2014届高考数学基础知识清单：第14章 导数

函数与导数14 导数及其应用 恒成立及存在性问题一、具体目标： 1.导数在研究函数中的应用：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）. 2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。

考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 二、知识概述： 一）函数的单调性：1.设函数y =f (x )在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则函数y =f (x )为增函数；如果f ' (x )<0，则函数y ＝f (x )为减函数；如果恒有f ' ( x )＝0，则y =f (x )为常函数.2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．3.f (x )在区间I 上可导，那么0)(>'x f 是f (x )为增函数的充分条件，例如f (x )=x 3是定义于R 的增函数， 但 f '(0)=0，这说明f '(x )>0非必要条件．)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定．4. 讨论可导函数的单调性的步骤： （1）确定)(x f 的定义域；【考点讲解】（2）求)(x f '，令0)(='x f ，解方程求分界点； （3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断)(x f '在每个开区间内的符号，即可确定)(x f 的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f (x )、g (x )均在[a 、b ]上连续，(a ，b )上可导，那么令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )也在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )上可导，若对任何x ∈(a ，b )有h '(x )>0且 h (a )≥0，则当x ∈(a ，b )时 h (x )>h (a )=0，从而f (x )>g (x )对所有x ∈(a ，b )成立． 二）函数的极、最值： 1．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x )的极小值． (2)函数的极大值：函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f(x)在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b ]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b ]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∀∈>⇔>； 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∃∈>⇔>； 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>； 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>；结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ∃∈∃∈=⇔的值域和()g x 的值域交集不为空.1. 【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥【真题分析】在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >. 当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x a x ≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 【答案】C2.【优选题】设函数()()21xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数t ，使得()0f t <，则a的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令()()()21,xg x e x h x ax a =-=-.由题意知存在唯一整数t ，使得()g t 在直线()h x 的下方.()()21'=+xg x ex ，当12x <-时，函数单调递减，当12x >-，函数单调递增，当12x =-时，函数取得最小值为122e --.当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，(1)0g e =>，直线()h x ax a =-过定点()1,0，斜率为a ，故()0a g ->且()113g e a a --=-≥--，解得3,12⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭a e . 【答案】D3.【2019年高考北京】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞. 【答案】(]1,0--∞4.【优选题】已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x ，若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，则实数m 的取值范围为________．【解析】f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x ，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时，显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故只需Δ>0，即1－8m >0，解得m <18.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，18. 【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，18 5.【优选题】若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 【解析】 由题意可知'21()2f x ax x=+，又因为存在垂直于y 轴的切线， 所以231120(0)(,0)2ax a x a x x+=⇒=->⇒∈-∞. 【答案 】 (,0)-∞ 6.【2018年江苏卷】若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()∞+，0内有且只有一个零点，则()x f 在[]11，-上的最大值与最小值的和为________．【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用. 由题意可求得原函数的导函数为()0262=-='ax x x f 解得3,0ax x ==，因为函数在()∞+，0上有且只有一个零点，且有()10=f ，所以有03,03=⎪⎭⎫⎝⎛>a f a，因此有3,0133223==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a ，函数()x f 在[]01，-上单调递增，在[]10，上单调递减，所以有()()10max ==f x f ，()()41min -=-=f x f ，()()3min max -=+x f x f .【答案】–37.【2018年理新课标I 卷】已知函数()x x x f 2sin sin 2+=，则()x f 的最小值是_____________．【解析】本题考点是函数的单调性、最值与三角函数的综合应用. 由题意可()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=+='21cos 1cos 42cos 2cos 42cos 2cos 22x x x x x x x f ，所以当21cos <x 时函数单调减，当21cos >x 时函数单调增，从而得到函数的减区间为 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,352ππππ，函数的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππ，所以当()Z k k x ∈-=,32ππ时，函数()x f 取得最小值，此时232sin ,23sin -=-=x x ，所以()23323232min-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f ，故答案是233-. 【答案】233-8.【优选题】已知21()ln (0)2f x a x x a =+>，若对任意两个不等的正实数12x x 、都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是 . 【解析】由题意可知()'2af x x x=+≥（x ＞0）恒成立，∴22a x x ≥-恒成立， 令()()22211g x x x x =-=--+则()max x g a ≥，∵()22g x x x =-为开口方向向下，对称轴为x =1的抛物线，∴当x =1时，()22g x x x =-取得最大值()11=g ，∴1≥a 即a 的取值范围是[1，+∞）．【答案】[)1,+∞9. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l ]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-． （ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．10.【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-+=()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得04a <≤．当04a <≤时，()f x ≤2ln 0x ≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t tx t =≥2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==. 故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭„． 由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…． 由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a „． 综上所述，所求a的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.1.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范围是（ ）A ．)31,0( B ．]45,31( C ．]23,31( D ．]23,45(【解析】当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意.【答案】B2.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e - C ．33[,)24e D ．3[,1)2e【解析】 ()0(21)xf x e x ax a <⇔-<-，记()(21)xg x e x =-，则题意说明存在唯一的整数0x ，使()g x 的图象在直线y ax a =-下方，【模拟考场】'()(21)x g x e x =+，当12x <-时，'()0g x <，当12x >-时，'()0g x >，因此当12x =-时，()g x 取得极小值也是最小值21()22g e --=-，又(0)1g =-，(1)0g e =>，直线y ax a =-过点（1,0）且斜率为a ，故1(0)1(1)3a g g e a a-->=-⎧⎨-=-≥--⎩，解得312a e≤<． 【答案】D3.若函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围（ ） A.()1,3- B.()3,1- C.()3,+∞ D.(),1-∞- 【解析】考查函数()2ln xg x a x x a m =+--，则问题转化为曲线()y g x =与直线2y =有两个公共点，则()()ln 2ln 1ln 2x x g x a a x a a a x '=+-=-+，则()00g '=， 当01a <<时，ln 0a <，当0x <时，10x a ->，()1ln 0x a a -<，20x <，则()1ln 20x a a x -+<， 当0x >，10x a -<，()1ln 0x a a ->，20x >，则()1ln 20x a a x -+>，此时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，同理，当1a >时，函数()2ln xg x a x x a m =+--在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，因此函数()2ln xg x a x x a m =+--在0x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 01g x g m ==-，)由于函数()()2ln 201x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点， 结合图象知12m -<，解得13m -<<，故选A. 【答案】A 4. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若当[]1,2x ∈-时()f x m <恒成立，求m 的取值范围 【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数()f x 的最大值，可通过导数求解.试题解析：（1）由()'2320fx x x =--> 得1x >或()1,+∞（2上递减，在区间[]1,2上递增，又，所以在区间[]1, 2-上max 7f =要使()f x m <恒成立，只需7m >即可.【答案】（1，()1,+∞ 2）7m >5.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =.当)x ∈+∞U 时，()0f x '<；当x ∈时，()0f x '>.所以()f x在)+∞单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--. 6.已知函数()ln 2a xf x x x =++． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x af x x x x +-'=-+=，令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时，即12a >-，方程两根为11x ==--2x =-122x x +=-，122x x a =-，①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞；②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤，()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+，令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,．7.已知函数f (xln x ．（Ⅰ）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（Ⅱ）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．【解析】（Ⅰ）函数f （x）的导函数1()f x x '=-，由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+==≥ 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=+=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=， 所以所以g （x ）在[256，+∞）上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令m =()e a k -+，n =21()1a k++，则f （m ）–km –a >|a |+k –k –a ≥0， f （n ）–kn –a <)a n k n --≤)n k -<0，所以，存在x 0∈（m ，n ）使f （x 0）=kx 0+a ， 所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有公共点． 由f （x ）=kx +a 得k =设()h x =22ln )1)((12x ag x x x a x h '=-+--+=，其中(n )l g x x -=． 由（Ⅰ）可知g （x ）≥g （16），又a ≤3–4ln2，故–g （x ）–1+a ≤–g （16）–1+a =–3+4ln 2+a ≤0， 所以h ′（x ）≤0，即函数h （x ）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f （x ）–kx –a =0至多1个实根． 综上，当a ≤3–4ln 2时，对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f （x ）有唯一公共点． 8.【优选题】已知函数21()(2)2ln 2f x x a x a x =-++(0)a >. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为2y x b =+，求2a b +的值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）设函数()(2)g x a x =-+，若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】本题是函数的综合问题.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2()(2)'=-++a f x x a x， ∴1(1)(2)22f a b =-+=+，(1)1(2)22'=-++=f a a ， 解得132,2a b ==-，∴210a b +=-．（2）2(2)2(2)()()-++--'==x a x a x x a f x x x，当2a =时，()0(0,)'≥⇒∈+∞f x x ，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞.当02a <<时，由'()0(0,)(2,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞由'()0(,2)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(,2)a .当2a >时，由'()0(0,2)(,)f x x a >⇒∈+∞U ，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞由'()0(2,)f x x a <⇒∈，∴()f x 的单调减区间为(2,)a .综上所述：当2a =时，'()0(0,)f x x ≥⇒∈+∞，∴()f x 的单调增区间为(0,)+∞，当02a <<时，∴()f x 的单调增区间为(0,)a ，(2,)+∞，()f x 的单调减区间为(,2)a 当2a >时，∴()f x 的单调增区间为(0,2)，(,)a +∞，()f x 的单调减区间为(2,)a .（3）若至少存在一个0[,4]x e ∈，使得00()()f x g x >，∴212ln 02x a x +>， 当[,4]x e ∈时，ln 1x >，∴2122ln xa x>-有解，令212()ln x h x x=-，∴min 2()a h x >.2'22111ln (ln )22()0(ln )(ln )x x x x x x h x x x -⋅-=-=-<， ∴()h x 在[,4]e 上单调递减，min 4()(4)ln 2h x h == ∴42ln 2a >得，2ln 2a >． 9.【2018山东模拟】设函数0),(,)1(31)(223>∈-++-=m R x x m x x x f 其中 （Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率.（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <.若对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f > 恒成立，求m 的取值范围.【解析 】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力. （1）当1)1(,2)(,31)(1'2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率为1.（2） 12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1因为m m m ->+>11,0所以当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：x )1,(m --∞m -1)1,1(m m +-m +1),1(+∞+m)('x f+0 - 0 +)(x f极小值极大值)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

高中数学：第十四章 导数考试内容：导数的背影． 导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14.导数 知识要点1.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.2.函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆ ⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4.求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5.复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6.函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ）=0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7.极值的判别方法：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①：若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点. 8.极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9.几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数）x x cos )(sin '=2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈）x x sin )(cos '-=2'11)(arccos xx --=II.x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '=11)(arctan 2'+=x x x x e e =')(a a a x x ln )('=11)cot (2'+-=x x arcIII.求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=.②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.兰亭序永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。

2014年全国高考试卷导数部分汇编（上）1. （2014安徽理18文20）设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >．⑴讨论()f x 在其定义域上的单调性；⑵当[01]x ∈，时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值． 【解析】 ⑴ ()f x 的定义域为2()'()123f x a x x -∞+∞=+--，，．令'()0f x =，得1212x x x x ==<， 所以12'()3()()f x x x x x =---．当1x x <或2x x >时，'()0f x <；当12x x x <<时，'()0f x >． 故()f x 在1()x -∞，和2()x +∞，内单调递减，在12()x x ，内单调递增． ⑵ 因为0a >，所以1200x x <>，． ①当4a ≥时，21x ≥．由⑴知，()f x 在[01]，上单调递增． 所以()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值． ②当04a <<时，21x <由⑴知，()f x 在2[0]x ，上单调递增，在2[1]x ，上单调递减．所以()f x 在2x x ==又(0)1(1)f f a ==，，所以当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值； 当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值．评析 本题考查利用导数求函数的单调区间和最大（小）值，同时考查分类讨论的思想，分为讨论的关键是确定分类的标准．2. （2014安徽理21）设实数0c >，整数1p >，*n N ∈．⑴证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+； ⑵数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+．证明：11p n n a a c +>>． 【解析】 ⑴ 用数学归纳法证明：①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立． ②假设(2*)p k k k =N ≥，∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立． 当1p k =+时，12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k k x x x x kx k x kx k x ++=++>++=+++>++所以1p k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，当10x x >-，≠，对一切整数1p >，不等式(1)1p x px +>+均成立． ⑵ 证法一：先用数学归纳法证明1pn a c >． ①当1n =时，由题设11pa c >知1pn a c >成立． ②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式1pn a c >成立． 由111pn n n p c a a a p p-+-=+易知0*n a n >N ，∈． 当1n k =+时，11111p k k p k k a p c ca a p p p a -+⎛⎫-=+=+- ⎪⎝⎭． 当10pk a c >>得11110p k cp p a ⎛⎫-<-<-< ⎪⎝⎭． 由⑴中的结论得11111ppk p k k a c p a p a +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+->+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．11p p k kcc p a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因此1pk ac +>，即11pk a c +>．所以1n k =+时，不等式1rn a c >也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立． 再由1111n p n n a ca p a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得11n n a a +<，即1n n a a +<．综上所述，11pn n a a c +>>，*n N ∈．证法二：设111()p p p cf x x x x c p p --=+，≥，则p x c ≥， 并且11()(1)10p p p c p c f x p x p p p x ---⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，1p x c >． 由此可得，()f x 在1p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭，上单调递增．因而，当1px c >时，11()()p pf x f c c >=， ①当1n =时，由110pa c >>，即1p a c >可知12111111111p p p c c a a a a a p p p a -⎡⎤⎛⎫-=+=+-<⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，并且121()pa f a c =>，从而112p a a c >>．故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．②假设(1*)n k k k =N ≥，∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时，11()()()p k k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>． 所以1n k =+时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．3. （2014安徽文15）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：⑴直线l 在点()00P x y ，处与曲线C 相切； ⑵曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)①直线:0l y =在点()00P ，处“切过”曲线C ：2y x = ②直线:1l x =-在点()10P -，处“切过”曲线C ：2(1)y x =+ ③直线:l y x =在点()00P ，处“切过”曲线C ：sin y x = ④直线:l y x =在点()00P ，处“切过”曲线C ：tan y x = ⑤直线:1l y x =-在点()10P ，处“切过”曲线C ：ln y x = 【解析】 ①③④①直线0l y =：在()00P ，处与曲线3C y x =：相切，且曲线C 位于直线l 的两侧，①对； ②直线1l x =-：不是曲线()21C y x =+：在()10P -，处的切线，②错； ③中cos y x '=，cos 01=，因此曲线sin C y x =：在()00P ，处的切线为l y x =：，设()s i n f x x x =-，则()1cos 0f x x '=-≥，即()f x 是增函数，又()00f =，从而当0x ＜时，()0sin f x x x ⇒＜＜，当0x ＞时，()0sin f x x x ⇒＞＞，即曲线sin C y x =：在()00P ，附近位于直线l 的两侧，③正确；④中22sin 111cos cos cos 0x y x x ⎛⎫'='== ⎪⎝⎭，，因此曲线tan C y x =：在()00P ，处的切线为l y x =：，设()tan g x x x =-，则()21ππ10cos 22g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭＜＜≤，即()g x 在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上是减函数，且()00g =，同③得④正确；⑤中1111y x '==，，因此曲线ln C y x =：在()10P ，处的切线为1l y x =-：，设()()1l n 0h x x x x =--＞，则()111x h x x x-'=-=，当01x ＜＜时，()0h x '＜，当1x ＞时，()0h x '＞，因此当1x =时，()()min 10h x h ==，因此曲线C 在()10P ，附近位于直线l 的一侧，故⑤错误．因此答案为①③④评析 本题考查导数的几何意义及导数在函数中的应用，解题时结合图象可简化运算和推理的过程．4. （2014北京理18）已知函数()πcos sin 02f x x x x x ⎡⎤=-,∈,⎢⎥⎣⎦，⑴求证：()0f x ≤；⑵若sin x a b x <<对π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 【解析】 ⑴ ()()cos sin cos sin f x x x x x x x '=+--=-，π02x ⎡⎤∈,⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，从而()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()()00f x f =≤． ⑵ 法一：当0x >时，“sin x a x >”等价于“sin 0x ax ->”；“sin xb x<”等价于“sin 0x bx -<”， 令()sin g x x cx =-，则()cos g x x c '=-．当0c ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当1c ≥时，因为对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π02⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上单调递减．从而()()00g x g <=对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．当01c <<时，存在唯一的0π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x c '=-=，且当()00x x ∈,时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0π2x x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()000g x g >=．进一步，“()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≥，即20πc <≤．综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c ≥时，()0g x <对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立．所以，若sin x a b x <<对任意π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1．法二： 令()sin π02x g x x x ⎛⎤=,∈, ⎥⎝⎦， 则()2cos sin x x xg x x ⋅-'=，由⑴知，()0g x '≤，故()g x 在π02⎛⎤, ⎥⎝⎦上单调递减，从而()g x 的最小值为π22πg ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2πa ≤，a 的最大值为2π．b 的最小值为1，下面进行证明：()sin h x x bx =-，π02x ⎡⎫∈,⎪⎢⎣⎭，则()cos h x x b '=-，当1b =时，()0h x '≤，()h x 在π02⎡⎫,⎪⎢⎣⎭上单调递减，从而()()max 00h x h ==，所以sin 0x x -≤，当且仅当0x =时取等号．从而当π02x ⎛⎫∈, ⎪⎝⎭时，sin 1x x <．故b 的最小值小于等于1．若1b <，则()cos 0h x x b '=-=在π02⎛⎫, ⎪⎝⎭上有唯一解0x ，且()00x x ∈,时，()0h x '>，故()h x 在()00x ,上单调递增，此时()()00h x h >=，sin sin 0xx bx b x->⇒>与恒成立矛盾，故1b ≥， 综上知：b 的最小值为1．5. （2014北京文20）已知函数3()23f x x x =-．⑴求()f x 在区间[]21-，上的最大值；⑵若过点(1)P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；⑶问过点(12)(210)(02)A B C -，，，，，分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【解析】 ⑴ 由()323f x x x =-得()263f x x '=-.令()0f x '=，得x =或x =.因为()210f -=-，f ⎛ ⎝⎭()11f f ==-⎝⎭所以()f x 在区间[]21-，上的最大值为f ⎛= ⎝⎭⑵ 设过点()1P t ，的直线与曲线()y f x =相切于点()00x y ，，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为()20063y y x -=-()0x x -， 因此()()2000631t y x x -=--.整理得32004630x x t -++=.设()32463g x x x t =-++，则“过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”.()()21212121g x x x x x '=-=-. ()g x 与()g x '的情况如下：当(0)30g t =+≤，即3t -≤时，此时()g x 在区间(]1-∞，和(1)+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点． 当(1)10g t =+≥，即1t -≥时，此时()g x 在区间(0)-∞，和[)0+∞，上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，因为()()1702110g t g t -=-<=+>，， 所以()g x 分别在区间[)10-，，[)01，和[)12，上恰有1个零点. 由于()g x 在区间()0-∞，和()1+∞，上单调，所以()g x 分别在区间()0-∞，和[)1-∞，上恰有1个零点.综上可知，当过点()1P t ，存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()31--，. ⑶ 过点()12A -， 存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点()210B ， 存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()02C ， 存在1条直线与曲线()y f x =相切.：6. （2014大纲理7）曲线1e x y x -=在点()11，处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．eC ．2D ．1【解析】 C7. （2014大纲理16）若函数()cos2sin f x x a x =+在区间ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，上是减函数，则a 的取值范围是____________．【解析】 (]2-∞， 8. （2014大纲理22）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+． ⑴讨论()f x 的单调性；⑵设11a =，1ln(1)n n a a +=+，证明：2322n a n n <++≤． 【解析】 ⑴ ()f x 的定义域为()1-+∞，，()()()()222'1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦=++（i ）当12a <<时，若()212x a a ∈--，，则()'0f x >，()f x 在()212a a --，是增函数；若()220x a a ∈-，，则()'0f x <，()f x 在()220a a -，是减函数；若()0x ∈+∞，，则()'0f x >，()f x 在()0+∞，上增函数． （ii ）当2a =时，()'0f x ≥，()'0f x =成立当且仅当0x =，()f x 在()1-+∞，是增函数． （iii ）当2a >时，若()10x ∈-，，则()'0f x >，()f x 在()10-，是增函数； 若()202x a a ∈-，，则()'0f x <，()f x 在()202a a -，是减函数；若()22x aa ∈-+∞，，则()'0f x >，()f x 在()22a a -+∞，是增函数．⑵ 由⑴知，当2a =时，()f x 在()1-+∞，是增函数 当()0x ∈+∞，时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+ 又由⑴知，当3a =时，()f x 在[)03，是减函数．当()03x ∈，时，()()00f x f <=，即()()3ln 1033xx x x +<<<+． 下面用数学归纳法证明2322n a n n <++…（i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）设当n k =时结论成立，即12322a k k <++≤． 当1n k =+时．()122222ln 1ln 1=2322k k k a a k k k +⨯⎛⎫+=+>+>⎪++⎝⎭++． ()133332ln 1ln 12332k k k a a k k k +⨯⎛⎫+=++<= ⎪++⎝⎭++≤ 即当1n k =+时有12333k a k k +<++≤，结论成立 根据（i ）（ii ）知对任何*n ∈N 结论都成立．9. （2014大纲文21）函数()()32330f x ax x x a =++≠．⑴讨论()f x 的单调性；⑵若()f x 在区间()12，是增函数，求a 的取值范围． 【解析】 ⑴ ()2363f x ax x '=++，()0f x '=的判别式()361a ∆=-．（i ）若1a ≥，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当1a =，1x =-，故此时()f x 在R 上是增函数．（ii ）由于0a ≠，故当1a <，()0f x '=有两个根；1x =2x =若01a <<，则当()2x x ∈-∞，或()1x x ∈+∞，时()0f x '>， 故()f x 分别在()2x -∞，，()1x +∞，上是增函数； 当()21x x x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在()21x x ，上是减函数； 若0a <，则当()1x x ∈-∞，或()2x +∞，时，()0f x '<， 故()f x 分别在()1x -∞，，()2x +∞，上是减函数； 当()12x x x ∈，时，()0f x '>，故()f x 在()12x x ，上是增函数．⑵ 当0a >，0x >时，()23630f x ax x '=++>，故当0a >时，()f x 在区间()12，上是增函数． 当0a <时，()f x 在区间()12，上是增函数当且仅当()10f '≥且()20f '≥，解得504a -<≤．综上，a 的取值范围是()5004⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭∪，，． 10. （2014福建理14）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______．【解析】 22e11. （2014福建理20文22）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．⑴求a 的值及函数()f x 的极值； ⑵证明：当0x >时，2e x x <；⑶证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2e x x c <． 【解析】 本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想． ⑴ 由()x f x e ax =-，()x f x e a '=- 又'(0)11f a =-=-，得2a =． 所以()e 2'()e 2x x f x x f x =-=-，， 令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时，'()0()f x f x <，单调递减； 当ln 2x >时，'()0()f x f x >，单调递增． 所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值， 且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 4f =-=-， ()f x 无极大值．⑵ 令2()e x f x x =-，则'()e 2x g x x =-， 由⑴得'()()(ln 2)0g x f x f =>≥， 故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，x因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2e x x <． ⑶ 理科解法一：①若1c ≥，则e e x x c ≤．又由⑵知，当0x >时，2e x x <． 所以当0x >时，2e x x c <．取00x =，当0()x x +∞∈，时，恒有2e x x c <． ②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2e x x c <成立，只要2e x kx >成立． 而要使2e x kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立． 令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=． 所以当2x >时，'()0h x >，()h x 在(2)+∞，内单调递增． 取01616x k =>，所以()h x 在0()x +∞，内单调递增， 又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+， 易知ln ln 250k k k k >>>，，，所以0()0h x >．即存在016x c=，当0()x x +∞∈，时，恒有2e x x c <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有2e x x c <． 理科解法二：对任意给定的正数c ，取0x =，由⑵知，当0x >时，2e xx >，所以2222e e e 22x x xx x ⎛⎫⎛⎫=⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当0x x >时，222241e 222xx x x x c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此，对任意给定的正数c ，总存()0x ∈+∞，时，恒有313x x e < 理科解法三：首先证明当(0)x +∞∈，时，恒有21e 3x x <．证明如下：令31()e 3x h x x =-，则2'()e x h x x =-．由⑵知，当0x >时，3e x x <，从而'()0()h x h x <，在(0)+∞，上单调递减， 所以()(0)10h x h <=-<，即31e 3x x <．取03x c =，当0x x >时，有2311e 3x x x c <<． 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当()x x ∞∈，+时，恒有2e x x c <． 文科解法一：对任意给定正数c ，取01x c=所以当0x x >时，21e x x x c>> ，即e x x c <．因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有e x x c <． 文科解法二：令1(0)k k c=>，要使不等式e x x c <成立，只要e x kx >成立．而要使e x kx >成立，则只需要ln()x kx >，即ln ln x x k >+成立． ①若01k <≤，则ln 0k ≤，易知当0x >时，ln ln ln x x x k >+≥成立．即对任意[)1c ∈+∞，，取00x =，当0()x x ∈+∞，时，恒有e x x c <． ②若1k >，令()ln ln h x x x k =--，则11'()1x h x x x-=-=， 所以当1x >时，'()0()h x h x >，在(1)+∞，内单调递增， 取04x k =．0()4ln(4)ln 2(ln )2(ln 2)h x k k k k k k =--=-+-．易知ln ln 2k k k >>，，所以0()0h x >． 因此对任意(01)c ∈，，取04x c=，当0()x x ∈+∞，时，恒有e x x c <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有e x x c <． 文科解法三： ①若1c ≥，取00x =，由⑵的证明过程知，e 2x x >，所以当0()x x +∞∈，时，有e e 2x x c x x >>≥，即e x x c <． ②若01x <<，令()e x h x c x =-，则'()e 1x h x c =-． 令'()0h x =得1ln x c=．当1ln x c>时，'()0()h x h x >，单调递增．取022ln x c=， 22ln0222()e2ln2ln ch x c c cc ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 易知22ln 0c c->，又()h x 在()0x +∞，内单调递增． 所以当0()x x ∈+∞，时，恒有0()()0h x h x >>，即e x x c <．综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0()x x +∞∈，时，恒有e x x c <． 注：对c 的分类可有不同的方式，只要解法正确，均相应给分．12. （2014广东理10）曲线5e 2x y -=+在点(0,3)处的切线方程为____________． 【解析】530x y +-=． 55e x xy -'=-，05y '=-，切线过点(0,3)，由点斜式写出直线方程53y x =-+． 13. （2014广东文11）曲线5e 3x y =-+在(02)-，处的切线方程为____________． 【解析】520x y ++= 14. （2014广东文21）已知函数321()1()3f x x x ax a =+++∈R⑴求函数()f x 的单调区间；⑵当0a <时，试讨论是否存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∪，，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【解析】 ⑴ 函数的定义域为R ，()22f x x x a '=++．①当1a <时，令()0f x '>，则2201x x a x ++>⇒>-或1x <-，所以()f x 的单调递增区间为(1-∞-，和()1-+∞；令()0f x '<，可得11x -<-+所以()f x 的单调递减区间为(11--+．②当1a ≥时，()0f x '≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上是增函数．⑵ 0a <时，10-．由⑴知，()f x在()1-++∞上是增函数． ①()1111701172244212551211442f f a a a a a ⎧⎛⎫⎧⎧+++- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒⇒-⎨⎨⎨⎪⎪⎪>->--⎪⎪⎪⎩⎩⎩，≤≤≥≤， 则7012a -<≤， 不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012fx f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ②()1705721254121142f f a a a ⎧⎛⎫⎧><- ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒-<<-⎨⎨⎪⎪>--⎪⎪⎩⎩，，，存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③15124a -⇒=-， 不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f xf ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④()1251252123512131142f f a a a ⎧⎛⎫⎧- ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒-<<-⎨⎨⎪⎪-<<--⎪⎪⎩⎩，≤≤≤， 不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f xf ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ⑤()12512552125124131142f f a a a ⎧⎛⎫⎧>>- ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⇒-<<-⎨⎨⎪⎪-<<-<-+⎪⎪⎩⎩，，，存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ⑥113a -⇒-≤，()f x 在()01，上是单调函数， 故不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 综上所述，当25557124412a ⎛⎫⎛⎫∈---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，时， 存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 当2557012412a ⎛⎫⎧⎫⎡⎫∈-∞---⎨⎬ ⎪⎪⎢⎝⎭⎩⎭⎣⎭，，时，不存在0110122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．15. （2014湖北理6）函数()(),f x g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()(),f x g x 为区间[]11-，上的一组正交函数，给出三组函数：①()()11sin cos 22f x x g x x ==，；②()()11f x x g x x =+=-，； ③()()2f x x g x x ==，其中为区间[]11-，的正交函数的组数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 C由①得111()()sin cos sin 222f xg x x x x ==，是奇函数，所以11()()d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]11-，上的正交函数；由②得2()()1f xg x x =-，∴131121114()()d (1)33x f x g x x x dx x ---⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰，所以②不是区间[]11-，上的正交函数；由③得3()()f x g x x =，是奇函数，所以11()()d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]11-，上的正交函数．故选C ．16. （2014湖北理22）π为圆周率，e 2.71828= 为自然对数的底数．⑴求函数ln ()=xf x x的单调区间⑵求3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数中的最大数与最小数；⑶将3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数从小到大的顺序排列，证明你的结论．【解析】 ⑴ 函数()f x 的定义域为(0)+∞，． 因为ln ()x f x x =，所以2l ln ()xf x x-'=． 当()0f x '＞，即0e x ＜＜，函数()f x 单调递增； 当()0f x '＜，即e x ＜，函数()f x 单调递减． 故函数()f x 的单调递增区间为（0e ，），单调递减区间为（e +∞，）． ⑵ 因为e <3π<，所以eln3eln ππlne πln3＜，＜，即e e ππln3ln πln e ln3＜，＜． 于是根据函数ln e πx x y x y y ===，，在定义域上单调递增，可得e e 33ππ3ππe e 3＜＜，＜＜． 故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．由e 3π＜＜及⑴的结论，得(π)(3)(e)f f f ＜＜，即ln πln3lneπ3e＜＜． 由ln πln 3π3＜，得3πln πln 3＜，所以π33π＞； 由ln 3ln e 3e ＜，得e 3ln 3ln e ＜，所以e 33e ＜． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．⑶ 由⑵知，e e 3πe 33ππ33e ＜＜＜，＜． 又由⑵知，ln πlneπe＜得e ππe ＜． 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小．由⑴知，当0e x ＜＜时，1()(e)=e f x f ＜，即ln 1ex x ＜．在上式中，令2e πx =，又2e e π＜，则2e e ln ππ＜，从而e 2ln ππ-＜，即得eln π2π-＞．由①得，e 2.72e ln πe 2 2.72 2.7(20.88)π 3.1⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞＞＞ 3.0243>，即e ln π>3，亦即e 3ln πln e ＞，所以3e e π＜．又由①得，3e 3ln π66e ππ--＞＞＞，即3ln ππ＞，所以π3e π＞． 综上可得，e 3e π3π3e πe π3＜＜＜＜＜． 即6个数从小到大的顺序为e 3e π3π3e πe π3，，，，，． 评析 本题考查了函数和导数的结合应用；考查了不等式求解的能力；考查了分析问题、解决问题的综合能力．充分考查了考生的综合素质在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力．17. （2014湖北文21）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数．⑴求函数ln ()xf x x=的单调区间； ⑵求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数．【解析】 ⑴ 函数()f x 的定义域为()0+∞，．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=．当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为()0e ，，单调递减区间为()e +∞，． ⑵ 因为e 3π<<，所以eln 3eln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<． 于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中．由e 3π<<及⑴的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln 3<，所以π33>π； 由ln 3ln e 3e<，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．18. （2014湖南理9）已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()2π300f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）A ．5π6x =B ．7π12x =C ．π3x =D ．π6x =【解析】 A函数()f x 的对称轴为ππ2x k ϕ-=+ππ2x k ϕ⇒=++，因为()2π32πsin d 0cos cos 03x x ϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰πsin 03ϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以π2π3k ϕ=+或4π2π3k +，则5π6x =是其中一条对称轴，故选A ． 19. （2014湖南理22）已知常数0a >，函数()()2ln 12xf x ax x =+-+．⑴讨论()f x 在区间()0+∞，上的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围．【解析】 ⑴ 对函数()f x 求导可得()()2412a f x ax x '=-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x --=++，因为()()2120ax x ++>，所以当10a -≤时，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 在()0+∞，上单调递增；当1a ≤时，()0f x x '=⇒=则函数()f x在区间0⎛ ,⎝⎭上单调递减，在⎫⎪,+∞⎪⎝⎭上单调递增的． ⑵ 由⑴可知，当1a ≥时，()f x 不存在极值点，因而01a <<． 又()f x的极值点只可能是12x x ==-，且由()f x 的定义可知，1x a>-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠，此时12x x ，分别是()f x 的极小值点和极大值点．而()()()()1212121222ln 1ln 122x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()2122212121212444ln 1224x x x x ax ax a x x x x x x ++=+++-+++=()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a ---=-+--- 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知， 当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记()22ln 2g x x x=+-①当10x -<<时，()()22ln 2g x x x =-+-，所以()2222220x g x x x x -'=-=<，因此()g x 在区间()10-，上单调减，从而()()140g x g <-=-<， 故当102a <<时，()()120f x f x +<． ②当01x <<时，()22ln 2g x x x =+-，()2222220x g x x x x -'=-=<，因此()g x 在区间()01，上单调递减，从而()()10g x g >=， 故当112a <<时，()()120f x f x +>． 综上，满足条件的a 的取值范围为112⎛⎫⎪⎝⎭，． 20. （2014湖南文9）若1201x x <<<，则（ ）A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <【解析】 C21. （2014湖南文21）已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>．⑴求()f x 的单调区间；⑵记i x 为()f x 的从小到大的第()i i *∈N 个零点，证明：对一切*n ∈N ，有2221211123n x x x +++<． 【解析】 ⑴ ()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-令()0f x '=，得()*πx k k =∈N ．当()()()2π,21πx k k k ∈+∈N 时，sin 0x >，此时()0f x '<； 当()()()()21π,22πx k k k ∈++∈N 时，sin 0x <，此时()0f x '>， 故()f x 的单调递减区间为()()()2π,21πk k k +∈N ，单调递增区间为()()()()21π,22πk k k ++∈N ．⑵ 由⑴知，()f x 在区间()0,π上单调递减，又π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1π2x =，当*n ∈N 时，因为()()()()()()1π1π1π11110nn f n fn n n n +⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦，且函数()f x 的图象是连续不断的，所以()f x 在区间()()π,1πn n +内至少有一个零点． 又()f x 在区间()()π,1πn n +上是单调的，故()1π1πn n x n +<<+． 因此当1n =时，221142π3x =<； 当2n =时，()22212111241π3x x +<+<； 当3n ≥时，()2222221211111141π21n x x x n ⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()21115π1221n n ⎡⎤<+++⎢⎥⨯--⎢⎥⎣⎦211111151π22321n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2211626π1π3n ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭． 综上所述，对一切*n ∈N ，2221211123n x x x +++<．22. （2014江苏理11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线()2by ax a b x=+，为常数过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是_______．【解析】3- 由已知，452b a +=-，又∵22b y ax x '=-，∴7442b a -=-，解得2b =-，1a =- ∴3a b +=-23. （2014江苏理19）已知函数()e e x x f x -=+，其中e 是自然对数的底数⑴证明：()f x 是R 上的偶函数；⑵若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；⑶已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【解析】 ⑴ x ∀∈R ,()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数⑵ 由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤∵(0,)x ∈+∞，∴e e 10xx-+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0,)x ∈+∞恒成立令e x t =(1)t >，则211tm t t --+≤对任意(1,)t ∈+∞恒成立.∵22111111(1)(1)131+11t t t t t t t t --=-=---+-+-+-+-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴实数m 的取值范围为1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦⑶ ()e e x x f x -'=-，当1x >时()0f x '>，∴()f x 在(1,)+∞上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，()3(1)h x ax x '=--∵0a >，1x >，∴()0h x '<，即()h x 在(1,)x ∈+∞上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即11(e )2ea >+ ∵e 1e 111ln ln lne (e 1)ln 1ea a a a a a ----=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1()1a m a a a ---'=-=，11(e )2ea >+ 当11(e )e 12ea +<<-时()0m a '>，()m a 单调增；当e 1a >-时()0m a '<，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==∴当e a >时()0m a <，当11(e )e 2ea +<<时()0m a >，当e a =时()0m a =∵e 11()0e a m a a --<⇔<，e 11()0e a m a a -->⇔>，e 11()0e a m a a --=⇔=综上所述，当11(e e )e 2a -+<<时e 11e a a -->；当e a =时e 11e a a --=；当e a >时e 11e a a --<24. （2014江苏理23）已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N⑴求12πππ2()()222f f +的值⑵证明：对任意*n ∈N，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．【解析】 ⑴ 0()sin xf x x =,两边求导得01()()cos f x xf x x +=两边再同时求导得122()()sin f x xf x x +=- (*)将π2x =代入(*)式得12πππ2()()1222f f +=-⑵ 下证命题：1sin ,4cos ,41()()sin ,42cos ,43n n x n kx n k nf x xf x x n k x n k -=⎧⎪=+⎪+=⎨-=+⎪⎪-=+⎩，*k ∈N 恒成立当0n =时，0()sin xf x x =成立当1n =时，10()()cos xf x f x x +=，由(1)知成立 当2n =时，21()2()sin xf x f x x +=-，由(1)知成立当3n =时，上式两边求导322()()2()cos xf x f x f x x ++=-，即32()3()cos xf x f x x +=- 假设当n m =(3)m ≥时命题成立，下面证明当1n m =+时命题也成立 若14m k +=，*k ∈N ，则41m k =-，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1()()()sin m m m xf x f x mf x x +++= 即1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=，命题成立同理，若141m k +=+，*k ∈N ，则4m k =，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=，命题成立 若142m k +=+，*k ∈N ，则41m k =+，*k ∈N由1()()cos m m mf x xf x x -+=两边同时求导得1(1)()()sin m m m f x xf x x +++=-，命题成立 若143m k +=+，*k ∈N ，则42m k =+，*k ∈N由1()()sin m m mf x xf x x -+=-两边同时求导得1(1)()()cos m m m f x xf x x +++=-，命题成立 综上所述，命题对*n ∀∈N 恒成立 代入π4x =得1πππ()()444n n nf f -+=两边同时取绝对值得1πππ()()444n n nf f -+=25. （2014江西理8）若()()1202d ,f x x f x x =+⎰则()1d f x x =⎰（ ）A ．1-B ．13-C ．13D ．1【解析】 B令()10d f x x m =⎰，则()22f x x m =+，所以()()111230011d 2d 2233f x x x m x x mx m m ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得13m =-，故选B ．26. （2014江西理13）若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________． 【解析】 ()ln 2,2-令()e x f x -=，则()'e x f x -=-，令()00P x y ，，则()00'e 2x f x -=-=-，解得0ln 2x =-，所以0ln 20e e 2x y -===，所以点P 的坐标为()ln 2,2-．27. （2014江西理18）已知函数()()2f x x bx bb =++∈R ．⑴当4b =时，求()f x 的极值；⑵若()f x 在区间103⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，求b 的取值范围．【解析】 ⑴ 当4b =时，()52'x x f x -+=，由()'0f x =得2x =-或0x =．当()2x ∈-∞-，时，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()20x ∈-，时，()'0f x >，()f x 单调递增； 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x <，()f x 单调递减，故()f x 在2x =-处取极小值()20f -=，在0x =处取极大值()04f =．⑵ ()'f x =，因为当103x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0<，依题意，当103x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，有()532x b +-≤0，从而()53203b +-≤．所以b 的取值范围为19⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，28. （2014江西文11）若曲线ln y x x =上点P 处的切线平行于直线210x y -+=，则点P 的坐标是_______． 【解析】 ()e e ， 29. （2014江西文18）已知函数22()(44f x x ax a =++0a <. ⑴当4a =-时，求()f x 的单调递增区间； ⑵若()f x 在区间[14]，上的最小值为8，求a 的值． 【解析】 ⑴ 当4a =-时，由()25220x x f x--'==得25x =或2x =，由()0f x '>得 205x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，或()2x ∈+∞，，故函数()f x 的单调递增区间为205⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()2+∞，．⑵ ()0f x a '=<， 由()0f x '=得10ax =-或2a x =-．当010a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()f x 单调递增；当102aa x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，时，()f x 单调递减；当2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()f x 单调递增．易知()()220f x x a =+，且02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．①当12a-≤，即20a -<≤时，()f x 在[]14，上的最小值为()1f ，由()21448f a a =++=，得2a =±，均不符合题意．②当142a<-≤，即82a -<-≤时，()f x 在[]14，上的最小值为02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，不符合题意．③当42a ->，即8a <-时，()f x 在[]14，上的最小值可能在1x =或4x =处取得，而()18f ≠，由()()24264168f a a =++=得10a =-或6a =-（舍去），当10a =-时()f x 在()14，上单调递减，()f x 在[]14，上的最小值为()48f =，符合题意．综上，10a =-．30. （2014辽宁理11文12）当[]21x ∈-，时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]53--，B ．968⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[]62--，D ．[]43--，【解析】 C31. （2014辽宁理14）正方形的四个顶点()11A --，，()11B -，，()11C ，，()11D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是．【解析】 2332. （2014辽宁理21）已知函数()()()()8cos π2sin 13f x x x x x =-+-+， ()()()23πcos 41sin ln 3πx g x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭证明：⑴存在唯一0π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使()00f x =；⑵存在唯一1ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使()10g x =，且对⑴中的0x ，有01πx x +<．在0(0)x ，上()u t 是增函数，又(0)0u =，从而当0(0]t x ∈，时，()0u t >，所以()u t 在0(0]x ，上无零点在0π2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上()u t 为减函数，由()00u x >，π4ln 202u ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，知存在唯一10π,2t x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使1()0u t =.所以存在唯一的1π02t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使1()0u t =. 因此存在唯一的11πππ2x t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，，使1()h x h =11(π)()0t u t -==. 因为当ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，1sin 0x +>，故()(1sin )()g x x h x =+与()h x 有相同的零点，所以存在唯一的1ππ2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使1()0g x =． 因1110πx t t x =->，，所以01πx x +<．33. （2014辽宁文21）已知函数()π(cos )2sin 2f x x x x =---，2()(π1πx g x x =--． 证明：⑴存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0=f x ； ⑵存在唯一1π(,π)2x ∈，使1()0=g x ，且对⑴中的0x ，01πx x +>． 【解析】 ⑴ 当π(0,)2∈x 时，()ππsin 2cos 0f x x x '=+->，所以()f x 在π(0,)2上为增函 数，又(0)f 2πππ20,()4022=--<=->f ，所以存在唯一0π(0,)2x ∈，使0()0=f x ． ⑵ 当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，化简得cos 2()(π)11sin πx x g x x x =-⋅+-+ 令πt x =-，记()(π)=-u t g t =cos 211sin πt t t t --++，π[0,]2∈t ()().π(1sin )f t u t t '=+ 由⑴得，当0(0,)∈t x 时，()0u t '<当0π(,)2∈t x 时，()0u t '>． 在0π(,)2x 上()u t 为增函数，由π()02=u 知，当0π,2t x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0<u t ．所以()u t 在0π,2t x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上无零点． 在0(0,)x 上()u t 为减函数，由(0)1=u 及0()0u x <知存在唯一00(0,)∈t x ，使0()0=u t ． 于是存在唯一0π(0,)2t ∈，使()00u t =． 设10ππ(,π)2x t =-∈，则100()(π)()0g x g t u t =-==，因此存在唯一的1π(,π)2x ∈，使1()0=g x ．由于1000π,x t t x =-<，所以01πx x +>．。

2014年高考数学复习专题之导数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值常见函数的导数 导数的运算法则可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数. 注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '=e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.真题演练错误！未指定书签。

考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x) ＝0的根；(3)检查f′(x)在x0两侧的符号①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x (x 2－5x ＋4)e x ＝－x (x －1)(x －4)e x ，当x 变化时，f (x )、f ′(x )的符号变化情况如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝0和f (4)＝32e 4，f (x )的极小值为f (1)＝－1e.变式训练 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型二 利用极值求参数例2 设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 －14解析 由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.变式训练 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________． 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足条件．题型三 利用导数求函数的最值例3 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 变式训练 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .解题要点 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ________.①在(－∞，0)上为减函数② 在x ＝0处取极小值 ③ 在(4，＋∞)上为减函数 ④ 在x ＝2处取极大值答案 ③解析 由f ′(x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，同理f (x )在x ＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f ′(x )的图象可知f (x )在(4，＋∞)上单调递减．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是________.①x ＝1 ②x ＝－1 ③x ＝1或－1或0 ④x ＝0 答案 ③解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3. 若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则a 与b 的关系是________. 答案 a ＋2b ＝0解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.4．函数f (x )＝xe x ，x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.课后作业一、 填空题1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．函数f (x )＝x 3－32x 2－6x 的极值点的个数是________．答案 2解析 f ′(x )＝3x 2－3x －6＝3(x 2－x －2)＝3(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.易知x ＝－1为f (x )的极大值点，x ＝2为f (x )的极小值点．故f (x )的极值点有2个． 3．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 答案 －16解析 由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.4．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． 答案 e －1解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1).5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________． 答案 3百万件解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．答案 －23解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.7．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 ④解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37.9．函数f (x )＝x 3+ x 2－x +2在[0,2]上的最小值是________． 答案4927解析 f ′(x )＝3x 3+2x －1，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝13.比较f (0)＝2，f (13)＝4927，f (2)＝12.可知最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________ 元时利润最大，利润的最大值为__________． 答案 30 23 000解析 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， ∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30或p ＝－130(舍去)，则p ，y ，y ′变化关系如下表：∴当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3＋150p 2＋11 700p －166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．11．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.二、解答题12． （2015北京文节选）设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.求f (x )的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. 13．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2处取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9， 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。

高中数学第十四章 导 数考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14. 导 数 知识要点1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→ ).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x y ，故x y x ∆∆→∆0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅=复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理）当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin x x -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos x x --= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x x x x e e =')( a a a x x ln )('= 11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：x x 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y xx x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.。

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点10 导数的概念、导数的计算（解析版）加（＊）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一、考纲目标了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b ）的复合函数的导数）二、知识梳理1。

导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/ 2。

导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-3.导函数（导数）:如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f， 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数, 4。

求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1)求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆(2）求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3)取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim5.常见函数的导数公式：0'=C ;1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =；e x x a a log 1)'(log =；x x e e =)'( a a a x x ln )'(=6。

高中数学导数知识点归纳总结导数是高中数学中的重要内容，它是微积分的基础。

在学习导数的过程中，我们需要掌握一些重要的概念和技巧。

本文将对高中数学导数知识点进行归纳总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握导数的相关知识。

一、导数的定义和性质1. 导数的定义：导数表示函数在某个点上的变化率，可以用极限的概念来进行定义。

如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么函数f(x)在点x0处可导。

2. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某点处的切线斜率。

3. 导数的性质：导数具有唯一性、可加性、线性、乘积法则、商规则等性质，这些性质可以用来简化导数的计算。

二、导数的计算方法1. 基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式是我们计算导数的基础。

2. 导数的四则运算：和、差、积、商的导数计算方法。

3. 复合函数的导数：复合函数的导数计算需要运用链式法则，即外函数的导数乘以内函数的导数。

4. 隐函数的导数：对于隐函数，我们可以通过求偏导数的方法来计算其导数。

5. 参数方程的导数：对于参数方程表示的函数，我们可以通过对x 和y分别求导来计算其导数。

三、导数的应用1. 切线与法线：导数可以帮助我们求函数图像上某点处的切线和法线方程。

2. 函数的单调性与极值：通过导数的正负性可以判断函数的单调性，通过导数的零点可以求得函数的极值点。

3. 函数的凹凸性与拐点：通过导数的增减性可以判断函数的凹凸性，通过导数的拐点可以求得函数的拐点。

4. 曲线的图形描绘：通过导数的一阶导数和二阶导数可以描绘曲线的大致形状。

四、常用函数的导数1. 幂函数的导数：幂函数的导数公式是导数计算中的基本类型，需要熟练掌握。

2. 指数函数的导数：指数函数的导数公式是指数函数求导中的重要内容。

3. 对数函数的导数：对数函数的导数公式是对数函数求导中的重要内容。

4. 三角函数的导数：三角函数的导数公式是三角函数求导中的重要内容，需要特别注意。

重点高中数学导数知识点归纳总结高中数学中的导数是一个重要的知识点，它是微积分的基础，也是日后学习数学和理工科学科的必备知识。

下面将对高中数学中的导数相关知识进行归纳总结。

一、导数的定义与基本性质1. 导数的定义：设函数y=f(x)，在x=a处可导，那么函数f(x)在x=a处的导数定义为：f'(a)=lim┬(△x→0)⁡(f(a+△x)-f(a))/(△x)。

2.函数连续与可导的关系：如果函数f(x)在x=a处可导，则函数f(x)在x=a处连续。

3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处切线的斜率。

4.导数的性质：(1)常数函数的导数为0，即(f(x)=c，c为常数时，f'(x)=0)。

(2) 任意一次幂函数的导数为对应的幂次函数的导函数，即(f(x)=x^n，n为常数时，f'(x)=nx^(n-1))。

(3)任意两个函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)。

(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

(4)任意两个函数的积的导数等于这两个函数的导数之积加上这两个函数之积的导数。

(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

(5) 任意一个函数的常数倍的导数等于它的导数的常数倍，即(cf(x))' = cf'(x)，c为常数。

二、常见函数的导数1.常数函数f(x)=c的导数为f'(x)=0。

2. 幂函数f(x)=x^n，n为常数时，导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数f(x)=a^x，a>0且a≠1时，导数为f'(x)=a^xlna。

4. 对数函数f(x)=logₐx，a>0且a≠1时，导数为f'(x)=1/(xlna)。

5. 正弦函数f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。

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2014年高考数学导数知识点复习解析
2014年高考数学导数知识点复习解析
 【摘要】高中生各科考试，各位考生都在厉兵秣马，枕戈待旦，把自己调整到最佳作战状态。

在这里为各位考生整理了2014年高考数学导数知识点复习解析，希望能够助各位考生一臂之力，祝各位考生金榜题名，前程似锦!!
 导数应用的题型与方法
 一、专题综述
 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:
 1.导数的常规问题：
 (1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

 2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

1。