学业分层测评 第2章 2.3 平均值不等式(选学)

2.3平均值不等式(选学)学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理平均值不等式1．(平均值不等式)设a1，a2，…，a n为n个正数，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.(推论1)设a1，a2，…，a n为n个正数，且a1a2…a n＝1，则a1＋a2＋…＋a n≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n＝1.当n＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．(推论2)设C为常数，且a1，a2，…，a n为n个正数，则当a1＋a2＋…＋a n ＝nC时，a1a2…a n≤C n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝a n.当n＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．2．任意给定n个正数，先求它们倒数的平均1a1＋1a2＋…＋1a nn，然后再作这个平均值的倒数n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，称其为a 1，a 2，…，a n 的调和平均． (定理2)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则na 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .3．(定理3)设a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n . (推论3)设a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥n 2.1．设x ，y ，z 为正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)[解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23. ∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． [答案] B2．若a ，b ，c ，d 为正数，则b a ＋c b ＋d c ＋ad的最小值为_____________.[解析]由平均值不等式可得，ba＋cb＋dc＋ad≥44ba·cb·dc·ad＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．[答案] 4[精彩点拨]根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值．[自主解答]根据平均值不等式x2－172＋x2－172＋(79－x2)≥3 3(x2－17)2(79－x2)4＝33y24，即y2≤623×427.当且仅当x2－172＝79－x2，即x2＝1753时等号成立．这时y max＝1241869.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x ，y ，z ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞且x ＋y ＋z ＝3，求y ＝3x －2＋3y －2＋3z －2的最大值．[解]3x －2＋3y －2＋3z －2＝(3x －2)·1＋(3y －2)·1＋(3z －2)·1 ≤3x －2＋12＋3y －2＋12＋3z －2＋12＝3(x ＋y ＋z )－32. ∵x ＋y ＋z ＝3，∴3(x ＋y ＋z )－32＝3，∴3x －2＋3y －2＋3z －2≤3.故y max ＝3.【例2】 若x >0，求证：10＋x 9>92＋x .[精彩点拨]由于不等式右边为92＋x，故将左边拆项，利用不等式证明．[自主解答]10＋x9＝1＋1＋x9即原不等式成立．在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．2．设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.[证明] ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥3 31a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c， ∴[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )×331a ＋b ×1b ＋c ×1a ＋c，即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥9，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.试比较n 个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系．[提示] 在课本中已讲过n 个正数a 1，a 2，…，a n 的算术平均和几何平均分别是A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n和G n＝na 1a 2…a n . 此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到) H n ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n. 平方平均(在统计学及误差分析中用到) Q n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn.这四个平均值有以下关系：H n ≤G n ≤A n ≤Q n . 其中等号成立的充要条件都是a 1＝a 2＝…＝a n .【例3】 设x 1，x 2，x 3为正数，证明：x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形．[自主解答] x 2x 1＝x 2x 3·x 3x 1·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋1，① x 3x 2＝x 3x 1·x 1x 2·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋1，② x 1x 3＝x 1x 2·x 2x 3·1≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋1，③ 1＝x 3x 1·x 1x 2·x 2x 3≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33.④上述不等式中，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取“＝”号．①＋②＋③＋④得x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3＋1≤13[3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13＋3]， ∴x 2x 1＋x 3x 2＋x 1x 3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3x 13.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如x 2x 1可变为x 2x 3·x 3x 1·1.3．已知a ，b ，c 为正整数，且b ＋c >a ，c ＋a >b ，a ＋b >c . 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c ≤1. [证明] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －b c c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a …⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b …⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c －a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c …⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a －b c≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·a ＋b －ca ＋b ·b ＋c －a b ＋c ·c ＋a －b c a ＋b ＋c a ＋b ＋c ＝1.即原不等式成立．1．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . [答案] B2．已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1的最大值为( )A ．9B ．3 3C ．16D ．4 3[解析]8a ＋1＋8b ＋1＋8c ＋1＝13(8a ＋1)·9＋13(8b ＋1)·9＋13(8c ＋1)·9≤8a ＋1＋96＋8b ＋1＋96＋8c ＋1＋96＝8(a ＋b ＋c )＋306＝9.当且仅当a＝b ＝c ＝1时取等号．[答案] A3．当x >0时，y ＝3x ＋12x 2的最小值为( ) A ．3239 B ．3 C ．5235D ．432[解析] y ＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2 ≥3332x ·32x ·12x 2＝3398＝32 39.当且仅当32x ＝12x 2，即x ＝313时，等号成立． [答案] A4．已知x ，y ，z 为正数，且2x ＋3y ＋5z ＝6，则xyz 的最大值为________． [解析] ∵x ，y ，z 为正数，∴xyz ＝130×2x ×3y ×5z ≤130×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋5z 33＝415.当且仅当2x ＝3y ＝5z ，即x ＝1，y ＝23，z ＝25时等号成立．[答案] 4155．证明：设n 为正整数，则n [(n ＋1)1n －1]<1＋12＋13＋…＋1n . [证明] 原不等式等价于：(n ＋1)1n <1＋12＋13＋…＋1n n ＋1＝1＋12＋13＋…＋1n ＋n n .∵1＋12＋13＋…＋1n ＋nn＝(1＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2＋32＋43＋…＋n ＋1n n >n 2·32·43·…·n ＋1n＝nn＋1＝(n＋1)1 n，∴原不等式成立．课时分层作业(十) 平均值不等式(选学)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c与9的大小关系是()A．1a＋1b＋1c≥9B．1a＋1b＋1c<9C．1a＋1b＋1c＝9 D．不确定[解析]∵a＋b＋c＝1，∴1≥33abc，∴abc≤127，又a，b，c为正数，∴1abc≥27，∴1a＋1b＋1c≥331abc≥3327＝9.[答案] A2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为()A．336 B．2 2C．12 D．123 5[解析]∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x·22y·23z＝332x＋2y＋3z＝3×4＝12.当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝23时取等号．[答案] C3．若2a>b>0，则a＋4(2a－b)b的最小值是()A．3 B．1 C．8 D．12[解析]a＋4(2a－b)b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a－b2＋b2＋1⎝⎛⎭⎪⎫a－b2b2≥33⎝⎛⎭⎪⎫a－b2·b2·1⎝⎛⎭⎪⎫a－b2b2＝3.当且仅当a－b2＝b2＝1⎝⎛⎭⎪⎫a－b2b2，即a＝b＝2时等号成立．[答案] A4．已知x为正数，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋ax n≥n＋1(n为正数)，则a的值为()A．n n B．2n C．n2D．2n＋1[解析]x＋ax n＝xn＋xn＋…＋xn＋ax n，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.[答案] A5．已知a，b，c为正数，x＝a＋b＋c3，y＝3abc，z＝a2＋b2＋c23，则()A．x≤y≤z B．y≤x≤z C．y≤z≤x D．z≤y≤x [解析]∵a，b，c为正数，∴a ＋b ＋c 3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29.∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ， 即y ≤x ≤z . [答案] B 二、填空题 6．设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均．如图，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均，线段________的长度是a ，b 的几何平均，线段________的长度是a ，b 的调和平均．[解析] 在Rt △ABD 中，由射影定理易得到DC 2＝ab ，DC ＝ab ，故线段DC 的长度为a ，b 的几何平均数．又因为△ODC ∽△CDE ，所以CD OD ＝DECD ，则DE ＝CD 2OD ＝2ab a ＋b，故线段DE 的长度为a ，b 的调和平均数.[答案] DC DE7．当a ＞1,0＜b ＜1时，则log a b ＋log b a 的范围是________． [解析] ∵a ＞1,0＜b ＜1， ∴log a b ＜0，log b a ＜0， ∴－log a b ＞0，－log b a ＞0，∴－log a b －log b a ≥2(－log a b )(－log b a )＝2.当且仅当b ＝1a 时取等号， ∴log ab ＋log b a ≤－2. [答案] (－∞，－2]8．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．[解析] 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3. 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6， ∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615. [答案] 1615 三、解答题9．证明不等式1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<n (n ＋2)2对一切正整数成立． [证明] ∵n (n ＋1)<2n ＋12，∴1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<32＋52＋…＋2n ＋12， 即1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)<n (n ＋2)2.10．(1)已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x x ∈0，12的最小值，指出取最小值时的x 的值．[解] (1)证明：由二元均值不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2·y x ＋b 2·x y ≥a 2＋b 2＋2a 2·y x ·b 2·x y ＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y .当且仅当a 2y x ＝b 2xy ， 即a x ＝by 时上式取等号．(2)由(1)知，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，f (x )取最小值，且f (x )min ＝25.[能力提升练]1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q ＜p ＜1)( )A ．先提价p %，再提价q %B ．先提价q %，再提价p %C ．分两次都提价q 2＋p 22%D ．分两次都提价p ＋q2%[解析]a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，由题可知，A ，B 两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)相等，C 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，D 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，p ＋q 2＜p 2＋q 22⇒(1＋p %)(1＋q %)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＜⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，则提价最多为C. [答案] C2．若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况[解析] y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x ≥216＝8，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16，x ＋1x ＝4，x ＝2＋3时取“＝”．[答案] B3．若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________．[解析] (x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y (x ＋y ＋z )zx ＝2. [答案] 24．甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y 元表示为速度v 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？[解] (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v . 故所求函数为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ，v ∈(0，c ]．(2)由题意知s ，a ，b ，v 都是正数， 故有s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ≥2s ab .当且仅当av ＝b v ，即v ＝ab 时等号成立．若ab ≤c ，则当v ＝ab 时，全程运输成本y 最小；若a b >c 而v ∈(0，c ]，y ＝s⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v 在(0，c ]上为减函数． ∴v ＝c 时，y min ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋bc .综上可知，为使全程运输成本y最小，当ab≤c时，行驶速度应为v＝abb；当ab>c时，行驶速度应为v＝c.。

——教学资料参考参考范本——高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评7综合法与分析法北师大版选修4_5______年______月______日____________________部门(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法【解析】要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．【答案】B2．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )A.< B．a2>b2C.> D．a|c|>b|c|【解析】∵a>b，c2＋1>0，∴>，故选C.【答案】C3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( )A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0【解析】a2＋b2－1－a2b2＝－(a2－1)(b2－1)≤0.【答案】D4．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立．故“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．【答案】A5．设a>b>0，m＝－，n＝，则( )A．m<n B．m>nC．m＝n D．不能确定【解析】∵a>b>0，∴>，∴－>0，>b.()a－b2－()2＝a＋b－2－(a－b)＝2(b－)<0，∴(－)2<()2，∴－<，即m<n.【答案】A二、填空题6．设a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，若M＝··，则M的最小值为__________.【导学号：94910022】【解析】M＝≥8 (8)当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．【答案】87．有以下四个不等式：①(x＋1)(x＋3)>(x＋2)2；②ab－b2<a2；③>0；④a2＋b2≥2|ab|.其中恒成立的为__________(写出序号即可)．【答案】③④8．已知a>0，b>0且a＋b＝1，则＋＋与8的大小关系是__________．【解析】∵a>0，b>0且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2>0，进而得≥2，于是得≥4.又∵＋＋＝＝＝2·≥8.故得＋＋≥8.【答案】＋＋≥8三、解答题9．设a>0，b>0，c>0.证明：(1)＋≥；(2)＋＋≥＋＋.【证明】(1)∵a>0，b>0，∴(a＋b)≥2·2＝4，∴＋≥.(2)由(1)知＋≥.同理，＋≥，＋≥，三式相加，得：2≥＋＋，∴＋＋≥＋＋.10．如果a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)，并指明何值时取“＝”号．【证明】因为a>b，所以a－b>0，欲证a2＋b2≥2(a－b)，只需证≥2.因为a>b，a－b>0，又知ab＝1.所以＝＝a－b＝(a－b)＋≥2＝2.所以≥2，即a2＋b2≥2(a－b)．当且仅当a－b＝，即a－b＝且ab＝1时，取等号．能力提升]1．设＜＜＜1，则( )A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜abC．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa【解析】∵＜＜＜1，∴0＜a＜b＜1，∴＝aa－b＞1，∴ab＜aa，aa ba ＝⎝⎛⎭⎪⎫aba∵0＜＜1，a＞0，∴＜1，∴aa＜ba，∴ab＜aa＜ba.故选C.【答案】C2．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是( )A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C.＋＋≥2 3D．abc(a＋b＋c)≤13【解析】因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1.又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3.故B成立．【答案】B3．若不等式＋＋>0在条件a>b>c时恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】不等式可化为＋>.∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，∴λ<＋恒成立．∵＋a－cb－c＝＋b－c＝2＋＋≥2＋2＝4，∴λ<4.故实数λ的取值范围是(－∞，4)．【答案】(－∞，4)4．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时等号成立．【证明】因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①1＋＋≥3(abc)，a所以2≥9(abc)，②故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc).又3(abc)＋9(abc)≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当＝9(abc)时，③式等号成立．因此当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立．。

第二章 2.2 2.2.4 第1课时请同学们认真完成 [练案15]A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分) 1．下列说法错误的是( D ) A ．若a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥abB ．若a ＋b2≥ab ，则a ≥0，b ≥0C ．若a >0，b >0，且a ＋b2>ab ，则a ≠bD ．若a ＋b2>ab ，且a ≠b ，则a >0，b >0解析：A 选项为均值不等式，故正确；若a ＋b2≥ab ，说明a ，b 为正数且可以取0，故B正确；若a >0，b >0，且a ＋b2>ab ，则a ≠b ，因为均值不等式中等号成立的条件是两数相等，故C 正确；D 选项中，当a ＝0，b ＝1时，符合a ＋b2>ab ，且a ≠b ，但不符合a >0，b >0.故D选项错误．2．已知x >0，则9x＋x 的最小值为( A )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时取得最小值6，故选A ．3．已知a ，b 都为正实数，2a ＋b ＝1，则ab 的最大值是( B ) A ．29 B ．18 C ．14D ．12解析：因为a ，b 都为正实数，2a ＋b ＝1， 所以ab ＝2ab 2≤12(2a ＋b 2)2＝18，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时，ab 取最大值18.4．若y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B ) A ．52 B ．3 C ．72D ．4解析：∵y ＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2 ≥2x －2·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立， ∴当n ＝3时，y ＝x ＋1x －2(x >2)取得最小值． 5．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为( C )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：依题意2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ·2a b ＝5＋4＝9(当且仅当2b a＝2ab时，等号成立)，故选C ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为__258__.解析：因为a >0，b >0，a ＋2b ＝5， 所以ab ＝12a ·2b ≤12(a ＋2b 2)2＝258，当且仅当a ＝2b 时，取等号． 7．已知a >3，则4a －3＋a 的最小值为__7__. 解析：根据题意，当a >3时，4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3≥24a －3×a －3＋3＝7，当且仅当a ＝5时，等号成立，即4a －3＋a 的最小值为7. 8．当x >0时，函数y ＝2xx 2＋1的最大值为__1__. 解析：因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，取等号，故函数y ＝2xx 2＋1的最大值为1. 三、解答题(共20分) 9．(10分)设x >－1，求x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解析：因为x >－1，所以x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有：x ＋5x ＋2x ＋1＝t ＋4t ＋1t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. 所以当x ＝1时，函数取得最小值是9.10．(10分)(1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值． 解析：(1)∵1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ， ∴ab ≤14，∴ab ≤116，当且仅当a ＝18，b ＝12时，取等号，故ab 的最大值为116.(2)∵x ＋3y ＝5xy ，x >0，y >0， ∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝135＋3x 5y ＋4y 5x ×3≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y5x，即x ＝2y ＝1时，取等号．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( D )A ．a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C ．2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D ．a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)解析：由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝a ＋b22＋a －b22＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．2．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( A ) A ．8 B ．4 C ．2D ．0解析：由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.所以x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4yx＋xy＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立． 二、多选题(每小题5分，共10分) 3．下列不等式一定成立的是( BC ) A ．x 2＋14>x (x >0)B ．x ＋1x≥2(x >0)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对于A ，当x ＝12时，x 2＋14＝x ，所以A 不一定成立；对于B ，当x >0时，不等式成立，所以B 一定成立；对于C ，不等式显然恒成立，所以C 一定成立；对于D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，所以D 不成立．故选BC ． 4．下列结论正确的是( AC ) A ．当x >0时，x ＋1x≥2B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x >0，y >0时，x y ＋y x≥2 D ．若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a解析：在A 中，当x >0时，x >0，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，结论成立；在B 中，当x >2时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，但x >2，等号取不到，因此x ＋1x的最小值不是2，结论错误， 显然C 正确；在D 中，2a 不是定值，结论错误．故选AC ． 三、填空题(每小题5分，共10分)5．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则12，a ，b,2ab ，a 2＋b 2的大小关系为__a <2ab <12<a 2＋b 2<b __.(用“<”连接)解析：因为0<a <b ，a ＋b ＝1，所以a <12<b ，①2ab <a 2＋b 2.② 因为a 2＋b 2>2(a ＋b2)2＝12， a 2＋b 2＝a ·a ＋b 2<a ·b ＋b 2＝(1－b )b ＋b 2＝b ，所以12<a 2＋b 2<b .又2ab <2(a ＋b2)2＝12，2ab >2×12a ＝a ， 所以a <2ab <12，所以a <2ab <12<a 2＋b 2<b .6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为__47__. 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋23a ＋23b ＋2＝79ab ＋10，又ab ≤(a ＋b 2)2＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47，故13a ＋2＋13b ＋2的最小值为47.四、解答题(共10分) 7．求y ＝x ＋22x ＋5的最大值． 解析：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)， 则y ＝t2t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0； 当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24， 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立，即当x ＝－32时，y 的最大值为24.。

高一数学平均值不等式选学试题1.（2007•北京）如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（）A．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一【答案】A【解析】根据均值不等式分别有：；；则a，b，c，d满足a+b=cd=4，进而可得2化简即得．当且仅当a=b=c=d=2时取等号．解：如果a，b是正数，则根据均值不等式有：，则（a+b）2≥4ab如果c，d是正数，则根据均值不等式有：；则∵a，b，c，d满足a+b=cd=4，∴2当且仅当a=b=c=d=2时取等号．化简即为：ab≤c+d且等号成立时a，b，c，d的取值唯一．故选A．点评：要熟练使用均值不等式，能正用、逆用，而且还要会变用．使用时还要特别注意等号成立的条件．2.若a，b∈R，且a2+b2=10，则a﹣b的取值范围是（）A．[0，]B．[0，2]C．[﹣，]D．[﹣2，2]【答案】D【解析】由a，b∈R，且a2+b2=10和a﹣b，消除差异，对a﹣b进行平方，在利用平均值不等式可求得结果，再开方．解；（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=10﹣2ab∵a2+b2=10，a2+b2≥﹣2ab∴（a﹣b）2≤20﹣2≤a﹣b≤2故选D．点评：此题考查了创造条件使用平均值不等式求取值范围问题，如果已知条件和要求的结果一个是一次的，一个是二次，平方是消除它们之间的差异的有效方法，体现了转化的数学思想，是基础题．3.求证，q=（x1﹣a）2+（x2﹣a）2+…+（xn﹣a）2若则一定有（）A．P＞q B．P＜q C．P、q的大小不定D．以上都不对【答案】B【解析】设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，将此式化成二次函数的一般形式，结合二次函数的最值即可进行判定．解：设f（x）=（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，则f（x）=nx2﹣2（x1+x2+…+xn）x+x12+x22+…+xn2当时，f（x）取得最小值，即P＜q．故选B．点评：本题主要考查了二次函数在函数极值中的应用，解答的关键是利用函数思想结合二次函数的最值即可．4.设底部为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh= a2×h，得出h=，再根据表面积公式得S=+a2，最后利用基本不等式求出它的最大值及等号成立的条件即得．解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh= a2×h，∴h=，表面积为S=3ah+a2=+a2=++a2≥3=定值，等号成立的条件，即a=，故选C．点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．5.已知x，y，z均为正数，，则的最小值是（）A．1B．3C．D．【答案】A【解析】由x，y，z均为正数，，可知，=1①，=，利用基本不等式结合①可得结论．解：∵x，y，z均为正数，，∴=1①，∴xyz=xy+xz+yz（x，y，z均为正数）；又==≥=1（当且仅当x=y=z=3时取“=”）．故选A．点评：本题考查均值不等式的应用，将条件转化为=1，即xyz=xy+xz+yz（x，y，z均为正数）是应用不等式的关键，属于中档题．6.若n＞0，则n+的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．7.已知a、b、c为正实数，且2a+b=1，则s=2﹣5a2﹣b2﹣c2+2ac的最大值为（）A．B．﹣1C．+1D．【答案】A【解析】将原式看成是关于c的函数，对c进行配方，再利用基本不等式研究关于a、b的不等关系，得到原函数的最大值．解：∵a、b、c为正实数，且2a+b=1，∴2a+b，，即（当且仅当2a=b时取等号）．又（2a+b）2≤2[（2a）2+b2]，∴．即（当且仅当2a=b时取等号）．∴s=2﹣5a2﹣b2﹣c2+2ac==．∵﹣（c﹣a）2≤0，∴．（当且仅当2a=b时取等号）．∴s的最大值为．故选A．点评：本题考查了函数的最大值求法和基本不等式的应用，解题时要注意用基本不等式时的条件“一正二定三相等”，特别要注意同时取等号的条件．本题思维量不大，但有一定的运算量，属于中档题．8.函数f（x）=5x+（x＞0）的最小值为（）A．10B．15C．20D．25【答案】B【解析】函数f（x）=5x+=2.5x+2.5x+，利用基本不等式可得结论．解：函数f（x）=5x+=2.5x+2.5x+≥=15，当且仅当2.5x=，即x=2时，函数f（x）=5x+（x＞0）的最小值为15．故选：B．点评：本题考查平均值不等式，考查学生的计算能力，f（x）=5x+=2.5x+2.5x+是解题的关键．9.设a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则的最小值为（）A．9B．12C．D．【答案】D【解析】先利用a+2b+c=1与相乘，然后展开利用均值不等式求解即可，注意等号成立的条件．解：∵a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，∴=（a+2b+c）（）=4++++++≥4+2 +2+2=6+4，当且仅当a=c=b时等号成立．∴的最小值是．故选D．点评：本题主要考查了均值不等式，利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，本题解题的关键是灵活运用“1”的代换，属于中档题．10.（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为Mf （a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得Mf（a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）= （x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）= （x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）．（2）x．【解析】（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．。

学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1.已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A.1a ＋1b ＋1c ≥9B.1a ＋1b ＋1c<9C.1a ＋1b ＋1c＝9D.不确定【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1≥33abc ，∴abc ≤127，又a ，b ，c 为正数，∴1abc ≥27，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc≥3327＝9.【答案】 A2.已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为( ) A.336 B.2 2 C.12D.1235【解析】 ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0， ∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12. 当且仅当2x＝22y＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号.【答案】 C 3.若2a >b >0，则a ＋4a －bb的最小值是( )A.3B.1C.8D.12【解析】 a ＋4a －b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＋b2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2≥33⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2·b 2·1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2＝3.当且仅当a －b 2＝b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2，即a ＝b ＝2时等号成立.【答案】 A4.已知x 为正数，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n 为正数)，则a 的值为( )A.n nB.2nC.n 2D.2n ＋1【解析】 x ＋ax n ＝+ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a ，故选A.【答案】 A5.已知a ，b ，c 为正数，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )【导学号：38000043】A.x ≤y ≤zB.y ≤x ≤zC.y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】 ∵a ，b ，c 为正数， ∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29.∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ， 即y ≤x ≤z . 【答案】 B 二、填空题6.设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均.如图2­3­1，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均，线段________的长度是a ，b 的几何平均，线段________的长度是a ，b 的调和平均.图2­3­1【解析】 在Rt△ABD 中，由射影定理易得到DC 2＝ab ，DC ＝ab ，故线段DC 的长度为a ，b 的几何平均数.又因为△ODC ∽△CDE ，所以CD OD ＝DE CD ，则DE ＝CD 2OD ＝2ab a ＋b，故线段DE 的长度为a ，b 的调和平均数.【答案】 DC DE7.当a ＞1,0＜b ＜1时，则log a b ＋log b a 的范围是________. 【解析】 ∵a ＞1,0＜b ＜1， ∴log a b ＜0，log b a ＜0， ∴－log a b ＞0，－log b a ＞0， ∴－log a b －log b a ≥2－log a b－log b a ＝2.当且仅当b ＝1a时取等号，∴log a b ＋log b a ≤－2. 【答案】 (－∞，－2]8.设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________.【解析】 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3. 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.【答案】1615三、解答题9.证明不等式1×2＋2×3＋…＋n n ＋<n n ＋2对一切正整数成立.【证明】 ∵nn ＋<2n ＋12， ∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋<32＋52＋…＋2n ＋12， 即1×2＋2×3＋…＋nn ＋<n n ＋2.10.(1)已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥a ＋b2x ＋y，并指出等号成立的条件.(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x x ∈0，12的最小值，指出取最小值时的x 的值.【解】 (1)证明：由二元均值不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2·y x ＋b 2·x y ≥a 2＋b 2＋2a 2·y x ·b 2·x y ＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y≥a ＋b 2x ＋y.当且仅当a 2y x＝b 2x y， 即a x ＝b y时上式取等号.(2)由(1)知，f (x )＝222x ＋321－2x ≥＋22x ＋－2x ＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，f (x )取最小值，且f (x )min ＝25.1.某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q ＜p ＜1)( )A.先提价p %，再提价q %B.先提价q %，再提价p %C.分两次都提价q 2＋p 22%D.分两次都提价p ＋q2%【解析】a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，由题可知，A ，B 两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)相等，C 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，D 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，p ＋q 2＜p 2＋q 22⇒(1＋p %)(1＋q %)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＜⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，则提价最多为C.【答案】 C2.若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A.16B.8C.4D.非上述情况【解析】 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥216＝8，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16，x ＋1x＝4，x ＝2＋3时取“＝”.【答案】 B3.若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________.【导学号：38000044】【解析】 (x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y x ＋y ＋z zx ＝2.【答案】 24.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y 元表示为速度v 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【解】 (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv . 故所求函数为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫av＋bv ，v ∈(0，c ].(2)由题意知s ，a ，b ，v 都是正数，故有s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v＋bv ≥2s ab .当且仅当a v ＝bv ，即v ＝ab时等号成立. 若ab≤c ，则当v ＝ab时，全程运输成本y 最小； 若a b >c 而v ∈(0，c ]，y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv 在(0，c ]上为减函数. ∴v ＝c 时，y min ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac＋bc .综上可知，为使全程运输成本y 最小，当a b ≤c 时，行驶速度应为v ＝abb ；当ab>c 时，行驶速度应为v ＝c .。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．数据123,127,131,151,157,135,129,138,147,152,134,121,142,143的茎叶图中，茎应取________．【解析】在茎叶图中“叶”应是数据中的最后一位，从而茎就确定了．【答案】12、13、14、152．在如图2-2-21所示的茎叶图中落在[20,40]上的频数为________．图2-2-21【解析】茎叶图中给出了12个数据，其中在[20,40]上有8个．【答案】83．一位同学种了甲、乙两种树苗各1株，分别观察了9次、10次后，得到树苗高度的数据的茎叶图如图2-2-22(单位：cm)，则甲、乙两种树苗高度的数据的中位数之和是________．图2-2-22【解析】 根据茎叶图可得，观察甲树苗9次得到的树苗高度分别为：19,20,21,23,24,31,32,33,37；观察乙树苗10次得到的树苗高度分别为：10,10,14,24,26,30,44,46,46,47，易得甲树苗高度的中位数为24，乙树苗高度的中位数为26＋302＝28，因此24＋28＝52.【答案】 524．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图2-2-23所示，则中位数与众数分别为________、________.【导学号：11032043】图2-2-23【解析】 由题中茎叶图可知这40个数据中，中间两个数据都是23.因此中位数为23＋232＝23.这40个数据中23出现的次数最多共4次，因此众数为23.【答案】 23 235．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图2-2-24，根据茎叶图，________班的平均身高较高．图2-2-24【解析】由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间；因此乙班平均身高高于甲班．【答案】乙6．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图2-2-25，图2-2-25记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为________．【解析】10＋11＋0＋3＋x＋8＋97＝7，∴x＝8.【答案】87．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图2-2-26所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________．图2-2-26【解析】由茎叶图知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45, 47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.【答案】46,45,568．从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图2-2-27.根据茎叶图，下列描述正确的是________．(填序号)①甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐；②甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐；③乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐；④乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐．图2-2-27【解析】根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为27，而乙种树苗的平均高度为30，但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中．【答案】④二、解答题9．参加某赛季的甲、乙两支球队，统计两队队员的身高(单位：cm)如下：甲队队员：194,187,199,207,203,205,209,199,183,215,219,206,201,208；乙队队员：179,192,218,223,187,194,205,207,185,197,199,209,214,189.(1)用茎叶图表示两队队员的身高；(2)根据茎叶图判断哪个队队员的身高整齐一些．【解】(1)茎叶图如下(以十位和百位为茎，个位为叶)：(2)甲队队员的身高整齐一些．10．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：kg)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423, 427,430,430,434,443,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401, 403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)画出茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．【解】(1)茎叶图如下图所示：(2)用茎叶图处理现有的数据，不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中具体数据．(3)通过观察茎叶图，可以发现，品种A的平均亩产量为411.1 kg，品种B 的平均亩产量为397.8 kg，由此可知品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高，但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较稳定．[能力提升]1．甲、乙两个小组各8名同学的英语口语测试成绩的茎叶图如图2-2-28所示．甲、乙两组的平均数与中位数之差较大的组是________．图2-2-28【解析】由茎叶图可知，甲的平均数和中位数分别是83.625和83.5，乙的平均数和中位数分别是82.25和81，故乙的平均数和中位数的差较大．【答案】乙2．某校开展“爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图2-2-29所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是________.【导学号：11032044】图2-2-29【解析】当x≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，当x<4时，89＋89＋92＋93＋(90＋x)＋92＋917＝91，∴x＝1.【答案】 13．从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：甲品种：271273280285285287292294295301303303 307308310314319323325325328331334337352 乙品种：284292295304306307312313315315316318 318320322322324327329331333336337343356 由以上数据设计了茎叶图如图2-2-30所示：图2-2-30根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①_____________________________________________________________；②_____________________________________________________________.【解析】由茎叶图可以看出甲棉花纤维的长度比较分散，乙棉花纤维的长度比较集中(大部分集中在312～337之间)，还可以看出乙的平均长度应大于310，而甲的平均长度要小于310等，通过分析可以得到答案．【答案】①甲棉花纤维的长度比较分散，乙棉花纤维的长度比较集中②甲棉花纤维长度的平均值小于乙棉花纤维长度的平均值(答案不唯一)4．50辆汽车经过某一段公路的时速记录如图2-2-31所示：图2-2-31将其分成7组并要求：(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；(3)根据上述结果，估计汽车时速在哪组的频率最大？【解】(1)由茎叶图知，数据最大值为33，最小值为13，分为7组，组距为3，则频率分布表为：分组频数频率[12.5,15.5)30.06[15.5,18.5)80.16[18.5,21.5)90.18[21.5,24.5)110.22[24.5,27.5)100.20[27.5,30.5)50.10[30.5,33.5]40.08合计50 1(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图所示：(3)汽车时速在[21.5,24.5)内的频率最大，为0.22.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p 等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4【解析】 ∵E (X )＝16，∴40p ＝16，∴p ＝0.4. 【答案】 D2．已知Y ＝5X ＋1，E (Y )＝6，则E (X )的值为( ) A ．6 B ．5 C ．1D ．7【解析】 因为E (Y )＝E (5X ＋1)＝5E (X )＋1＝6，所以E (X )＝1. 【答案】 C3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值是( )A ．20B ．25C ．30D ．40【解析】 抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为C2525＝516，所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫80，516.故E (X )＝80×516＝25.【答案】 B4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min ，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( )A.13 B ．1 C.43 D.83【解析】 遇到红灯的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，13，∴E (X )＝43.∴E (Y )＝E (2X )＝2×43＝83.【答案】 D5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13 B.23 C ．2D.83 【解析】 X ＝2,3.所以P (X ＝2)＝1C23＝13，P (X ＝3)＝C12C23＝23，所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.【答案】 D 二、填空题6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X ，则E (X )＝________.【导学号：29472069】【解析】 X 可能的取值为0,1,2，P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E (X )＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.【答案】 1.757．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．【解析】 随机变量X 的取值为0,1,2,4，P (X ＝0)＝34，P (X ＝1)＝19，P (X ＝2)＝19，P (X ＝4)＝136，因此E (X )＝49.【答案】 498．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________.【解析】P(X＝0)＝13×14＝112，P(X＝1)＝23×14＋13×34＝512，P(X＝2)＝23×34＝612，E(X)＝1×5＋2×612＝1712.【答案】17 12三、解答题9．某俱乐部共有客户3000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3 000)，∴P(ξ＝k)＝C k3 000(0.04)k(1－0.04)3 000－k，则ξ～B(3 000,0.04)，那么E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)．∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【解】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．[能力提升]1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：据此判定( )A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同D．无法判定【解析】E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙质量好．【答案】 A2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )A．2 000元B．2 200元C．2 400元D．2 600元【解析】出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．【答案】 B3．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.【导学号：29472070】【解析】因为P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，P(X＝3)＝3a＋b，所以E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，所以14a＋6b＝3.①又因为(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，所以6a＋3b＝1.②由①②可知a＝12，b＝－23，所以a＋b＝－16.【答案】－1 64．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．【解】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C39＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，P(X＝0)＝C38C39＝23，P(X＝－1)＝C24C39＝114，P(X＝1)＝1－114－23＝1142.所以X的分布列为2 3＋(－1)×114＋1×1142＝421.则E(X)＝0×。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知随机变量ξ满足(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，则(ξ)和(ξ)的值分别为( )．和．和．和．和【解析】(ξ)＝×＋×＝，(ξ)＝(－)×＋(－)×＝.【答案】．设二项分布(，)的随机变量的均值与方差分别是和，则二项分布的参数，的值为( )．＝，＝．＝，＝．＝，＝．＝，＝【解析】由题意得，＝，(－)＝，∴－＝，∴＝，＝.【答案】．设ξ的分布列为(ξ＝)＝(＝)，则(ξ)＝( )．．．．【解析】由ξ的分布列知ξ～，所以(ξ)＝×＝，所以(ξ)＝(ξ)＝.【答案】．同时抛掷两枚均匀的硬币次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则(ξ)＝( )．【解析】两枚硬币同时出现反面的概率为×＝，故ξ～，因此(ξ)＝××＝.【答案】．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是( ).甲．一样．无法比较【解析】(ξ)＝，(η)＝，所以(η)＝(ξ)，(ξ)＝，(η)＝<(ξ)，所以乙稳定．【答案】二、填空题．随机变量ξ的取值为.若(ξ＝)＝，(ξ)＝，则(ξ)＝.【解析】设(ξ＝)＝，(ξ＝)＝，则(\\(()＋＋＝，＋＝，))解得(\\(＝()，＝()，))所以(ξ)＝(－)×＋(－)×＋(－)×＝.【答案】．若事件在一次试验中发生次数的方差等于，则该事件在一次试验中发生的概率为．【解析】在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则(ξ)＝(－)，所以(－)＝，解得＝.【答案】．一次数学测验由道选择题构成，每个选择题有个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得分，不作出选择或选错不得分，满分分，某学生选对任一题的概率为，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为．【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为，所得的分数(成绩)为，则＝.由题知～()，所以()＝×＝，()＝××＝，()＝()＝()＝，()＝()＝×()＝×＝，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是与.【答案】三、解答题．已知随机变量的分布列为。

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2.3。

1 平均数及其估计（建议用时:45分钟）[学业达标]一、填空题1．以下茎叶图2­ 3.4记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．图2­3。

4已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16。

8,则x＝________，y＝________。

【解析】由甲组数据中位数为15知，x＝5；而乙组数据的平均数16．8＝9＋15＋10＋y＋18＋245，可得y＝8.故填5,8。

【答案】 5 82．x1，x2，…，x10的平均数为a,x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数是________．【解析】由题意知前10个数的总和为10a，后40个数的总和为40b，又总个数为50，∴x1,x2，…，x50的平均数为错误!＝错误!.【答案】错误!3．某学校高一（5)班在一次数学测验中,全班数学成绩的平均分为91分，其中某生得分为140分，是该班的最高分．若不包括该生的其他同学在这次测验中的平均分为90分，则该班学生的总人数为________．【解析】设该班有n名学生，则有错误!＝90。

∴n＝50.【答案】504．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：环数789．【解析】设成绩为8环的人数是x，由平均数的概念，得7×2＋8x＋9×3＝8.1×(2＋x ＋3),解得x＝5。