平面向量答案

平面向量多选题(讲义及答案)及解析一、平面向量多选题1．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ） A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB 【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】 对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.2．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为37【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误； 由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确。

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。

，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。

=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。

=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。

= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。

一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。

1、已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[).,0(+∞∈++=λλ则P 点的轨迹一定通过△ABC 的（A ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心3、已知向量OA ,OB 的夹角为60°，|OA |=|OB |=2，若OC =2OA +OB ,则△ABC 为（ C ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【方法】选择基底；数量积公式4、非零向量OA a =，OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为1B ，则向量1OB OB +为（ A ）A 、22(a b )aa⋅ B 、2(a b )aa⋅ C 、2(a b )aa⋅ D 、(a b )a a⋅【方法】待定系数法；向量三角形法则5、如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则( C ) A ．01x y <+< B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<6、定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ⋅=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知△ABC 中，AB BC ⋅=BC CA ⋅，则此三角形一定是（ A ）A ．等腰三角形B ． 直角三角形C ． 锐角三角形D ． 钝角三角形7、已知四边形ABCD的对角线相交于一点,()1,3 AC=,()3,1BD=-,则AB CD⋅的取值范围是（）A.()2,0B.(]4,0C.[)0,2-D.[)0,4-【答案】C．【解析】取(0,0)A,则(1,3)C；设11(,)B x y,22(,)D x y,则21213,1.x xy y⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩所以()()1122,3,1AB x y x y==+-,()221,3CD x y=--,求得22223131()()2222AB CD x y-+⋅=++--≥-,当1131,231,2xy⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩且2231,231,2xy⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时,AB CD⋅取到最小值2-,此时四边形ABCD的对角线恰好相交于一点,故选C.9、已知点OAOQOPAyxyxyxyxP(sin),0,3(,13211294:),(∠⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-+≥-+则设的坐标满足为坐标原点）的最大值为 510、如图，已知1||=→OA,3||=→OB，0=⋅→→OBOA点C在线段AB上，且AOC∠=030，设→→→+=OBnOAmOC，）（Rnm∈,则mn等于 311、已知→→ba，为平面向量，若→→+ba与→a的夹角为3π，→→+ba与→b的夹角为4π，则→→||||ba=【解】图解法12、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 2或2-13、设O 为ABC ∆的外心，且543=++ ，则ABC ∆的内角C 的值为4π【方法】基底选择C AOB ∠=∠2 , o 22900)5()43(=∠⇒=•⇒-=+→→→→→AOB OB OA OC OB OA15、设P 为ABC ∆所在平面内一点，且→→→→=--025AC AB AP ，则PAB ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于 15【方法】图解法；向量平行四边形法则16、在直角△ABC 中，︒=∠90BCA ，1==CB CA ，P 为AB 边上的点且AB AP λ=，若PB PA AB CP ⋅≥⋅，则λ的取值范围是 ]1,222[- 【方法】建立坐标系18、在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且→→=CD BC 3，点O 在线段CD 上（与点C 、D 不重合），若→→→-+=AC x AB x AO )1(则x 的取值范围是 1(,0)3-【方法】选择基底；向量相等19、在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为220、已知向量与AC 的夹角为0120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ的值为712 【解析】 0)()(=-⋅+=⋅λ得712039430))()(22=⇒=++--⇒=⋅-+-⋅λλλλλAB AC AC AB AC AB ,选D21、已知向量与AC 的夹角为0120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ的值为712 【解】 0)()(=-⋅+=⋅λ得712039430))()(22=⇒=++--⇒=⋅-+-⋅λλλλλ,选D 22、已知点G 是ABC ∆的重心，AB μλ+=(λ, R ∈μ )，若0120=∠A ，2-=⋅AC AB3223、在矩形ABCD P若→→→+=AD AB AP μλ,24、P 是ABC ∆所在平面上一点，满足→→→→=++AB PC PB PA 2，若12ABC S ∆=，则PAB ∆的面积为4【解析】由()22PA PB PC AB PB PA ++==-，得3PA PB PC CB =-=，所以PABC ，且13PA BC=，ABC∆的边AB上的高是ABP∆边AB上的高的3倍，所以13ABPABCSS∆∆=，由12,4ABC ABPS S∆∆=∴=25、已知点O为ABC∆内一点，且→→→→=++0OCOBOA则:ABC BOCS S∆∆=________3:1．【解】330OA OB OC OA OA AB OA AC OA AB AC OA AD++=++++=++=+=，即3AO AD=，又12AE AD=，所以有21,33AO AE OE AE==即，则:ABC BOCS S∆∆=3:1AE OE=:.26、已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB=60°，2EC DE=，则.AE DB的值为32a-．27、如图，∆AOB为等腰直角三角形，1OA=，CO为斜边AB的高，点P在射线CO上，则AP⋅OP 的最小值为18-．【解析】如图所示，AP =OP -OA ，设0t OP =≥．∴()2AP ⋅OP =OP -OA ⋅OP =OP -OA ⋅OP2222112488t t t⎛⎫=-=--≥- ⎪ ⎪⎝⎭，当24t =时取等号，∴AP ⋅OP 的最小值为18-．28、在长方形ABCD 中，，，12==AD AB 点N M 、分别是CD BC 、边上的点，且._________,的取值范围是则AN AM CDCN BCBM ⋅=2),(4329、在ABC ∆中，若D 是AB 的中点，P 在线段CD 上移动，当222CP BP AP ++最小时，求:PC PD 的比值为 230、在ABC ∆中，D 是BC 上一点，→→-=DB DC 2，若2||=→AB ,3||=→AC ，则||→AD 的取值范围为 .)37,31(31、已知平面向量)(,βαβα≠满足2=α，且α与αβ-的夹角为120°，t R ∈，则βαt t +-)1( 的取值范围是 ),3[+∞．32、 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，ABC ∆中BC 边上的高为h ,且216BC =||||→→→→-=+AC AB AC AB 则h 的最大值为_____________2.平面向量8．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足(),0sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++>，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的 （ C ）(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心10．如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点） 上滑动，则OC OB ⋅的最大值是 （ D ） (A) 1 (B)2(C) 3 (D) 2ABOC第10题图13．已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为 17,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦．14@．如图,//AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 4[,4]3 .16．已知O 是ABC ∆的外心，2,3AB AC ==，若AO xAB y AC =+且21x y +=，则cos BAC ∠=4316．已知(0,0)O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若(2)0kOA k OB OC +-+=，(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是 12-．14．已知向量,a b 满足：||13a =,||1b =,|5|12a b -≤，则b 在a 上的投影的取值范围是 5113[,].8.(2009山东卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】2.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.2.平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）A．B．C．D．【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点】向量的夹角及向量的坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知向量a＝(cos ，sin )，b＝(－sin ，－cos )，其中x∈[，π]．(1)若|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）x＝或x＝（2）(5，＋∞)【解析】(1)∵a＋b＝(cos －sin ，sin －cos )，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin 2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.(2)∵a·b＝－cos sin －sin cos ＝－sin 2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max ，则c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．5.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．6.若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，则9x＋3y的最小值为________．【答案】6【解析】由a⊥b得，4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6．当且仅当“32x＝3y”时，即y＝2x时，上式取“＝”．此时x＝，y＝1．7.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A8.四边形是平行四边形，，，则= （）A．B．C．D．【答案】（A）【解析】因为.故选（A）.【考点】1.向量的加减.2.向量的相等.9.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，将直线方程代人，整理得，，所以，，．由于点在圆上，所以，，解得，，故选．【考点】直线与圆的位置关系，平面向量的坐标运算．10.已知向量=(,),=(,)，若，则=.【答案】【解析】由已知．，解得，.【考点】平面向量的坐标运算.11.已知向量若，则m=______.【答案】-3【解析】根据向量加法的坐标运算得，，因为，故，故填-3【考点】向量加法向量共线12.设向量，满足，，且与的方向相反，则的坐标为【答案】【解析】设，∵与的方向相反，故又∵，则，解得，，故答案为.【考点】共线向量，平面向量的坐标运算.13.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．-B．C．-或D．0【答案】C【解析】由a∥b,得m2-2=0,解得m=±.故选C.14.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．【答案】－6【解析】a∥b，所以2×(－9)－3x＝0，解得x＝－6.15.若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．【答案】(－2，－4)【解析】＝＋＝－＝(－2，－4)．16.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．【答案】(－3，－5)【解析】由题意，得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．17.在△ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为△ABC的面积．若向量p ＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则C＝________．【答案】【解析】由p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)且p∥q，得4S＝a2＋b2－c2，即2abcosC＝4S＝2absinC，所以tanC＝1.又0＜C＜π，所以C＝.18.已知a＝(sin α，sin β)，b＝(cos(α－β)，－1)，c＝(cos(α＋β)，2)，α，β≠kπ＋(k∈Z)．(1)若b∥c，求tan α·tan β的值；(2)求a2＋b·c的值．【答案】（1）－3（2）－1【解析】(1)若b∥c，则2cos(α－β)＋cos(α＋β)＝0，∴3cos αcos β＋sin αsin β＝0，∵α，β≠kπ＋ (k∈Z)，∴tan αtan β＝－3.(2)a2＋b·c＝sin2α＋sin2β＋cos(α－β)cos(α＋β)－2＝sin2α＋sin2β＋cos2αcos2β－sin2αsin2β－2＝sin2α＋cos2αsin2β＋cos2αcos2β－2＝sin2α＋cos2α－2＝1－2＝－1.19.已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为()．A．(7,4)B．(7,14)C．(5,4)D．(5,14)【答案】D【解析】设B(x，y)，由＝3a，得解得20.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.21.如图，已知圆，四边形ABCD为圆的内接正方形，E,F分别为边AB,AD的中点，当正方形ABCD绕圆心转动时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为圆的半径为2，所以正方形的边长为.因为.所以==.所以.故选B.【考点】1.向量的和差.2.向量的数量积.3.由未知线段转化为已知线段.4.化归思想.22. .若向量，则A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】向量的坐标运算.23.若向量，且与的夹角为则 .【答案】（-3，-6）【解析】由与的夹角为知,【考点】向量数量积的性质和向量的坐标运算.24.向量，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】平面向量的减法运算25.在平面直角坐标系中，已知向量若，则x=( ) A．-2B．-4C．-3D．-1【答案】D【解析】∵，∴，则，所以，又，∴，．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的坐标表示.26.设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数 .【答案】【解析】不妨假设，则，因为，所以.【考点】平面向量的坐标运算.27.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.28.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.29.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且与共线，所以，故选A.【考点】1.共线向量；2.平面向量的坐标运算30.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示31.已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）7.【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示，可转化为三角函数，然后利用利用三角函数的相关公式对其变形，则可求解；（2）利用向量数量积的坐标表示，可转化为角的三角函数，然后利用角之间的关系，使用两角和与差的三角函数相关公式可求解.试题解析：（1）解：（1）∵∴（2）∵∴，，==7【考点】平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式.32.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模33.已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是（）A．4B．6C．4D．16【答案】C【解析】因为｜2－｜，故其最大值为，最小值为，它们的和为，选C.【考点】平面向量坐标运算、平面向量的模、两角差的正弦定理.34.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，，解得，，故，故选A.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算35.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.36.已知，，，为坐标原点.（Ⅰ），求的值；；（Ⅱ）若，且，求与的夹角.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求、的坐标，，利用三角函数公式化简求得；（Ⅱ）利用已知条件求，确定的值，在由求解.试题解析：（Ⅰ）,，，∴，.（Ⅱ）∵,,，，即，，又，，又，，，∴.【考点】平面向量的坐标运算，向量的夹角与模.37.已知向量，向量，则的最大值和最小值分别为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以；.【考点】本小题主要考查平面向量坐标运算，求向量的模.38.已知向量，，，若∥，则=___ ．．【答案】5【解析】因为，向量，，，所以，，又∥，所以，，故答案为5.【考点】平面向量的坐标运算39.已知平面向量，，如果向量与平行，那么与的数量积等于( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，，∴,.∵与平行，∴,解得.∴.∴.故选D.【考点】向量的概念及其与运算，考查向量平行，考查两个向量的数量积.40.已知向量，，若，则=（）A．-4B．-3C．-2D．-1【答案】B【解析】由.故选B.【考点】向量的坐标运算41.已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，向量，,且．(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若向量,,试求的取值范围【答案】(Ⅰ) . （Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由题意得，即. 3分由余弦定理得,. 6（Ⅱ）∵， 7∴.∵，∴，∴.∴，故. 12分【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数公式，正弦型函数图象和性质，余弦定理的应用。

高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。

第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示2.下列关于向量的命题，正确的是（）A．零向量是长度为零，且没有方向的向量B．若=﹣2（a≠0），则是的相反向量C．若=﹣2，则||=2||D．在同一平面上，单位向量有且仅有一个【答案】C【解析】A中，零向量的长度为零，方向是任意的，∴命题错误；B中，相反向量是模长相等，方向相反的向量，∴命题错误；C中，当=﹣2时，||=2||，∴命题正确；D中，单位向量是模长为1的向量，在同一平面上，单位向量有无数个，∴命题错误；故选：C．3.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【答案】C【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）•（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C4.向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ、μ∈R)，则＝________．【答案】4【解析】以向量a、b的交点为原点作直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb＝λ(－1，1)＋μ(6，2)则＝4.5.已知和点满足．若存在实数使得成立，则=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】试题分析:，因此k=3．故选B．.【考点】向量的加法及其几何意义.6.已知，，则向量与的夹角为 .【答案】【解析】∵，，∴，即，∴，∴.【考点】1.向量的运算；2.向量的夹角.7.在中，已知，则||的值为（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】由可知为以,设AB中点为D，可知,由，,可得,故选B.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积；3.向量的模8.已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为边BC上一点，满足＝2，则·＝．【答案】【解析】,于是.【考点】平面向量基本运算.9.中，为角平分线，为的中点，交于，若，且，，用、表示，，【答案】，，【解析】根据角平分线的性质可知,从而可得，再利用,，再确定时，可以利用,,从而表示出解：由角平分线定理得,，解得，10.设的斜边中点，若,则的值是A．1B．2C．-1D．-2【答案】D【解析】解：因为设的斜边中点，若,则,选D11.如图在平行四边形中，已知，，，E为的中点，则A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为在平行四边形中，已知，，，E为的中点，则12.若O是∆ABC所在平面上任一点,且满足:,则动点P的轨迹必经过∆ABC的A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】，AD是BC边中线，故动点P的轨迹必经过∆ABC的重心。

平面向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．.若向量(1,2),(4,5)BA CA == ，则BC =A. (5,7)B. (3,3)--C. ()3,3D. ()5,7--2．已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为（ ）A.1-B.2C.1或2-D.1-或23．已知向量(1,2),(2,)a b m ==- ，若//a b ，则|23|a b + 等于( )A B ． C ．．4．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+ ，则λ=（ ） A.23 B.13 C.13- D.23- 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C. 12D. 2 6．已知||6a = ，||3b = ，12a b ⋅=- ，则向量a 在向量b 方向上的投影是（ ） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．27．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ，若//AB OC ，则实数m 的值为（ ）A ．15B ．-3C ．35-D ．17- 8．平面向量a 与b 的夹角为60°，1||),0,2(==b a ,则|2|b a +等于( )A B ．C ．4D ．129．已知(3,4)a = ,(1,2)b = ,则a b -= ． 10．已知平面向量)1,3(=a ，)3,(-=x b ，且b a ⊥，则x 的值为 .11．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为 ．12．已知向量()()cos45,sin30,2sin 45,4cos60,b c =︒︒=︒︒ 则b c ⋅= ．13．向量a ，b 满足则a 与b 的夹角为 ．14．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||c = //c a ，求：c 的坐标（2）若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角 15．已知平面向量(cos ,sin )a ϕϕ= ，(cos ,sin )b x x = ，(sin ,cos )c ϕϕ=- ，其中0ϕπ<<，且函数()()cos ()sin f x a b x b c x =⋅+⋅ 的图象过点)1,6(π． （1）求ϕ的值；（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =在[0,]2π上的最大值和最小值．16．已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，设函数()f x m n = （1）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．17．向量)sin ,1(x m a +=→，))6cos(4,1(π+=→x b ，设函数→→⋅=b a x g )(，（R m ∈，且m 为常数）（1）若x 为任意实数，求)(x g 的最小正周期；（2）若)(x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,0π上的最大值与最小值之和为7，求m 的值.18(1,)b y = ,已知//a b ，且有函数)(x f y =. （1）求函数)(x f y =的周期；（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,，若有3)3(=-πA f ，边7=BC ,721sin =B ，求AC 的长及ABC ∆的面积. 19．已知向量x ),1,(sin -=)23,(cos x =，)()(x f ⋅+=（1）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的值域：（2）锐角A B C ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若1023)2(,27,245===B f b c a ，求边c a ,.参考答案1．B【解析】试题分析：()3,3BC BA AC =+=-- 考点：向量的坐标运算.2．D.【解析】试题分析：∵2(1,1),(,2)x x ==+a b ，,a b 共线,∴根据向量共线的充要条件知1×x 2-1×(x+2)=0，∴x=-1或2,选D.考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．3．C【解析】试题分析：由//a b 可得()40221-=⇒=-⨯-⨯m m ，所以()54641628,432=+=+⇒--=+.考点：向量的坐标运算.4．A【解析】试题分析：2AD DB = ，即()2C D C A C B C D -=- ，解得1233CD CA CB =+ ，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示5．C【解析】试题分析：因为，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，所以，(1,2),(,1)OB AC m =-=- ，又//OB AC ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的概念，共线向量.6．A【解析】 试题分析：向量a 在向量b方向上的投影是θcos ⋅（θ是a ，b 的夹角），θcos ⋅=-4.考点：向量的数量积运算.7．B ．【解析】试题分析：由题意知(3,1)AB OB OA =-= ，(2,1)OC m m =+ ，又//AB OC ，则3(1)120m m ⨯+-⨯=，即3m =-.考点：两向量平行的充要条件.8．B【解析】试题分析：因为，(2,0),a = 所以，||2a = ，2220|2|444421cos60412,|2|a b a a b b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=+= B. 考点：平面向量的数量积、夹角、模9．(2,2)【解析】试题分析：根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到(31,42)(2,2).a b -=--= .向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.考点：向量的减法运算10．1【解析】试题分析：b a ⊥10330=⇒=-⇒=⋅⇒x x b a .考点：平面向量数量积运算.11．【解析】试题分析：｜c ｜2＝（2a ＋b ）2＝4a 2＋4a·b＋b 2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c ｜＝考点：平面向量数量积、向量的模.12．2．【解析】试题分析：由向量数量积的坐标运算公式得112sin 45cos454sin30cos6024222b c ⋅=︒︒+︒︒=⨯⨯= ． 考点：1．向量数量积的坐标运算公式；2．三角函数式求值．13．23π． 【解析】试题分析：由题意解得1a b ⋅=- ，则1cos ,2a b =- ，即a 与b 的夹角为23π． 考点：1．平面向量数量积运算；2．向量夹角公式．14．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【解析】试题分析：（1）设(,)c x y = ，利用两个已知条件||c = //c a 列出关于,x y 的方程组，解出,x y 即可；（2）由2a b + 与2a b - 垂直得(2)(2)0a b a b +⋅-= ，对此式进行化简，可求出a b ⋅ ，又,a b 的模易知，利用向量数量积的定义则可求出a 与b 的夹角.试题解析：设(,)c x y = 由//||c a c =及 2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或 所以，(2,4)(2,4)c c ==-- 或 7分（2）∵2a b + 与2a b - 垂直，∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ；∴52a b ⋅=- ∴cos 1||||a b a b θ⋅==- ，∵[0,]θπ∈∴θπ= 14分 考点：向量的数量积、向量的模、向量的平行与垂直.15．（1）3πϕ=；（2）最小值12，最大值1． 【解析】 试题分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算，求出,a b b c ⋅⋅ 代入：()()c o s ()s f x a b x b c x=⋅+⋅ 整理便得()cos(2)f x x ϕ=-，再根据()f x 过点)1,6(π可得ϕ的值；（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，便将函数)(x f y =中的x 换成12x 便得函数)(x g y =的解析式：()cos()3g x x π=-. 由02x π≤≤得033236x πππππ-≤-≤-=.结合cos y x =的图象可得()cos()3g x x π=-在[0,]2π上的最大值和最小值. 试题解析：（1） cos cos sin sin cos()a b x x x ϕϕϕ⋅=+=- 1分cos sin sin cos sin(b c x x x ϕϕϕ⋅=-=- ()x -ϕ 2分()()cos ()sin f x a b x b c x ∴=⋅+⋅cos()cos sin()sin x x x x ϕϕ=-+-cos()x x ϕ=--cos(2)x ϕ=-， 4分即()cos(2)f x x ϕ=- ∴()cos()163f ππϕ=-=，而0ϕπ<<， ∴3πϕ=． 6分（2）由（1）得，()cos(2)3f x x π=-， 于是1()cos(2())23g x x π=-， 即()cos()3g x x π=-． 9分 当[0,]2x π∈时，336x πππ-≤-≤， 所以1cos()123x π≤-≤， 11分 即当0x =时，()g x 取得最小值12， 当3x π=时，()g x 取得最大值1． 13分考点：1、向量的坐标运算；2、三角变换；3、三角函数的图象变换；4、三角函数的最值16．（1）3π、π；（2）(1,0]-. 【解析】试题分析：（1）先由平面向量数量积的坐标表示得到()f x ，然后由三角函数的倍角公式进行降次，再将函数()f x 的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式.令()0f x =，在区间[]0,π解得3x π=或π，即得到零点3π、π；（2）由条件及余弦定理，通过基本不等式可得1cos 2B ≥，又根据角B 是三角形内角，从而得到其范围，再代入即可得()f B 的取值范围.试题解析：因为向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，函数()f x m n = .所以21cos ()cos cos 2222x x x x f x x +=-=-111cos sin()22262x x x π=--=--3分 （1）由()0f x =，得1sin()62x π-=. =+266x k πππ-∴， 5=+266x k k Z πππ-∈或， =+23x k ππ∴， =+2x k k Z ππ∈或，又[]0,x π∈，3x π∴=或π.所以()f x 在区间[]0,π上的零点是3π、π. 6分 （2）在ABC ∆中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=. 由1cos 2B ≥且(0,)B π∈，得(0,],3B π∈--666B πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦从而，10分 11sin()(,]622B π-∈-∴， 1()sin()(1,0]62f B B π=-+∈-∴ 12分 考点：1.数量积的坐标表示；2.余弦定理；3.三角函数的性质.17．（1）T π=；（2）2m =.【解析】试题分析：(1)借助向量数量积运算，利用两角和与差公式化为一角一函数()2sin(2)6g x x m π=++，可求函数周期；(2)由x 的范围求出26x π+的范围，借助函数图象求出函数最值.试题解析：（1）()14sin cos()14sin (cos cos sin sin )666g x a b m x x m x x x πππ=⋅=+++=++-2cos2x x m ++2sin(2)6x m π=++ 5分 所以T π=.（2）因为03x π≤<，所以52666x πππ≤+<， 9分 所以6x π=时，()2max g x m =+；0x =时，min ()1g x m =+ 12分所以217,2m m m +++==. 14分考点：1.函数的性质：周期、最值；2.三角函数的化简.18．（1）2π;（2）2AC =,S =. 【解析】 试题分析：（1）利用//的充要条件得出)(x f y =，再化简成sin()y A x B ωϕ=++类型求周期；（2）先由条件3)3(=-πA f 求出角A ,再由正弦定理B AC A BC sin sin =求AC ，然后只需求出AB 或sin C 即可求ABC ∆的面积.试题解析：解：由//得0)cos 23sin 21(21=+-x x y 3分 即 )3sin(2)(π+==x x f y 5分 （1）函数)(x f 的周期为π2=T 6分（2）由3)3(=-πA f 得3)33sin(2=+-ππA 即23sin =A ∵ABC ∆是锐角三角形∴3π=A 8分由正弦定理：BAC A BC sin sin =及条件7=BC ,721sin =B 得2237217sin sin =⋅=⋅=A B BC AC ， 10分又∵A AC AB AC AB BC cos 2222⋅⋅-+=即2122472⨯⨯⋅-+=AB AB 解得3=AB 11分 ∴ABC ∆的面积233sin 21=⋅⋅=A AC AB S 12分 考点：1、平面向量与三角函数结合，2、正弦定理与余弦定理综合运用，3、三角形面积公式.19．（1）1[22-；（2）8c a ==. 【解析】试题分析：（1）先利用倍角公式、两角差的正弦公式将解析式化简，将已知x 代入，求值域；本卷由【在线组卷网 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。

答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。

答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。

答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。

答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。

答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。

答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。

答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。

答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。

答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。

计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。

(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。

答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。