高等数学下教学课件：10-7

10.5 傅立叶级数
10.5.1、三角函数的正交性 10.5.2、将函数展开成傅立叶级数 10.5.3 正弦级数与余弦级数
10.5.1、三角级数 1．三角级数
周期函数：
三角函数系的正交性
简谐振动： y=Asin(ωt+ ) T 2 , A为振幅，ω为角频， 为初相。

f (t) A0 An sin(nt n ) (1) n1
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2)当x 是 f ( x)的间断点时,收敛于 f ( x 0) f ( x 0) ; 2
(3) 当x 为端点x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2
3):将定义在（，）上的 以2为周期的函数f(x) 展开成傅立叶级数的步骤:
其中A0 ,An, n为常数。
（1）式的物理意义：谐波分析
由三角公式，我们有
A nsin(nωt+ n ) =A nsin n cosnωt+A ncos n sinnωt
令 a0 2

A0 , an=Ansin n ，bn=Ancos n ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a0
2


(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
(2)
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
为常数。
2.三角函数系的正交性 三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x,cos nx,sinnx,
在[， ]上正交：
任意两个不同函数在[ , ]上的积分等于零,
nxdx


,
, mn
sinmx cos nxdx 0. (其中m, n 1,2,)
10.5.2、函数展开成傅里叶级数
1.将定义在（，）上的 以2为周期的函数f(x) 展开成傅立叶级数
设f (x)是周期T
数： f ( x)
=

2a2π0的周k期1 (函ak数co，s且kx能展bk开s成in三kx角) 级
(i)先求傅里叶系数
an

1


f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)

bn

1


f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f ( x)
~a0 2源自(ann1
cos nx
bn
sin nx)
(iii)根据收敛定理把上式写成等式
k 1

a0 dx 2

ak cos kxdx k 1

bk sinkxdx k 1
a0 2 ,
2
(2) 求an .
1
a0
f ( x)dx


f ( x)cos nxdx a0

cos nxdx

2
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么?
2.展开的条件是什么?
1).傅里叶系数,傅里叶级数
若有 f ( x)
(1)

求a
0
.
f ( x)dx



a0 2
a0 2

(ak cos kx bk sinkx)
k 1

dx [
(ak cos kx bk sinkx)]dx




[ak
cos kx cos nxdx bk
sinkx cos nxdx]

k 1
an
cos 2 nxdx

an ,
1
an
f ( x)cos nxdx

(n 1,2,3,)
(3) 求bn .

f ( x)sinnxdx

a0

sinnxdx



2

[ak
cos kx sinnxdx bk
sinkx sinnxdx]

k 1
bn ,
1
bn
f ( x)sin nxdx

(n 1,2,3,)
傅里叶系数
an

1


f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)

bn

1


f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
傅里叶级数
f ( x)
~
a0 2


(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
问题:
f ( x) 条件?
a0 2

(an cos nx bn sin nx)
n1
2).狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且
f ( x)

a0 2


(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
x 连续点
例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
将其展开为傅立叶级数.
u
Em
o
t
1
Em
解
a0
u(t )dt

10
1
0 Em sin ntdt
2Em (1 cos n ) 2Em [1 (1)n ]
n
n

4Em
(2k 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点t k (k 0,1,2,)处不连续.
两个相同函数在[ , ]上的积分不等于零。


cos nxdx 0, sinnxdx 0,



0, m n
sinm
xsin
nxdx


,
, mn
(n 1,2,3,)
12 dx 2 ,

0, m n
cos
m
xcos


( Em )dt
0 Emdt 0
1
an
u(t)cos ntdt

1

0

(
Em
)
cos
ntdt

1


0 Em cos ntdt
0 (n 1,2,)
1
bn
u(t)sin ntdt

10
1


(Em )sin ntdt