该抛物线二次函数的一般式，并求出该抛物线的解析式。

答：设抛物线二次函数为y=ax²+bx+c

则有以下方程组：

ax1²+bx1+c =y1

ax2²+bx2+c =y2

-可列出-

x1²·a + x1·b + c - y1 = 0

x2²·a + x2·b + c - y2 = 0

x3²·a + x3·b + c - y3 = 0

-即-

| x1² x1 1 | | x2² x2 1 | = 0

| x3² x3 1 |

由于已知 2 个点，可以得到3个方程组

代入高斯消元法得到a、b、c三个系数，因此解析式y=ax²+bx+c

2. 解决实际问题的应用题

以一个具体问题为例，说明如何解决动点问题。

【例题】

马路边缘水坑中心挖开，呈抛物面，最深处为4m、直径10m。现在要在中心位置挖一道V字形沟渠，宽5m，深2m，请问水从沟渠可以流多少吨？若要确保塌方风险不会增加，每日流出水量不得超过150m³？

解：

先画出示意图

假设某一时刻水位高度为 h，抛物线面积为 S，则有

S = πr² + 2·(2·h)·(πr/2)

因为题目已知直径为10m，则半径为 5m，即 r=5

所以，S = 25π + 10h

设 h = -x² + 4 （因为最深处为4m），并且将 V 字形沟渠截面看作若干个矩形的叠加，则矩形面积为：

A = (5 - x) · 2 = 10 - 2x

而矩形面积与水位高度 h 存在联系，即：

S = A + πx²