高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3
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1 / 5 必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制
[教学目标]：
（1） 了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
（2） 学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
[教学难点]除k取余法的理解
[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务，领悟十进制，二进制的特点，了解计算机与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、
[教学用具] 多媒体电脑
[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系，熟悉各种进位制表示数的方法，从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]
一、创设情景，揭示课题
辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的算法，秦九韶算法是求多项式的值的算法，将这些算法转化为程序，就可以由计算机来完成相关运算。人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，本节课我们来共同学习《进位制》
你都了解那些进位制？比如说？
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进位制，据说这与古人曾以手指计数有
关；由于计算机的计算与记忆元件特点，计算机上通用的是二进位制；一周七天是
七进位；一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制；旧式的称是十六进制；〔老称一
斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位
是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是
十进制。计算机之父冯·诺伊曼研究后，提出改进意见，用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字，要得到两种不同稳定状态的电子器件很容 word
2 / 5 易，而且制造简单，可靠性高；②各种计数法中，二进制运算规那么简单。如：十进
制乘法叫九九表，二进制只有4句。〔备用〕
二、进位制的概念〔课件显示〕
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。
约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；等等，也就是说，“满几进一〞就是几进制，几进制的基数就是几。
教师①：上面的例子中10进制、7进制、24进制、60进制，它们的基数分别是什么呢？
学生：10 、7、24、60
三、k进制的数的表示
教师②： 日常生活中，常用的是十进制数，十进制数用哪些数字进行记数？
学生： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
教师③： 如二进制用的是那些数字？
学生：0、1
教师④： 七进制用的是那些数字？
学生： 0、1、2、3、4、5、6
教师⑤： 随意找个数字3721，我们知道它表示的是？
学生： 十进制中的3721中的3表示3个千,7表示7个百, 2表示2个十, 1表示
1个一.
教师引导：也就是说：十进制数在计数时，几个数字排成一排，从右起,第一位是个位,个位上的数字是几,就表示几个1, 第二位是十位,因为满十进一，十位上的数字是几,就表示几个十,接着依次是百位,千位,万位….
教师⑥：那么，对于K进制数〔k是一个大于1的整数〕怎样〔以k为基数〕记个数呢？怎样才能分清，不和其他进制数发生混淆呢 ？
学生：对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示. 假设k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式:anan-1。。。a1a0(k)
教师⑦： 对于anan-1。。。a1a0有什么要求？〔做练习〕
学生：〔明确两个要点〕
1、第一个数字不能等于0
2、每一个数字都必须小于k的自然数
即表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示：
比如：)2(111001表示二进制数，)7(61表示7 进制.
四、把k进制的数转化为10进制数的方法 word
3 / 5 教师⑦： 对于十进制数，比如说：3721，根据它的意义，我们可以把它写成下面的形式：3721=3×103＋7×102＋2×101＋1×100，
请你模仿上述过程，把8进制数7342〔8〕改写成上述形式
教师⑧假设anan-1。。。a1a0(k)表示一个k进制的数，请你把它写成各个位上数字与k的幂的乘积之和的形式。
学生：anan-1。。。a1a0(k)＝an×kn-1＋an-1×kn-２＋……＋a0×k０
上面这个改写过程，就是把k进制的数转化为10进制数的方法，只要写成各个位上数字与k的幂的乘积之和的形式，就完成了转换。
课本例题：把二进制数110011(2)化为十进制数
学生在练习本上操作
解:110011=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
=32+16+2+1
=51
练习1、把1234(5)化为十进制数；
〔2〕化为十进制数。
五、把10进制的数转化为k进制数的方法
教师⑨：通过前面学习我们已经会把k进制数转化为十进制数，那么一个十进制数如何转化为k进制数呢? 比如说十进制的数8转化为二进制是多少？
正确答案是1000〔2〕。大家的回答说明我们在进行一个十进制数转化为k进制数时需要一套行之有效的办法。
课本例题：把89转化为二进制数
教师讲解 ：要把10进制的数89转化为二进制数，实际上就是二进制数x转化为十进制数89的逆过程。
即 anan-1。。。a1a0(2)＝an×2n-1＋an-1×2n-２＋……＋a0×2０＝89
89 ＝an×2n-1＋an-1×2n-２＋……＋a0×2０
89 ＝64＋25
＝64＋16＋9
＝64＋16＋8＋1
＝03462222
＝01234562*12*02*02*12*12*02*1
＝)2(1011001 word
4 / 5 那么，把10进制的数5000转化为二进制数该怎么办呢？上述问题的解决实际上
主要看89与2的关系。
89＝01234562*12*02*02*12*12*02*1
根据秦九韶算法上式改写成如下形式
89＝2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1
把10进制的数89转化为二进制数的方法：就是89除2取余数
这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:
说明：除的次数越多说明原来次数越高，所以把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到89=1011001(2)
最后把所有的余数倒着写一遍，这种方法可以推广到：把十进制数化为k进制数的算法，称为“除k取余法〞
六课堂练习
1、用除k取余法将89化为四进制数、六进制数.
2、把2010转换为八进制数.
3、拓展请把二进制数110011(2)化为八进制数
七课堂小结
本节课主要学习了进位制与各种进位制数之间的转化。
1进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。 余数
1
0
0 0
1
1 1 89
44
22
11
5
2
1 2
2
2
2
2
2 2
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5 / 5 2.十进制与k进制的转化：将k进制数化成十进制数的方法是先把k进制数书写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再把所得的和相加起来就是相应的十进制数。3.将十进制数化成k进制数的方法是用“除k取余法〞，即用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后将各步所得的余数从下到上排列起来，就是相应的k进制数.
4.十进制是连接其他进制的桥梁。把k进制的数转化为10进制数后再把10进制的数转化为k进制数，各个进制数之间就能实现互相转换。
八、[版书设计]〔略〕
