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第88题 频率分布直方图I ．题源探究·黄金母题【例1】若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 （ ）A ．91．5和91．5B ．91．5和92C ．91和91．5D ．92和92 【答案】A【例2】如图是某城市100位居民去年的月均用水量（单位：t ）的频率分布直方图，月均用水量在区间[)1.5,2.5的居民大约有 （ ）A ．37位B ．40位C ．47位D ．52位 【答案】C【解析】由频率分布直方图月均用水量在区间[)1.5,2的频率为0.450.50.225⨯=，月均用水量在区间[)2,2.5的居民的频率 为0.50050.25⨯=.．月均用水量在区间[)1.5,2.5的居民的频数大约为精彩解读【试题来源】例1：人教A 版必修3P 70改编；例2：人教A 版必修3P 65例题改编．【母题评析】这类题主要考查平均数、方差的计算以及茎叶图与频率分布直方图的简单应用． 【思路方法】用样本估计总体是统计的基本方法：（1）最高的矩形的中点横坐标即众数；（2）中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．()0.2250.2510047+⨯=，故选C．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标3理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A客量波动性大，D选项正确．故选A．【例2】【2017高考新课标1文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数【命题意图】这类重点题考查分层抽样和系统抽样的计算．考查考生基本计算能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要以选择题或填空题为主，属于中低档题．【难点中心】1．将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律．2．分清几个样本特征数：众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；平均数：反应一组数据的平均水平；方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B．【例3】【2017高考山东文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【答案】A得3x ．故选A．【例4】【2017高考北京文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．3．用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观．4．频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1．（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【答案】（Ⅰ）0．4；（Ⅱ）20；（Ⅲ）:32．（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100⨯=． （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=． 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=．所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2．III ．理论基础·解题原理⑴一表二图：①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1． ⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等． ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写． 3．总体特征数的估计：⑴平均数：nx x x x x n++++=321；取值为n x x x ,,,21 的频率分别为n p p p ,,,21 ，则其平均数为n n p x p x p x +++ 2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值．⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21 方差：212)(1∑=-=ni ix xns ；标准差：21)(1∑=-=ni ix xns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定．平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】1．解题模板：第一步，根据频率分布直方图计算出相应的频率；第二步，运用样本的频率估计总体的频率；第三步，得出结论．2．用样本估计总体是统计的基本思想．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．3．（1）众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．（2）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大． 4．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律． 【易错指导】1．在使用茎叶图时，一定要注意看清楚所有的样本数据，弄清楚这个图中的数字特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：（1）最高的矩形的中点横坐标即众数；（2）中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．直方图与条形图不要搞混频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．V ．举一反三·触类旁通考向1 茎叶图及其应用【例1】【2018黑龙江齐齐哈尔高三第一次模】某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用茎叶图表示，如图，则该组数据的中位数是A ．24B ．26C ．27D ．32 【答案】CC ． 【例2】【2018江西上饶高三下学期二模】如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为1220,,,a a a ，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是（ ）A ．8B ．9C ．11D ．12 【答案】A【例3】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【答案】（1）75，75；（2）0．1，0．16；（3）该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．（2）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0．1，850＝0．16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0．1，0．16．（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．规律方法 （1）茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况． （2）①作样本的茎叶图时先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理．②根据茎叶图中数据数字特征进行分析判断考查识图能力，判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息． 【跟踪练习】1．【2018河南安阳高三二模】在某校连续5次考试成绩中，统计甲，乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图．已知甲同学5次成绩的平均数为81，乙同学5次成绩的中位数为73，则x y +的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A 【解析】77728680908105x x +++++=∴=因为乙同学5次成绩的中位数为73，所以33,y x y =∴+=选A ．2．【2018山西平遥中学高三3月高考适应性调研】某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两班数学兴趣小组成绩的平均值及方差①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差④B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班成绩的标准差其中正确结论的编号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】B【解析】A班：53，63，64，76，74，78，78，76，81，85，86，88，82，92，95；B班：45，48，51，3．【2018湖北武汉武昌区高三1月调研】将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则5个剩余分数的方差为________．【答案】6【解析】依题意8793909190915x+++++=，解得4x=．则方差为1641965+++=．【名师点睛】本题主要考查茎叶图的分辨，考查平均数的计算，考查方差的计算．从茎叶图可以看出最低分是87，最高分是99，去掉这两个分数后，可利用平均数的公式列方程来求出x的值．根据前面求出的值再利用方差的计算公式()211n i i x x n =-∑来计算方差．考向2 频率分布直方图【例4】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20)，[20，22．5)，[22．5，25)，[25，27．5)，[27．5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是()A ．56B ．60C ．120D ．140【答案】D【解析】由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22．5小时的频率为(0．16＋0．08＋0．04)×2．5＝0．7，则每周自习时间不少于22．5小时的人数为0．7×200＝140，故选D ．【例5】某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[70，80）内的人数是 ．【答案】30【解析】由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为3.010)005.0010.02015.0025.0(1=⨯++⨯+-，人数为301003.0=⨯【例6】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，……，[4，4．5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．【答案】（1）0．30；（2）36 000；（3）2．04．（2）由（1）知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0．06＋0．04＋0．02＝0．12．由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0．12＝36 000．（3）设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＋0．25＝0．73>0．5．又前4组的频率之和为0．04＋0．08＋0．15＋0．21＝0．48<0．5．所以2≤x<2．5．由0．50×(x－2)＝0．5－0．48，解得x＝2．04．故可估计居民月均用水量的中位数为2．04吨．【名师点睛】（1）准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率和条形图混淆．（2）“命题角度二”的例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键．而利用频率分布直方图可以估计总体分布．【跟踪练习】1．【2018江西高三毕业班新课程教学质量监测】如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（）A ．0．9B ．0．75C ．0．8D ．0．7 【答案】B同样可得，60分及以上的频率=（0．015+0．03+0．025+0．005）×10=0．75 估计这次数学竞赛竞赛的及格率（大于或等于60分为及格）为75%， 故选：B ．【名师点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．【2018贵州黔东南州联考】近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在[)30,40岁的有2500人，年龄在[)20,30岁的有1200人，则m 的值为（ ）A ．0．013B ．0．13C ．0．012D ．0．12 【答案】C3．【2018河南六市高三第一次联考（一模）】为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[]10,50，其中支出金额在[]30,50的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n =（ ）A ．180B ．160C ．150D ．200 【答案】A【解析】[]30,50对应的概率为()10.010.025100.65-+⨯=，所以117=1800.65n =，选A ． 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)2500,3500（元）月收入段应抽出 人．【答案】40【解析】由图（2500，3500元/月）收入段的频率是0．0005×500+0．0003×500=0．4，故用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出人数为0．4×100=40． 考向3 样本的数字特征【例7】【2018内蒙古呼和浩特高三第一次质量调研】如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全．已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（ ）A ．3球以下（含3球）的人数B ．4球以下（含4球）的人数C ．5球以下（含5球）的人数D ．6球以下（含6球）的人数 【答案】C【解析】因为共有35人，而中位数应该是第18个数，所以第18个数是5，从图中看出第四个柱状图故选C ．【例8】【2018湖南衡阳高三第二次联考（二模）】已知样本12,,,n x x x 的平均数为x ；样本12,,,m y y y 的平均数为()y x y ≠，若样本12,,,n x x x ，12,,,m y y y 的平均数()z ax 1a y =+-；其中10a 2<<，则()*,,n m n m N ∈的大小关系为( ) A ．n m = B ．n m ≥ C ．n m < D ．n m > 【答案】C【解析】由题得()11,,n n n z nx my x y a n m n m n m n m ⎛⎫=+=+-∴= ⎪++++⎝⎭110,0,.22n a n m n m <<∴<<∴<+故选C ．【例9】【2018长沙一中高三模拟】某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．（1）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（2）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．（2）记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．因此事件E 发生的频率为715．用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715．【名师点睛】（1）平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小．进行平均数与方差的计算，关键是正确运用公式；（2）平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择． 【跟踪练习】1．【2018贵州黔东南州高三下学期二模】甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙，标准差分别为σσ甲乙，，则A ．x x σσ<<甲乙甲乙，B ．x x σσ甲乙甲乙，C ．x x σσ><甲乙甲乙，D ．x x σσ>>甲乙甲乙，【答案】C【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙．故选C ．2．【2018云南昆明高三教学质量检查（二统）】“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D【解析】根据走势图可知：这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不呈周期性变化，A 错；这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度增减不确定，B 错；从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的搜索指数的稳定性小于11 月份的搜索指数的稳定性，所以去年10月份的方差大于11 月份的方差，C 错；从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，D正确，故选D．3．【2018陕西榆林高三二模】为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A．2016年各月的合储指数最大值是在3月份B．2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C．2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D．2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大D【答案】则这5 天中，每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为_______．(填甲或乙)． 【答案】甲【解析】甲、乙两个城市的最高气温平均值都是30，甲的方差为419914.85++++=，乙的方差为2516116369318.6,55++++==∴每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为甲，故答案为甲．5．【2018山东枣庄高三二模】随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(]0,10、(]10,20、(]20,30、(]30,40、(]40,50、(]50,60，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人，求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率．【答案】(Ⅰ) 26.67m ≈甲；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)37． 【解析】试题分析：()1根据频率分布直方图，由样本估计总体的思想可求得()0.50.10.2200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；()2根据所给数据求出X 甲，X 乙，2S 甲，2S 乙，然后对比即可得到答案；()3求出甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生的个数，记为1A ，2A ；乙高中随机选取的40名的概率解析：（Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数()0.50.10.2200.3m -+=+甲 1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲 350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；()()221[527.5400.140S =⨯-⨯⨯甲 ()()21527.5400.2+-⨯⨯ ()()22527.5400.3+-⨯⨯ ()()23527.5400.2+-⨯⨯ ()()24527.5400.15+-⨯⨯ ()()25527.5400.05]+-⨯⨯178.75=．（Ⅲ）甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有()400.005102⨯⨯=人，记为1A ，2A ；乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有()400.015106⨯⨯=人，记为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B ．随机选出2人有以下28种可能：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()14,A B ，()15,A B ，()16,A B ， ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()24,A B ，()25,A B ，()26,A B ，()12,B B ， ()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()16,B B ，()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ， ()26,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()36,B B ，()45,B B ，()46,B B ，()56,B B ，所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人，选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287=． 6．【2018海南高三第二次联合考试】从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如下．（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[)50,150内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[)250,350内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：①从B 类用户中任意抽取1户，求其打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）0.0044x =，186（2）23，没有【解析】试题分析：（1）由矩形面积和为1，求得x ，再由每一个矩形的中点横坐标乘以矩形面积求和可得平均值；试题解析： 解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++ 20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 186=度．（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =． ②12因为2K的观测值()22469631212915k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”．【名师点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．。
频率分布直方图题型归纳1.频率、频数、样本容量三个量产生的知二求一2.补全频率分布表3.做频率分布直方图4.性质“面积和为1”的应用，补全直方图5.与分层抽样、数列等知识综合6.估计总体的频率分布，区间内的频数问题【例1】14．I2[2012·山东卷] 如图1－4是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．图1－414．9[解析] 本题考查频率分布直方图及样本估计总体的知识，考查数据处理能力，容易题．样本容量＝111×(0.10＋0.12)＝50，样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×1×0.18＝9.【例2】18．I2[2012·安徽卷] 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过．．．1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)．．．(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数．18．解：(1)频率分布表(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70；(3)设这批产品中的合格品数为x 件，依题意有505000＝20x ＋20， 解得x ＝5000×2050－20＝1 980. 所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．【例3】18．I2[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？18．解：(1)频率分布直方图如下：(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．【例4】11．I2[2013·湖北卷] 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图1－3所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．图1－311．(1)0.004 4(2)70[解析] (1)(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1x＝0.004 4.(2)[1－(0.001 2＋0.002 4×2)×50]×100＝70.【变式】17．I2、K2[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图1-3所示．图1-3(1)求频率分布直方图中a的值；(2)分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；(3)从成绩在[50，70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70)中的概率．17．解：(1)据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2. 成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50，60)中的2人为A 1，A 2，成绩落在[60，70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50，70)的学生中任选2人的基本事件共有10个，即(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．其中2人的成绩都在[60，70)中的基本事件有3个，即(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)．故所求概率为P ＝310.【例5】（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
专题十概率、统计问题二：统计图表的应用一、考情分析统计图表有频率分布直方图、茎叶图、折线图、条形图、饼形图、雷达图等，它们广泛应用于实际生活之中，也是历年高考的热点，求解此类的关键是由图表读出有用的数据，再根据数据进行分析.二、经验分享1.明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1.学科-网2.对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，第二点是茎叶图便于记录和表示．其缺点是当样本容量较大时，作图较烦琐．3.频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．三、知识拓展统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形，以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具。
表现统计数字大小和变动的各种图形总称。
其中有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、象形图等。
在统计学中把利用统计图形表现统计资料的方法叫做统计图示法。
其特点是:形象具体、简明生动、通俗易懂、一目了然。
其主要用途有:表示现象间的对比关系;揭露总体结构;检查计划的执行情况;揭示现象间的依存关系，反映总体单位的分配情况;说明现象在空间上的分布情况。
一般采用直角坐标系.横坐标用来表示事物的组别或自变量x，纵坐标常用来表示事物出现的次数或因变量y;或采用角度坐标(如圆形图)、地理坐标(如地形图)等。
第6章 第四节 课时3 用频率分布直方图估计总体分布一、单选题1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B 【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=．故选B ．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．从容量为10000的总体中抽取一个容量为200的样本，得到其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图，估计总体数据落在区间[)10,12内的个数为（ ）A ．900B ．1800C ．3600D ．5900 【答案】B【分析】先求出所求区间的频率，再由频率乘以总数即可得解.【详解】解：由频率分布直方图，可得样本数据落在区间[)10,12内的频率为()10.190.150.050.0220.18-+++⨯=，所以可估计总体数据落在区间[)10,12内的个数为100000.181800⨯=，故选：B ．3．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩（总分为100分）分成6组加以统计，6组的分数分别是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．已知不及格的人数比优秀（不低于90分）的人数多60人，则高一年级共有学生A ．300人B ．600人C ．200人D ．700人【答案】B【分析】设高一年级共有学生x 人，则不及格的学生的频率为0.2，优秀的学生的频率为0.1，进而求出高一年级的总人数，得到答案.【详解】设高一年级共有学生x 人，则不及格的学生的频率为(0.0050.015)100.2+⨯=，优秀的学生的频率为0.010100.1⨯=，由题意，(0.20.1)60x -⨯=，解得600x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率直方图的基础知识，熟练计算频率分布直方图中的概率是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力.二、多选题4．某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[]50,60内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）A ．样本中支出在[]50,60内的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数为132C ．n 的值为200D ．若该校有2000名学生，则约有600人支出在[]50,60内【答案】BCD【分析】根据频率之和为1补全频率分布直方图，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】设[]50,60对应小长方形的高为x ，()0.010.0240.036101x +++⨯=，解得0.03x =.所以样本中支出在[]50,60内的频率为0.03100.3⨯=，A 选项错误.602000.3n ==，C 选项正确. 样本中支出不少于40元的人数为()2000.0360.310132⨯+⨯=，B 选项正确. 该校有2000名学生，则约有20000.3600⨯=人支出在[]50,60内，D 选项正确. 故选：BCD5．（多选）学校为了解新课程标准中提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示．若将阅读时间不低于30 min 的学生称为阅读霸，则（ ）A ．抽样表明，该校约有一半学生为阅读霸B ．抽取的100名学生中有50名学生为阅读霸C ．抽取的100名学生中有45名学生为阅读霸D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸【答案】AB【详解】根据频率直方图可列下表： 阅读时间/min[)0,10 [)10,20 [)20,30 [)30,40 [)40,50 []50,60 抽样人数10 18 22 25 20 5抽取的100名学生中有50名为阅读霸，据此可判断该校约有一半学生为阅读霸． 故选：AB ．三、填空题6．2020年11月12日中国人民银行通过微信公众号宣布，“双十一”当日网联、银联共处理网络支付业务22.43亿笔、金额1.77万亿元．某公司对某地区10000名在2020年“双十一”当日网络购物者的消费情况进行统计，发现消费金额都在区间[]0.3,0.9（单位：万元）内，其频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，估计该地区网络购物者在“双十一”当日的消费金额的中位数为______万元（结果保留两位小数）．【答案】0.53【分析】从小到大，利用小矩形面积之和为0.5来估计求解中位数【详解】由频率分布直方图，可知1.50.12.50.10.1 2.00.10.80.10.20.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得3a =，设消费金额的中位数为x 万元，则()0.150.250.530.5x ++-⨯=，得0.53x ≈， 所以估计该地区网络购物者在“双十一”当日的消费金额的中位数为0.53万元． 故答案为：0.53四、解答题7．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70,80),[80,90),[90,100)，[100,110),[110,120)．（1）求图中m 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示，求英语成绩在[90,120)的人数． 分数段 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120):x y 1:2 2:1 6:5 1:2 1:1【答案】（1）0.005（2）93（3）140【分析】（1）由频率之和为1求解即可；（2）由平均数的计算方法求解即可；（3）求出数学成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数，再根据比例得出英语成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数，即可得出答案.【详解】（1）10(20.020.030.04)1m +++=，0.005m ∴=（2）这200名学生的平均分750.05850.4950.31050.21150.0593x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）数学成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数分别为2000.360,2000.240,2000.0510⨯=⨯=⨯=设英语成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的人数分别为123,,y y y123606401101,,521y y y === 12350,80,10y y y ∴===则英语成绩在[90,120)的人数为508010140++=【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图，计算平均数等，属于中档题.8．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 [75，85)[85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数6 26 38 22 8（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.800.06900.261000.381100.221200.08100质量指标值的样本方差为22222s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.。
频率分布直方图典型例题析山东胡大波频率分布直方图是表达和分析数据的重要工具，还可以直观、准确地理解相应的有用的信息，所以成为新高考的重点，我们必须总结其重要题型及有关计算。
一、基本概念类例1、关于频率分布直方图的下列说法中,正确的是（)（A）、直方图的高表示某数的频率;（B）、直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率;（C）、直方图的高表示该组上的个体与组距的比值；（D）、直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值；解析：在频率分布直方图中，每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，其面积表示数据的取值落在相应区间上的频率，因此每一个小矩形的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值，所以选（D）。
二、识图计算类例2、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17。
5岁－１８岁的男生体重(kg）,得到频率分布直方图如下:根据上图可得这100名学生中体重在［56.5,64。
5)的学生人数是（）(A)20 （B)30(C ）40 （D ）50解:本题主要考查频率分布直方图和总体分布的估计等知识，同时考查图形的识别能力.由频率直方图可知组距为2，故学生中体重在［56。
5，64。
5)的频率为：（0。
03+0。
05+0。
05+0.07）×2＝0.4，所以100名学生中体重在［56.5,64。
5)的学生人数有：0. 4×100＝40人。
故选择C点评：在频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的，即等于组距，高是，所以有:×组距＝频率；即可把所求范围内的频率求出，进而求该范围的人数。
例3：某校高一某班共有64名学生,下图是该班某次数学考试成绩的频率分布直方图,根据该图可知，成绩在110120间的同学大约有（ ）A 、 10B 、11C 、13D 、16解析:通过直方图可知：成绩在110120的频率是：2.023.015.01.005.01=----，所以成绩在110120之间的同学大约有：64×0.2＝12.813≈人。
频率分布直方图作频率分布直方图的方法为：（1）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距；（2）以此线段为底作矩形，它的高等于该组的组距频率，这样得出一系列的矩形；（3）每个矩形的面积恰好是该组上的频率.频率折线图：如果将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起，就得到一条折线，称这条折线为本组数据的频率折线图.作茎叶图的方法是：将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出.知识点1：利用频率分布直方图分析总体分布例题1： 2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有 A ．30辆 B ．60辆 C ．300辆 D ．600辆变式：某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 [96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是A.90B.75C. 60D.45变式：某初一年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[)120,130，[)130,140，[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[)130,140内的学生中选取的人数为 ．知识点2：用样本分估计总体例题2某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,96 98 100 102 104 106 0.1500.125 0.1000.0750.050 克 频率/组距100 110 120130 140 150 身高频率|组距0.0050.0100.020a0.035(Ⅰ) 完成频率分布表；（Ⅱ）作出频率分布直方图；（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。
一、解答题1．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2018年1月某日起连续天监测空气质量指数()，数据统计如下：空气质量指数()空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040105（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出，的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，求该组数据的众数和中位数；（3）在空气质量指数分别属于和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，再从中任意选取天，求事件“两天空气都为良”发生的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3).解析：（1）∵，∴，∵，∴，；；；.（2）众数为120.中位数为.点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、数形结合思想.2．从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了 20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）利用总频数为和频率和为得到①②的值，再根据频率分布表中的数据绘制频率分布直方图.详解：（1），.频率分布表为:分组频数频率频率分布直方图为:平均成绩为分.（2）成绩低于分的人数为人，不低于分的人数为人，∴的所有可能取值为且，，.∴的分布列为：∴.点睛：根据频率分布表绘制频率分布直方图时，注意小矩形的高是频率除以组距，各小矩形的面积和为.计算随机变量的分布列时，注意利用常见模型计算概率，如二项分布、超几何分布等.学科&网3．中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。
《9.2.1 总体取值规律的估计》教学设计第1课时频率分布直方图【教材分析】本节是主要介绍表示样本分布的方法，包括频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等.由于作统计图、表的操作性很强，所以教学中要使学生在明确图、表含义的前提下，让学生自己动手作图.同时让学生理解：对于一个总体的分布，我们往往从总体抽取一个样本，用样本的频率分布估计总体分布. 学生在初中已经学过把样本数据表示成频数分布表和频数分布图的形式，能从图表上直观的看出数据的分布情况，为学习本节内容在基础知识上有了铺垫。
【教学目标与核心素养】课程目标1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律．2.会列频率分布表，画频率分布直方图．3.能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律．数学学科素养1．直观想象：频率分布直方图的绘制与应用；2．数学运算：频率分布直方图中的相关计算问题.【教学重点】：①列频率分布表，画频率分布直方图；②根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律.【教学难点】：①列频率分布表，画频率分布直方图；②根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律.【教学过程】一、情景导入我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢?你认为为了较为合理地确定出这个标准需要做哪些工作?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本192-197页，思考并完成以下问题 1、画频率分布直方图的步骤有哪些？2、频率分布直方图的纵轴表示什么？各矩形面积之和等于什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.频率分布直方图绘制步骤①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．③将数据分组．④列频率分布表．计算各小组的频率，第i 组的频率是第i 组频数样本容量.⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示频率组距.频率组距实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．2. 频率分布直方图意义：各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1.3.总体取值规律的估计：我们可以用样本观测数据的频率分布估计总体的取值规律．4.频率分布直方图的特征：当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原式数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则 ，不容易从中看出总体数据的分布特点．四、典例分析、举一反三题型一 频率分布直方图的绘制与应用例1 一个农技站为了考察某种麦穗长的分布情况,在一块试验地里抽取了100个麦穗,量得长度如下(单位:cm):6.5 6.4 6.7 5.8 5.9 5.9 5.2 4.0 5.4 4.6 5.8 5.5 6.0 6.5 5.1 6.5 5.3 5.9 5.5 5.8 6.2 5.4 5.0 5.0 6.8 6.0 5.0 5.7 6.0 5.56.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.07.0 6.4 6.8 6.0 6.3 5.5 5.0 6.3 5.2 6.0 7.0 6.4 6.0 5.4 6.5 6.0 6.8 5.8 6.3 6.0 6.3 5.6 5.3 6.4 5.7 6.7 6.2 5.6 6.0 6.7 6.7 6.0 5.8 5.3 7.0 6.0 6.0 5.6 6.2 6.1 5.3 6.2 6.8 6.6 4.7 5.7 5.7 5.9 5.4 6.0 5.2 6.0 6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3根据上面的数据列出频率分布表、绘出频率分布直方图,并用自己的语言描述一下这批麦穗长的情况.【答案】见解析 【解析】步骤是:(1)计算极差,7.4-4.0=3.4(cm). (2)决定组距与组数. 若取组距为0.3 cm,由于3.40.3=1113,需分成12组,组数合适.于是取定组距为0.3 cm,组数为12.(3)将数据分组.使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍微减小一点.则所分的12个小组可以是[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].(4)列频率分布表.对各个小组作频数累计,然后数频数,算频率,列频率分布表,如下表所示: 1 1 2 1128 13 112 1 (5)画频率分布直方图,如图.从表中看到,从频率分布表中可以看出，绝大部分麦穗长集中在5.15-5.95，并且5.75-6.05占比最大．解题技巧（绘制频率分布直方图的注意事项）1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系： (1)若极差组距为整数，则极差组距＝组数；(2)若极差组距不为整数，则极差组距的整数部分＋1＝组数．2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多.跟踪训练一1. 某制造商3月份生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直方图．【答案】见解析.【解析】频率分布表如下：频率分布直方图如下：题型二频率分布直方图中的相关计算问题例2 在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是()A.210B.205C.200D.195【答案】C【解析】由频率分布直方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4,∴在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4=200.故选C. 解题技巧 (计算规律) 1.因为小长方形的面积=组距×频率组距=频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.2.在频率分布直方图中,各小长方形的面积之和等于1.3.频数相应的频率=样本量.4.在频率分布直方图中,各长方形的面积之比等于频率之比,各长方形的高度之比也等于频率之比.跟踪训练二1.如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8.(1)求样本在[15,18)内的频率; (2)求样本量;(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06,求在[18,33)内的频数. 【答案】(1) 425. (2) 50. (3) 39.【解析】 由样本频率分布直方图可知组距为3.(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于475×3=425. (2)样本在[15,18)内的频数为8,由(1)可知,样本量为8425=8×254=50.(3)在[12,15)内的小矩形面积为0.06,故样本在[12,15)内的频率为0.06,故样本在[15,33)内的频数为50×(1-0.06)=47.又因为在[15,18)内的频数为8,故在[18,33)内的频数为47-8=39.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本197页练习.【教学反思】本节课之前学生已有一定的统计学基础知识及分析问题和解决问题的能力，对常见的数学思想已有初步的认识和应用。
ʏ蒋庆富频率分布直方图是表示和分析统计数据的重要工具,是高考考查的重点㊂下面总结频率分布直方图的几种常见应用,希望能帮助同学们对所学知识的巩固与提高㊂一㊁频率分布表或频率分布直方图的应用例1 某车站在春运期间为了改进服务,随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t (以下简称购票用时,单位:m i n )㊂下面是这次抽样的频率分布表(如表1)和频率分布直方图(如图1),则旅客购票用时的平均数可能落在( )㊂表1分组频数频率第一组0ɤt <50第二组5ɤt <1010第三组10ɤt <15100.1第四组15ɤt <20第五组20ɤt ɤ25300.3合计1001图1A.第二组 B .第三组C .第四组 D .第五组解:由频率分布表可得,第四组的频率为1-0.1-0.1-0.3=0.5㊂由频率分布直方图可得,旅客购票用时的平均数为7.5ˑ0.1+12.5ˑ0.1+17.5ˑ0.5+22.5ˑ0.3=17.5,所以旅客购票用时的平均数落在第四组㊂应选C ㊂本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用,考查平均数和频率的求法㊂解题时,先求第四组的频率,再求平均数,从而可以判断平均数落在哪个小组㊂二㊁求频数或频率例2 某市高一数学抽样考试中,对90分及以上的成绩情况进行统计,其频率分布直方图如图2所示,若(130,140]分数段的人数为20人,则(90,110]分数段的人数为( )㊂ 图2A.18B .180C .28D .280解:由频率分布直方图可得(130,140]分数段的频率为0.005ˑ10=0.05㊂由(130,140]分数段的人数为20,可得总人数为n =200.05=400㊂因为(90,110]分数段的频率为(0.045+0.025)ˑ10=0.7,所以(90,110]分数段的人数为0.7ˑ400=280㊂应选D ㊂本题考查频数的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力㊂频数表示某一项或某一组出现的次数,是直观的数量;频率是某一组在总体中所占的比例,即频数总数=频率,所以频率之和一定等于1㊂三㊁求样本数据的平均数,中位数或众数例3 为适应新的高考改革,某校从高6知识篇㊃知识结构与拓展 高一使用 2019年12月一开始组建了一个试验班㊂已知该班某次数学考试成绩的频率分布直方图如图3所示,设其成绩的众数,中位数分别为x,y,则|x-y|=()㊂图3A.4B.4.5C.5D.5.5解:由频率分布直方图可得众数x= 60+702=65㊂由成绩在[40,70)上的频率为(0.005+ 0.015+0.03)ˑ10=0.5,可得中位数y=70,所以|x-y|=|65-70|=5㊂应选C ㊂本题考查众数,中位数的求法,考查频率分布直方图的综合应用,考查运算求解能力以及函数与方程思想㊂例4据全球权威票房网站M o j o数据统计,截至2017年8月20日14时,‘战狼2“国内累计票房50亿,截至目前,‘战狼2“中国市场观影人次达1.4亿,这一数字也创造了全球影史 单一市场观影人次 的新纪录,为了解‘战狼2“观影人的年龄分布情况,某调查小组随机统计了100个此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间[10,60]内),并绘制了如图4所示的频率分布直方图,则由图可知,这100人年龄的众数和平均数各等于()㊂图4A.34,38.2B.34,32.1C.35,34.4D.35,45.6解:由频率分布直方图可得第三组的频率最大,则这100人年龄的众数为30+402= 35,其平均数x=0.014ˑ10ˑ15+0.024ˑ10ˑ25+0.028ˑ10ˑ35+0.022ˑ10ˑ45+ 0.012ˑ10ˑ55=34.4㊂故这100人年龄的众数为35,平均数为34.4㊂应选C㊂在频率分布直方图中,众数是最高小长方形的底边中点所对应的数据,它表示样本数据的中心值;中位数是左右两边的小长方形的面积相等的底边的值;平均数等于各个小长方形的面积乘以对应小长方形底边中点的横坐标之和㊂四㊁求频率分布直方图中小长方形的高或面积例5已知一组样本数据被分为[10, 20),[20,30),[30,40]三段,其频率分布直方图如图5所示,则从左至右第一个小长方形的面积是()㊂图5A.0.02B.0.2C.0.08D.0.8解:由频率分布直方图可得,从左至右第一个小长方形的面积为1-(0.05ˑ10+ 0.03ˑ10)=0.2㊂应选B㊂本题考查频率分布直方图中小长方形的面积的求法,考查频率分布直方图的性质,考查运算求解能力㊂在频率分布直方图中,小长方形的高=频率组距,频率=频数样本容量=组距ˑ频率组距=小长方形的面积,各小长方形的面积之和为1㊂作者单位:江苏省扬州市邗江区蒋王中学(责任编辑郭正华)7知识篇㊃知识结构与拓展高一使用2019年12月。
专题 02频次散布直方图及其应用一、选择题1．【 2017-2018 年北京市国都师大附中高二期末】对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样检查, 画出以下频次散布直方图. 依据直方图预计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超出80km/ h的概率A. 75，0.25B. 80，0.35C. 77.5，0.25D. 77.5，0.35【答案】 D应选D.2．【人教 B 版高中数学必修三同步测试】依据某水文观察点的历史统计数据, 获得某条河流水位的频次散布直方图(如图), 从图中能够看出, 该水文观察点均匀起码100 年才碰到一次的洪水的最低水位是()A. 48mB. 49mC. 50mD. 51m【答案】 C频次【分析】由频次散布直方图知水位为50 m的为0.005 2 0.01 ,即水文观察点均匀起码一百年才遇组距到一次的洪水的最低水位是50 m.本题选择 C选项.3．【福建省三明市 A 片区高中结盟校2017-2018 学年高二上学期阶段性考试】为认识某地域名高三男生的身体发育状况，抽查了该地域名年纪为~岁的高三男生体重() ，获得频次散布直方图如图. 依据图示，预计该地域高三男生中体重在kg 的学生人数是()A.B.C.D.【答案】 C点睛：本题主要考察了频次散布直方图在实质问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点. 在解决此类问题中，充足利用频次散布直方图的纵坐标的实质意义，其纵坐标值为：频次/ 组距，由此各组数据的频次=其纵坐标组距，各组频数=频次×整体，进而可预计出所求数据段的频数（即人数）.4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018 学年高二 3 月联考】某商场在国庆黄金周的促销活动中，对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频次散布直方图以下图．已知9 时至 10 时的销售额为 3 万元，则9 时至 14 时的销售总数为A. 10 万元B. 12 万元C. 15 万元D. 30 万元【答案】 D【分析】 9 时至 10 时的销售额频次为0.1 ，所以所有销售总数为万元，应选 D．5．【四川省成都外国语学校2017-2018 学年高二上学期期末考试】容量为100的样本，其数据散布在2,18 ，将样本数据分为 4 组：2,6 ，6,10 ，10,14 ，14,18 ，获得频次散布直方图以下图. 则以下说法不正确的选项是A. 样本数据散布在6,10 的频次为0.32B. 样本数据散布在10,14 的频数为40.样本数据散布在2,10的频数为40 . 10%散布在10,14C D 预计整体数据大概有【答案】 DD不正确.应选 .D6．【四川省雅安市 2017-2018 学年高二上学期期末考试】某高校进行自主招生，先从报名者中挑选出400 人参加笔试，再按笔试成绩择精选出100 人参加面试，现随机检查了24 名笔试者的成绩，以下表所示：据此预计同意参加面试的分数线大概是（）A. 75B. 80C. 85D. 90【答案】 B应选 B7．【四川省成都市2017-2018 学年高二上学期期末调研考试】容量为100 的样本，其数据散布在2,18 ，将样本数据分为 4 组：2,6 , 6,10 , 10,14 , 14,18 ，获得频次散布直方图以下图，则以下说法不正确的是（）A. 样本数据散布在6,10 的频次为 0.32B. 样本数据散布在10,14 的频数为 40.样本数据散布在2,10的频数为40.预计整体数据大概有10% 10,14C D 散布在【答案】 D【分析】整体数据散布在10,14 的概率为0.1 40%0.02 0.08 0.1 0.05应选 D8．【广西南宁市第二中学（曲靖一中、柳州高中）2017-2018 学年高二上学期末期考试】2014 年 5 月，国家统计局宣布了《 2013 年农民工监测检查报告》，报告显示：我国农民工收入连续迅速增添．某地域农民工人均月收入增添率如图1，并将人均月收入绘制成如图 2 的不完好的条形统计图．依据以上统计图来判断以下说法错误的选项是（）A. 2013年农民工人均月收入的增添率是．B. 2011年农民工人均月收入是元．C. 小明看了统计图后说：“农民工2012 年的人均月收入比2011 年的少了”．D. 2009年到2013年这五年中2013 年农民工人均月收入最高．【答案】 C9．【四川省遂宁市2017-2018 学年高二上学期期末考试】供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电状况进行统计后，按人均用电量分为，，，，，，，，，五组，整理获得以下的频次散布直方图，则以下说法错误的选项是A. 月份人均用电量人数最多的一组有人B. 月份人均用电量不低于度的有人C. 月份人均用电量为度D. 在这位居民中任选位辅助收费，选到的居民用电量在，一组的概率为【答案】 C点睛：统计中利用频次散布直方图计算样本均值时，可利用组中值进行计算.10．【内蒙古赤峰市宁城县2017-2018 学年高二上学期期末考试】有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16 台，记录上午8： 00~11： 00 间各自的销售状况（单位：元），用茎叶图表示：设甲、乙的均匀数分别为x1 , x2，标准差分别为s1 , s2，则（）A.x1 x2 ，s1Bx1 x2，s1 s2s2.C. x x ， D x x ，s1 s2. 2 s1 s21 2 1【答案】 D【分析】依据公式获得1 8 6 5 20 14 36 22 25 27 60 41 43 307x1 =16 16x2 1 10 12 18 20 22 46 27 31 32 68 38 42 43 48 47716 16故 x1 x2，再将以上均值代入方差的公式获得s1s2 . 或许察看茎叶图，获得乙的数据更集中一些，故得到s1s2 .故答案为： D.11．【陕西省黄陵中学2017-2018 学年高二（要点班）上学期期末考试】某篮球运动员在一个赛季的40 场比赛中的得分的茎叶图如右以下图所示：则中位数与众数分别为（）A.3与3B.23与23C.3与23D.23与3【答案】 B点睛：茎叶图的问题需注意：(1) “叶”的地点只有一个数字，而“茎”的地点的数字位数一般不需要一致；(2)重复出现的数据要重复记录，不可以遗漏，特别是“叶”的地点的数据．12．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018 学年高二上学期第三次月考】如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图( 此中m为数字 0～9 中的一个 ) ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的均匀数分别为a1、a2，则 a1、a2的大小关系是（）A.a1＝ a2B. a1>a2C.a2>a1D.没法确立【答案】 C85 84 85 85 81 a15 84【分析】由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的均匀数分别为，84 84 86 84 87 a25 85a1；应选 C.，即a2填空题13．【吉林省辽源市田家炳高级中学2017-2018 学年高二放学期 3 月月考】上方右图是一个容量为200 的样本的频次散布直方图，请依据图形中的数据填空：(1) 样本数据落在范围[5 ， 9 )的可能性为 __________；(2)样本数据落在范围 [9 ， 13 )的频数为 __________ ．【答案】 0.32 72点睛：本题主要考察的知识点是频次散布直方图的意义以及应用图形解题的能力，属于基础题. 对于 1 根频次组距2组距频次样本容量即可求出结果 .据频次即可求出结果，对于依据频数14．【山西省临汾第一中学等五校2017-2018 学年高二上学期期末联考】当前北方空气污染愈来愈严重，某大学组织学生参加环保知识比赛，从参加学生中抽取40 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频次散布直方图如图，若从成绩是 80 分以上（包含80 分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______. 【答案】∵前三组的积累频次为：0.10+0.15+0.25=0.50，故此次环保知识比赛成绩的中位数为70；成绩在 [80 ， 90）段的人数有10×0.010 ×40=4 人，成绩在 [90 ， 100] 段的人数有10×0.005 ×40=2 人，15 种不一样的基本领件，从成绩是 80 分以上（包含 80 分）的学生中任选两人共有此中他们在同一分数段的基本领件有： 7，故他们在同一分数段的概率为故答案为 :.15．【黑龙江省大庆中学2017-2018 学年高二上学期期末考试】某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频次散布直方图以下图.则 a __________，d__________.【答案】30 0.2点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3) 均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．16．【辽宁省六校协作体 2017-2018 学年高二上学期期初联考】从某小学随机抽取100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频次散布直方图（如图）．若要从身高在 [ 120 , 130）， [130 ， 140) , [140 , 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选用18 人参加一项活动，则从身高在[140 ， 150] 内的学生中选取的人数应为【答案】 3 人【分析】试题剖析：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（ 0.005+0.035+ a+0.02+0.01 ）=1，解得 a=0.03．由直方图可知三个地区内的学生总数为100×10×（ 0.03+0.02+0.01 ） =60 人．此中身高在 [140 ， 150] 内的学生人数为10 人，所以身高在 [140 ， 150] 范围内抽取的学生人数为人．考点：频次散布直方图．评论：本题考察频次散布直方图的有关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频次，所以各个矩形面积之和为 1．同时也考察了分层抽样的特色，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的.解答题17．【2017-2018 学年人教A版数学必修三同步测试】我校正高二600 名学生进行了一次知识测试, 并从中抽取了部分学生的成绩( 满分 100 分 ) 作为样本 , 绘制了下边还没有达成的频次散布表和频次散布直方图.分组频数频次[50,60) 2 0. 04[60,70) 8 0. 16[70,80) 10[80,90)[90,100] 14 0. 28共计1. 00(1)填写频次散布表中的空格 , 补全频次散布直方图 , 并标出每个小矩形对应的纵轴数据;(2)请你估量该年级学生成绩的中位数;(3) 假如用分层抽样的方法从样安分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取 6 人 , 再从 6 人中选 2 人 , 求 2 人分数都在 [80,90)的概率.2【答案】 (1) 答案看法析； (2)83.125；(3)5【分析】试题剖析：试题分析：(1)填写频次散布表中的空格 , 以下表 :分组频数频次[50,60)20.04[60,70)80.16[70,80)100.2[80,90)160. 32[90,100]140. 28共计50 1. 00补全频次散布直方图,以以下图 :(2) 设中位数为x,依题意得0. 04+0. 16+0. 2+0. 032×( x- 80) =0. 5,解得 x=83. 125,所以中位数约为83. 125.(3) 由题意知样安分数在[60,70) 有 8 人, 样安分数在[80,90) 有 16人,用分层抽样的方法从样安分数在[60,70) 和 [80,90) 的人中共抽取 6 人 ,则抽取的分数在 [60,70) 和 [80,90) 的人数分别为2人和 4人.记分数在 [60,70) 的为 a , a ,在[80,90) 的为 b , b , b , b .1 2 1 2 3 4从已抽取的 6 人中任选两人的所有可能结果有15 种, 分别为{ a , a },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3b2, b4},{ b3, b4},设“2 人分数都在 [80,90) ”为事件A,则事件 A 包含{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b 6 2, b } 共 6 种 , 所以 P( A)= .1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4155点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；③均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18．【内蒙古自治区北方重工业公司有限公司第三中学2017-2018 学年高二 3 月月考】节能减排以来，兰州市 100 户居民的月均匀用电量单位：度，以，，，，，，，，，，，，，分组的频率散布直方图如图．求直方图中x 的值；求月均匀用电量的众数和中位数；预计用电量落在，中的概率是多少？【答案】（1）5；（ 2）众数为，中位数为224；（ 3）.月均匀用电量在，中的概率是．试题分析：的频次之和为，的频次之和为，∴中位数在内，设中位数为y，则解得，故中位数为224．由频次散布直方图可知，月均匀用电量在中的概率是．点睛：利用频次散布直方图预计样本的数字特色(1)中位数：在频次散布直方图中，中位数左侧和右侧的直方图的面积相等，由此能够预计中位数值．(2)均匀数：均匀数的预计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19．【河南师范大学隶属中学2017-2018 学年高二 4 月月考】某要点中学100 位学生在市统考取的理科综合分数，以160,180 ，180,200 ，200,220 ，220,240 ，240,260 ，260,280 ，280,300分组的频次散布直方图如图．（ 1）求直方图中 x 的值；（ 2）求理科综合分数的众数和中位数；（ 3）在理科综合分数为220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组学生中，用分层抽样的方法抽取 11 名学生，则理科综合分数在220,240 的学生中应抽取多少人？【答案】 (1)0.0075(2)230 ， 224 （ 3） 5 人【分析】试题剖析： （ 1）依据直方图求出 x 的值即可；（ 2）依据直方图求出众数，设中位数为，获得对于 a 的方程，解出即可；a（ 3）分别求出 [220 ， 240）， [240 ，260）， [260 ，280）， [280 ， 300] 的用户数，依据分层抽样求出知足条件的概率即可．220 240（ 2）理科综合分数的众数是230 ，2∵ 0.0020.0095 0.011 20 0.45 0.5，∴理科综合分数的中位数在 220,240 内，设中位数为a ，则 0.0020.0095 0.011 20 0.0125 a 2200.5，解得a 224，即中位数为 224 ．（ 3）理科综合分数在220,240的学生有 0.0125 20 100 25 （位），同理可求理科综合分数为240,260 ，260,280 ，280,300 的用户分别有15位、10位、5位，11 1故抽取比为2515 10 5 5 ，25 1 5∴从理科综合分数在220,240 的学生中应抽取 5 人．点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3)均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．【河北省阜城中学 2017-2018 学年高二上学期期末考试】某校高一年级某次数学比赛随机抽取100 名学生的成绩，分组为 [50 ， 60）， [60 ， 70）， [70 ， 80）， [80 ， 90）， [90 ， 100] ，统计后获得频次散布直方图以下图：（ 1）试预计这组样本数据的众数和中位数（结果精准到0.1 ）；（ 2）年级决定在成绩[70 ， 100] 顶用分层抽样抽取 6 人构成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的状况做一个检查，则在[70 ， 80）， [80 ， 90）， [90 ， 100] 这三组分别抽取了多少人？（ 3）此刻要从（ 2）中抽取的 6 人中选出正副 2 个小组长，求成绩在[80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率．【答案】（1） 65， 73.3 ；（ 2） 3， 2， 1；（ 3）【分析】试题剖析：（ 1）由频次散布直方图中面积最大的矩形中点可得众数、左右边积各为0.5的分界处为中位数．（ 2）先求出成绩为[70 ，80）、[80 ，90）、[90 ，100] 这三组的频次，由此能求出[70 ，80）、[80 ， 90）、[90 ，100] 这三组抽取的人数．（ 3）由（ 2）知成绩在[70 ， 80）有 3 人，分别记为a， b， c；成绩在[80 ， 90）有 2 人，分别记为d，e；成绩在 [90 ， 100] 有1 人，记为 f ．由此利用列举法能求出成绩在[80 ，90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率．（ 2）成绩为 [70 ， 80）、 [80 ， 90）、 [90 ， 100] 这三组的频次分别为0.3 ，0.2 ， 0.1 ，∴ [70 ， 80）、 [80 ，90）、 [90 ， 100] 这三组抽取的人数分别为 3 人，2 人，1人．（ 3）由（2）知成绩在[70 ， 80）有 3 人，分别记为 a，b， c；成绩在 [80 ， 90）有 2 人，分别记为d， e；成绩在[90，100]有1 人，记为f．∴从（ 2）中抽取的 6 人中选出正副 2 个小组长包含的基本领件有种，分别为：ab， ba， ac， ca， ad，da， ae， ea， af ， fa ， bc， cb， bd， db， be， eb， bf ， fb ， cd， dc， ce， ec，cf ，fc ， de， ed， d f ， fd ，ef ， fe ，记“成绩在 [80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长”为事件Q，则事件 Q包含的基本领件有18 种，∴成绩在[80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率P（Q）= ．点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3)均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．21．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018 学年高二 3 月月考】从某学校高三年级共800 名男生中随机抽取 50 名丈量身高，丈量发现被测学生身高所有介于155cm和 195cm之间，将丈量结果按以下方式分红八组：第一组 [155,160)；第二组[160,165)、、第八组[190,195]，以下图是按上述分组方法获得的频次散布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数同样，第六组、第七组、第八组人数挨次构成等差数列．（ 1）预计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上 ( 含 180cm) 的人数；（2）求第六组、第七组的频次并增补完好频次散布直方图（如需增添刻度请在纵轴上标志出数据，并用直尺作图）；（3）由直方图预计男生身高的中位数．【答案】（1）；（2）详看法析;(3).试题分析： (1) 由直方图，前五组频次为(0.008 ＋ 0.016 ＋ 0.04 ＋ 0.04 ＋0.06) ×5＝ 0.82 ，后三组频次为 1 －0.82 ＝ 0.18.这所学校高三男生身高在180cm以上 ( 含 180cm) 的人数为800×0.18 ＝ 144 人．(2)由频次散布直方图得第八组频次为 0.008 ×5＝ 0.04 ，人数为 0.04 ×50＝ 2 人，设第六组人数为 m，则第七组人数为0.18×50－2－ m＝7－ m，又 m＋2＝2(7－ m)，所以m＝4，即第六组人数为 4 人，第七组人数为 3 人，频次分别为0.08,0.06. 频次除以组距分别等于0.016,0.012，见图．（ 3）设中位数为，由频次为22．【广东省中山一中、仲元中学等七校，所以2017-2018 学年高二，3 月联考】某公司职工，解得=174.5500 人参加“学雷锋”志愿活动，按年纪分组：第 1 组 [25 ，30) ，第[45 ， 50] ，获得的频次散布直方图以下图．2 组[30 ，35) ，第3 组[35 ，40) ，第4 组[40 ， 45) ，第5 组(1) 上表是年纪的频数散布表，求正整数的值；(2) 此刻要从年纪较小的第1,2,3 组顶用分层抽样的方法抽取 6 人，年纪在第1,2,3 组的人数分别是多少？(3) 在 (2) 的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传沟通活动，求起码有 1 人年纪在第 3 组的概率．【答案】(1) ； (2) 第 1， 2， 3 组分别抽取 1 人，1人，4 人；(3) .【分析】试题剖析：（ 1）) 由题设可知，2， 3 组的比率关系为 1:1:4 ，则分别抽取，1 人， 1人， 4 人；（ 3）设第 1 组的 1 位同学为；（ 2）由第1，，第 2组的 1位同学为，第3组的 4 位同学为，由穷举法，求得起码有 1 人年纪在第 3 组的概率为．(3) 设第 1 组的 1 位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：共种可能．此中 2 人年纪都不在第 3 组的有：共 1 种可能，所以起码有 1 人年纪在第 3 组的概率为．。
1频率分布直方图【知识总结】 1．频率分布直方图(1)纵轴表示频率组距，即小长方形的高＝频率组距；(2)小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率；(3)各个小方形的面积总和等于1 . 2．频率分布表的画法第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． 3. 频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．2【巩固练习】1、随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如表所示.分组 频数 频率[25,30] 3 0.12(30,35] 5 0.20(35,40] 8 0.32(40,45] n 1 f 1(45,50] n 2 f 2(1)确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图和频率分布折线图． 【答案】(1) n 1＝7，n 2＝2，f 1＝0.28，f 2＝0.08 (2)见解析【解析】(1)由所给数据知，落在区间(40,45]内的有7个，落在(45,50]内的有2个，故1n ＝7，2n ＝2，所以f 1＝125n ＝725＝0.28，f 2＝225n ＝225＝0.08. (2)样本频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．32. 为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是（ ）A ．35B ．48C ．60D ．75【答案】C【解析】设被抽查的美术生的人数为n ，因为后2个小组的频率之和为(0.0375＋0.0125)×5＝0.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为1∶3∶5，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5,15,25，所以n ＝515250.75++＝60.故选：C．3、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．B ．C ．D．【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3.又因为低于60分的人数是15人，所以该班的学生人数是15÷0.3=50.本题选择B选项.4、某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )4A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8[解析] 第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5，∴众数为27.5，故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.[答案] C5、某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.756水量频数132 49 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：7（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）347.45m . 【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48； （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为8()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．6、某电视台为宣传本省，随机对本省内1565～岁的人群抽取了n 人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示（1）分别求出a b x y 、、、的值；（2）从第234、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第234、、组每组各抽取多少人？（3）指出直方图中，这组数据的中位数是多少（取整数值）？【答案】（1）5a =，27b =，0.9x =，0.2y =；（2）2人，3人，1人；（3）42【解析】（1）由已知第4组人数为9250.36=，∴251000.02510n ==⨯，9由频率分布直方图得第一组人数为：1000.011010⨯⨯=，100.55a =⨯=，第二组人数为：1000.021020⨯⨯=，180.920x ==， 第三组人数为：1000.031030⨯⨯=，300.927b =⨯=，第五组人数为：1000.0151015⨯⨯=，30.215x ==． （2）第2、3、4组回答正确人数分别18、27、9，共54人，设第234、、组分别抽取,,x y z 人，则65418279x y z===，解得2,3,1x y z ===． （3）第1、2组频率和为0.10.20.3+=，第4、5组频率和为0.250.150.4+=，第3组频率为0.3，设中位数为m ，则350.50.3100.3m --=，241423m =≈． ∴中位数为42．7、某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．10（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数．【答案】（1）0.0075x =；（2）众数是230，中位数为224． 【解析】（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=，∴0.0075x =．（2）月平均用电量的众数是2202402302+=， ∵(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<， 月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=，可得224a =， ∴月平均用电量的中位数为2248、为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数(得分取正整数，满分为100分)进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图．频率分布表组别分组频数频率1 [50,60) 9 0.182 [60,70) a3 [70,80) 20 0.404 [80,90) 0.085 [90,100] 2 b合计 1请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：(1)求出a，b，c，d的值；(2)老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内．1112【答案】(1) a ＝15，b ＝0.04，c ＝0.03，d ＝0.004 (2) 70≤x <80 【解析】（1）样本容量为9÷0.18＝50,50×0.08＝4， 所以a ＝50－9－20－4－2＝15，b ＝2÷50＝0.04，c ＝15÷50÷10＝0.03，d ＝0.04÷10＝0.004.（2）因为样本容量为50，则样本的中位数是第25,26个数据的平均数， 而第25,26个数据均位于70≤x ＜80范围内， 所以小王的测试成绩在70≤x <80范围内．9、某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．分数段[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90:x y1∶12∶13∶44∶513(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数. 【答案】（1）0.005a =；（2）73(分)；（3）10.【解析】（1）由频率分布直方图知(20.020.030.04)101a +++⨯=，解得0.005a =. （2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（分）．（3）由频率分布直方图知语文成绩在[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90各分数段的人数依次为：0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为1455,4020,3040,2025234⨯=⨯=⨯=.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100(5204025)10-+++=.10．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 组频数 6 26 38 22 8（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？14【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.800.06900.261000.381100.221200.08100质量指标值的样本方差为22222s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为++=，0.380.220.080.68由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.11、从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量1516结果得到如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数62638228()1在图中作出这些数据的频率分布直方图；()2估计这种产品质量指标值的平均数、中位数(保留2位小数)；()3根据以上抽样调査数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）直方图见解析；（2）平均数100,中位数99.74；（3）不能. 【解析】()1由已知作出频率分布表为：质量指标值分组[)75,85 [)85,95 [)95,105 [)105,115 [)115,12517频数 6 26 38 22 8频率0.06 0.26 0.38 0.22 0.08由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：()2质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，[)75,95内频率为：0.060.260.32+=，∴中位数位于[)95,105内，设中位数为x ，则0.50.260.06951099.740.38x --=+⨯≈，∴中位数为99.74．()3质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%的规定．18。
频率分布直方图问题分类解析作者：徐惠陈开懋来源：《高中生学习·高二版》2015年第10期频率分布直方图是高中概率统计部分的重要内容，在各省市高考中，几乎每年都考，频率分布直方图问题考查方式多样，一般有“求样本中限制条件下的个体数目或所占频率”、“填充频率分布直方图”、“求频率分布直方图中的参数”、“由频率分布直方图，求平均数、中位数、众数、方差、标准差”等几类考法.本文根据高中数学课程标准、高考考纲和最近几年的高考试题，对有关频率分布直方图的常见问题及解题规律方法进行一个小结，希望对读者有所帮助.例1 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[[0.3， 0.9]]内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的[a=]_________；（2）在这些购物者中，消费金额在区间[[0.5， 0.9]]内的购物者的人数为_________.解析（1）由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1，解之得[a=3].（2）消费金额在区间[[0.5， 0.9]]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消费金额在区间[[0.5， 0.9]]内的购物者的人数为：0.6×10000=6000.点拨本题以实际问题为背景，考查频率分布直方图，重点考查了以下三类问题：求频率分布直方图中的参数（例如某长方形的高）；求某一范围内的频率；求某一范围内的样本容量.对于第一类问题，根据频率之和等于1，即频率分布直方图中各小矩形的面积之和等于1，即可解决.对于第二类问题，只需要弄清频率分布直方图中，纵轴是频率/组距，各小矩形的面积表示每一组距范围内的频率.对于第三类问题，某一范围内的样本容量=样本容量×某一范围内的频率.例2 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100].（1）求频率分布图中[a]的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[[40，60）]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[[40，50]]的概率.[0.028][0.022][0.018][0.004][a][40][50][60][70][80][90][100][O][分数]解析（1）因为（0.004+a+0.0018+0.022×2+0.028）×10=1，所以[a=0.006].（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为[0.4].（3）受访职工评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），即为[A1，A2，A3]；受访职工评分在[40，50）的有： 50×0.004×40=2（人），即为[B1，B2]. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是[A1，A2，A1，A3，][A1，B1，A1，B2，][A2，A31，][A2，B1，][A2，B2，][A3，B1，A3，B2，B1，B2，]又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即[B1，B2]，故所求的概率为[P=110].点拨本题仍以实际问题为背景，考查频率分布直方图，重点考查了以下三类问题：求频率分布直方图中的参数（例如某长方形的高）；求某一范围内的概率；与古典概型相结合求概率.对于第一类问题，仿例1即可解决；对于第二类问题，应弄清频率和概率的关系：频率是概率的估计值，求概率是用频率代替的，再利用求频率的方法即可；对于第三类问题，应先仿例1求某一范围内的频率，进而求出该范围内的样本容量；最后根据古典概型概率计算公式可求概率.点拨本题还是以实际问题为背景，考查频率分布直方图，重点考查了以下三类问题：求频率分布直方图中的参数（例如某长方形的高）；利用频率分布直方图估算样本的数字特征（众数、中位数、平均数、标准差、方差）；与随机抽样相结合求某一范围内的样本容量.对于第一类问题，仿例1即可解决.对于第二类问题，在频率分布直方图中，样本数字特征的估算方法分别是：众数是最高矩形的横坐标中点，中位数左边和右边的直方图的面积相等，平均数是频率分布直方图的重心，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和，方差估算公式是[s2=]第1个小矩形面积×[（x1中-x均值）2]+第2个小矩形面积×[（x2中-x均值）2]+…，其中，[x1中，x2中，…]，表示第一个小矩形底边中点横坐标，第二个小矩形底边中点横坐标，…，标准差估算公式是[s=s2].对于第三类问题，应先仿例1求某一范围内的频率，进而求出该范围内的样本容量，再根据分层抽样知识计算出抽样比，最后可得某一范围内应抽取的样本容量.例4 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（2）估计这种产品质量指标值的平均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解析（1）频率分布直方图如下：所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.8=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.点拨本题依旧以实际问题为背景，考查频率分布直方图，重点考查了以下三类问题：画频率分布直方图；利用频率分布直方图估算样本的数字特征（众数、中位数、平均数、标准差、方差）；求某一范围内的频率.对于第一类问题，画频率分布直方图应注意横、纵坐标的意义，横坐标表示组距，纵坐标表示频率/组距.对于第二类问题，在频率分布直方图中，样本数字特征的估算方法见例3.对于第三类问题，仿例1.[练习]1. 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（3）从成绩在[50，70）的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率.2. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图（如图所示）.（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论）。
