上海市历年高三数学高考试题汇编：立体几何沪教版新课标

上海市03-08年高考数学试题汇编向量与解析几何1、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .（04上海理）2、在△ABC 中，若90C ∠=，4AC BC ==，则BA BC ⋅= . （05上海春）3、双曲线116922=-y x 的焦距是 . （05上海春）4、已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 _____（07上海理）5、过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是________________.（04上海春季）6、已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = . 7、已知两条直线l 1：ax+3y －3=0, l 2：4x+6y －1=0,若l 1∥l 2,则a= .8、直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________。

（05上海理）9、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。

（05上海理） 10、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

（05上海理）11、设抛物线的顶点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－1，则它的焦点坐标为 .（04上海理）12、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x .（07上海春）13、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m .（07上海春）14、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . (06上海春)15、 若向量b a 、的夹角为150，4,3==b a ，则=+b a 2 . (06上海春)16、若向量a b 、满足1,2,a b ==且a 与b 的夹角为3π，则a b +＝ .（08上海理）17、已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．（06上海理） 18、在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短 时，点B 的极坐标是 . (03上海理)19、给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. (03上海理)20、设M(p ,0)是一定点，0∠p ∠1，点A(a ,b )是椭圆1422=+y x 上距离M 最近的点，则a =f (p )= . (03上海春季)21、已知点A (1， －2)，若向量与＝{2，3} ＝213，则点B 的坐标为 .（04上海理） 22、在极坐标系中，点M (4，3π)到直线l ：ρ(2cos θ＋sin θ)＝4的距离d ＝ .（04上海理）23、圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0， -4)，B (0， -2)，则圆C 的方程为 .（04上海理）24、若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是________________（04上海春季）25、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标是(3,0),且焦距与虚轴长之比为5：4,则双曲线的标准方程是 . （06上海文）26、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____（07上海理）27、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．（06上海理）28、若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．（06上海理）29、在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ． （06上海理）30、已知实数x 、y 满足 x+y －3≥0, 则y －2x 的最大值是 .x+2y －5≤0x ≥0y ≥0（06上海文）31、 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 . (06上海春) 32、如图,平面中两条直线l 1和l 2相交于点O.对于平面上任意一点M,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”.根据上述定义, “距离坐标”是(1,2)的点的个数是 .（06上海文）33、已知圆的方程()2211x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。

专题：立体几何(★★★)教学目标1、掌握线线、线面、面面之间的位置关系，并会在简单情形下计算它们之间的距离及角的大小；2、会用正确的空间数学语言进行简单的演绎证明；3、掌握棱柱、棱锥的有关概念及性质；4、掌握斜二测画法，并会画简单几何体的直观图；5、掌握柱体、椎体、球体等简单几何体的性质，并会计算它们的表面积、体积及球面距离.知识梳理说明：其中三垂线定理上海这边不作要求，但是部分好的学校老师会涉及到，老师梳理的时候可酌情删留.典例精讲例1（★★）C B A ,,表示不同的点，l a ,表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理中，不正确的是（ ） A.ααα≠⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B.AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C.αα∉⇒∈⊂≠A l A l ,D.重合与不共线且βαβα⇒∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,, 答案：C.本题考查平面的基本性质及3个公理，并要求学生熟练运用数学语言表述 巩固练习1.（★★）若空间有4个点，则“这4个点中有3个点在同一条直线上”是“这4个点在同一个平面上”的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件答案：A. 空间中4个点有3个点在一条直线上，由于直线和直线外一点确定一个平面，所以另一点肯定和这三个点在同一平面上；而空间中4个点在同一平面上时，显然不一定有其中三点在同一直线上.故选A.本题是06年上海高考14题，考查平面的基本性质与充分必要条件的判定..例2（★★）设n m l ,,均为直线，其中n m ,在平面α内，“α⊥l ”是“n l m l ⊥⊥且”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件答案：A. 直线垂直于平面，则垂直于平面内任何一条直线，反之，直线必须垂直于平面内两条相交直线才垂直于平面.本题考查直线与平面的位置关系 巩固练习：1.（★★★）设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若α与、b a 所成角相等，则b a //B.若βαβα//,//,//b a ，则b a //C.若b a b a //,,βα⊂⊂，则βα//D.若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥答案：D. A 中两直线有可能相交；B 中两直线有可能相交或异面；C 中两平面可能相交；故选D. 本题要求对直线与平面的位置关系比较熟练.对于此类型的题目，可以提倡学生勤画图，找出反例即可. 2.（★★★）下列命题中，不正确的是（）A.已知直线l 平行于平面α，平面β经过l 且与平面α相交于直线'l ，则'//l l 。

近五年上海高考真题——解析几何（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）答案：4.4关键点：引入时刻t ，表示点,P Q ，直线PQ ，列出（不等式）圆心到直线PQ 的距离小于等于半径，解不等式可得提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤t ≤≤0 4.4t t ≤≤⇒∆=≈P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．答案：22143x y +=知识点：（2018秋20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）2BF t =+；（2）73AQP S =△；（3）245,5P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 关键点：FQ FP PM =+u u u r u u u r u u u u r知识点：中点弦（2018春18）已知a R ∈，双曲线22:1x y Γ-=．直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．答案．51-． 关键点：1212x x +=，因此用设而不求，韦达定理 知识点：和立体几何相关19．（7分+7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案．（1）14；（2）9.59︒．知识点：双曲线2017秋-6、设双曲线)0(19222>=-b b y x 的焦点为P F F ,,21为该双曲线上的一点，若5||1=PF ，则_____||2=PF答案：11关键点：双曲线的定义，发散：若16PF =，则2______PF = 关键点：216PF PF =± 知识点：参数方程(2017秋16)已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D 关键点：法一：椭圆的参数方程()1212126cos cos 2sin 3sin 6cos θθθθθθ+=-法二：柯西不等式121211226623x x y y x y y x +=+≤从本题也可看出，柯西不等式和两角差的余弦定理，参数方程之间的联系知识点：和向量相关秋-20、在平面直角坐标系中，已知椭圆1422=+Γy x ：，A 是其上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 是x 轴正半轴上的一点； （1）若点P 在第一象限，且2||=OP ，求点P 的坐标；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛5358，P ，且APM ∆为直角三角形，求M 的横坐标； （3）若MA MP =，4PQ PM =u u u r u u u u r ，直线AQ 交椭圆Γ于另一点C ，2AQ AC =u u u r u u u r,求直线AC 的方程；答案、（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,332P ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2029M 或⎪⎭⎫ ⎝⎛0,53M 或)0,1(M ； （3）设点()00,P x y 线段AP 的中垂线与x 轴的交点03,08M x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为4PQ PM =u u u r u u u u r ，所以003,32Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为2AQ AC =u u u r u u u r ，所以00133,42y C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入并联立椭圆方程，解得001,99x y ==-，所以13Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AQ的方程为110y x =+ 关键点：（2）直角=向量数量积为0；（3）设出点P 的坐标，根据题意，依次表示点M Q C 、、，点,P C 在椭圆上，建立方程组，可求出点,P C 的坐标春-10、设椭圆2212x y +=的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，则使得12F F P ∆是等腰三角形的点P 的个数是______答案：6关键点：半弦长的值域是[],a c a c -+春-20、已知双曲线()222:10,y x b bΓ-=> 直线():0l y kx m km =+≠，l 与Γ交于P Q 、 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n（1）若点()2,0是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为()1,0-，且32NP P Q ''=u u u u r u u u u r，求k 的值；（3）若2m =，求n 关于b 的表达式答案：（1）y = （2）12k =± （3）22b n =-知识点：应用题（2016秋-20）（6+8分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

1近五年上海高考汇编——立体几何一、填空题1.（2009年高考5）如图，若正四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是_____ ___.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan 52.（2009年高考理科8）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是_____ ___. 答案：12323S S S +=3.（2009年高考文科6）若球12,O O 的面积之比124S S =，则它们的半径之比12RR =___ ____. 答案：24.（2009年高考文科8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是____ ____. 答案：83π5.（2010年高考理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则以(),A B ,,C D O 为顶点的四面体的体积是_____ ___.答案：826.（2010年高考文科6）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为6的正方体，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱锥的体积是_____ ___.2答案：967.（2011年高考理科7）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为_____ __. 答案：33π 8.（2011年高考文科7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为_____ ____. 答案：3π9.（2012年高考理科6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=_____ ____.答案：8710.（2012年高考理科8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_____ ____. 答案：33π 11.（2012年高考理科14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是_____ ____.答案：22213c a c -- 12.（2012年高考文科5）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为_____ ____. 答案：6π13.（2013年高考理科13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为_____ ____.3答案：2216ππ+14.（2013年高考文科10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r =_____ ____.3二、选择题1.（2009年高考文科16）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 （ ）Oxyz443(D)(C)(B)(A)54433444答案：B三、解答题1.（2009年高考理科19）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，2AA BC AB '===,AB BC ⊥,求二面角B A C C '''--的大小4答案：如图，建立空间直角坐标系则 A ()2,0,0，C ()0,2,0，A 1()2,0,2，B 1()0,0,2，C 1()0,2,2， 设AC 的中点为M ，BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴ BM ⊥平面AC 1C ，即BM =()1,1,0是平面AC 1C 的一个法向量。

专题08空间向量与立体几何（15区新题速递）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、点、直线、平面之间的位置关系3．（2023·上海普陀·统考一模）图于E 点，现将ADE ∆沿直线(1)若22=PC ，求证：PE ⊥平面EBCD ；(2)若直线PE 与平面EBCD 所成的角为3π，求二面角二、空间几何体4．（2023·上海长宁·统考一模）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC 悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T .若忽略三角形豆腐ABC 的厚度，设3,4,5AB BC AC ===，点P 在ABC 内部.假设对于任意点P ，满足1PQ ≤的点Q 都在T 内，且对于T 内任意一点Q ，都存在点P ，满足1PQ ≤，则T 的体积为（）(1)若13，，求证：四面体AB PC==(2)若四面体-P ABC是鳖臑，当9．（2023·上海嘉定·统考一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面(1)求证：CE⊥平面PAD；-的体积为(2)若四棱锥P ABCD三、空间向量与立体几何11．（2023上·上海奉贤·高三校考期中）如图，己知四棱锥∠= ，PA⊥平面ABCD90ABCA．PB与CD所成的角是B．平面PCD与平面PBAC．PB与平面PCD所成的角的正弦值是D．M是线段PC上动点，12．（2023上·上海·高三上海市进才中学校考期中）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，的形状（如图②），若四边形-的表面积为体FE ABCD13．（2023·上海奉贤·统考一模）在四面体-P ABC 中，若底面ABC 的一个法向量为则顶点P 到底面ABC 的距离为．14．（2023·上海崇明·统考一模）在空间直角坐标系中，点15．（2023·上海长宁·统考一模）若向量16．（2023上·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，在四棱锥(1)求证：F 为PD 的中点；(2)若AD PB ⊥，求直线AD 与平面17．（2023上·上海虹口·高三校考期中）E 为BC 的中点．(1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA =，求平面18．（2023上·上海·高三上海市行知中学校考期中）M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点(1)判断直线MN 与直线BC 的位置关系并证明；(2)求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小.专题08空间向量与立体几何（15区新题速递）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、点、直线、平面之间的位置关系1．（2023·上海嘉定·统考一模）已知四面体,,ABCD AB BC AD CD ==．分别对于下列三个条件：①AD BC ⊥；②AC BD =；③2222AB CD AC BD +=+，是AB CD ⊥的充要条件的共有几个（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据题意，逐项分析判断即可.【详解】取线段AC 中点P ，连接,BP DP ，因为,AB BC AD CD ==，所以,AC BP AC DP ⊥⊥，又BP DP P = ，BP ⊂平面BDP ，DP ⊂平面BDP ，所以AC ⊥平面BDP ，所以AC BD ⊥，过A 作AH ⊥平面BCD ，连接,,DH BH CH 并延长分别交,,BC CD BD 于,,M N G ，则AH BD ⊥，AH AC A = ，所以BD ⊥平面ACH ，CH ⊂平面ACH ，所以BD CH ⊥，对于①，若AD BC ⊥，又AD AH AH AD A ⊥= ，，则BC ⊥平面ADH ，则BC DH ⊥，所以点H 为三角形BCD 垂心，则CD BH ⊥，又CD AH ⊥，同理可知CD ⊥平面ABH ，AB ⊂平面ABH ，所以AB CD ⊥.若已知AB CD ⊥，同理可证AD BC ⊥，则易知四面体,ABCD AB 易知AB MN ∥，若使AB 当且仅当a b =时，AB 所以在四面体,ABCD AB 所以②错误；(AB CD AB AD AC ⋅=⋅- cos AB AD BAD =∠- 222AB AD AB AD AB AD +=⋅ 2222AB AD BD +-=-【答案】6【分析】确定P 在平面ADC 抛物线方程，计算交点得到答案【详解】若P 到平面ABCD AD ⊥平面11AA B B ，AD ⊂平面11ADC B ，故平面ADC 故P 到平面11ABB A 的距离即P 到1AB 的距离，设正方体的中心为Q ，即1P AB d PQ -=，故P 的轨迹为平面不妨取正方体边长为4，AB 中点为M ，以MQ 所在的直线为(1)若22=PC ，求证：PE ⊥平面EBCD ；(2)若直线PE 与平面EBCD 所成的角为3π，求二面角【答案】(1)证明见解析(2)529arccos29（2）解：以E 为原点，以,DB ED 所在的直线分别为标系，如图所示，因为,DE EB DE PE ⊥⊥，且EB PE E = ，EB 所以DE ⊥平面PEB ，二、空间几何体4．（2023·上海长宁·统考一模）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为在ABC 内部.假设对于任意点试卷第11页，共23页其中：BCDF ，ACEI 和CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为ABC 区域内的几何体是高为因为四边形BCDF 和ACEI 可得2ππDCE ACB ∠=--∠试卷第12页，共23页由题意πtan 33h r r =⋅=故答案为：3.7．（2023·上海崇明·统考一模）已知圆锥的母线与底面所成角为【答案】2(1)若13AB PC ==，，求证：四面体(2)若四面体-P ABC 是鳖臑，当【答案】(1)证明见解析，(2)221arctan 1a a --或1arctan a）借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即可，体积试卷第13页，共23页材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面【答案】(1)矩形截面的梁的截面形状最好(2)答案见解析试卷第14页，共23页(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若四棱锥P ABCD-的体积为【答案】(1)证明见解析(2)1 arctan2【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得试卷第16页，共23页三、空间向量与立体几何A ．PB 与CD 所成的角是B ．平面PCD 与平面PBAC ．PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是D ．M 是线段PC 上动点，【答案】C【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题【详解】 90ABC ∠= ， PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD试卷第17页，共23页则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =- 对于A ， cos ,BP CD BP CD BP CD ⋅=且0,180BP CD ≤≤，∴,BP试卷第18页，共23页【答案】32165+/16532+【分析】根据平面图形的几何性质，分别求等腰三角形和梯形的高，再求各个面的面积，即可求总面积【详解】分别取AD ，BC 的中点G ，过点F 作AB 的垂线FI ，垂足为因为3FB FC ==，4BC =,所以试卷第19页，共23页(1)求证：F 为PD 的中点；(2)若AD PB ⊥，求直线AD 与平面【答案】(1)证明见详解；(2)23【分析】（1）取AD 的中点M ）AB AD ⊥，又AD PB ⊥，AB PB ⋂AD PAB ^面，所以AD PA ⊥，PA AB ⊥，AD PB ⊥，AB AD⊥A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP试卷第21页，共23页(1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA = ，求平面【答案】(1)证明见解析；(2)6arccos 3.试卷第22页，共23页（2）由EF DA = ，即//,EF AD EF 由（1）及题设易知2AC AB ==，BC 所以222AE DE AD +=，故AE DE ⊥可构建空间直角坐标系E xyz -，则所以(2,0,2),(0,2,AD AB =-=- (1)判断直线MN 与直线(2)求直线1A B 与平面BCC 【答案】(1)直线MN 与直线(2)π4.试卷第23页，共23页的位置关系即可；（2）由（1）知：面1BCC 所以1(2,0,2)BA = ，则|cos 故直线1A B 与平面11BCC B 所成角余弦值为所以直线1A B 与平面1BCC B。

上海市03-08年高考数学试题汇编立体几何(一 )填空题1、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 。

（05上海理）用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________。

（05上海理） 2、已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = . （08上海春）3、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是( ) （04上海理） (A )若l ⊂β且α⊥β，则l ⊥α. (B ) 若l ⊥β且α∥β，则l ⊥α. (C ) 若l ⊥β且α⊥β，则l ∥α. (D ) 若α∩β＝m 且l ∥m ，则l ∥α.4、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . (06上海春)5、若空间有两条直线,则 “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （06上海文） （ ) (A)充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件6、下图表示一个正方体表面的一种展开图， 图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中 相互异面的有 对. (03上海春季)7、如图，一扇形铁皮AOB ，半径OA=72c m ，圆心角∠AOB=60︒， 现剪下一个扇环ABCD 做圆台形容器的侧面，并从剩下的扇形OCD 内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底（圆台的下底面大于上 底面）则OC 的长为 . (03上海春季)8、平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。

已知两个相交平面,αβ与两直线12,l l ，又知12,l l 在α内的射影为12,s s ，在β内的射影为12,t t 。

试写出12,s s 与12,t t 满足的条件，使之一定能成为12,l l 是异面直线的充分条件 12,s s 平行，12,t t 相交9、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．（06上海理）10、在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）(03上海理)11、如图，在底面边长为2的正三棱锥ABCV-中，E是BC的中点，若VAE∆的面积是41，则侧棱VA与底面所成角的大小为___________(结果用反三角函数值表示). （04上海春季）（二）选择题12、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（06上海文） ( )(A)48 (B) 18 (C)24 (D) 3613、在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）(03上海理)A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β14、已知直线nml、、及平面α，下列命题中的假命题是( ) （05上海春）（A）若//l m，//m n，则//l n. （B）若lα⊥，//nα，则l n⊥.（C）若l m⊥，//m n，则l n⊥. （D）若//lα，//nα，则//l n.15、（08上海理）给定空间中的直线l及平面α.条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的[答]（）（A）充要条件.（B）充分大必要条件.（C）必要非充分条件.（D）既非充分又非必要条件.16、一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是（）(03上海春季)ABCVE(A)D 、E 、F (B)F 、D 、E (C)E 、F 、D (D)E 、D 、F17、若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）（06上海理） （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件．（三）解答题18、体积为1的直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，求直线1AB 与平面11BCC B 所成角。

ABDCA 1B 1C 1D 1立体几何【2010年上海文6】已知四棱椎P ABCD −的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 .【2010年上海理12】如图所示，在边长为4的正方形ABCD 纸片中，A C 与BD 相交于O ,剪去AOB ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A 、()B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为 。

【2011年上海理7】 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 【2011年上海文7】若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为【2011年上海文20】已知1111ABCD A B C D −是底面边长为1的正四棱柱，高12AA =，求 （1）异面直线BD 与1AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）四面体11AB D C 的体积.O 1D 1C 1B 1A 1CDBA【2011年上海理21】已知1111ABCD A B C D −是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点.（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A −−的大小为β.求证：tan 2tan βα=；（2）若点C 到平面111A B D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D −的高.【2012年上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．【2012年上海理14】如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ．【2012年上海理19】如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，22AD =，2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小 ．【2012年上海文19】如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求： （1）三棱锥P ABC −的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.PABCD【2013年上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ,O 是上底面圆心，A B 、是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则rl= .【2013年上海理13】在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x −+=≥和22(3)1(3)x y x −+=≥、两条直线1y =和1y =−围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ−+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【2013年上海理19】（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，2AB =,1AD =,11AA =，证明直线1BC 平行于平面1DA C ，并求直线1BC 到平面1DA C 的距离.D 1C 1B 1A 1D C BA【2013年上海文19】（本题满分12分）如图，正三棱锥O ABC −的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。

十年高考分类上海高考数学试卷精校版含详解11立体几何部分一、选择题（共11小题；共55分）1. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2. 给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分又非必要条件3. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 A. B.C. D.4. 若有平面α与β，且α∩β=l,α⊥β,P∈α,P∉l，则下列命题中的假命题为 A. 过点P且垂直于α的直线平行于βB. 过点P且垂直于l的平面垂直于βC. 过点P且垂直于β的直线在α内D. 过点P且垂直于l的直线在α内5. 若空间中有两条直线，则"这两条直线为异面直线"是"这两条直线没有公共点"的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件6. 已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是 A. 若l∥m，m∥n，则l∥nB. 若l⊥α，n∥α，则l⊥nC. 若l⊥m，m∥n，则l⊥nD. 若l∥α，n∥α，则l∥n7. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件8. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C19. 一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是 A. D、E、FB. F、D、EC. E、F、DD. E、D、F10. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 A. 48B. 18C. 24D. 3611. 在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是 A. 若l⊂β且α⊥β，则l⊥αB. 若l⊥β且α∥β，则l⊥αC. 若l⊥β且α⊥β，则l∥αD. 若α∩β=m且l∥m，则l∥α二、填空题（共24小题；共120分）12. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a=．13. 若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为．14. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为．15. 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个"正交线面对"．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的"正交线面对"的个数是．16. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan2，则该正四棱柱的高等于．317. 若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．18. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．19. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是（结果用反三角函数表示）．20. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．21. 一个高为2的圆柱，底面周长为2π．该圆柱的表面积为．22. 若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是．23. 若球O1、O2表面积之比S1S2=4，则它们的半径之比R1R2=．24. 如图，若正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是．25. 在正四棱锥P−ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60∘，则异面直线PA与BC所成角的正切值等于．26. 下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对．27. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．28. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）．29. 已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为π6，则lr=．30. 在xOy平面上，将两个半圆弧x−12+y2=1x≥1和x−32+y2=1x≥3、两条直线y=1和y=−1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过0,y∣y∣≤1作Ω的水平截面，所得截面面积为4π 1−y2+8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为．31. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A B、C、D、O为顶点的四面体的体积是．32. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a a>0．用它们拼成一a个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．33. 如图，在底面边长为2的正三棱锥V−ABC中，E是BC的中点，若△VAE的面积是1，则侧4棱VA与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）．34. 如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2．若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．35. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a a>0．用它们拼成a一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是．三、解答题（共22小题；共286分）36. 如图，正三棱锥O−ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．37. 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的正切值．38. 如图，在正四棱锥P−ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为60∘，求正四棱锥P−ABCD的体积V．π，39. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为23 A1B1长为π，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．3（1）求三棱锥C−O1A1B1的体积．（2）求异面直线B1C与AA1所成角的大小．，A1B1 40. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．长为π3（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．41. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA与OE 所成角的余弦值．42. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E，F分别是棱AB，BC的中点．证明A1，C1，F，E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值．43. 底面边长为2的正三棱锥P−ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．44. 如图，在长方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，AB=2，AD=1，AAʹ=1，证明直线BCʹ平行于平面DʹAC，并求直线BCʹ到平面DʹAC的距离．45. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC=π，AB=2，2 AC=23，PA=2．求：（1）三棱锥P−ABC的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．46. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB=2，AD=22，PA=2．求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．47. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）四面体AB1D1C的体积．48. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1D1的距离为4，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．349. 已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A−B1D1−A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；，求正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高．（2）若点C到平面AB1D1的距离为4350. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型霓虹灯A1B3、A3B5所在异面直线所成角的的余弦值．51. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．（1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值?并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；（2）若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）．52. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别在BB1，DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．（1）求证：A1C⊥平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小．（用反三角函数值表示）53. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为ℎ米，盖子边长为a米．（1）求a关于ℎ的函数解析式；（2）设容器的容积为V立方米，则当ℎ为何值时，V最大?求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）54. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1−A1C−C1的大小．55. 在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60∘，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60∘．（1）求四棱锥P−ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．56. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=90∘,AB=BC=1．（1）求异面直线B1C1与AC所成的角的大小；（2）若A1C与平面ABC所成角为45∘，求三棱锥A1−ABC的体积．57. 如图，P−ABC是底面边长为1的正三棱锥，D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P−ABC为正四面体；PA，求二面角D−BC−A的余弦值；（2）若PD=12（3）设棱台DEF−ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF−ABC有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．答案第一部分1. C2. C3. B4. D5. A6. D7. A 【解析】答案 A8. D 【解析】只有B1C1与EF在同一平面内，是相交的，选项A，B，C中直线与EF都是异面直线．9. C 10. D【解析】提示：问题可以等价转化为求正方体中过顶点的直线与过顶点的四边形所在平面垂直的对数共有多少个．11. B第二部分12. 413. 33π【解析】设圆锥的底面的圆的半径为r，高为ℎ，母线为l，则由题设πrl=2π,πr2=π,则r=1,l=2.于是ℎ=2−r2=4−1=3．该圆锥的体积V=13πr2ℎ=33π．14. 3π【解析】由主视图，得该圆锥的底面圆的半径为r=1，母线l=3，则该圆锥的侧面积是S=πrl= 3π．15. 36【解析】正方体中，一个面有四条棱与之垂直，所以六个面共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．16. 22【解析】BD=32，DD1=BD⋅23=22．17. 33π【解析】由圆锥的底面面积为π，可知圆锥的底面半径为1，由圆锥的侧面积为2π，可得圆锥的母线为2，则圆锥的高为3，所以V=13×3×π×12=33π.18. 33π【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为ℎ，则πl=2πr,12πl2=2π,解得l=2,r=1,从而ℎ=．所以该圆锥的体积V=13πr2⋅ℎ=13π×12×3=33π．19. arctan520. 24【解析】由三视图可知，切割后的两个小长方体的长、宽、高分别为2、3、2，所以体积和为22×3×2=24．21. 6π22. 8π323. 224.25. 2【解析】过点P作PO⊥平面ABCD于O，取AD的中点H，连接OH,PH，如图：要求PA与BC所成的角，即求∠PAD，由题意知，∠PHO=60∘，设HO=a，则PH=2a，AH=12AD=OH=a，故tan∠PAD=PHAH=2．26. 3【解析】提示：原正方体中四条线段AB、CD、EF和GH的位置如图所示：27. arcsin1328. arccos1329.【解析】如图，取下底面中心，记为M，连接OM、AM，则BC∥OM，所以OA与BC所成的角就是∠MOA，即∠MOA=π6，tanπ6=rl．30. 2π2+16π【解析】一个半径为1，高为2π的圆柱平放，和一个高为2，底面面积8π的长方体放在一起构成一个组合体，根据祖暅原理，这个几何体与Ω的每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π⋅12⋅2π+2⋅8π=2π2+16π.31. 823【解析】由于正方形的边长为4，且AC和BD相交于点O，那么AO=CO=DO=22，且∠AOD=∠DOC=∠COB=90∘，通过折叠，可得如下图形，而且AO、CO、DO两两垂直，那么对应的四面体的体积为V=13×12×22×22×22=823．32. 0<a<153【解析】①拼成一个三棱柱时，有三种情况：将上、下底面对接，其全面积为：S1＝2×12×3a×4a+3a+4a+5a×4a＝12a2+48；3a边可以合在一起时，S2＝24a2+36；4a边合在一起时，S3＝24a2+32．②拼成一个四棱柱，有三种情况：就是分别让边长为3a,4a,5a所在的侧面重合，其上、下底面积之和都是2×2×12×3a×4a＝24a2，但侧面积分别为：24a+5a×2a ＝36，23a+5a×2a＝32，23a+4a×2a＝28，显然，三个四棱柱中全面积最小的值为：S4＝2×2×12×3a×4a+23a+4a×2a＝24a2+28．由题意，得24a2+28<12a2+48．解得0<a<153．33. arctan14【解析】设V在底面上的射影为O，则O∈AE，且∠VAE就是侧棱VA与底面所成的角．因为底面△ABC的边长为2，所以其BC边上的高AE=3．由S△VAE=12VO⋅AE=14，解得VO=36，而AO=23AE=233，所以tan∠VAE=VOAO=14．34. 23c a2−c2−1【解析】利用椭圆的定义及割补法求体积．由AB+BD=AC+CD=2a>AD=2c，可得点B与点C都在以A、D为焦点的椭球上运动．过BC作垂直于AD的平面EBC交AD于E点，则四面体ABCD的体积为V=13AD⋅12×2 BE2−1=2c3BE2−1,要求四面体ABCD体积的最大值，即求BE的最大值．当E与AD的中点O重合，即B为椭圆短轴的端点时，BE最大，且BE=2−c2故四面体ABCD的体积的最大值为2c3a2−c2−1．35. 0,153【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有三种，边长为3a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+36，边长为4a的边重合在一起，构成的四棱柱的表面积为24a2+32，边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2+28；拼成三棱柱有一种，就是两个三棱柱的上下底面对接，此时新的三棱柱的表面积为12a2+48；若最小的是一个四棱柱，则要求24a2+28<12a2+48，解得0<a<153．第三部分36. 三棱锥O−ABC的体积是V O−ABC=1⋅S△ABC⋅1=3.设O在面ABC中的射影为Oʹ，BC的中点D，则OOʹ=1,OʹD=3 ,在Rt△OOʹD中，有OD=OOʹ2+DOʹ2=12+3=3,三棱锥O−ABC的表面积为S O−ABC=3S△OBC+S△ABC=3⋅BC⋅OD+3=33,所以，三棱锥O−ABC的体积为33，表面积为3．37. 如图：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，则EF⊥平面ABCD，所以∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角．由EF是△BCC1的中位线，得EF=12CC1=1.由F为BC的中点，得CF=1CB=1,在Rt△DCF中，DF=5,因为EF⊥DF，所以tan∠EDF=EFDF=55,故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是55．38. 如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接AO，O是正方形ABCD的中心，所以∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角．由题∠PAO=60∘，PA=2．所以PO=3,AO=1,AB=2,因此V=13PO⋅S ABCD=13×3×2=233.39. （1）连O1B1，则A1B1=∠A1O1B1=π3，所以△A1O1B1为正三角形，所以S△A1O1B1=34，所以V C−O1A1B1=13OO1⋅S△A1O1B1=312．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连BB1，则BB1∥AA1，所以∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）．BB1=AA1，连BC，BO，OC，AB=A1B1=π3，AC=2π3，所以BC=π3，所以∠BOC=π3，所以△BOC为正三角形，所以BC=BO=1，所以tan∠BB1C=BCBB1=1，所以∠BB1C=45∘，所以直线B1C与AA1所成角大小为45∘．40. （1）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=πr2l=π×12×1=π，圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π．（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则O1B1∥OB，所以∠COB或其补角为O1B1与OC所成的角．由A1B1长为π3，可知∠AOB=∠A1O1B1=π3，由AC长为5π6，可知∠AOC=5π6，∠COB=∠AOC−∠AOB=π2，所以异面直线O1B1与OC所成的角的大小为π2．41. V P−AOC=13×12×2=13．因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角．由PO=2，OA=OC=1，得PA=PC=AC=在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC=1010，故异面直线PA与OE所成角的余弦值为1010．42. 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A12,0,1，C10,2,1，E2,1,0，F1,2,0，C0,2,0，D10,0,1．因为A1C1=−2,2,0，EF=−1,1,0，所以A1C1∥EF，因此直线A1C1与直线EF共面，即A1，C1，F，E四点共面．设平面A1C1FE的法向量为n=u,v,w，则n⊥EF，n⊥FC1，又EF=−1,1,0，FC1=−1,0,1，故−u+v=0,−u+w=0,解得u=v=w.取u=1，得平面A1C1FE的一个法向量n=1,1,1．又CD1=0,−2,1，故CD1⋅n ∣∣CD1∣∣∣n∣=−1515.因此直线CD1与平面A1C1FE所成角的正弦值为1515．43. 在△P1P2P3中，P1A=P3A , P2C=P3C,所以AC是△P1P2P3的中位线，故P1P2=2AC=4.同理P2P3=P3P1=4,所以△P1P2P3是等边三角形，且边长为4．设Q是△ABC的中心，则PQ⊥平面ABC，所以AQ=233,PQ= AP22=236.因此V=1S△ABC⋅PQ=22.44. 因为ABCD−AʹBʹCʹDʹ为长方体，故AB∥CʹDʹ，AB=CʹDʹ，故ABCʹDʹ为平行四边形，故BCʹ∥ADʹ，显然直线BCʹ不在平面DʹAC上，于是直线BCʹ平行于平面DʹAC；直线BCʹ到平面DʹAC的距离即为点B到平面DʹAC的距离，设为ℎ．考虑三棱锥ABCDʹ的体积，以ABC为底面，可得V=1×1×1×2×1=1.而△ADʹC中，AC=DʹC=，ADʹ=，故S△ADʹC=3 2 .所以，V=1×3×ℎ=1⇒ℎ=2,即直线BCʹ到平面DʹAC的距离为23．45. （1）S△ABC=12AB⋅AC=12×2×23=23,三棱锥P−ABC的体积为V=1S△ABC×PA=1×23×2=43.（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2，所以cos∠ADE=22+22−22×2×2=34,所以∠ADE=arccos 3 .因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos34．46. （1）因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD．因为在直角三角形PCD中，PD=22+222=23，CD=2，所以三角形PCD的面积为1×2×23=2 3.（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B2,0,0，C 2,22,0，E 1,2,1，AE=1,2,1，BC=0,22,0．设AE与BC的夹角为θ，则cosθ=AE⋅BC ∣∣AE∣∣∣∣BC∣∣=42×22=22,所以θ=π4 ,由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．解法二：如图所示，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF=2，AF=2，AE=2，知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=π4，因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4．47. （1）连接BD，AB1，B1D1，AD1，因为BD∥B1D1，AB1=AD1，所以异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1，记∠AB1D1=θ，AB12=AD12=22+12=5,B1D12=2,所以在△AB1D1中，由余弦定理cosθ=AB12+B1D12−AD122AB1×B1D1=1010.所以异面直线BD与AB1所成角的余弦值为1010．（2）连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积V=V ABCD−A1B1C1D1−4×V C−B1C1D1=2−4×1 3=2 .48. （1）因为AA1⊥底面A1B1C1D1，所以AB1与底面A1B1C1D1所成的角为∠AB1A1，即∠AB1A1=α．因为△ABB1≌△ADD1，所以AB1=AD1，又O1为B1D1中点，所以AO1⊥B1D1，又A1O1⊥B1D1，则∠AO1A1是二面角A−B1D1−A1的平面角，即∠AO1A1=β．在Rt△AA1B1中，tanα=AA1 A1B1.在Rt△AA1O1中，tanβ=AA1 11.又A1B1=2A1O1，所以tanβ=α．（2）建立如图空间直角坐标系．设正四棱柱的高为 ℎ，底面边长为 1，则 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，从而AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC = 1,1,0 .设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,即x −ℎz =0,y −ℎz =0,取 z =1，得 n = ℎ,ℎ,1 ．则点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4.解得 ℎ=2．49. （1） 连接 AO 1，AA 1⊥ 底面 A 1B 1C 1D 1 于 A 1．AB 1 与底面 A 1B 1C 1D 1 所成的角为 ∠AB 1A 1，即 ∠AB 1A 1=α． 因为 AB 1=AD 1，O 1 为 B 1D 1 中点，所以 AO 1⊥B 1D 1，又 A 1O 1⊥B 1D 1，所以 ∠AO 1A 1 是二面角 A −B 1D 1−A 1 的平面角，即 ∠AO 1A 1=β． 设 AA 1=ℎ，所以tan α=AA 111=ℎ,（2） 建立如图空间直角坐标系，有 A 0,0,ℎ ，B 1 1,0,0 ，D 1 0,1,0 ，C 1,1,ℎ ，AB 1 = 1,0,−ℎ ,AD 1 = 0,1,−ℎ ,AC= 1,1,0 . 设平面 AB 1D 1 的一个法向量为 n = x ,y ,z ，则n ⊥AB 1 ,n ⊥AD 1,即n ⋅AB 1 =0,n ⋅AD 1 =0,取 z =1 得n = ℎ,ℎ,1 .所以点 C 到平面 AB 1D 1 的距离为d =∣∣n ⋅AC ∣∣= ℎ2+ℎ2+1=4, 则 ℎ=2．50. （1） 设圆柱形灯笼的母线长为 l ，则l=1.2−2r 0<r <0.6 ,S=−3π r −0.4 2+0.48π,所以当 r =0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米． （2） 当 r =0.3 时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得A1B3=0.3,0.3,0.6，A3B5=−0.3,0.3,0.6，设向量A1B3与A3B5的夹角为θ，则cosθ=A1B3⋅A3B5∣A1B3∣⋅∣A3B5∣=2,所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的余弦值为23．51. （1）圆柱体的高为1.2−2r，故S=πr2+2πr1.2−2r=π−3r2+2.4r0<r<0.6.当r=0.4时，S max=1.5080≈1.51m2.（2）当r=0.3时，l=0.6，作三视图如图．52. （1）因为CB⊥平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B．由A1B⊥AE,AE⊂平面A1B，得A1C⊥AE，同理可证A1C⊥AF，因为AF∩AE=A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以A1C⊥平面AEF．（2）过A作BD的垂线交CD于G，因为D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD．设AG与A1C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角．由已知，计算得DG=94．如图，建立直角坐标系，则得点 A 0,0,0 ，G 94,3,0 ，A 1 0,0,5 ，C 4,3,0 ，AG = 94,3,0 ，A 1C = 4,3,−5 ，因为 AG 与 A 1C 所成的角为 α．所以 cos α=∣∣AG ⋅A 1C ∣∣∣∣AG ∣∣⋅∣∣A 1C ∣∣=12 225，α=arccos12 225．由定理知，平面 AEF 与平面 D 1B 1BD 所成角的大小为 arccos 12 225．53. （1） 设 ℎʹ 为正四棱锥的斜高． 由已知a 2+4⋅1ℎʹa =2,ℎ2+1a 2=ℎʹ2,解得 a =ℎ2+1ℎ>0 ．（2） V =13ℎa 2=ℎ3 ℎ2+1ℎ>0 ，易得 V =13 ℎ+1ℎ，因为 ℎ+1ℎ≥2 ℎ⋅1ℎ=2，所以 V ≤16． 等号当且仅当 ℎ=1ℎ，即 ℎ=1 时取得．故当 ℎ=1 米时，V 有最大值，V 的最大值为 16立方米． 54. 如图，建立空间直角坐标系．则 A 2,0,0 ，C 0,2,0 ，A 1 2,0,2 ，B 1 0,0,2 ，C 1 0,2,2 ． 设 AC 的中点为 M ，连接 BM ．∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥ 平面 A 1C 1C ，即 BM = 1,1,0 是平面 A 1C 1C 的一个法向量． 设平面 A 1B 1C 的一个法向量是 n = x ,y ,z ．因为A 1C = −2,2,−2 ,A 1B 1 = −2,0,0 ,所以n ⋅A 1B 1 =−2x =0,n ⋅A 1C =−2x +2y −2z =0,令 z =1，解得x =0,y =1.所以n = 0,1,1 .设法向量 n 与 BM 的夹角为 φ，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 θ，显然 θ 为锐角． 因为cos θ=∣cos φ∣=∣∣n ⋅BM ∣∣∣n ∣⋅∣∣BM ∣∣=12,解得θ=π.所以，二面角 B 1−A 1C −C 1 的大小为 π3．55. （1） 在四棱锥 P −ABCD 中，因为 PO ⊥ 平面 ABCD ， ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，∠PBO =60∘． 在 Rt △AOB 中 BO =AB sin30∘=1，由 PO ⊥BO ， 于是，PO =BO tan60∘= 3，而底面菱形的面积为 2 3． 故四棱锥 P −ABCD 的体积 V =13×2 3× 3=2．（2） 解法一：以 O 为坐标原点，射线 OB 、 OC 、 OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．在 Rt △AOB 中 OA = A 、 B 、 D 、 P 的坐标分别是 A 0,− 0 、 B 1,0,0 、 D −1,0,0 、 P 0,0, 3 ． E 是 PB 的中点，则 E 12,0,32，于是 DE = 32,0,32，AP = 0, 3, 3 .设 DE与 AP 的夹角为 θ，有 cos θ=324+4⋅ 3+3=24． 所以，异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 24． 解法二：取 AB 的中点 F ，连接 EF 、 DF ．由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）．在Rt△AOB中AO=AB cos30∘=3=OP，于是，在等腰Rt△POA中，PA=EF=62．在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=3，所以cos∠FED=12EFDE=643=24，故异面直线DE与PA所成角的余弦值为24．56. （1）∵BC∥B1C1，∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角（或它的补角），∵∠ABC=90∘,AB=BC=1，∴∠ACB=45∘，∴异面直线B1C1与AC所成角为45∘．（2）∵AA1⊥平面ABC，∴∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠A1CA=45∘，∵∠ABC=90∘,AB=BC=1,AC=2，∴AA1=2，∴三棱锥A1−ABC的体积V=13S△ABC×AA1=26．57. （1）∵棱台DEF−ABC与棱锥P−ABC的棱长和相等，∴DE+EF+FD=PD+PE+PF．又∵截面DEF∥底面ABC，∴DE=EF=FD=PD=OE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60∘，∴P−ABC是正四面体．（2）取BC的中点M，连接PM,DM,AM．∵BC⊥PM,BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM，则∠DMA为二面角D−BC−A的平面角．由（1）知，P−ABC的各棱长均为1，∴PM=AM=32，由D是PA的中点，得sin∠DMA=ADAM =33，∴二面角D−BC−A的余弦值为63．（3）存在满足条件的直平行六面体．棱台DEF−ABC的棱长和为定值6，体积为V．设直平行六面体的棱长均为12，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为6，体积为18sinα=V．∵正四面体P−ABC的体积是212，故构造棱长均为12，底面相邻两边夹角的正弦值为8V的直平行六面体即满足要求．。

近五年上海高考试卷汇编——立体几何（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin（2018春14）如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4答案 C（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1） （2）4π（2012文19）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥ 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知2BAC π∠=，2AB =，AC=2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积．（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）答案：（1）3； （2）3arccos 4（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2016理19）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。

答案：12；4π （2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2） 关键点：方法一：建立空间直角坐标系（首选）； 方法二；平移法（2017秋考17）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，2,4,5,901===︒=∠BC AB BB ABC ；O MPBA（1）求三棱柱111C B A ABC V -的体积；（2）若M 是棱AC 中点，求M B 1与平面ABC 所成角的大小；答案：（1）20=V ；（2）5arctan；（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1）（2）4π（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．证明：略（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、'(0,2,0)C 、'(0,0,0)D .设平面'D AC 的法向量为(,,)n u v w =r ，则'n D A ⊥r u u u u r ，'n D C ⊥r u u u u r .因为'(1,0,1)D A =u u u u r ，'(0,2,1)D C =u u u u r ，'0n D A ⋅=r u u u u r ，'0n D C ⋅=r u u u u r，所以020u w v w +=⎧⎨+=⎩，解得2u v =，2w v =-.取1v =，得平面'D AC 的一个法向量(2,1,2)n =-r.因为'(1,0,1)BC =--u u u u r ，所以'0n BC ⋅=r u u u u r ，所以'n BC ⊥r u u u u r .又'BC 不在平面'D AC 内，所以直线'BC 与平面'D AC 平行.由(1,0,0)CB =u u u r，得点B 到平面'DAC 的距离23n CB d n ⋅===r u u u ru u r ，所以直线'BC 到平面'D AC 的距离为23（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．答案：4（2010理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB V ，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则以(),A B ,,C D O 为顶点的四面体的体积是 ．（2014理19文19）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是123PP P ∆，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．答案：在123P P P ∆中，13P A P A =，23P C PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. 同理，234P P =，314P P =.所以123P P P ∆是等边三角形，各边长均为4.设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ ==从而，13ABC V S PQ ∆=⋅=（2010春10）各棱长为1的正四棱锥的体积V = ． 答案：62 （2018秋15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：D关键点：底面矩形是下图的四种情形，每种情形都有四种垂直于底面的侧棱，故个数为16，（2018春7）如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，13,4,5AB BC AA ===，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．答案：5（2012文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 答案：6π（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2009文8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是．答案：8 3π（2015理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______．答案：3π（2014理6文7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）．答案：1 arccos3（2012理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．答案：3（2011春20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形（如图）,现把半径为10cm的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积．（精确到0.01）答案：设圆锥的底面半径为r，高为h.由题意，圆锥的侧面扇形的周长为121045ππ⋅⋅=()cm，圆锥底面周长为2r π()cm ，则24r ππ=，2r =()cm .=()cm ，圆锥的侧面扇形的面积为11410202S ππ=⨯⨯=()2cm ，半球的面积为 2214282S ππ=⨯⨯=.该蛋筒冰激凌的表面积122887.96S S S π=+=≈()2cm ；圆锥的体积为21123Vπ=⨯⨯()3cm ， 半球的体积为3214162233V ππ=⨯⨯=()3cm ，所以该蛋筒冰激凌的体积为)1216157.803V V V π=+=≈()3cm .因此该蛋筒冰激凌的表面积约为287.96cm ， 体积约为357.80cm .（2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2）O MPBA（2017秋4）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于___ 答案：9π（2009理8）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是 ．=（2013理13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ．答案： 2216ππ+（2017秋7）如图，以长方体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为)2,3,4(，则1AC u u u u r的坐标为_____答案：()4,3,2-4 5 知识点15：三视图（2011文7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 ．答案：3π（2014文8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于答案：24（2009年高考文16）如图,已知三棱锥的底面是直角⊥,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )()A ()B ()C ()D答案：B知识点16：截面问题（2017春15）过正方体中心的截面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A 、三角形B 、长方形C 、对角线不相等的菱形D 、六边形答案：A知识点17：球面距离（2010春21）已知地球半径约为6371千米． 上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时？（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0．1小时）（2）求大连与里斯本之间的球面距离．（结果精确到1千米）答案：（1）1.2小时； （2）约为10009千米 4 3 4 4 3 4知识点18：和数列相关（2012理6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++= ． 答案：87知识点19：补形法（2011春13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），AB 与CD 所成角的大小是 ．答案：3π提示：补充图形为正方体（2010春13）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm ，母线长最短50cm ，最长80cm ，则斜截圆柱的侧面面积S = 2cm ．答案：2600πO大连上海 北南极 赤里斯本知识点20：和圆锥曲线相结合 （2014春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB CD 、是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点. 已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点与圆锥顶点P 的距离为（ ）A 、1B 、32C 、62D 、104答案：D （2012理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ． 答案：22213c a c -- 题型：三棱锥的体积计算与椭圆试一试：已知在半径为2的球面上有A B C D 、、、四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为___________答案：43 选题理由：本题为四面体中，已知对棱的长为,a b ，对棱的夹角为θ，对棱的距离为h ，体积为1sin 6V abh θ=的典型题 40c50c80c（2018春19）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2图3 答案：（1）14；（2）9.59︒．。

17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1=12AB ·AC ·AA 1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC.∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角. ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴AM=12BC=12×42+22= 5.由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM,∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =55= 5.∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、（2015.上海）如图。