3.1.1空间向量及其加减运算--高中数学选修2-1(精)

相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面内
的两条有向线段表示．
2.空间向量的加法、减法向量
C
B

b
b
O
a
A
OB OA AB a + b CA OA OC a - b
⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
3.1.1 空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示； 字母表示法： 用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B A C
D
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b
a
a 三角形法则(首尾相连)
AB
相等的所有向量；
（2）写出与向量
A A1
的相反向量。
ABCD A 'B 'C 'D '，化简 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向
⑴AB BC ；
D’ A’ B’
C’
⑵ AB AD AA '；
( 3 ) A B C B A A
( 4 ) A C D B D C
平行四边形法则
⑵向量的减法
三角形法则
b
a
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量．即：

上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
OG kOC,OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形，所以 AC AB AD . 因此
EG OG OE kOC kOA=k AC
k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
（3）在正方体 ABCD - A中1B，1C1必D1有
. AC = A1C1
（4）若空间向量 m,n满,p足
，m = n,n = p
则 m . p
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ C）
A.1 B.2 C.3 D.4
数学 选修2-1
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ， b 的长度相同，方
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数学 选修2-1
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
数学 选修2-1
证明加法结合律: O
a
A
C

新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C B
例题讲解D A来自C B例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
课后作业
空白演示
• 在此输入您的封面副标题
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授
新课讲授

首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课堂探究案
探究二空间向量的加法与减法运算 【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算 的结果为向量 ������������1 的共有( )
①������������ + ������������ + ������������1 ;②������������1 + ������1 ������1 + ������1 ������1 ;③������������ − ������1 ������ + ������1 ������1 ;④
首页 探究一 探究二 思维辨析
课前预习案
课Hale Waihona Puke 探究案解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可 能相反,故它们不一定相等; ②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量; ③正确,������������1 与������������1 的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形 ABCD 中,������������ 与������������的模不一定相等, 方向也不一定相反; ⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与������������1 的模一定相等的向量是 ������1 ������, ������������1 , ������1 ������, ������������1 , ������1 ������ ,一共有 5 个.
首页
课前预习案
课堂探究案
做一做1 下列命题中正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析：单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必 有|a|=1,即C项正确. 答案：C

4．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，DD1 － AB＋ BC 化简后的结
果是
()
A． BD1
B． D1B
C． B1D
D． BD1
解析：由正方体的性质可得 DD1 － AB＋ BC ＝ DD1 － DC ＋ BC
＝CD1 ＋ BC ＝ BD1 .
答案：A
5．已知空间四边形 ABCD 中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD
1.向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比 较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比 较大小. 2.零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0 与任何空间向量平行. 3.单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相 等向量. 4.空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以 用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个 向量是共面的．
解：(1)因为长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的向量 AA1 ， A1 A ，BB1 ，B1B，DD1 ，D1D，CC1 ，C1C 共 8 个向量 都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共 8 个． (2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为 5，故模为 5的向 量有 AD1 ， D1 A，C1B， BC1 ， B1C ，CB1 ， A1D， DA1 . (3)向量 AA1 的相反向量为 A1 A ， B1B，C1C ， D1D， 共 4 个.
解：(1) AA－CB＝ AA－ DA＝ AA＋ AD＝ AA＋ AD＝ AD. (2) AA＋ AB＋ BC＝( AA＋ AB)＋ BC ＝ AB＋ BC＝ AC . 向量 AD、 AC如图所示．
(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和 平面向量中对应的概念完全一样．

图 11
→ → → OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An ＝a1＋a2＋„＋an 此即为空间向量和的多边形法则． 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重 合到起点上，这时的和向量就为零向量．
3．平行六面体的一个性质 如图 12 所示， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′中， → → → → → → AB ＋AD＝AC ，AC ＋AA′ ＝AC′ ， → → → → ∴AB ＋AD＋AA′ ＝AC′ .
图3
解析： 如图 3 所示， 取 AD 的中点 P， 连接 EF、 → → → → → → EP、 FP， 结合图形用AB和CD表示EF.EF＝EP＋PF 1→ 1 → 1 1 ＝ CD＋ AB ＝ (5a＋ 6b－ 8c)＋ (a－ 2c)＝ 3a＋ 3b 2 2 2 2 － 5c.
答案：3a＋3b－5c
2．向量共面的充要条件及其应用 (1)空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是： → → → 存在有序实数对 (x， y)，使MP＝ xMA ＋ yMB .满足这 个关系式的点 P 都在平面 MAB 内； 反之， 平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式． 这个充要条件常用 以证明四点共面．
答案：A
2．设 A、B、C 为空间任意三点，则下列命题 为假命题的是( ) → → → B. AB＋BC＋CA＝0 → → D. AB＝－BA
→ → → A.AB＋BC＝AC → → → C. AB－AC＝BC
答案：C
3． 如图 3， 在平行六面体 ABCD－ A′ B′ C′ D′ → → → → 中，AB＝ a，AD＝ b，AA′ ＝ c，则BD′ ＝ ________， —→ A′ C＝ ________.
→ 答案：2AC

(4)向量的减法是由向量的加法来定义的:减去一个向量就等于加 上这个向量的相反向量. 由此可以推出向量等式的移项方法,即将其中任意一个向量变号 后,从等式一端移到另一端,等式仍然成立.例如,由a+b+c=d,得 a+b=d-c. (5)向量减法的作图法:因为(a-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a,所以求 a-b就是求这样一个向量,它与b的和等于a,从而得出a-b的作图法.
题型一
题型二
空间向量的加减运算
【例 2】 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为 向量������������1 的共有( ) ①(������������ + ������������ ) + ������������1 ; ②(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 ; ③(������������ + ������������1 ) + ������1 ������1 ; ④(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
题型一
题型二
【变式训练1】 下列命题中,假命题是(
)
A.向量������������与������������的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析:选项 A中, ������������与������������为相反向量,长度相等; 选项B中,∵两个相等向量的起点相同,∴必有终点相同; 选项C中,由零向量的定义可知|0|=0; 选项D中,共线的单位向量,有可能方向相反,故选D. 答案:D

B(x2,y2)
(x2 － x1 , y2 － y1)
2、平面向量的加法、减法运算
复 习 回 顾
首尾连，指终点b a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
b
共起点，指被减
a
向量减法的三角形法则
3、平面向量的加法、减法运算律
复 习 回 顾
加法交换律：

ab ba
加法结合律： (a b) c a (b c)
A
(1) AC ' AB AD AA '
E C
D
x 1
AB BC CC '
'
B A
B
(2) AE AA AE
1 , AA ( AB AD ) 2
D C
1 x y 2
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
4、平面向量的推广:
复 习 回 顾
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.
(1)AB BC .
A'
D' B'
C'
(2)AB AD AA' .

牛刀小试 → → → → → → → 4． 化简下列各式： (1)AB＋BC＋CA； (2)AB－AC＋BD－CD； → → → → → → → (3)OA－OD＋AD； (4)NQ＋QP＋MN－MP.结果为零向量的个数 是( ) A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个
[答案] D
→ → → → → [解析] 对于(1)，AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0； → → → → → → → → → 对于(2)， AB－AC＋BD－CD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD → －AD＝0； → → → → → → → 对于(3)，OA－OD＋AD＝DA＋AD＝0；对于(4)，NQ＋QP → → → → → → → → ＋MN－MP＝(NQ＋QP)＋(MN－MP)＝NP＋PN＝0.
→ → → ＝BA＋BC＋BB1 → → → → → ＝BD＋BB1＝BD＋DD1＝BD1.
新知导学 2．空间向量加法适用平行四边形法则和三角形法则 (多边
首指向尾 ”． 形法则)，多边形法则的规则是“首尾相接，__________
即有限多个空间向量 a1，a2，„„an 相加，也可以象平面 → → 向量那样，从某点 O 出发，逐一引向量OA1＝a1，A1A2＝a2，„， An－1An＝an，于是以所得折线 OA1A2„的起点 O 为起点，终点 → An 为终点的向量OAn，就是 a1，a2，„，an 的和，即 → → → a1＋a2＋…＋an OAn＝OA1＋A1A2＋„＋An－1An＝__________________. 用折线作向量的和时，有可能折线的终点恰恰重合到起点 零向量 ． 上，这时的和向量等于__________
空间向量的概念与表示 温故知新 1．回顾复习平面向量的概念(定义、模、单位向量、相等

栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
想一想
空间两向量的加减法与平面内两向量的加减
法完全一致吗？ 提示：一致．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量；
(3)零向量没有方向； (4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为( A．(1)(2) B．(4) ) C．(3)(4) D．(1)(4)
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
【解析】
对于(1)：单位向量是指长度等于1
个单位长度的向量，而其方向不一定相同，
它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)：
长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 , 故 (2)错；对于 (3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B.
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算 (如图)： 空间向 量的加 减法 → → → a＋ b ； OB＝OA＋ AB＝_________ → → → a－ b CA＝OA－ OC＝_________. 加法运 算律
b＋ a ； (1)交换律： a＋ b＝_________ a＋(b＋c) (2)结合律： (a＋b)＋ c＝ _____________.
问题2
这三个力两两之间的夹角 都为90度, 它们的合力的大小为多少 N?
这需要进一步来认识空间中的向量
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
3．1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算