界面追踪法求解半空间双相Stefan问题

多相 stefan 问题解的渐近性质最近，Stefan问题解持续受到全世界研究者的关注。

Stefan问题是一种可以用来描述不同物理系统的温度场的热传导方程，有很多参数例如热传导系数、吸收介质的波长、固体的密度、热导率等，它的解答可以有很多种形式，前人对可以满足任意条件的Stefan问题求解作出了很多贡献。

本文的目的是研究Stefan问题解的渐近性质。

为了讨论Stefan问题解的渐近性质，我们先来看看Stefan问题内部的内容，它是一种分类讨论不同物理系统温度场的热传导方程，它的数学表达式为：T/t+∑(/xi)(qi)=0其中，T表示温度，t表示时间，qi(i=1,2,3...)表示每个系统的热传导系数，可以根据系统的不同而取得不同的值。

当Stefan问题解的渐近性质受到研究时，它主要包括三种，分别是：1.无穷空间问题；2.有限空间问题；3.无限时间空间问题。

1.穷空间问题是指当空间维数n=∞时，Stefan解除了空间维数的限制，可以在任何维数内解决。

无穷空间问题的渐近性质表现为，当系统空间维数n趋近无穷大时，Stefan解的解也趋近于一个定值。

2.限空间问题是指当空间维数n时，Stefan解的渐近性质受到空间维数的限制，即空间维数越小，Stefan解的渐近性质越差，其解也越趋近于一个定值。

3.限时间空间问题是指当时间t=∞时，Stefan解的渐近性质受到时间t的限制，即随着时间t的增加，Stefan解的解也趋近于一个定值。

基于以上三种渐近性质，研究者们构建了一系列理论模型，利用这些理论模型建立了符合表达式所描述系统的Stefan问题解，并利用这些解分析和研究不同物理系统温度场的渐近性质。

首先，研究人员建立一个比较简单的无穷空间Stefan问题解的理论模型，该模型中函数参数u(x，t)表示温度场，它可以用来表示热场的渐近性质。

据此，研究者可以利用该模型来推导出一系列等式，从而分析出不同物理系统温度场的渐近性质，例如当温度和时间衰减至一点时，热场的衰减速率也随之衰减。

第41卷第2期2018年6月南京师大学报(自然科学版)JOURNAL OF NANJING NORMAL UNIVERSITY(Natural Science Edition)Vol.41No.2June,2018　收稿日期:2017-12-10.　基金项目:国家自然科学基金青年项目(11701291)、江苏省自然科学基金青年项目(BK20160880)、南京邮电大学引进人才科研启动基金(NY216030).　通讯联系人:纪海峰,博士,讲师,研究方向:计算数学.E⁃mail:hfji@doi:10.3969/j.issn.1001-4616.2018.02.003一维Stefan 问题的浸入界面方法纪海峰(南京邮电大学理学院,江苏南京210023)[摘要]　考虑经典的一维Stefan 问题的浸入界面数值求解方法.基于与移动的界面位置无关的网格,构造出时间方向具有一阶精度,空间方向具有二阶精度的有限差分方法.最后,一些数值例子验证了该方法的收敛精度.[关键词]　界面问题,浸入界面,移动界面[中图分类号]O242　[文献标志码]A　[文章编号]1001-4616(2018)02-0012-04An Immersed Interface Method for One Dimensional Stefan ProblemsJi Haifeng(School of Science,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023,China)Abstract :This paper is considered with the immersed interface numerical methods for solving the classic one dimensionalStefan problem.Based on the grid which is independent of the moving interface,a finite different method with first order accuracy in time and second order accuracy in space is developed.Finally,some numerical examples are presented to show the accuracy of the method.Key words :interface problem,immersed interface,moving interfaceStefan 问题的难点在于追踪界面的位置,例如模拟冰和水的交界面的变化过程.由于界面随着时间会发生变化,这类问题也称为移动界面问题.对这类问题,目前已有许多数值求解方法,例如[1-2]等.这些方法都是采用拟合界面的网格剖分,即界面附近的网格点必须落在界面上.界面拟合网格法有着许多缺点.首先,对于形状复杂的界面,尤其在三维空间中,生成正则的界面拟合网格往往比较困难.其次,如果界面随时间移动,那么在每一时间步都需要重新生成界面拟合网格,这增加了算法的复杂度和计算量.为了克服界面拟合网格的缺点,有学者提出了非拟合网格方法,即网格的生成与界面无关,允许界面以任意方式穿过网格单元的内部.在实际计算中,一般使用结构化的网格,例如笛卡尔网格等.非拟合网格法在处理移动界面问题上有着不可替代的优点,故一直受到工程界和计算数学界的广泛关注.非拟合网格方法的思想要追溯到Peskin 在1977年提出来的浸入边界方法[3].该方法简单、易实现且具有鲁棒性,但只有一阶精度.1994年Leveque 和Li [4]对于带有间断系数和奇异源项的二阶椭圆界面问题提出了浸入界面方法.该方法为基于笛卡尔网格,把界面条件耦合到差分格式中,使得截断误差在不规则点处达到O (h ),从而不仅能使解的整体误差达到O (h 2),而且其导数也达到O (h 2)精度[5].随后该方法被推广到流体界面问题[6-7]、弹性界面问题[8]以及移动界面问题[9-10]等.本文研究一维Stefan 问题的浸入界面方法.利用界面跳跃条件,本文构造出时间方向具有一阶精度,空间方向具有二阶精度的有限差分格式.然后给出一些数值算例来验证该方法的收敛精度.1　模型问题考虑凝固或融化的过程,设[a ,b ]为计算区域,α(t )表示两个物体的交界面,[a ,α(t )]与[α(t ),b ]分别表示两种物体所占的区域.为了叙述简单,假设两种物体的扩散系数以及密度相同,为单位1,而且不考—21—.cn. All Rights Reserved.纪海峰:一维Stefan 问题的浸入界面方法虑凝固或融化带来的体积变化,那么温度u (x ,t )在两个区域上分别满足经典的扩散方程∂u (x ,t )∂t =∂2u (x ,t )∂x 2+f (x ,t ),x ∈[a ,α(t )]∪[α(t ),b ].(1)以及初边值条件u (x ,0)=u 0(x ),x ∈[a ,b ],u (a ,t )=u a (t ),u (b ,t )=u b (t ),t ∈[0,T ].在界面α(t )上,需要满足如下Stefan 条件u (α(t ),t )=u M ,t ∈[0,T ],d α(t )d t =θ∂u ∂x=θ∂u +∂x -θ∂u -∂x ,t ∈[0,T ].其中,u M 为给定的常数,表示凝固点或熔点.θ为给定的参数,u -=u |[a ,α(t )],u +=u |[α(t ),b ].2　浸入界面方法将区间[a ,b ]分成N 等分,网格节点为x i =a +ih ,i =0,1,…,N.其中剖分长度为h =(b -a )/N.对某一时间t ,如果x k <α(t )≤x k +1,那么我们把网格节点x k 与x k +1称为不规则点,其余的网格节点称为规则点.由于方程的解在界面α(t )处不光滑,因此构造的差分格式需要在不规则点处进行修正,而在规则点处可以使用经典的差分格式.在时间方向上,取时间步长=T /M ,则时间节点为t n =n ,n =0,1,…,M.令u n i 表示节点(x i ,t n )处的数值解,而u (x i ,t n )为节点(x i ,t n )处的精确解.同样地,令αn 表示时间t n 处数值界面的位置.下面构造求解u n i 和αn的数值计算格式.2.1　空间离散如果x i 为规则点,对于扩散方程(1)有经典的差分格式∂u ∂t =u i +1-2u i +u i -1h2+f (x i ,t ),i =1,2,…,N -1.通过泰勒展开式,我们得到∂2u ∂x 2=u (x i +1,t n )-2u (x i ,t n )+u (x i -1,t n )h2+O (h 2).即该格式在规则点处的空间方向截断误差为O (h 2).在不规则点x k 处,利用浸入界面方法的思想,我们构造如下格式∂u ∂t =u k +1-2u k +u k -1h2+f (x k ,t )+C k (t ).式中,修正项C k (t )=-1h 2[u ](α(t ),t )-x k +1-αh 2∂u ∂x (α(t ),t )-(x k +1-α)22h 2∂2u ∂x 2(α(t ),t ).(2)通过修正,不规则点处的空间方向截断误差为O (h ),从而整体误差能达到最优精度[5].然而,修正项式(2)中[u ]=0已知,而另外两项均未知.因此,我们定义增广变量g (t )=∂u∂x(α(t ),t ).对界面条件[u ](α(t ),t )=0两边同时对时间t 求导,得到∂u ∂x ·d αd t +∂u ∂t=0.(3)由式(1)得到∂u ∂t=∂2u ∂x 2+[f ].(4)—31—.cn. All Rights Reserved.南京师大学报(自然科学版)第41卷第2期(2018年)结合式(3)、式(4)以及Stefan 条件,我们有∂2u ∂x 2=-∂u ∂x ·d αd t -[f ]=-θg 2-[f ].因此,在增广变量g (t )给定的情况下,修正项式(2)变为C k (t )=-(x k +1-α)g h 2+(x k +1-α)2(θg 2+[f ])2h 2.在不规则点x k +1处,类似地,我们有修正项C k +1(t )=(x k -α)g h 2-(x k -α)2(θg 2+[f ])2h 2.为了符号统一,在规则点x i 处我们定义修正项C i (t )=0.2.2　时间离散首先,对于界面移动方程,我们用如下格式αn -αn -1=θg (t n -1).(5)这里g (t n -1)为增广变量在t n -1时间层的值.其次,对于扩散方程,我们采用隐式Euler 格式,即u n i -u n -1i =u n i +1-2u n i +u ni -1h 2+f (x i ,t n )+C i (t n )-D (t n ).(6)式中,C i (t n )为空间方向修正项,D (t n )为时间方向修正项.如果节点x i 在时间段(t n -1,t n )没有界面穿过,即节点x i 在(t n -1,t n )内属于同一区间[a ,α(t )]或[α(t ),b ],则我们有d u d t=u n -u n -1+O ().这时修正项D (t n )=0.如果节点x i 在时间段(t n -1,t n )有界面α穿过,即节点x i 在(t n -1,t n )内跨越两个区间[a ,α(t )]和[α(t ),b ],则利用浸入界面方法的思想得到修正项D (t n )=-t n -t ∗2h ∂u ∂t=(t n -t ∗)θg 2(t n )2h .式中,t ∗=t n -1+(x i -αn -1)αn -αn -1表示界面α穿过节点x i 的时间.2.3　增广变量的求解给定增广变量g (t n )以及第n -1时间层的数值解u n -1i,αn -1,g (t n -1),利用差分格式(5)和式(6),可解出第n 层的数值解.给定不同的g (t n ),可得到不同的数值解.然而增广变量的选择要使得Stefan 条件u (α(t ),t )=u M 满足.假设x k <αn ≤x k +1,在数值格式中,第n 层的数值解需要满足u n k+u n k +1-u nkh ·(αn -x k )+⎺C k=u M .(7)式中,修正项⎺C k =-αn -x k h (x k +1-αn )g (t n )+(x k +1-αn )22∂2u ∂x 2=-αn -x k h (x k +1-αn )g (t n )-(x k +1-αn )2(θg 2(t n )+[f ])2 .联立(5)~(7),利用文献[11]的方法,我们可以先把增广变量g 求出,然后再利用式(5)、(6)求出第n 层的数值解u n i ,αn .需要注意的是,初始层u 0i ,α0,g (t 0)的值由初始条件给出.3　数值实验为了验证该方法的有效性,我们构造如下精确解.对任意的时间t ∈[0,T ],有—41—.cn. All Rights Reserved.纪海峰:一维Stefan 问题的浸入界面方法u (x ,t )=-12x -14sin(2x )--12α(t )-14sin(2α(t ))sin t ,x ∈[a ,α(t )],12x -14sin(2x )-12α(t )-14sin(2α(t )) sin t ,x ∈[α(t ),b ].式中,移动界面为α(t )=θ(1-cos t ).通过简单计算,很容易验证该精确解满足Stefan 条件,且u M =0.右端项f (x ,t )和初边值条件可以由精确解确定.我们选取参数a =-1,b =π2,θ=12,T =2.5.首先,我们测试空间方向的收敛阶.为了使得时间方向的误差足够小,我们选取M =500,即时间步长=0.005.此时解的无穷模误差随空间步长h 的变化关系如图1所示.由图像可见空间方向为二阶收敛.且当h 非常小时,时间离散误差占主导,此时整体误差不再随h 变化.然后,测试时间方向的收敛阶.选取N =100,解的无穷模误差随时间步长的变化关系如图2所示.由图像可见时间方向为一阶收敛,当非常小时,整体误差不再随变小而变小.图1　误差曲线(M =500)Fig.1　Error curves (M =500)图2　误差曲线(N =100)Fig.2　Error curves (N =100)[参考文献][1]　TADI M.A fixed⁃grid local method for 1⁃D Stefan problems[J].Applied mathematics and computation,2012,219(4):2331-2341.　[2]SONG T,UPRETI K,SUBBARAYAN G.A sharp interface isogeometric solution to the Stefan problem[J].Computer methodsin applied mechanics and engineering,2015,284:556-582.[3]PESKIN C S.Numerical analysis of blood flow in the heart[J].Journal of computational physics,1977,25(3):220-252.[4]LEVEQUE R,LI Z.The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources[J].SIAM J Numer Anal,1994,31(4):1019-1044.[5]BEALE J,LAYTON A.On the accuracy of finite difference methods for elliptic problems with interfaces[J].Communications in applied mathematics and computational science,2008,1(1):91-119.[6]LEVEQUE R,LI Z.Immersed interface methods for stokes flow with elastic boundaries or surface tension[J].SIAM journalon scientific computing,1997,18(3):709-735.[7]LEE L,LEVEQUE R.An immersed interface method for incompressible Navier⁃Stokes equations[J].SIAM journal on scientific computing,2006,25(3):832-856.[8]YANG X,LI B,LI Z.The immersed interface method for elasticity problems with interfaces[J].Dynamics of continuousdiscrete and impulsive systems,2002,10(5):783-808.[9]TAN Z,LE D,LI Z,et al.An immersed interface method for solving incompressible viscous flows with piecewise constantviscosity across a moving elastic membrane[J].Journal of computational physics,2008,227(23):9955-9983.[10]TAN Z,LIM K,KHOO B.An immersed interface method for Stokes flows with fixed /moving interfaces and rigid boundaries[J].Journal of computational physics,2009,228(18):6855-6881.[11]JI H,CHEN J,LI Z.A new augmented immersed finite element method without using SVD interpolations[J].Numericalalgorithms,2016,71,395-416.[责任编辑:陈　庆]—51—.cn. 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一维Stefan问题的浸入界面方法纪海峰【摘要】This paper is considered with the immersed interface numerical methods for solving the classic one dimensional Stefan problem. Based on the grid which is independent of the moving interface,a finite different method with first order accuracy in time and second order accuracy in space is developed. Finally,some numerical examples are presented to show the accuracy of the method.%考虑经典的一维Stefan问题的浸入界面数值求解方法. 基于与移动的界面位置无关的网格,构造出时间方向具有一阶精度,空间方向具有二阶精度的有限差分方法. 最后,一些数值例子验证了该方法的收敛精度.【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(041)002【总页数】4页(P12-15)【关键词】界面问题;浸入界面;移动界面【作者】纪海峰【作者单位】南京邮电大学理学院,江苏南京210023【正文语种】中文【中图分类】O242Stefan问题的难点在于追踪界面的位置,例如模拟冰和水的交界面的变化过程. 由于界面随着时间会发生变化,这类问题也称为移动界面问题. 对这类问题,目前已有许多数值求解方法,例如[1-2]等. 这些方法都是采用拟合界面的网格剖分,即界面附近的网格点必须落在界面上. 界面拟合网格法有着许多缺点. 首先,对于形状复杂的界面,尤其在三维空间中,生成正则的界面拟合网格往往比较困难. 其次,如果界面随时间移动,那么在每一时间步都需要重新生成界面拟合网格,这增加了算法的复杂度和计算量. 为了克服界面拟合网格的缺点,有学者提出了非拟合网格方法,即网格的生成与界面无关,允许界面以任意方式穿过网格单元的内部. 在实际计算中,一般使用结构化的网格,例如笛卡尔网格等. 非拟合网格法在处理移动界面问题上有着不可替代的优点,故一直受到工程界和计算数学界的广泛关注.非拟合网格方法的思想要追溯到Peskin在1977年提出来的浸入边界方法[3]. 该方法简单、易实现且具有鲁棒性,但只有一阶精度. 1994年Leveque和Li[4]对于带有间断系数和奇异源项的二阶椭圆界面问题提出了浸入界面方法. 该方法为基于笛卡尔网格,把界面条件耦合到差分格式中,使得截断误差在不规则点处达到O(h),从而不仅能使解的整体误差达到O(h2),而且其导数也达到O(h2)精度[5]. 随后该方法被推广到流体界面问题[6-7]、弹性界面问题[8]以及移动界面问题[9-10]等.本文研究一维Stefan问题的浸入界面方法. 利用界面跳跃条件,本文构造出时间方向具有一阶精度,空间方向具有二阶精度的有限差分格式. 然后给出一些数值算例来验证该方法的收敛精度.1 模型问题考虑凝固或融化的过程,设[a,b]为计算区域,α(t)表示两个物体的交界面,[a,α(t)]与[α(t),b]分别表示两种物体所占的区域. 为了叙述简单,假设两种物体的扩散系数以及密度相同,为单位1,而且不考虑凝固或融化带来的体积变化,那么温度u(x,t)在两个区域上分别满足经典的扩散方程以及初边值条件u(x,0)=u0(x),x∈[a,b],u(a,t)=ua(t),u(b,t)=ub(t),t∈[0,T].在界面α(t)上,需要满足如下Stefan条件u(α(t),t)=uM,t∈[0,T],其中,uM为给定的常数,表示凝固点或熔点. θ为给定的参数,u-=u|[a,α(t)],u+=u|[α(t),b].2 浸入界面方法将区间[a,b]分成N等分,网格节点为xi=a+ih,i=0,1,…,N. 其中剖分长度为h=(b-a)/N. 对某一时间t,如果xk<α(t)≤xk+1,那么我们把网格节点xk与xk+1称为不规则点,其余的网格节点称为规则点. 由于方程的解在界面α(t)处不光滑,因此构造的差分格式需要在不规则点处进行修正,而在规则点处可以使用经典的差分格式.在时间方向上,取时间步长τ=T/M,则时间节点为tn=τn,n=0,1,…,M. 令表示节点(xi,tn)处的数值解,而u(xi,tn)为节点(xi,tn)处的精确解. 同样地,令αn表示时间tn 处数值界面的位置. 下面构造求解和αn的数值计算格式.2.1 空间离散如果xi为规则点,对于扩散方程(1)有经典的差分格式通过泰勒展开式,我们得到即该格式在规则点处的空间方向截断误差为O(h2).在不规则点xk处,利用浸入界面方法的思想,我们构造如下格式式中,修正项(2)通过修正,不规则点处的空间方向截断误差为O(h),从而整体误差能达到最优精度[5]. 然而,修正项式(2)中[u]=0已知,而另外两项均未知. 因此,我们定义增广变量对界面条件[u](α(t),t)=0两边同时对时间t求导,得到(3)由式(1)得到(4)结合式(3)、式(4)以及Stefan条件,我们有因此,在增广变量g(t)给定的情况下,修正项式(2)变为在不规则点xk+1处,类似地,我们有修正项为了符号统一,在规则点xi处我们定义修正项Ci(t)=0.2.2 时间离散首先,对于界面移动方程,我们用如下格式=θg(tn-1).(5)这里g(tn-1)为增广变量在tn-1时间层的值.其次,对于扩散方程,我们采用隐式Euler格式,即(6)式中,Ci(tn)为空间方向修正项,D(tn)为时间方向修正项.如果节点xi在时间段(tn-1,tn)没有界面穿过,即节点xi在(tn-1,tn)内属于同一区间[a,α(t)]或[α(t),b],则我们有τ).这时修正项D(tn)=0.如果节点xi在时间段(tn-1,tn)有界面α穿过,即节点xi在(tn-1,tn)内跨越两个区间[a,α(t)]和[α(t),b],则利用浸入界面方法的思想得到修正项式中,表示界面α穿过节点xi的时间.2.3 增广变量的求解给定增广变量g(tn)以及第n-1时间层的数值解利用差分格式(5)和式(6),可解出第n层的数值解. 给定不同的g(tn),可得到不同的数值解. 然而增广变量的选择要使得Stefan条件u(α(t),t)=uM满足. 假设xk<αn≤xk+1,在数值格式中,第n层的数值解需要满足(7)式中,修正项联立(5)～(7),利用文献[11]的方法,我们可以先把增广变量g求出,然后再利用式(5)、(6)求出第n层的数值解需要注意的是,初始层的值由初始条件给出.3 数值实验为了验证该方法的有效性,我们构造如下精确解. 对任意的时间t∈[0,T],有式中,移动界面为α(t)=θ(1-cos t).通过简单计算,很容易验证该精确解满足Stefan条件,且uM=0. 右端项f(x,t)和初边值条件可以由精确解确定. 我们选取参数首先,我们测试空间方向的收敛阶. 为了使得时间方向的误差足够小,我们选取M=500,即时间步长τ=0.005. 此时解的无穷模误差随空间步长h的变化关系如图1所示. 由图像可见空间方向为二阶收敛. 且当h非常小时,时间离散误差占主导,此时整体误差不再随h变化.然后,测试时间方向的收敛阶. 选取N=100,解的无穷模误差随时间步长τ的变化关系如图2所示. 由图像可见时间方向为一阶收敛,当τ非常小时,整体误差不再随τ变小而变小.图1 误差曲线(M=500)Fig.1 Error curves(M=500)图2 误差曲线(N=100)Fig.2 Error curves(N=100)[参考文献]【相关文献】[1] TADI M. A fixed-grid local method for 1-D Stefan problems[J]. Applied mathematics and computation,2012,219(4):2331-2341.[2] SONG T,UPRETI K,SUBBARAYAN G. A sharp interface isogeometric solution to the Stefan problem[J]. Computer methods in applied mechanics andengineering,2015,284:556-582.[3] PESKIN C S. Numerical analysis of blood flow in the heart[J]. Journal of computational physics,1977,25(3):220-252.[4] LEVEQUE R,LI Z. The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources[J]. SIAM J Numer Anal,1994,31(4):1019-1044.[5] BEALE J,LAYTON A. On the accuracy of finite difference methods for elliptic problems with interfaces[J]. Communications in applied mathematics and computational science,2008,1(1):91-119.[6] LEVEQUE R,LI Z. Immersed interface methods for stokes flow with elastic boundaries or surface tension[J]. SIAM journal on scientific computing,1997,18(3):709-735.[7] LEE L,LEVEQUE R. An immersed interface method for incompressible Navier-Stokes equations[J]. SIAM journal on scientific computing,2006,25(3):832-856.[8] YANG X,LI B,LI Z. The immersed interface method for elasticity problems with interfaces[J]. Dynamics of continuous discrete and impulsive systems,2002,10(5):783-808.[9] TAN Z,LE D,LI Z,et al. An immersed interface method for solving incompressible viscous flows with piecewise constant viscosity across a moving elastic membrane[J]. Journal of computational physics,2008,227(23):9955-9983.[10] TAN Z,LIM K,KHOO B. An immersed interface method for Stokes flows withfixed/moving interfaces and rigid boundaries[J]. Journal of computationalphysics,2009,228(18):6855-6881.[11] JI H,CHEN J,LI Z. A new augmented immersed finite element method without using SVD interpolations[J]. Numerical algorithms,2016,71,395-416.。

时刻追踪多介质界面运动的动网格方法
王兵;司海青
【期刊名称】《计算力学学报》
【年(卷),期】2010(027)002
【摘要】在对可压缩多介质流动的数值模拟中,定义介质界面为一种内部边界,由网格的边组成,界面边两侧对应两种不同介质中的网格.通过求解Riemann问题追踪介质界面上网格节点的运动,同时采用局部重构的动网格技术处理介质界面的大变形问题,并将介质界面定义为网格变形边界,以防止该边界上网格体积为负.运用HLLC格式求解ALE方程组得到整个多介质流场的数值解.最后从几个多介质漉模型的计算结果可以看出,本文的动网格方法是可行的,而且可以时刻追踪介质界面的运动状态.
【总页数】7页(P362-368)
【作者】王兵;司海青
【作者单位】南京航空航天大学,民航学院,南京,210094;南京航空航天大学,民航学院,南京,210094
【正文语种】中文
【中图分类】O35
【相关文献】
1.在非结构动网格上追踪多介质界面的ALE方法 [J], 王兵;许厚谦;谭俊杰;石清
2.基于CLSVOF方法的多介质流运动界面追踪 [J], 陈善群;廖斌
3.在动网格上的多介质界面数值处理方法研究 [J], 王兵;许厚谦;谭俊杰
4.基于八叉树自适应网格技术的Level Set运动界面追踪方法 [J], 殷亚军;李阳东;涂志新;李文;沈旭;周建新
5.一种追踪多介质流体界面运动的NND数值模拟方法 [J], 张学莹;赵宁
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多相流体力学中的界面跟踪方法界面跟踪方法主要分为两大类：欧拉法和拉格朗日法。

欧拉法是基于空间网格的方法，它使得计算网格上的界面变得困难，特别是在复杂的流动情况下。

拉格朗日法则是基于粒子的方法，其中界面通过跟踪粒子的运动来描述。

下面将介绍一些常用的界面跟踪方法。

1. 体积法（Volume-of-fluid, VoF）是最常用的界面跟踪方法之一、该方法使用一个控制方程来追踪不同相的体积分数，即在每个格点上定义一个标量变量表示该点处不同相的体积分数。

在模拟过程中，通过对体积分数进行插值和平滑来计算界面的位置。

尽管VoF方法是求解多相流动的广泛应用方法，但在高曲率界面和小尺度现象的处理上存在一些困难。

2. 颜色函数法（Color Function）是另一种常用的界面跟踪方法。

它通过在流场中引入一个描述不同相分布的标量变量，即颜色函数。

当颜色函数等于界面值时，可以确定界面的位置。

颜色函数法对界面的预测较为简单，并且在处理高曲率界面和小尺度现象时具有优势。

3. 其他界面跟踪方法还包括水位线法（Level Set）、界面重构方法（Interface Reconstruction）、粒子追踪方法（Particle Tracking）等。

水位线法是一种常用的界面跟踪方法，它使用一个标量函数来表示各相之间的界面位置，该函数的等值线即为界面。

界面重构方法通过在已知相空间中的数据点上使用适当的插值和平滑方法重建界面。

粒子追踪方法通过跟踪界面上的粒子运动来描绘界面位置。

在实际应用中，界面跟踪方法的选择取决于多相流体系统的特点和需要预测的现象。

不同的界面跟踪方法具有各自的优缺点，需要根据具体情况进行选择和改进。

通过结合不同的界面跟踪方法，可以提高多相流体系统的模拟精度和计算效率。

多相流体力学中的界面跟踪方法在多相流体力学的研究中，界面跟踪是非常重要的一项技术。

界面跟踪的目的是确定各相之间的分界面，以便进行相应的数学模拟。

界面跟踪方法包括光学方法、电磁方法、声波方法、数字图像方法、计算机模拟方法等。

各种方法都有其适用的范围和优缺点，本文将会介绍几种常见的界面跟踪方法。

1. 光学方法光学方法是一种常见的界面跟踪方法，主要是通过光的折射和反射来确定界面的位置。

光学方法可以分为显微镜观察法和激光扫描法两种。

显微镜观察法是一种经典的界面跟踪方法，它通过显微镜观察两相之间的分界面，经过数学转换得到分界面的形状和位置。

这种方法的优点是精度高，但只能应用于局部观测，不适用于整个系统的观测。

激光扫描法是一种新兴的界面跟踪方法，它通过利用激光扫描技术进行测量，可以得到物体表面的形状和位置信息。

这种方法可以应用于整个系统的观测，但其也存在一定的局限性，如对于复杂形状的界面，精度较低。

2. 电磁方法电磁方法是一种界面跟踪方法，在两相界面上加入电磁场，利用电磁场的测量结果来确定界面的位置和形状。

电磁方法包括电阻法、电容法、电感法等。

电阻法是一种比较常用的电磁方法，它通过对两相间的电阻进行监测，从而得到分界面的位置和形状信息。

电容法和电感法则是通过对两相间的电容和电感进行监测，从而得到分界面的位置和形状信息。

这些方法都具有一定的优势，如测量准确、简单易操作等，但是也会受到环境干扰和检测误差的影响。

3. 声波方法声波方法是一种灵敏的界面跟踪方法，它通过测量两相间的声速和波阻抗进行分界面的确定。

其中声速法采用超声波测量，通过不同物质的声速不同，将界面定位出来；波阻抗法则采用声波反射测量，根据反射波的强度和波形可以确定分界面的位置。

声波方法适用于复杂流体介质中的界面跟踪，其具有非接触、无污染等优势。

4. 数字图像方法数字图像方法是一种通过数字图像处理进行界面跟踪的方法，它通过拍摄物体表面的图像，经过计算机图像处理得到分界面的位置和形状。

一种精确求解两相流动的界面追踪方法近年来，随着计算机科学技术的发展，越来越多的工程应用需要精确地追踪两相流动的界面。

两相流动会涉及到气体和液体的生成、分离、混合和反应等流体动力学问题，由于它们的复杂性，在大多数情况下，无法精确地追踪两相界面。

因此，研究人员开发出了一种精确求解两相流动的界面追踪方法，以解决这一普遍存在的问题。

本文的目的是介绍一种精确求解两相流动的界面追踪方法。

首先，根据流体动力学原理，建立了模型，以确定两相流动的界面的运动方向和范围，以及相互之间的变化和相应的物理量。

随后，研究人员采用多层网格技术，在模型的基础上进行网格搜索，并且可以根据不同的流体状态来调整网格的分辨率，以获得更精细的界面追踪结果。

此外，为了提高追踪的精度，采用了多种数值计算技术，如偏微分方程求解、回路表示法和矢量插值等。

这些技术能够精确地反映流体的运动轨迹，并且可以有效地提高计算的稳定性，从而准确地求解两相界面的位置和运动方向。

另外，本文所提出的算法还能够有效地抑制流体混合和反应，这两种现象可能会影响界面追踪的结果。

总之，本文提出了一种新的精确求解两相流动的界面追踪方法。

该方法利用多种数值计算技术，以及多层网格搜索技术，能够准确反映流体的运动轨迹，并且可以有效地抑制液体混合和反应。

未来，可以把这种技术应用到更多的工程应用中，提高工程设计的准确性和可靠性，为实际的流体动力学应用提供有益的指导。

综上所述，本文提出了一种新的精确求解两相流动的界面追踪方法，它可以准确反映流体的运动轨迹，抑制流体混合和反应，是目前经典的界面追踪方法之一。

本文提出的新方法不仅有效提高了界面追踪的精度，而且可以更好地应用到工程上，为现有流体动力学应用提供参考和指导，为未来的研究和应用开辟了新的可能性。

相界面追踪方法在材料科学中的应用一、相界面追踪方法的概述相界面追踪方法是一种基于图像处理和计算机模拟的技术，能够精确地追踪材料中相界面的位置、形态和演化过程。

该方法最初由Taylor 等人在 1980 年提出，其主要思想是将材料中的相界面图像转化为数学模型，并通过计算机模拟来追踪相界面的位置和形态。

随着计算机技术的不断发展，相界面追踪方法也在不断演进。

目前，相界面追踪方法主要包括基于形态学的方法、基于梯度的方法、基于图像处理的方法和基于模拟的方法等。

这些方法在相界面追踪领域都有着广泛的应用。

二、相界面追踪方法在材料科学中的应用相界面追踪方法在材料科学中的应用非常广泛，能够用于研究材料的物理、化学和力学性质。

以下是相界面追踪方法在材料科学中的一些应用:1. 材料结构分析：相界面追踪方法可以用于分析材料的结构，例如晶体结构、位错结构等。

2. 材料物理性质研究：相界面追踪方法可以用于研究材料的物理性质，例如硬度、韧性等。

3. 材料化学性质研究：相界面追踪方法可以用于研究材料的化学性质，例如反应速率、相变等。

4. 材料力学性质研究：相界面追踪方法可以用于研究材料的力学性质，例如断裂韧性、疲劳寿命等。

三、相界面追踪方法在现代材料科学研究中的重要性随着材料科学的不断发展，相界面追踪方法在现代材料科学研究中也扮演着越来越重要的角色。

以下是相界面追踪方法在现代材料科学研究中的一些重要性:1. 材料结构分析：相界面追踪方法可以用于分析材料的结构，从而帮助人们更好地理解材料的物理、化学和力学性质。

2. 材料物理性质研究：相界面追踪方法可以用于研究材料的物理性质，例如硬度、韧性等，从而帮助人们更好地理解材料的力学行为。

3. 材料化学性质研究：相界面追踪方法可以用于研究材料的化学性质，例如反应速率、相变等，从而帮助人们更好地理解材料的反应机制。

4. 材料力学性质研究：相界面追踪方法可以用于研究材料的力学性质，例如断裂韧性、疲劳寿命等，从而帮助人们更好地理解材料的力学行为。

stefan问题的数值解法
普通有限元方法中的史蒂芬问题代表了一种常见的工程和数学问题，也是一种特殊的
多边形的求解问题。

它的本质是一个分形结构的形状识别问题，所以它也可以作为一种无
限精度空间搜索的模型来用于其他目的。

史蒂芬问题指的是对于一个N边形，对其中每条边，我们按照相同的权重求其相互独立的最小值，也就是求和这N条边的权重乘以它们相
互之间的距离，以求出最终的最小值。

在计算机上求解自然问题的有效方法之一就是数值方法，这类方法基于计算机的高精
度计算能力，用来解决解析解复杂分形结构极具挑战性的问题，其中史蒂芬问题就是一个
代表性的例子。

史蒂芬问题的数值解法就是利用计算机精确计算其多边形每条边两两之间的距离，然
后求其最小值，也就是把边的长度和这N条边的权重乘以一个系数C，可以得到“权重”，将之后的就变成了求此N边形最小值的优化问题，而对此最小值的求解则采用数值求解的
方法，最常用的就是采用梯度下降法和拟牛顿法来求解。

史蒂芬问题的数值求解是一种非常复杂且计算量比较大的问题，但由于其特殊性和重
要性，在工程上还是有一定的应用价值的。

因此，要想解决史蒂芬问题，比起使用解析的
方法，数值的方法更有效，它能够快速找到比较准确的最优解。

多相流体力学中的界面跟踪方法界面跟踪方法在多相流体力学研究中起着关键作用，它可以准确地预测和模拟物理界面的形态和行为。

本文将介绍多相流体力学中常用的界面跟踪方法，并讨论它们的优缺点。

界面跟踪方法可分为两大类：拉格朗日方法和欧拉方法。

拉格朗日方法基于跟踪液滴或颗粒等固体物质的运动来确定界面位置，而欧拉方法则通过求解控制方程来描述界面活动。

下面将分别介绍这两种方法。

拉格朗日方法是一种基于质点法的界面跟踪方法，它将物体表面分成许多小的质点，然后通过追踪和更新这些质点来确定界面的位置。

常见的拉格朗日方法有VOF（Volume of Fluid）方法和Level Set方法。

VOF方法是一种流体浸润方法，它通过跟踪界面处的流体体积分数来确定界面位置。

该方法适用于不可压缩流体。

它的优点是可以准确地模拟界面的形态和运动，但需要高分辨率的网格来确保准确性。

Level Set方法是一种通过跟踪曲线或曲面的演化来确定界面位置的方法。

该方法利用增加和减少一个标量函数的值来表示流体和固体的界面。

它可以模拟复杂界面的形态变化，并且对初始状态的依赖性较小，但对数值精度要求较高。

欧拉方法是一种通过求解欧拉方程来描述界面运动的方法，它根据物质点所在的位置来确定界面位置。

常见的欧拉方法有Front开放源代码工具包和Sharp-interface方法。

Front开放源代码工具包是一个用于模拟包含流体和固体的复杂界面的软件包。

它将欧拉方程应用于界面附近的网格，并根据网格上的数值计算出界面位置。

该方法适用于多相流体力学中的界面跟踪，但对初始条件和边界条件比较敏感。

Sharp-interface方法是一种利用界面位置和法向量进行计算的欧拉方法。

它能够准确地模拟界面的形态和运动，并且对网格质量和初始条件的依赖较小。

然而，该方法对计算资源的要求较高。

综上所述，界面跟踪方法在多相流体力学研究中起着重要作用。

不同的方法适用于不同的问题和条件，研究人员可以根据实际需求选择合适的方法来模拟和预测界面的行为。

多相Stefan题是一种描述热传导的基本问题，它可以用来模拟地球核心的物理现象，以及太阳系内部的热辐射传播过程。

因此，研究多相 Stefan题的渐近性质有助于我们提升对宇宙的认知，拓展对它的理解，探究它的本质。

Stefan题可以被归纳为对位势场的热传导方程，其形式如下： $$left{begin{aligned}&rho c_{v}frac{partial T}{partialt}=frac{partial}{partial x}[k_{alpha}frac{partial T}{partial x}+rho c_{p}frac{partial T}{partial x}]&T(x, 0)=T_{a 0}, quad T(L, t)=T_{b t}end{aligned}right.$$其中，$T$是温度，$t$是时间，$x$是横坐标，$rho$是物质密度，$c_{v}$是比热容，$k_{alpha}$是热导率，$c_{p}$是比容积。

对于多相 Stefan题，热传导方程的形式如下：$$left{begin{aligned}&rho_{1} c_{v 1}frac{partial T_{1}}{partialt}=frac{partial}{partial x}[k_{alpha 1}frac{partialT_{1}}{partial x}+rho_{1} c_{p 1}frac{partial T_{1}}{partial x}]&rho_{2} c_{v 2}frac{partial T_{2}}{partialt}=frac{partial}{partial x}[k_{alpha 2}frac{partialT_{2}}{partial x}+rho_{2} c_{p 2}frac{partial T_{2}}{partial x}]&rho_{3} c_{v 3}frac{partial T_{3}}{partialt}=frac{partial}{partial x}[k_{alpha 3}frac{partialT_{3}}{partial x}+rho_{3} c_{p 3}frac{partial T_{3}}{partial x}]&T_{1}(x, 0)=T_{a 0}, quad T_{2}(L, t)=T_{b t}end{aligned}right.$$其中，$T_{1}$、$T_{2}$、$T_{3}$分别表示三相的温度，$rho_{1}$、$rho_{2}$、$rho_{3}$是三相的物质密度，$c_{v 1}$、$c_{v 2}$、$c_{v 3}$是三相的比热容，$k_{alpha 1}$、$k_{alpha 2}$、$k_{alpha 3}$是三相的热导率，$c_{p 1}$、$c_{v 2}$、$c_{p 3}$是三相的比容积。

一个含Kinetic Undercooling的两相Stefan问题
徐龙封
【期刊名称】《安徽工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1999(016)004
【摘要】探讨了一个含ＫｉｎｅｔｉｃＵｎｄｅｒｃｏｏｌｉｎｇ的两相Ｓｔｅｆａｎ问题，并得到了这个问题关于时间的局部古典解存在的唯一性。

【总页数】5页(P345-349)
【作者】徐龙封
【作者单位】华东冶金学院基础课部
【正文语种】中文
【中图分类】O175.2
【相关文献】
1.一个主部含Hysteresis的两相Stefan问题 [J], 徐龙封
2.一个含Kinetic Undercooling的两相stefan问题 [J], 徐龙封
3.一类两相Stefan问题的弱解的局部存在性 [J], 金宗成
4.一个含Hysteresis两相Stefan问题 [J], 徐龙封;张敬和
5.一个具有Kinetic Undercooling的拟定Stefan问题 [J], 徐龙封
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多流体碰撞复杂界面的界面追踪法计算
周春晨;赵宁;李平
【期刊名称】《南京航空航天大学学报》
【年(卷),期】2008(040)002
【摘要】为实现对复杂运动界面的精确描述,本文对多流体碰撞复杂界面问题进行了深入的研究.以欧拉方程的黎曼解为基础,采用MUSCL格式,在现有的FronTier 软件包中加入了新的函数和变量,以达到完成复杂界面的计算.FronTier软件包是基于界面追踪方法编写的,可以完成界面不稳定性问题在简单界面情况下的计算.文中的方法成功实现了多流体碰撞复杂界面的计算,计算结果与实际碰撞过程相符.【总页数】4页(P195-198)
【作者】周春晨;赵宁;李平
【作者单位】南京航空航天大学航空宇航学院,南京,210016;南京航空航天大学航空宇航学院,南京,210016;中国工程物理研究院流体物理研究所,绵阳,621900;中国工程物理研究院流体物理研究所,绵阳,621900
【正文语种】中文
【中图分类】O354;O241
【相关文献】
1.复杂流体-固体界面相互作用热力学机制 [J], 陆小华;董依慧;安蓉;吴楠桦;吉晓燕;戴中洋;朱育丹;冯新
2.爆轰波垂直碰撞固体介质分界面爆炸压力计算 [J], 郭子如;刘伟;刘锋;何志伟;杜
宝强;吴俊浩
3.多介质碰撞问题的界面追踪法 [J], 王国陈;李晓林;赵宁
4.流体界面不稳定性数值模拟中不同介质界面的处理方法 [J], 蔚喜军;尤迎玖
5.流体界面稳定性的线化分析及其对界面实际稳定性的预报 [J], 张慧生;周亚仙因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一类新型二相Stefan问题的研究闫德宝【摘要】研究了一类新型二相stefan问题,该问题在自由边界上的条件和一般的stefan问题有较大的不同.在证明解的存在唯一性过程中,先将问题转化为等价的积分方程组,由此定义一Banach空间及其上的一个映照π.证明了T在该空间一闭子集上是压缩的,得到了积分方程组局部解的存在唯一性.由等价性也就证明了新型二相stefan问题局部解的存在唯一性.用延拓方法得到了整体解的存在唯一性.最后讨论了解的适定性.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2010(028)012【总页数】6页(P1495-1500)【关键词】二相Stefan问题;整体解;积分方程;Green函数;压缩映照原理;适定性【作者】闫德宝【作者单位】山东菏泽学院,数学系,山东,菏泽,274000【正文语种】中文【中图分类】O175.3Stefan问题是一种常见的自由边界问题，它是在研究固体融化或液体结晶过程中出现的．一个十分简单且典型的例子是水凝结成冰或冰融化成水的过程．本文考虑的新型二相Stefan问题如下：其中：0＜h0＜1 已知；a，b 为常数且 a＜0＜b；λ1，λ2，μ1，μ2为正常数；φ（x），ψ（x）为已知的连续函数，且a≤φ（x）≤0，0≤ψ（x）≤b．经典的Stefan问题中未知函数u，v在自由边界x=h（t）处满足第一类边界条件：以上新型Stefan问题中未知函数u，v在自由边界x=h（t）处满足下列第三类边界条件：其中c为u态和v态之间的临界值（在这里我们取c=0）．经典的Stefan问题认为在u态和v态之间存在一个严格的分界面，在此分界面上u和v都取．但这不符合问题的物理实际．若u态和v态在自由界面x=h（t）附近与c相差很大（比如在冰的融化问题中，假如冰的温度很低而水的温度很高就属于这种情况），条件（8）就不再能够真实地反映物理实际，而必须代之以条件（9）和（10）．因此，新型Stefan问题在边界h（t）上和一般的Stefan问题有着较大的不同．很长时间以来，人们对一般的Stefan问题已进行了相当深入的研究．这些研究大都是讨论在边界条件满足非第三类条件下解的存在性．随着对Stefan问题认识的不断深入，人们发现Stefan模型和其它模型存在着某种关系，文献［6］就研究了Stefan模型和另外一种模型与phase-field模型的渐近关系．这里讨论的模型就源于文献［6］．定义 1 称（u（x，t），v（x，t），h（t））是问题（1）～（7）在时间区间0≤t＜σ 的经典解，如果对所有的 t＜σ（0＜σ＜∞），满足（i）∂2u/∂x2，∂u/∂t，∂2v/∂2x 及∂v/∂t在 0＜x＜h（t），h（t）＜x＜1，0≤t＜σ 上连续；（ii）u，v 及∂u/∂x，∂v/∂x 在0≤x≤h（t），h（t）≤x≤1，0≤t＜σ 上连续；（iii）对于0≤t＜σ，h（t）是连续的，且对0＜t＜σ，h′（t）连续；（iv）方程（1）～（7）得到满足．引理1 问题（1）～（7）等价于如下的积分方程组：证明对 v（x，t），h（t）＜x＜1，t＞0，做如下的变换（x′，t）适用的 Green 函数为对（1），（14）应用 Green 公式，有对（15），（16）分别在 0＜ξ＜h（τ），0＜ε＜τ＜t－ε 和 0＜ξ′＜1－h（τ），ε＞0 上积分，并令ε→0，x→h（t）－0，x→h（t）＋0，α（t）=u（h（t），t），β（t）=v（h（t），t），即可得（11），（12）．由（5）式，我们还可以得到积分方程（13）．引理得证．定义 2 称（α（t），β（t），h（t））为积分方程组（11）～（13）的经典解，如果对所有的0≤t≤σ（0＜σ＜∞），满足：（i）（α（t），β（t），h（t））∈C［0，σ］×C［0，σ］×C［0，σ］；（ii）（α（t），β（t），h（t））满足积分方程组（11）～（13）．定理 1 若（u（x，t），v（x，t），h（t））是问题（1）～（7）的经典解，则当（α（t）=u（h（t），t），β（t）=v（h（t），t）时，（α（t），β（t），h （t））必是方程组（11）～（13）的经典解．反之，若（α（t），β（t），h （t））是方程组（11）～（13）的经典解，则当令 u（h（t），t）= α（t），v （h（t），t）= β（t）时，（u（x，t），v（x，t），h（t））必是（1）～（7）的经典解．证明正面的结论由前面的推导就可以得到，反过来的结论可用经典的位势理论（参看文献［6］）来证明，这里从略．用Cσ表示由［0，σ］上的连续向量函数（α（t），β（t））（0≤t≤σ）形成的Banach 空间，范数取为对给定的 M＞0，令Cσ，M为Cσ的下列闭子集：Cσ，M=｛（α，β）∈Cσ：‖（α，β）‖≤M｝，在Cσ上定义一映照：其中其中 h（t）由（13）给出，且令其中αi，βi∈Cσ，M（i=1，2）．记引理 2 当σ＞0 充分小时，问题（1）～（7）中的边界函数 h（t）有界：证明由（13）式注意到以下我们总设σ＞0充分小，使得下式成立即0＜σ≤．同理，由（13）还可得到由（20）和（21）就得到引理中的结论．引理3对满足引理1中的函数h1（t），h2（t）和σ，还可得到如下性质：引理4对Green函数和满足（22），（23）两式的h1（t），h2（t），下式成立：引理4的证明主要用到微分中值定理和引理3的结论，限于篇幅，这里略去证明．定理 2 假定φ（x），ψ（x）分别在0≤x≤h（0）及 h（0）≤x≤1 上连续，则定解问题（1）～（7）在t≥0 上存在唯一解（u（x），v（x），h（t））．证明首先证明对充分小的σ＞0，积分方程组（11）、（12）和（13）在0≤t≤σ（＜1）上存在唯一解．于是有同样，由（18）式也可得到从而我们有所以，T将Cσ，M映照到自身．下面证明T是Cσ，M上的一个压缩映照．对 f1，有利用Green函数的性质和引理4，当σ（＜1）充分小时，易得同理利用本节的诸引理可以得到关于f2～f6的估计：利用上述 f1～ f6的估计式（25）～（30）不难得到：其中以上诸Bi（i=1，2，…，8）是依赖于μ1，μ2，λ1，λ2，a，b，φ（x），ψ（x）的正常数．综合上面的分析容易得到：其中，B9=B7＋B8．取σ充分小，使其满足则有下式成立：这就证明了σ在满足（20），（24）及（33）的条件下，T在Cσ，M上是压缩的，故在其上有唯一的不动点．这就证明了积分方程（11），（12）的解的存在唯一性．由方程（13），h（t）的存在唯一性也得证．再由定理1，问题（1）～（7）局部解的存在唯一性得证．再证解对所有的t≥0存在．若不然，假设存在有限的σ*＞0，使得解的最大存在区间为［0，σ*），由以上的证明知故存在σ1＞0，使得∀t∈⌊0，σ*），问题（1）～（7）在区间［t0，t0＋σ1）上存在唯一解．由解的唯一性知，这些解在公共的定义区间上相等，说明解可以延拓到区间⌊0，σ*＋σ1），与假设矛盾．从而，整体解存在唯一．定理2得证．定理3设φi（x）∈C［0，h0］，ψi（ξ）∈C［h0，1］，i=1，2．则二相Stefan问题（1）～（7）在下述意义下关于初值稳定：证明先证明α（t），β（t），h（t）的稳定性．由（11）～（13）可得于是得到利用（33）式有利用α（t），β（t）与 u（x，t），v（x，t）的关系，仿上述的证明过程，不难得到结论．致谢：在写作本文的过程中崔尚斌教授给予了很多帮助和建议，作者在此表示衷心感谢！【相关文献】［1］Friedman A．Free boundary problems for parabolic I［J］．Melting of Solids Journal of Mathematics and Mechanics，1959，8（4）：499－517．［2］ Friedman A，Kinderlehrer．A one phase stefan problem［J］．Indiana Univ Math J，1975，24：1005－1035．［3］ Hsieh C K．Exact solutions of stefan problems for a peat front moving at constant velocity in a quasi-steady state［J］．Int J Heat Mass Transfer，1995，38：71－79．［4］ Hanzawa E I．Classical solutions of the stefan problem［J］．Tohoku Math Journ，1981，33：297－335．［5］ Cannon J R，C Denson H．Existence，uniqueness，stability，and monotone dependence in a stefan problem for the Heat equation［J］．Journal of Mathematics and Mechanics，1967，17（1）：1－19．［6］Hariharan S I，Young G W．Comparison of asymptotic solutions to a phase-field model to a sharp-interface model［J］．SIAM J Appl Math，2001，62（1）：244－263．［7］ Friedman A．抛物型偏微分方程［M］．夏宗伟，译．北京：科学出版社，1984．［8］宋长池，齐忠涛，朱广田，等．一类 Stefan 问题的适定性［J］．应用数学，1994，7（4）：437－443．［9］姜礼尚．二相 Stefan 问题（I）［J］．数学学报，1963，13（4）：631－646．［10］姜礼尚．二相 Stefan 问题（II）［J］．数学学报，1964，14（1）：33－49．［11］ Li Daqian．On a free boundary problem［J］．Chin Ann of Math，1980，1（3，4）：351－358．［12］ Li Daqian，Zhao Yancun．Global classical solutions to typical free-boundary problems for quasilinear hyperbolic systems［J］．Science in China：Series A，1990，33（7）：769－783．。

相界面追踪方法相界面追踪方法是计算机视觉中一种常用的方法，用于在视频中追踪目标物体的运动轨迹。

在过去的几十年中，相界面追踪方法得到了广泛的研究和应用，各种不同的算法和技术被提出并不断改进，以满足不同场景下的需求。

相界面追踪方法的基本思想是通过计算目标物体在相邻帧之间的光流，来估计目标物体的运动信息。

光流是指图像中像素在时间上的变化，可以用来表示物体的运动。

相界面追踪方法利用光流的性质和计算手段，通过对图像序列进行分析和处理，实现对目标物体位置的追踪。

相界面追踪方法的主要步骤包括：首先，通过计算相邻帧之间的光流场，得到目标物体的运动信息；然后，根据运动信息，更新目标物体的位置；最后，根据更新的位置，重新计算光流场，不断迭代直到达到追踪的要求。

相界面追踪方法的关键在于准确估计光流和有效更新目标物体的位置。

在实际应用中，相界面追踪方法面临着许多挑战和困难。

首先，光流的计算需要对图像序列进行复杂的数学运算，对计算资源和算法效率有较高的要求。

其次，目标物体在视频中可能面临着遮挡、快速运动、形变等问题，这些都会影响光流的计算和目标位置的更新。

此外，光照条件、噪声等因素也会对相界面追踪方法的准确性和鲁棒性造成影响。

为了应对这些挑战，研究者们提出了许多改进和优化的方法。

其中一种常用的方法是基于特征点的相界面追踪方法。

该方法通过在图像中提取一些具有独特性质的特征点，如角点、边缘等，然后通过计算这些特征点在相邻帧之间的光流来进行目标追踪。

这种方法可以有效地减少计算量和提高追踪的准确性。

另一种常用的方法是基于模型的相界面追踪方法。

该方法通过建立目标物体的模型，如形状模型、外观模型等，然后通过对模型的更新和匹配来实现目标追踪。

这种方法可以更好地应对目标物体的形变、遮挡等问题，提高追踪的鲁棒性和准确性。

除了以上两种方法，还有许多其他的相界面追踪方法被提出，如基于深度学习的方法、基于概率模型的方法等。

这些方法通过引入不同的技术和思想，进一步提高了相界面追踪方法的性能和应用范围。