高三数学新课标总复习基本不等式
- 格式：doc
- 大小：155.10 KB
- 文档页数：8
- 1 -
组长签字： 签字日期：
教 学 目 标 了解现实世界和日常生活中的不等关系。
重 难 点 会解一元二次不等式。
【知识回顾与能力提升】
等差数列
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d.
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)
等比数列
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
(1)求证：1Sn成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】 (2014·梅州调研改编)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
(1)求证：1Sn成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
- 2 -
【新知识梳理与重难点点睛】
考点一 利用基本不等式证明不等式|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．
(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．
[典题例析]
设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c都是正数，
∴bca，cab，abc都是正数．
∴bca＋cab≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，
cab＋abc≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，
abc＋bca≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，
即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
[类题通法]
利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
[演练冲关]
设a，b均为正实数，求证：1a2＋1b2＋ab≥22.
- 3 - 证明：由于a，b均为正实数，
所以1a2＋1b2≥2 1a2·1b2＝2ab，
当且仅当1a2＝1b2，即a＝b时等号成立，
又因为2ab＋ab≥2 2ab·ab＝22，
当且仅当2ab＝ab时等号成立，
所以1a2＋1b2＋ab≥2ab＋ab≥22，
当且仅当 1a2＝1b2，2ab＝ab，即a＝b＝42时取等号．
考点二 利用基本不等式求最值|(题点多变型考点——全面发掘)
[必备知识]
已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)
[一题多变]
[典型母题]
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．
[解析] ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab
≥2＋2ba·ab＝4，
即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．
[答案] 4
[题点发散1] 本例的条件不变，则1＋1a1＋1b的最小值为________．
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．
- 4 - 答案：9
[题点发散2] 本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，1a＋1b＝4，则a＋b的最小值为________．
解析：由1a＋1b＝4，得14a＋14b＝1.
∴a＋b＝14a＋14b(a＋b)＝12＋b4a＋a4b≥12＋2b4a＋a4b＝1.
当且仅当a＝b＝12时取等号．
答案：1
[题点发散3] 若本例条件变为：已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则2a＋1b的最小值为________．
解析：由a＋2b＝3得13a＋23b＝1，
∴2a＋1b＝13a＋23b2a＋1b＝43＋a3b＋4b3a
≥43＋2a3b·4b3a＝83.当且仅当a＝2b＝32时，取等号．
答案：83
[题点发散4] 本例的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．
解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，
∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．
答案：9
[题点发散5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得am·an＝22a1，则1m＋4n的最小值为________．
解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2.
am·an＝22a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则1m＋4n＝151m＋4n(m＋n)＝155＋nm＋4mn≥15(5＋24)＝95，
当且仅当n＝2m＝103时等号成立．
答案：95
- 5 - 【新方法、新技巧练习与巩固】
一、选择题
1．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有 ( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2ab B.1a＋1b＞2ab
C.ba＋ab≥2 D．a2＋b2＞2ab
3．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是( )
A．0 B．1
C．2 D.52
5．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则2a＋1b的最小值是( )
A．4 B.92
C．8 D．9
6．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )
A．23＋2 B．23－2
C．23 D．2
二、填空题
7．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
8．当x＞1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的最大值为________．
9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
10.创新题规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝k⊗xx的最小值为________．
- 6 - 三、解答题
11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
答案
1．选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －x＋1－x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．
2．选C ∵ab＞0，∴ba＞0，ab＞0.
由基本不等式得ba＋ab≥2，当且仅当ba＝ab，即a＝b时等号成立，故选C.
3．选B (x＋y)1x＋ay＝1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a，∴当1＋a＋2a≥9时不等式恒成立，故a＋1≥3，a≥4.
4．选B ∵a>1，b>1，∴lg a>0，lg b>0.
lg a·lg b≤lg a＋lg b24＝lg ab24＝1.
当且仅当a＝b＝10时取等号．
5．选D ∵AB＝OB－OA＝(a－1,1)，
AC＝OC－OA＝(－b－1,2)，
若A，B，C三点共线，
则有AB∥AC，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，
∴2a＋b＝1，
又a＞0，b＞0，
∴2a＋1b＝2a＋1b·(2a＋b)
＝5＋2ba＋2ab≥5＋2 2ba×2ab＝9，
当且仅当 2ba＝2ab，2a＋b＝1，即a＝b＝13时等号成立．故选D.
6．选A ∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1
＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2
