《定积分在几何中的应用》教学设计

1 / 4 定积分在几何中的简单应用

授课班级：高二（5）班 授课人：石林红

一．

教学目标 【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。

二．

教学重点难点 【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。

【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

三．

教学方法 教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。

（一） 复习引入：

1.复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.

2.热身训练：计算 dxx2224 ２．计算 22sindxx

（二）．精讲点拨

1.几种典型的平面图形面积的计算：

类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a

(2) x y

o a b c )(xfy(3) (1) x y

o )(xfyab2 / 4

类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线 x=a,x=b(a

2.试一试：用定积分表示阴影部分面积

3.例题实践：例１．计算由曲线2xy与xy2所围图形的面积．

例２．计算由曲线xy2与4xy及x轴所围平面图形的面积．

学生分组合作完成

探究：1.本题还有其他解法吗？

定积分在几何上的应用教案(3)

目的要求

1．掌握定积分解决实际问题的基本思想方法：分割、近似代替、作和、求极限．

2．继续了解定积分表达式的几何意义，巩固运用定积分知识综合求解平面图形的面积和旋转体的体积．

内容分析

1．在数学中，应用可以分为不同的层次：①数学知识的直接应用，如由基本积分公式，利用直接积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；②运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决平面图形的面积和旋转体的体积问题，这是高一级层次的应用；③运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，而后进行解决，这是最高层次的一种应用．本章涉及的应用问题主要是第②种应用，即运用数学知识解决数学模型．为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本课时安排为一节习题课，并从中挑选了一些从实际问题抽象出来的数学模型．学生通过解决这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的．

2．本节课的重点是训练学生运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积，难点是如何将具体问题转化为求定积分的问题．教学中要充分注意数形结合，即在运算过程中适当加强几何直观，不但能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分．另外，在本节教学时，一定要控制教学内容的深度，决不能按高等学校的内容任意延伸．

教学过程

(一)内容提要

多媒体显示图形，学生口答下列公式(略)及注意事项．

1．各种情形下的平面图形的面积公式．

2．各种情形下的旋转体的体积公式．

(二)例题示范

例1 过曲线y＝x2(x≥0)上某一点A作一切线l，使之与曲线

(1)切点A的坐标；

(2)过切点A的切线l的方程；

(3)上述所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

解：设点A的坐标为(a，a2)，过点A的切线与曲线y＝x2(x≥0)及x轴围成的图形如图1中的阴影部分．

《定积分在几何中的应用》教学设计

教学年级：高二年级 课题名称：定积分在几何中的应用

教材版本：人教版高中数学选修2-2 授课时间：45分钟

一、

教学构思 应用型的课题是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索水平的极好素材。本节课通过创设情景、热身训练、问题探究、抽象归纳，巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践水平，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学

科研究的基本过程与方法。

二、

教学理念 以学生发展为本。新型的师生关系；新型的教学目标；新型的教学方式；新型的表现方式。

三、

教材分析

定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在

解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。

四、

教学目标 【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面

图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。

【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会

到数学研究的基本思路和方法。

【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生实行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生

自主探究。

五、

教学重点难点 【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积

分的价值。

【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

六、

教学方法 教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互

1 / 3 1.7.1定积分在几何中的应用

学习目标：

1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法；

2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；

3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。

学习方法：

情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积

问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？

问题2：需要用到哪些知识？（定积分）

问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？

问题4：定积分的几何意义是什么？

问题5：微积分基本定理是什么？

情境二：利用定积分求平面图形的面积

例1． 计算由两条抛物线2yx和2yx所围成的图形的面积.

问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？

问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来）

（如右图）

问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？

问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决）

解：解方程组22xyxy得到交点横坐标为0x或1x x y

O A B C

D 2xyxy21 1

-1 -1

4

x y

O

8 4

2

2

2 / 3  OABDOABCSSS曲边梯形曲边梯形dxx10dxx102

10310233132xx313132

情境三 学生探究：

例2．计算由直线4yx，曲线2yx以及x轴所围图形的面积S.

分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．

问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？

问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？

问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x轴的垂线将阴影部分分为两部分）