高中数学 第一章123空间几何体的直观图导学案 新人教A版必修

课堂教学设计.斜二测画法基本步骤2）轴，两轴相交yx轴和）在已知图形中取互相垂直的（1 ′轴，两轴交yx′轴与于点O.画直观图时，把它们画对应的，它们确定的平)135°=45°(或O于点′，且使∠x′O′y′教.表示水平面轴的线段，在直观图分轴或y（2）已知图形中平行于x学. y′轴的线段别画成平行于x′轴或在直观图中保持长度x轴的线段，3）已知图形中平行于（设不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.2．简单几何体的直观图画法计例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm，3cm，2cm 的长方体ABCD –A′B′C′D′的直观图.画法：（1）画轴. 如图，画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy = 45°，∠xOz = 90°（2）画底面. 以点O为中点，在x轴上取线段MN，使3M分别过点PQ =cm. ，使；在MN = 4cmy轴上取线段PQ2设它们轴的平行线，xQP轴的平行线，作和Ny过点和作的交24（2）画圆的柱的下底面. 在x轴上取A，B两点，使AB 的长度等于俯视图中圆的直径，且OA = OB. 选择椭圆模板教中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱下底面的作法作出圆柱的下底面.学（3）在Oz上截取点O′，使OO′等于正视图中OO′的长度，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的设作法作出圆柱的上底面.（4）画圆锥的顶点. 在Oz上截取点P，使PO′等于正计视图中相应的高度.（5）成图. 连接PA′、PB′，AA′，BB′，整理得到三视图表示的几何体的直观图.（如图(2)）三、随堂练习1．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）：（1）任意三角形；（2）平行四边形；（3）正八边形.3。

1.2.3 空间几何体的直观图问题导学一、画水平放置的平面图形的直观图 活动与探究1如下图所示，水平放置的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．迁移与应用1．如图所示为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为__________，直观图A ′B ′C ′O ′的面积为____________．2．用斜二测画法画出如图所示水平放置的△ABC 的直观图．(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．(4)由直观图画法可知直观图面积是原图形面积的24．二、将直观图还原为平面图形 活动与探究2如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的面积．迁移与应用1．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，那么，直观图所示的平面图形是( )A．任意三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，将其恢复成原图形．由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．三、画空间几何体的直观图活动与探究3如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．迁移与应用根据给出的空间几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．(1)画几何体的直观图时，应先弄清几何体的结构特征，再运用斜二测画法画出直观图．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向，且z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．当堂检测1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段( ) A．平行且相等 B．平行不相等C．相等不平行 D．既不平行也不相等2．如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．直角三角形3．有下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中结论正确的是__________．(填序号)4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为__________．5．如下图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．课前预习导学 【预习导引】1．(1)45° 135° 水平面 (2)x ′轴 y ′轴 (3)保持原长度不变 一半 预习交流1 (1)提示：平行投影．(2)提示：将直观图还原成平面图的过程是由平面图到直观图问题的逆过程．解决由直观图还原为平面图的问题，要注意画法步骤中有关规则的逆向转换，比如：直观图中x ′轴与y ′轴的夹角为45°(或135°)，则需还原成90°，与y ′轴平行的线段还原时应为原线段长度的2倍，且保持与y 轴平行．2．90° 不变预习交流2 提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用斜二测画法作该梯形的直观图．画法：(1)在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xAy ，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′A ′y ′＝45°．(2)过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝AD ·cos 30°＝323(cm)，DE ＝AD ·sin 30°＝32(cm)．过E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝34cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝ CD ＝2 cm ．(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，则四边形A ′B ′C ′D ′就是梯形ABCD 的直观图．迁移与应用 1．222 2．画法：(1)在△ABC 中，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xAy ，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′A ′y ′＝45°．(2)过C 作CD ⊥x 轴于点D ，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝AD ．过D ′作D ′C ′∥y ′轴，并取D ′C ′＝12DC ．(3)连接A ′C ′，B ′C ′，并擦去x ′轴、y ′轴及D ′C ′，则△A ′B ′C ′就是△ABC 的直观图．活动与探究2 思路分析：逆用斜二测画法还原图形，再求出原图形的高，进而求出原图形的面积．解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2．在过点D 作的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2． 在过点A 作的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2． 连接BC ，即得到了原平面图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD＝2．所以原图形的面积为S ＝2＋32×2＝5．迁移与应用 1．C2．画法：(1)画直角坐标系xCy ，在x 轴上取CA ＝C ′A ′，如图①；(2)在原题图中，过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于D ′，在x 轴上取CD ＝C ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，并使DB ＝2D ′B ′；(3)连接AB ，BC ，则△ABC 即为△A ′B ′C ′原来的图形，如图②．活动与探究3 思路分析：由三视图知，该几何体是六棱台．用斜二测画法画出上、下底面，连接对应的顶点即得直观图．画法：(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°．(2)画两底面．由三视图知该几何体是底面为正六边形的六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中的相应高度．过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′E ′F ′．(3)成图．连接A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，E ′E ，F ′F ，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②．迁移与应用解：由三视图可知该空间几何体是一圆台，下面画出它的直观图．画法：(1)画轴．如图(1)，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°．(2)画圆台的两底面，画出底面⊙O，假设交x轴于A，B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′，B′两点．(3)成图．连接A′A，B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出的三视图所表示的几何体的直观图(如图(2))．【当堂检测】1．A 2．D 3．①④4．2.55．画法：(1)画轴．如下图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°．(2)画圆台的两底面，利用椭圆模板，画出底面⊙O．在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②．。

空间几何体的直观图教学目标（1）掌握斜二测画法的作图规则；（2）会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.教学重点用斜二测画法画出简单几何体的直观图．教学难点斜二测画法的作图规则，用斜二测画法画出简单几何体的直观图．教学过程一、复习：（1）什么叫中心投影、平行投影、斜投影、正投影？（2）三视图采用何种投影？三视图指哪三种视图？画三视图要注意什么？说明：三视图在工程制图中被广泛采用，但其直观性较差，因此，在绘制物体的直观图时，一般采用斜投影或中心投影。

二、新授下图是采用斜投影和中心投影画出的正方体的直观图，观察它们的特点，你认为哪一个图作图比较方便？讨论、归纳：中心投影（透视）中水平线仍保持水平，铅垂线仍保持竖直，但斜的平行线会相交于一点。

中心投影（透视）作图方法比较复杂，且不易度量，因此，在立体几何中，通常采用平行投影来画空间图形的直观图。

例1：（教材第18页例1）画水平放置的正六边形的直观图。

例1：（教材第19页例2）画长、宽、高分别为2cm4、2cm、2cm的正方体的直观图。

归纳：用斜二测画法画简单几何体的直观图的规则：（1）在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，再取z 轴，使 90xOz ∠=，且90yOz ∠=；（2）画直观图时把它们画成对应的x '轴、y '轴和z '轴，它们相交于O '点，并使45x O y '''∠=（或135），90x O z '''∠=，x '轴和y '轴所确定的平面表示水平平面； （3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴、y '轴或z '轴的线段；（4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。

三、例题练习1：画底面棱长为2cm ，高为4cm 的正六棱柱的直观图。

1.2.3 空间几何体的直观图目标定位 1.掌握斜二测画法，能画简单几何体的直观图.2.理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.自主预习1.直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.即时自测1.判断题(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直.(×)(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行.(√)(3)正方形的直观图为平行四边形.(√)(4)梯形的直观图不是梯形.(×)提示(1)由直观图的性质知，原来垂直的不一定垂直.(2)斜二测画法中平行关系不变.(4)利用斜二测画法，所得梯形的直观图仍是梯形.2.利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的( )解析正方形的直观图可以是含45°角的平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案 C3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝( )A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.答案 C4.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm，若AB∥x轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________，若AB∥y轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________.解析画直观图时，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.答案 4 cm 2 cm类型一 画水平放置的平面图形的直观图【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画线段C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.【训练1】 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴.(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝OB ＝OC ＝2 cm ，在y ′轴上取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示.类型二 由直观图还原平面图形【例2】 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )A.24a 2B.22a 2C.a 2D.2a 2解析 由直观图还原出原图，如图，所以S ＝a ·22a ＝22a 2.答案 B规律方法 由直观图还原平面图形关键有两点：(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴平行线变换确定其在xOy 中的位置.【训练2】 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O ′A ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为( )A.2B.2C.2 2D.4解析 如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，原梯形的高OC 是直观图中O ′C ′长度的2倍，O ′C ′的长度是直观图中梯形的高的2倍， 由此知原梯形的高OC 的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形O ′A ′B ′C ′面积的22倍，梯形O ′A ′B ′C ′的面积为2，所以原梯形的面积是4.答案 D类型三 空间几何体的直观图(互动探究)【例3】 如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图.[思路探究]探究点一由三视图画几何体的直观图的关键是什么？提示由三视图画几何体的直观图时，首先要认清几何体的形状与大小，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图.探究点二画柱体的直观图的一般步骤是什么？提示画柱体的直观图一般分四步：(1)画轴：通常以高所在的直线为z轴建系.(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.解由几何体的三视图可知该几何体是一个五棱柱，其直观图的画法如下：(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高.(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.【训练3】由如图所示几何体的三视图画出直观图.解 (1)画轴.如图，画出x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°， ∠xOz ＝90°.(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC .(3)画侧棱.过A ，B ，C 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA ′，BB ′，CC ′，且AA ′＝BB ′＝CC ′.(4)成图，顺次连接A ′，B ′，C ′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图.[课堂小结]1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为：S 直S 原＝24. 2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是( )A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点解析 根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.答案 B2.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD 为( )A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.答案 D3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.答案104.如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.解本题由几何体的三视图想象和画出实物原形是同学们学习中的一个难点，这类题型有助于培养同学们的空间想象力和分析问题、解决问题的能力.由三视图知该几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥.画法：(1)画轴：如图(1)，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画底面：利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′；(3)画正四棱锥的顶点：在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度；(4)成图：连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示.基础过关1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形. 答案 B2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )解析根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.答案 C3.下列说法正确的个数是( )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.A.1B.2C.3D.4解析①②③错误，④正确.答案 A4.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.解析 由直观图可知其对应的平面图形△AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6.答案 65.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________.解析 将直观图△A ′B ′C ′复原，其平面图形为Rt △ABC ，且AC ＝3，BC ＝4，故斜边AB ＝5，所以AB 边上的中线长为52. 答案 526.画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图.解 (1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图(1)所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(2)所示.(2)如图(2)所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ； 过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC . (3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图.7.某几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图.解画法：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.①(2)②画圆台的两底面.利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′.(3)画圆锥的顶点.在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.能力提升8.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )A.ABB.ADC.BCD.AC解析还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.答案 D9.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )解析选项B中几何体的侧视图与给出的侧视图不符，选项C，D中几何体的俯视图与给出的俯视图不符，故排除选项B，C，D，故选A.答案 A10.在如图直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为______(填形状)，面积为______cm2.解析由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8 cm2.答案矩形811.用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自定). 解(1)画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点，分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它们都等于侧棱的长.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，并擦去辅助线，遮挡住的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图(2).探究创新12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

1.2 空间几何体的三视图和直观图知识梳理1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的图形称为正视图,自左向右投影所得的投影图称为侧视图,自上至下投影所得的投影图称为俯视图.用这三种视图即可刻画空间物体的集合结构,这种图称之为三视图.2.我们经常用斜二测画法画出几何体的直观图,用此方法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形的画法,它的步骤是:(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,长度为原来的一半.3.空间几何体的直观图和三视图有着密切的联系,我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图,同时,也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.4.从投影角度看,三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的空间图形.5.平行投影的投影线互相平行,而中心投影的投影线相交于一点.知识导学要学好本节内容,首先应复习初中学过的简单空间图形的三视图,在此基础上能画出空间简单图形组合体的三视图,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能.三视图画法的要点是:正、俯视图长对正;正、侧视图高平齐;俯、侧视图宽相等.用斜二测画法画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法.疑难突破1.什么叫三视图？三视图是根据什么原理画出来的呢？剖析:三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图.为了使空间图形的直观图更能直观、准确地反映空间图形的大小,往往需要把图形向几个不同的平面分别作投影,然后把这些投影放在同一个平面内,并有机地结合起来表示物体的形状和大小.通常,总是选取三个两两互相垂直的平面作为投射面,如图1-2-1,一个投射面水平放置,叫水平投射面,投射到这个平面内的图形叫俯视图.一个投射面放置在正前方,叫直立投射面,投射到这个平面内的图形叫正视图.和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投影的右面,投射到这个平面内的图形叫侧视图.图1-2-1是一个长方体的三视图,正视图是一个矩形,表示长方体的长度和高度;它的俯视图也是一个矩形,它表示长方体的长度和宽度;它的侧视图同样也是一个矩形,它表示长方体的宽度和高度.把这三个投影图放在一个平面内,如图1-2-2就是一个三视图.图1-2-1 图1-2-2(1)正视图反映物体的主要形状特征,是三视图中最重要的视图;俯视图要与正视图对正;侧视图要画在正视图的正右方,高度方向要与正视图平齐,俯视图与侧视图共同反映物体的宽度,宽度要相等.(2)三视图的排列规则是:先画正视图,俯视图安排在正视图的正下方,长度与正视图一样,侧视图安排在正视图的正右方,高度与正视图一样.(3)当物体形状复杂时,三视图还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面,或者分解成几部分分别画三视图.要掌握空间图形的三视图,首先要掌握平行投影与正投影这两个概念.①平行投影:已知图形F,直线l与平面α相交(如图1-2-3).过F上任意一点M作直线MM′平行于l,交平面α于点M′,则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影(或象).如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′,则F′叫做图形F在α内关于直线l的平行投影.平面α叫做投影面,l叫做投影线.②平行投影的性质:当图形中的直线或线段不平行于投影线时:a.直线或线段的平行投影仍是直线或线段;b.平行直线的平行投影是平行或重合的直线;c.平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长;d.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等;e.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.图1-2-3③正投影:在物体的平行投影中,如果投射线与投射面垂直,则称这样的平行投影为正投影(如图1-2-4).图1-2-4容易知道,正投影除具有平行投影的性质外,还有如下性质:a.垂直于投射面的直线或线段的正投影是点.b.垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.2.什么叫组合体？怎样画组合体的三视图？剖析:将基本几何体,通过拼、切、挖手段构成组合体.作组合体三视图时,首先掌握组合体的结构,弄清组合体是由哪些基本几何体组成的,是采用什么方式构成的.确定好表面的交线,外部可见轮廓线,内部不可见轮廓线,定好正视、俯视、侧视的方向.注意用好“长对正,高平齐,宽相等”的作图原则,便可完成三视图的绘画.要画好组合体的三视图,首先要掌握常见的柱、锥、台、球等常见几何体的三视图,再结合组合体三视图的画法与步骤画三视图.3.斜二测画法的一般步骤是什么?剖析:斜二测画法是一种最常用、直观性好的直观图的画法.它的步骤为:(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于点O,再取z轴,使∠xOz=90°,且∠yOz=90°.(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴,它们相交于点O′,并使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,x′轴和y′轴所确定的平面表示水平平面.(3)已知图形中平行(或重合)于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行(或重合)于x′轴、y′轴或z′轴的线段.(4)已知图形中平行(或重合)于x轴和z轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行(或重合)于y轴的线段,长度为原来的一半.所谓直观图,就是把空间图形在平面内画得既富有立体感,又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系的图形.画直观图时,既可采用正多边形逼近的思想,也可采用将圆的直径n等分,并过各分点作y轴的平行线的作法;对于柱体,只需过水平放置的底面上的各顶点分别作z′轴的平行线,并使其等于柱体的棱长,这样可确定上底面的顶点;对于锥体,只需在z 轴上截取一线段使其等于锥体的高,便可确定锥体的顶点.。

高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修（含五篇）第一篇：高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修高中数学《1.2 空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修2一、二、三、教学目标：1知识与技能：了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体。

2过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成“观察、思考”栏目中提出的问题。

3情感态度与价值观：培养学生空间想象能力和动手实践能力，激发学习兴趣。

二、教学重点：画出简单组合体的三视图三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体四、教学过程：(一)、新课导入：问题1：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生活.(二)、讲授新课： 1.中心投影与平行投影：① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们将这种自然现象加以的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.2.柱、锥、台、球的三视图：① 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上到下）② 讨论：几何体三视图在形状、大小方面的关系？→ 画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高的关系，得出结论：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高。

§1.2.3 空间几何体的直观图1. 掌握斜二测画法及其步骤；2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.1619复习1：中心投影的投影线_________；平行投影的投影线_______.平行投影又分___投影和____投影.复习2：物体在正投影下的三视图是_____、______、_____；画三视图的要点是_____ 、_____ 、______.引入：空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗?二、新课导学※ 探索新知探究1：水平放置的平面图形的直观图画法问题：一个水平放置的正六边形，你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?新知1：上面的直观图就是用斜二测画法画出来的，斜二测画法的规则及步骤如下：(1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，建立直角坐标系，两轴相交于O .画直观图时,把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴相交于点O '，且使x O y '''∠=45°(或135°).它们确定的平面表示水平面；(2) 已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半；(4) 图画好后，要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）.※ 典型例题例1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图.讨论：把一个圆水平放置，看起来象个什么图形?它的直观图如何画？结论：水平放置的圆的直观图是个椭圆，通常用椭圆模板来画.探究2：空间几何体的直观图画法问题：斜二测画法也能画空间几何体的直观图，和平面图形比较，空间几何体多了一个“高”，你知道画图时该怎么处理吗？例2 用斜二测画法画长4cm 、宽3cm 、高2cm 的长方体的直观图.新知2：用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：x 轴，y 轴，z 轴；它们相交于点O ，且45xOy ∠=°，90xOz ∠=°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中平行于x 轴的线段保持长度不变，平行于y 轴的线段长度为原来的一半，但空间几何体的“高”，即平行于z 轴的线段，保持长度不变.※ 动手试试练1. 用斜二测画法画底面半径为4cm ,高为3cm 的圆柱.例3 如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.练2. 由三视图画出物体的直观图.正视图 侧视图 俯视图正视图 侧视图 俯视图小结：由简单组合体的三视图画直观图时，先要想象出几何体的形状，它是由哪几个简单几何体怎样构成的；然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度，再用斜二测画法依次画出来.三、总结提升※ 学习小结1. 斜二测画法要点①建坐标系，定水平面；②与坐标轴平行的线段保持平行；③水平线段(x 轴)等长,竖直线段(y 轴)减半；④若是空间几何体,与z 轴平行的线段长度也不变.2. 简单组合体直观图的画法；由三视图画直观图.※ 知识拓展1. 立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆.正等测画法画圆的步骤为：（1）在已知图形⊙O 中，互相垂直的x 轴和y 轴画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，且使0120x O y '''∠=(或060)；（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴或y '轴的线段；（3）平行于x 轴或y 轴的线段，长度均保持不变.2. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系：三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）,直观.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（ ）.A. 4、8、4B. 4、4、4C. 2、4、4D.2、4、22. 利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（ ）.A.①②B.①C.③④D.①②③④3. 一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是（ ）.A. 8B. 16C.4. 下图是一个几何体的三视图正视图俯视图侧视图请画出它的图形为_____________________.5. 等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=2，下底AB=3，按平行于上、下底边取x轴，''''的面积为________.则直观图A B C D1. 一个正三角形的面积是2，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，并求它的直观图形的面积.2. 用斜二测画法画出下图中水平放置的四边形的直观图.。

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空间几何体的直观图第课时明确目标1。

会用斜二测法画出它们的直观图.2。

通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

重点难点重点：难点：课型□讲授□习题□复习□讨论□其它教学内容设计师生活动设计一、先学后讲1。

用斜二测画法画直观图的步骤是：2。

用斜二测画法画平面图形的直观图时,应牢记下列口诀：横不变,竖折半；平行关系不改变;九十度画一半.二、合作探究1。

水平放置的平面图形的画法例1如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30°，AD=3 cm。

试画出它的直观图。

【思路分析】利用斜二测画法作该梯形的直观图关键是找到各个顶点位置.【解析】第一步：在梯形ABCD 中,以边A B 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xAy 。

画出对应的x ′ 轴、y ′ 轴，使x A y '''∠。

第二步：过D 点作DE⊥x 轴,垂足为E,在x ′轴上取A′B′=AB=4 cm,A′E′=AE=323cm≈2.598 cm.过E′作E′D′∥y′轴，使E′D′=21ED,再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′=CD=2 cm。

1.2.3《空间几何体的直观图》导学案【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组讨论，合作探究。

【学习目标】 1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义；2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤； 3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图 5．自主自发，极度热情，全力以赴。

【重点】用斜二测画法画空间几何体的直观图。

【难点】直观图和三视图的互化。

一、自主学习 （一）复习回顾 正视图、俯视图、侧视图的概念、特点、相互联系？ （二）导学提纲 看课本第16页－19页，解决下列问题： 1．按平行投影法，把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系（主要是长、宽、高三个方面的），我们把这种投影图叫做__________. 2．认真阅读理解例1、例2的画法步骤，并总结用斜二测画法画空间图形的直观图的关键点：坐标系y O x '''的夹角为 ，坐标系z O x '''和z O y '''的夹角均为 ，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴、y '轴或z '轴的线段。

平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度 ；平行于y 轴的线段，长度变为原来的 。

二、基础过关例1．如下说法不正确的有 A ．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等B ．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直C ．画与直角坐标系xOy 对应的y O x '''时，y O x '''∠必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 例2．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。