2019-2020年高三9月调研考试数学试题含答案
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2019-2020年高三9月调研考试数学试题 含
答案
注意事项：
1 .本试卷共3页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.
2 •答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上•试题的答案写在答 .题卡上对应题
目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.
一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答 题卡相应位置上.
1 .函数f(x)= cos2x— sin2x的最小正周期为 ▲
1
2. 已知复数z= 1 + i，其中i是虚数单位，则|z|= ▲
3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4: 3: 3,现用分层抽样的方法从该校高
4. 从甲、乙、丙、丁 4位同学中随机选出 2名代表参加
学校会议，则甲被选中的概率是 ▲
5. 已知向量 a= (2 , 1), b= (0, — 1).若(a+ ?b)丄 a, 则实数X=
▲ .
2 2
7. 已知双曲线 为一y2= 1(a>0, b> 0)的渐近线方程
为y=± 3x,则该双曲线的离心率为 ▲
&已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2的半圆，则这个圆锥的高是 _______ ▲ .
9. 设f(x)=
x2— 3x+ a.若函数f(x)在区间(1, 3)内有零点，贝U实数a的取值范围为 ▲
10. 在△ ABC中，角A, B, C所对边的长分别为 a, b, c.已知a + 2c= 2b, sinB = 2sinC,
则 cosA = ▲ 中三个年级的学生中抽取容量为 80的样本，则应从高一年级抽取
11.若 f(x) = x
.—x+ 3a, x> 1,
XV 1 是R上的单调函数，则实数 a的取值范围为 ▲ 名学生.
(第6题图)
6. 右图是一个算法流程图，则输出 S的值是 ▲
12. 记数列｛an｝的前 n 项和为 Sn•若 ai= 1, Sn = 2佝 + an)(n》2, n€ N*)，则 Sn = ▲ -
13. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C: x2 + y2— 6x+ 5 = 0,点A, B在圆C上，且AB= 2 3, 则I"OA + 75B I的最大值是 ▲ .
x
14. 已知函数f(x)= x— 1 — (e— 1)1 nx,其中e为自然对数的底，则满足f(e )< 0的x的取值范围 为
▲
二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答.题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
n
已知函数f(x) = 2sin(2x+妨(0
(1)求$的值；
16. (本小题满分14分)
如图，三棱柱 ABC — A1B1C1中，M , N分别为AB, B1C1的中点.
(1) 求证：MN //平面 AA1C1C ；
(2) 若 CC1= CB1, CA = CB,平面 CC1B1B丄平面 ABC，求证：AB_平面 CMN .
(2)若 ◎=5, -n< a< 0，求 sin(2 a— j的值.
(第16题图)
17. (本小题满分14分)
已知｛an｝是等差数列，其前 n项的和为Sn, ｛bn｝是等比数列，且ai = bi= 2, a4+ b4= 21,
S4+ b4= 30.
(1) 求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；
(2) 记Cn= anbn, n € N* ,求数列g｝的前n项和.
18. (本小题满分16分)
2 2
给定椭圆C: X2+ yz = 1(a>b>0),称圆C1： x2 + y2= a2 + b2为椭圆C的“伴随圆”.已知
a b
椭圆C的离心率为 j，且经过点(0, 1).
(1)求实数a, b的值；
(2)若过点P(0, m)(m>0)的直线I与椭圆C有且只有一个公共点，且 I被椭圆C的伴
随圆C1所截得的弦长为2 2，求实数m的值.
19. （本小题满分16分）
如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为 a的角形耕地，其中tan a=— 2 .在该 块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路 AM , AN的距离分别为3km , 5km .现要过
点P修建一条直线公路 BC,将三条公路围成的区域 ABC建成一个工业园.为尽量减少耕地
占用，问如何确定 B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积.
（第19题图）
20. （本小题满分16分）
已知函数 f（x） = ax3 + |x— a|, a€ R.
（1）若 a =— 1，求函数 y= f（x） （x€，都存在 10.厶2
11. ［；, ） 12. 2 — 2n—1 13. 8 14. （0, 1）
二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.
15. （本小题满分14分）
解：（1）因为函数f（x）= 2sin（2x+枷0v X 2"的图象过点（才，—2）,
所以 f(；)= 2sin( n+ 閒=—2,
即 sin ©= 1. ........................................................... 4 分
因为0v(V 2 n所以 0= n ........................................................... 6分
(2)由(1)得，f(x)= 2cos2x. ...................................................... 8 分
因为 f(；)= 5 所以 cos a= 5 .
由条件a4+ b4= 21, S4+ b4= 30,得方程组 {8:3d： 2q3=31,解得
& = 2. n 4
又因为-2V a 0,所以sin — 5.
所以 sin2a 2sin 处。s— g, COS* 2cos2 a-—益
从而sin(2『=sin2 acos6c-cos2 ainn=7^^3
16. （本小题满分14分）
证明：（1）取A1C1的中点P,连接AP, NP.
所以MN // AP. ................................................... 4分
因为 AP 平面 AA1C1C, MN 二平面 AA1C1C,
所以MN //平面AA1C1C. .............................................................. 6分
(2)因为CA = CB, M为AB的中点，所以 CM丄AB. ..................................... 8分
因为CC1= CB1, N为B1C1的中点，所以 CN丄B1C1.
在三棱柱 ABC- A1B1C1 中，BC// B1C1，所以 CN_BC .
因为平面 CC1B1B丄平面 ABC，平面 CC1B1BQ平面 ABC= BC. CN 平面CC1B1B,
所以CN丄平面ABC. ................................................ 10分
因为AB二平面ABC，所以CN丄AB. ................................................ 12分
因为 CM 二平面 CMN , CN 二平面 CMN , CM n CN = C,
所以AB丄平面CMN . ................................................ 14分
17. （本小题满分14分）
解：（1）设等差数列｛an｝的公差为d，等比数列｛bn｝的公比为q.
由 a1 = b1 = 2，得 a4= 2+ 3d, b4 = 2q3, S4= 8 + 6d.
10分
12分
14分
因为 CjN= NB1, C1P = PA1,所以 NP// A1B1, NP = ；A1B1. .......................... 2 分
所以四边形AMNP为平行四边形. （第16题图）
所以 an= n + 1, bn= 2n, n € N* .
(2)由题意知，Cn= (n+ 1) x 2.
记 Tn= Ci + c?+ C3+…+ cn.
则 Tn= Ci + C2 + C3+…+ Cn
=2 x 2+ 3 x 22 + 4X 23+…+ nx 2n一1 + (n+ 1) x 2n,
2 Tn= 2x 22+ 3 x 23+…+ (n- 1) x 2n_1 + nx 2n+ (n + 1)2n +1,
所以—Tn= 2 x 2 + (22+ 23+-+ 2n)- (n+ 1) x 2n: ..................................................... 11 分
即 Tn= n • 2n+1, n€ N* . ....................... 14 分
18. （本小题满分16分）
解：（1）记椭圆C的半焦距为C. 由题意，得 b= 1, £=呂3，C2= a2+ b2,
a 2
解得 a = 2, b= 1. ............................................................... 4 分
2
（2）由（1）知，椭圆C的方程为X + y2= 1，圆C1的方程为x2+ y2= 5.
4
显然直线I的斜率存在.
设直线I的方程为y= kx+ m,即卩kx— y + m= 0.
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
y= kx+ m,
故方程组x2 2彳
口 + y = 1
由(* )得(1 + 4k2)x2 + 8kmx+ 4m2— 4 = 0. 从而△= (8km)2— 4(1 + 4k2)( 4 m2— 4)= 0. 化简，得m2= 1 + 4 k2 .①
因为直线l被圆x2 + y2 = 5所截得的弦长为2 2,
所以圆心到直线I的距离d = 5 — 2= 3.
由①②，解得k2= 2, m2= 9.
因为m> 0,所以m = 3. （*） 有且只有一组解.
10
|m| 即昇1=3 - 14
16
