(完整版)正方形经典题型(培优提高).docx

1.（1）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．（2）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB，P F⊥BC垂足分别为，E、F，（1）请你猜想EF和PD有何关系，并证明；（2）如图②若点P是对角线AC延长线上任意一点，其它条件不变，请根据已知补全图形，并判断（1）中你所猜想的结论还成立吗？（不需要证明）2.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E．（1）试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论；（2）连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形（3）设AP=x，△PBE的面积为y，①求出y关于x 函数关系式；②当点P落在AC的何处时，△PBE的面积最大，此时最大值是多少？3.已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值．4.如图（1），P是正方形ABCD内一点，将△PBC绕点B按顺时针方向旋转后与△EBA重合．（1）若PB=a，求PE的长；（2）如图（2），P是正方形ABCD内一点，设PA=a，PB=√2a，∠APB=135°，求PC的长．5.如图，正方形ABCD，O是正方形中心，P为OA上一点，PB⊥PE交CD于E．（1）求证：PB=PE；（2）试写出PA，PC，CE三者之间的数量关系，并说明理由．6.点G是正方形ABCD边AB的中点，点E是射线BC上一点，∠A EF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，连接EG．（1）若E为BC的中点（如图1）①求证：△A E G≌△EFC；②连接DF，DB，求证：DF⊥BD；（2）若E是BC延长线上一点（如图2），则线段CF和BE之间存在怎样的数量关系，给出你的结论并证明．7.如图，已知在正方形ABCD中，P为BC上的一点，E是边BC延长线上一点，连接AP 过点P作P F⊥A P，与∠DC E的平分线CF，相交于点F，连接AF，与边CD相交于点G，连接PG．（1）求证：①∠PAB=∠F PC；②A P=FP；（2）试判断PB、DG、PC，这三条线段存在怎样的数量关系，并说明理由．8.在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD-2DE=√2BM；（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是；（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，连接CG．若DE=√2，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．。

专题04正方形的几何模型（三垂直模型）（培优篇）一、单选题1．如图，点()4,2M ，点P 在射线OM 上匀速运动，运动的过程中以P 为对称中心，O 为一个顶点作正方形OABC ，当正方形OABC 的面积为40时，点A 的坐标是（）A ．1)-B ．C ．D ．(6,2)-2．如图，在正方形ABCD 中，点G 为CD 边上一点，以CG 为边向右作正方形CEFG ，连接AF ，BD 交于点P ，连接BG ，过点F 作//FH BG 交BC 于点H ，连接AH ，交BD 于点K ，下列结论中错误的是（）A ．HE CD=B ．AHF △是等腰直角三角形C ．点P 为AF 中点D ．PK BK DP=+二、解答题于H，交直线AD于点E．3．在正方形ABCD中，点G是边DC上的一点，点F是直线BC上一动点，FE AG（1）当点F运动到与点B重合时(如图1)，线段EF与AG的数量关系是________．（2）若点F运动到如图2所示的位置时，（1）探究的结论还成立吗？如果成立，请给出证明：如果不成立，请说明理由．（3）如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，请直接写出折痕PQ的长．4．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．（3）如图1，若AB，CF＝3，请直接写出DE的长．5．如图，四边形ABCD 是正方形，点P 是线段AB 的延长线上一点，点M 是线段AB 上一点，连接DM ，以点M 为直角顶点作MN DM ⊥交CBP ∠的角平分线于N ，过点C 作//CE MN 交AD 于E ，连接EM ，CN ，DN ．（1）求证：DM MN =．（2）求证：//EM CN ．（3）若1AE =，BN =DN 的长．6．平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标系上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．(1)如图1，当OP=Q的坐标；(2)如图2，设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；(3)当BP+BQ=Q的坐标．7．如图1，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点（不与B 、C 重合），EF AE ⊥与正方形的外角DCG ∠的角平分线交于点F ．(1)求证：AE EF =．(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF 、BF ，BF 与AE 交于点H ，若正方形ABCD 的边长为4，则四边形ABFD 的面积是否随E 点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD 的面积．(3)在的（2）条件下，若4BCF S =△，求四边形AHFD 的面积．8．综合与实践情景再现我们动手操作：把正方形ABCD ，从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰三角形与正方形ABCD 重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形ABCD 沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，（1）问题呈现我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示①点P 是一动点，若AB =3，PA =1，当点P 位于___时，线段PB 的值最小；若AB =3，PA =5，当点P 位于时，线段PB 有最大值．PB 的最大值和最小值分别是______．②直接写出线段AE 与DB 的关系是_________．（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③所示，点E 在直线BC 上，FM ⊥CD 交直线CD 于M ．①当点E 在BC 上时，通过观察、思考易证：AD =MF +CE ；②当点E 在BC 的延长线时，如图④所示；当点E 在CB 的延长线上时，如图⑤所示，线段AD 、MF 、CE 具有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图④或图⑤证明你的猜想．问题拓展（3）连接EM ，当EMF S =8，2AF =50，其他条件不变，直接写出线段CE 的长_______．9．综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EF DE交直线BC于点F．（1）试猜想线段DE与EF的数量关系，并说明理由；CE CD CF之间的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,（3）如图2，当E在线段CO上时（不与点C，O重合），EF交BC延长线于点F，保持其余条件不变，直接写CE CD CF之间的数量关系．出线段,,。

正方形【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质例1、如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC的延长线上，且P E＝PB．求证：（1）△BCP△△D CP；（2）△DPE ＝△ABC．举一反三：【变式1】如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分△ACD 交BD于点M，MN△CM，交AB于点N，（1）求△BMN的度数；（2）求BN的长．【变式2】已知，如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，△ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ，当点D 在线段BC 的反向延长线上，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧时．(1)求证：△ABD △△ACF ；(2)若正方形ADEF 的边长为AE ，DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度．类型二、正方形的判定例2、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形ABFG 是菱形；（3）若60B ∠=︒，当BC =______AB 时，四边形AECG 是正方形．【变式】如图所示，在四边形ABCD中，AD△BC，△B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C出发沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P，Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？（3）若AB＝8，如果Q点的移动速度不变，要使PQBA是正方形，则P点移动速度是多少？类型三、正方形中的折叠问题例3 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求△EAG的度数；（3）求BG的长．【变式】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG△△AFG；（2）求BG的长．类型四、正方形中的最值问题例4.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，Q为BC边的中点，P为对角线AC上的一个动点，连接PB，PQ，求△PBQ周长的最小值．【变式】如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90︒得DF，连接AE，CF.点，2（1）若A、E、O三点共线，求CF的长；（2）求CDF的面积的最小值.正方形综合问题大题专练（重难点培优）例1．如图，正方形ABCD中，点E为边BC的上一动点，作AF⊥DE交DE、DC分别于P、F点，连PC（1）若点E为BC的中点，求证：F点为DC的中点；（2）若点E为BC的中点，PE＝6，PC=4√2，求PF的长．例2．（2020•三门县一模）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DA，AB上，且BE⊥CF于点G．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若四边形AECF的面积为12．①正方形ABCD的面积是；②当FG＝2时，求EG的长．例3．（2018•安丘市模拟）如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F．猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明．例4．如图，在△AFE中，∠F AE＝90°，AB是EF边上的高，以AB为一边在AB的右侧作正方形ABCD，CD交AE于点M．（1）求证：△ABF≌△ADM；（2）若AF＝13，DM＝5，求CM的长；（3）连接DF交AB于点G，连接GM，若∠DFB＝∠F AB，求证：四边形AGMD是矩形．例5．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F 在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD 上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．例6．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC上（不与点A、C重合），PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，连接PD．（1）求证：四边形PMBN是矩形．（2）猜想PD、PM、PN之间的数量关系，并说明理由．例7．（2019•黑龙江）如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接P A，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．（1）如图①所示，求证：AP=√2OA；（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．例8．（2019春•沙河市期末）如图，矩形ABCD和正方形ECGF．其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH．（1）求证：AF＝HG；（2）求证：∠F AE＝∠GHC；例9．（2020春•岳麓区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）若PB＝PQ，点F是BP的中点，连结EF、AF，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②求PE的长．例10．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP＝AB，PB＝PC．连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求∠P AC的度数．。

D专题20 正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l】如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G.下列结论：①05.112=∠AGD；②2=AEAD；③OGDAGDSS∆∆=；④四边形AEFG是菱形；⑤OGBE2=. 其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变． 探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由M 为AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1EABEBA【例3】如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．BA E【例4】 如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测HAF ∠的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=． （四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可A BCD E FGHP解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．BAF【例6】已知 ：正方形ABCD 中，045=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+． （1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造BM DN -是解题的关键．能力训练A 级1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===； ②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正ABCDM N图3 BC D M N图2 A C D M N 图1确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）BAE第1题图 第3题图 第4题图4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则'PP =__________.（河南省中考试题）5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A Λ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A .241cm B ．24cm n C.241cm n - D. 2)41(cm n （晋江市中考试题）ABCDPP ''B'D 'B F第5题图 第6题图6. 如图，以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果26,4==AO AB ，则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 28（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形ABCD 中，035,=∠=MCE MN CE ，那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065 D. 0758．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，CEF Rt ∆的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．10第8题图第7题图ABAD E F9．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：BE AF ⊥．B A10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41=． 求证：CE 平分BCF ∠．BAE11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足．求证：EF AP =．（扬州市中考试题）EBA12.（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >，G C B ,,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1 图2B 级1. 如图，在四边形ABCD 中，090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ，AB DE ⊥于E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE 的长为__________.2.如图，M 是边长为1的正方形ABCD 内一点，若02290,21=∠=-CMD MB MA ，则=∠MCD __________.ABCDEFGMABCDEFGM（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图CBAAAC3.如图，在ABC Rt ∆中，3,900==∠AC C ，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且24=OC ，则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于M ，过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点，作BD NP ⊥于点P ，连接NQ ，下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值，其中一定成立的是( ) A . ①②③ B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④5.如图，ABCD 是正方形，AC BF //，AEFC 是菱形，则ACF ∠与F ∠度数的比值是( )A . 3B ．4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A . 58B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BABADAQP7.如图，正方形ABCD 中，8=AB ，Q 是CD 的中点，设α=∠DAQ ，在CD 上取一点P ，使α2=∠BAP ，则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D. 3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中，M 是AB 中点，E 是AB 延长线上一点，DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1） （1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）图3图2图1AAAD D DE`9.已知,10,10<<<<ba求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++babababa．10.如果，点NM,分别在正方形ABCD的边CDBC,上，已知MCN∆的周长等于正方形ABCD周长的一半，求MAN∠的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）ADM11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH，对角线CGAE,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CGAE⊥，且CGAE=．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形MNBC内有一点A，以ACAB,为边向ABC外作正方形ABRT 和正方形ACPQ，连接BPRM,．求证：RMBP//．（武汉市竞赛试题）RPC。

武汉重点中学八年级数学下学期正方形专题培优训练1。

已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示）,点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3,则点A3到x轴的距离是（）A．B．C．D．2．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．a2B．a2C．（1﹣）a2D．(1﹣）a23.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G 为BC的三等分点,R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为(）A．10 B．12 C．14 D．16 4.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1,A2，…,A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分)的面积和为()A．cm2B．cm2C．cm2D．cm25．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10,ab=20，那么阴影部分的面积是．6.已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为．7。

如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE,△ACF．请回答下列问题：（1)说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?（4)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A,D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2)（3）(4）（5）题不必说明理由）8。

在平面直角坐标系xOy中,OEFG为正方形,点F的坐标为(1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．(1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2)若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合,且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不写求解过程），并画出此时的图形．9。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【浙教版】专题5.5正方形专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•阜平县期末）下列说法正确的是（ ）A．菱形的四个内角都是直角B．矩形的对角线互相垂直C．正方形的每一条对角线平分一组对角D．平行四边形是轴对称图形2．（2022春•巴中期末）下列说法正确的是（ ）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形3．（2022春•唐河县期末）已知：如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为（ ）A．120°B．135°C．145°D．150°4．（2022春•青秀区校级期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F分别为AO、AD的中点，若EF＝3，则OD的长是（ ）A．3B．4C．5D．65．（2022春•肥城市期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、BC上的点，且CE＝BF，AF、BE 相交于点G，下列结论中正确的是（ ）①AF＝BE；②AF⊥BE；③AG＝GE；④S△ABG＝S四边形CEGF．A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．（2022秋•舞钢市期中）如图，正方形ABCD中，点P和H分别在边AD、AB上，且BP＝CH，AB＝15，BH＝8，则BE的长是（ ）A．B．5C．7D．7．（2022•大渡口区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若，则线段AC的长为（ ）A．B．C．D．8．（2021秋•吉州区期末）如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线CF滑动，下列说法错误的是（ ）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形C．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形D．四边形ACDF不可能是正方形9．（2022秋•金水区校级期中）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有（ ）①当AB＝DC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在边长为15的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝3，则EF的长为（ ）A．12B．13C．14D．15二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022春•北京期中）如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 ．12．（2021秋•太原期末）添加一个条件，使矩形ABCD是正方形，这个条件可能是 ．13．（2022春•岱岳区期末）如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝25°，则∠AED的大小为 度．14．（2022秋•和平区校级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，正方形ABCD的边长为3，BE＝1，则DF的长为 ．15．（2022春•吴中区校级月考）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H若AB＝2，AG＝，则EB＝ ．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点F在边DC上运动（不包含两个端点），点E是边BC的中点，连接AE，AF，EF．当△AEF为等腰三角形，AE为底边时，CF的长为 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022春•周至县期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、AB上，且AF＝BE，AE、DF相交于点O．求证：∠BAE＝∠ADF．18．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．19．（2021•陕西模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O．过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE交于点E，求证：DE＝CE．20．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB 边上点，过点D作DE⊥BC交直线MN与E，垂足为F，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC再满足 条件时，四边形CDBE是正方形（直接填写答案）．22．（2022•崂山区一模）如图，正方形ABCD，点P在边BC的延长线上，连接AP交BD于F，过点C作CG∥AP交BD于点G，连接AG，CF．（1）求证：△ADF≌△CBG；（2）判断四边形AGCF是什么特殊四边形？请说明理由．23．（2021秋•宁阳县期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，且∠CGD＝∠DGE，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）猜想：△DEH的形状，并说明理由．（2）猜想BH与AE的数量关系，并证明．。

武汉重点中学八年级数学下学期正方形专题培优训练1.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（）．B C．D2．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）．a2Ba2C）3.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G 为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）4.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）．cm2Bcm2C．cm2Dcm2是．6.已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为．7.如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）8.在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不写求解过程），并画出此时的图形．9.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．10.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．11.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．12.如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）13.（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．14.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）武汉重点中学八年级下学期正方形培优试题答案1.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B 1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（）．B C．DD，∴，∴，，∴，=WQ=×=×，+=2.如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（）．a2Ba2C）DAE=×××a=）为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）4.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）．cm2Bcm2C．cm2Dcm2是20．）﹣﹣==[面积的，即是．×和为×cm6.已知，如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F，若AE=4，CF=3，则四边形OEBF的面积为．OB=×OB=故答案为．△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由），∴△8.在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．S=OE EF=的面积为时，易证得四边形OD=OA=即点的坐标为（，的面积为时，即点﹣﹣9.（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，=AB=×10.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；EF=，∴（（．=﹣点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．AB CD分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明），∴△ADD1≌△CAH（AAS），∴DD1=AH；同理：EE1=BH，13．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AE=AE，．MAN．（舍去负根）．，则﹣）．即14.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）PG PC=EFPC=（CE+EF=CE+PAPC=PC=PA=PG=DF=PC=EF=CE+PC=CE。

18.2.3正方形培优训练人教版2023—2024学年八年级下册一、知识梳理班级：姓名：1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直平分且相等2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为（）A．3 2 B．12 C．18 D．36第2题图第4题图第5题图3.在□ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB ＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__________.4.如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝__________.5.如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE、CE，则∠CED 的度数为__________.一、典型例题例1.正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE 绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF=FM；（2）当AE=1时，求EF的长．例2.如图，在△ABC和△BCD中，△BAC=△BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．（1）求证：AD=AF；（2）求证：BD=EF；（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．例3.已知边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，（1）如图1，若AE△BF，求证：EA=FB；（2）如图2，若△EAF=45°，AE的长为，试求AF的长度．例4.（1）如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．（2）如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．（3）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P 是BD上的动点，则PE+PC的最小值为．二、巩固练习1.下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形是轴对称图形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的菱形是正方形D ．正方形有2条对称轴2．四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设有下列条件：△AB=AD ；△△DAB=90°；△AO=CO ，BO=DO ；△矩形ABCD ；△菱形ABCD ，△正方形ABCD ，则在下列推理不成立的是（ ）A ．△△△△B ．△△△△C ．△△△△D ．△△△△3．如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH 的面积是（ ）A ．30B ．34C ．36D ．40第3题图 第4题图 第5题图4．如图，四边形ABCD 中，AD=DC ，△ADC=△ABC=90°，DE△AB ，若四边形ABCD 面积为16，则DE 的长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．85．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，得到下面四个结论：△OA=OD ；△AD△EF ；△当△BAC=90°时，四边形AEDF 是正方形；△AE 2+DF 2=AF 2+DE 2．其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△△6．如图，已知正方形ABCDF 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE第6题图 第7题图 第8题图 O FE D C B A FE D CB A7．将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ．8．如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF = ． 9．如图所示，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值为 ．10．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF =BE ．（1）求证：CE =CF ；（2）若G 在AD 上，且∠GCE =45°，求证：GE =BE +GD ．11．如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点（不与点A 、C 重合），过点O 作直线MN△BC ，设MN 交△BCA 的平分线于点E ，交△BCA 的外角平分线于点F ．（1）探究OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置，四边形AECF 是矩形，请说明理由；（3）在第（2）问的基础上，△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（4）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 能成为菱形吗？若能，请加以证明；若不能，则说明理由．。

特殊的四边形（正方形）培优
1.(1)如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B,C,G在同一条直线上，P为线段AE的中点，探究：线段PD,PF的关系，并加以证明.
（2）如图2，操作：将正方形CGEF绕点C顺时针旋转45°，使得正方形CGEF 的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上，P为线段AE的中点.
探究：线段PD,PF的关系，并加以证明.
(3)如图2，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变.
探究：线段PD,PF的关系，并加以证明.
2.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q. 探究AP与EF的关系.
6．已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.
⑴试说明线段ME与MC的关系.
α），其他条件不变，上⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度数（︒
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述结论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.
5.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q. 探究AP与EF的关系.。

F EP DCBA第十四讲 正方形性质与判定培优辅导一、 知识梳理1、正方形的定义： 叫做正方形。

2、正方形的性质：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质，还具有自己独特的性质① 边的性质： ．② 角的性质： ．③ 对角线性质： ．④ 对称性：正方形是 图形，也是 图形． 3、正方形的判定判定① 是正方形． 判定② 是正方形．判定③ 是正方形． 二、经典例题<正方形形的性质>【例1】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F . P A 与EF 有怎样的关系？ 请说明理由．【变式题组】如图所示，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连结BE ，DG ．•观察猜想BE 与DG 之间的关系，并证明你的猜想的结论．【例2】如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，DC 的中点，BF ，CE 相交于点M ，求证：AM=AB ．正方形菱形矩形平行四边形【变式题组】如图①，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． (1)求证：OE ＝OF ；(2)如图②，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则结论“OE ＝OF ”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图① 图②<正方形的判定>【例3】如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且△ACE 是等边三角形．⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵若∠AED ＝2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形．【变式题组】如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ，设MN交∠BCA 的平分线于点E ， 交∠BCA 的外角平分线于F ． （1）探究线段OE 与OF 的数量关系并证明；⑵当点O 运动到何处时，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？⑶当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；ABDOCE三、正方形最值问题【例4】1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为．2、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．3、如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．【变式题组】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。