古典概率中的摸球模型的解法及应用

高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。

由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别。

在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同学提高解决这一类问题的能力。

下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。

引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球，其中白色2个，黑色3个，求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色；（2）连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；（3）连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。

总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即（1）一次性摸取：摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。

解决的方法：用组合的思想去解决。

（2）逐次、每次不放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。

解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。

（3）逐次、每次有放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。

解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率。

为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家的印象：例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。

（1）从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2）采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。

例2.袋中有同样的小球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。

例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。

从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有3次摸到红球即停止。

高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。

由于摸球的方式、 球色的搭配及最终考虑的问题不同，其内容可以说是形形色色、千差万别。

在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同 学提高解决这一类问题的能力。

下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。

引例：盒中装有大小、重量相同的 5个小球，其中白色2个，黑色3个，求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色； （2） 连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；（3） 连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。

总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即 （1） 一次性摸取：摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。

解决的方法：用组合的思想去解决。

（2） 逐次、每次不放回摸取：摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。

解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。

（3） 逐次、每次有放回摸取：摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。

解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k 次的概率。

为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家 的印象： 例1•一个口袋中装有大小相同的 2个白球和4个黑球。

（1） 从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2） 采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。

例2 •袋中有同样的小球 5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两 种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。

例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。

关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用古典概型是概率论的基础，又有着很高的实用价值，已成为义务教育阶段数学课程的一项重要内容.结合初中数学活动课的教学实践，通过古典概型应用的若干实例，阐述了问题求解的策略、多种方法以及不同方法的具体适用场合，对古典概型的解题规律做了有益的探究.关键词：古典概型；等概基本事件组；有利场合数；应用实例；求解策略；计算方法古典概型是概率论发展史上最早被人们认识、研究并加以应用的概率模型，是一种特殊的数学模型.古典概型在概率论中具有相当重要的地位，不仅其优越性明显，应用广泛，而且是进一步学习概率不可或缺的内容.一、学习古典概型的重要性1.有利于理解概率的意义.对于古典概型，频率的稳定性比较容易验证，也与同学们已有的生活经验和数学活动经验相吻合，从而概率的存在性和确定性易于领会、理解和接受.2.可帮助我们直接计算随机事件发生的概率，化解大量重复试验带来的耗时费力的矛盾，避免破坏性试验造成的损失.也就是说，不需要做任何试验，只要分析事件的本质，确认是古典概型，就可以直接计算得到概率的精确值，而且是理论值，它与用统计方法得到的结论相一致.3.能够有效地解决生产、生活和科研中的某一类问题.如抽签、摸球、摇号、掷骰子、中奖率、次品率、密码解锁、公平规则设计等.二、古典概型的概念1.等概基本事件组设A1，A2，…，An是一个事件组，如果它具有下列三条性质：（1）A1，A2，…，An发生的机会相同（等可能性）；（2）在任一次试验中，A1，A2，…，An至少有一个发生.也就是除此以外，不可能有别的结果（完全性）；（3）在任一次试验中，A1，A2，…，An至多有一个发生.也就是说这n个事件是互相排斥的（互不相容性）.则称A1，A2，…，An为一个等可能基本事件组，也称为一个等概基本事件组，其中任一事件Ai（i=1，2，…，n）称为基本事件.2.概率的古典定义如果试验的所有可能的结果可以表述为一个等概基本事件组A1，A2，…，An.其中有且仅有m个基本事件包含于随机事件J（即当且仅当这m个事件中任一事件发生时，事件J发生），则比值m/n就称为事件J的概率，记作P（J）=m/n.其中，n是基本事件的总数，m是事件J所包含的基本事件数，通常叫做事件J的有利场合数，或有利结果数.3.古典概型及其计算公式可以根据概率的古典定义来计算随机事件的概率，这样的概率模型称为古典概型.P（J）=m/n是概率古典定义的核心内容，它给出了古典概型中随机事件的概率计算公式.三、求解方法与策略1.古典概型的确认.对所要解决的问题，首先要确定是不是属于古典概型？这主要根据古典概型的两个基本特征，即试验结果是否具有有限性和等可能性.2.判定等可能性的常用依据.（1）客观对称性（如抛掷硬币、掷骰子等试验）；（2）某种均衡性（如摸球、抽签等试验）. 3.考察等概基本事件组.等概基本事件组是与古典概型相互印证的，也是概率计算的第一步.对某些问题，等概基本事件组不是唯一的，可供选择.一般情况下，其基本事件的总数越少，求解越为简便.4.按照古典概型中随机事件的概率计算公式，先求分母和分子，再求比值，即得所求概率.分母是等概基本事件组中基本事件的总数，分子是相应事件所包含的基本事件数，即该事件的有利场合数.5.运用多种方法实施计算.（1）直接列举法；（2）表格法；（3）树状图法；（4）根据乘法原理；（5）根据排列与组合的基本知识，或兼用乘法原理；（6）根据概率的运算性质.6.不同计算方法的适用场合.（1）计算简单随机事件的概率，可运用列举法（包括列表、画树状图）.当试验结果显然或试验步骤只有1个时，可直接列举出所有等可能的结果；当试验步骤只有2个且试验结果较少时，表格法和树状图法都是行之有效的；当试验步骤只有2个但试验结果较多时，宜选用列表的方法，显得整体清晰，类别分明，解题便捷.（2）當试验分为3步（或以上），通常选用树状图法；如果要采用列表法，则需2张（或更多）表格，即分步列表.（3）义务教育阶段，宜使用列举法，帮助计算.（4）初中后阶段，可介绍乘法原理，并实施计算.乘法原理通俗易懂，其思想方法与树状图法是一致的.遵循认知规律，所花时间不多，初中学生很快就能接受并较好地掌握，既可以帮助快捷计算，也可以作为对列举法的一种验算或印证，确保列举的所有等可能结果既不遗漏，也不重复.（5）当试验出现的结果较多时，往往需要运用乘法原理或排列与组合的基本知识加以计算.（6）随着概率知识的进一步学习和加深，运用概率的运算性质进行计算，常常会收到更好的效果.7.转化（化归）策略举例.（1）编号.例如，在摸球试验中，通常将彩色球编号，目的是创设等可能性.（2）等分.例如，在转盘问题上，通常将转盘作等分、涂色处理，就是把无限转化为有限，从而归结为古典概型来求解.8.对比策略举例.（1）放回与不放回，或称有放回与无放回.例如，在摸球试验中常有这两种不同的情形，注意到这二者之间的联系与区别，对比在使用表格时各自呈现的特点，从而掌握其规律.抽签方法指的是不放回的情形.（2）有序与无序，也就是考虑顺序与不考虑顺序.对某些问题，必须考虑顺序；而对有些问题，两种方法都能使用.注意这二者之间的联系与区别.（3）比照.这里是指通过对问题实质的分析，能否与一些常见的实用类型等同看待.例如，某些实际问题可以比照为摸球问题，某些实际问题可比照为抽签问题，等等.问题的实质相同，解决问题的思想方法也相同.四、应用实例与一题多解文中解题过程，在使用排列数或组合数符号计算的等号后面，紧接着写出了详细数字，是为了看清楚，让初中学生在还没有学习排列与组合知识的情况下，能运用乘法原理有效实施计算.为书写简洁起见，同一题中的同一随机事件除首次出现外，均用J表示.例1.经典分金币问题.传说，17世纪中叶，法国贵族公子梅雷参加赌博，和赌友各押赌注32枚金币.双方约定：抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上，梅雷得1分；反面朝上，赌友得1分，先积满10分者赢全部赌注.赌博进行了一段时间，梅雷已得8分，赌友得7分.这时，梅雷接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌局只好中止.于是，产生了一个问题，应该怎样分配这64枚金币才算公平合理？这就是历史上著名的“分赌注”问题.解：假设赌局继续，那么最多再抛掷硬币4次，就可以分出输赢.不妨用m表示梅雷积1分，用d表示赌友积1分，运用树状图法可得所有等可能的结果共有16种，其中，梅雷先积满10分的有利场合数为11，赌友先积满10分的有利场合数为5.所以P（梅雷赢）=；P（赌友赢）=.于是梅雷应分得64×=44（枚）金币，赌友应分得64×=20（枚）金币.。

对摸球模型计算问题的总结摸球模型是指从n 个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回，是否记序等）一个个地从中取出m 个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率。

一般来说，根据摸球方式的不同，可分四种情况讨论，得到四种不同的样本空间：其中m n H =1mn m C +-表示从n 个不同元素中取m 个元素进行元素可重复的组合时，其不同的组合个数。

例如3种不同溶液，不使它们混合，倒入五个烧杯中，共有多少种倒法？溶液只有三种，烧杯却有5个，所以至少有一种溶液要重复使用。

这是一个从3个向议员肃立每次去除允许重复的5个元素的组合问题。

因53H =5351C +-，故共有21种方法倒入。

有放回摸球是指每次摸出的球，在摸下一次前要放回袋内，因而每次摸球均在全体球中进行，这样各个球都有可能被多次摸到，统一球重复出现便是有放回摸球的特点，这时计算这一样本空间的基本事件的总数就必须按相异元素允许重复的排列或组合公式计算。

一、有放回且计序摸球如果摸球是从n 个可分辨的球按照有放回且计序的方式一个个地从中取出m 个，这时样本空间的基本事件总数应按相异元素允许重复排列公式计算，因而为mn 个。

解答重复排列问题，要注意以下几点：首先，要明确所给的问题是不是重复排列问题。

如果在题中以指明，则可依题求解；如果没直接给明，则须根据问题的性质判定。

例1有一袋内装有编号为1——5的5个球，从袋内放回且按序任取3个球，问3个球编号组成奇数的概率？解 设A={3个球编号组成奇数}基本事件总数=53A 所含基本事件数=353⨯ 故6.0533)(5533==⨯=A P 例2（1）有2个人，入坐3个座位，有几种做法？（2）有两封信投入3个信箱，有几种投信方法？解 （1）在入坐问题中，一个人不能同时坐两个座位，一个座位也不能同时坐两个人，故该问题不属于重复排列问题，可归结为从3个相异元素中每次取2个的选排列问题，故坐法为23A 。

摸球问题10个例题解析一、简单古典概型摸球问题。

例1：题目：一个盒子里装有3个红球和2个白球，从盒子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率。

（人教版）解析：首先确定基本事件总数，盒子里一共有球3 + 2=5个。

然后确定事件“摸到红球”包含的基本事件数为3个。

根据古典概型概率公式P(A)=(m)/(n)，其中n是基本事件总数，m是事件A 包含的基本事件数。

所以摸到红球的概率P = (3)/(5)。

例2：题目：在一个不透明的袋子里有4个黄球和6个蓝球，从中任意摸出一个球，求摸到蓝球的概率。

（人教版）解析：基本事件总数为球的总数4+6 = 10个。

事件“摸到蓝球”包含的基本事件数是6个。

由古典概型概率公式可得，摸到蓝球的概率P=(6)/(10)=(3)/(5)。

二、有放回摸球问题。

例3：题目：一个盒子中有2个黑球和3个白球，每次摸出一个球后放回，连续摸两次，求两次都摸到白球的概率。

（人教版）解析：每次摸球时，基本事件总数都是2 + 3=5个。

第一次摸到白球的概率为(3)/(5)，因为是有放回摸球，第二次摸球时情况不变，摸到白球的概率仍然是(3)/(5)。

根据分步乘法计数原理，两次都摸到白球的概率P=(3)/(5)×(3)/(5)=(9)/(25)。

例4：题目：袋中有5个红球，3个绿球，有放回地摸球3次，求恰好摸到2次红球的概率。

（人教版）解析：每次摸球基本事件总数为5+3 = 8个。

每次摸到红球的概率为(5)/(8)，摸到绿球的概率为(3)/(8)。

恰好摸到2次红球的情况有C_3^2=(3!)/(2!(3 2)!)=3种（即三次摸球中哪两次摸到红球的组合数）。

所以恰好摸到2次红球的概率P =C_3^2×((5)/(8))^2×(3)/(8)=3×(25)/(64)×(3)/(8)=(225)/(512)。

三、无放回摸球问题。

例5：题目：盒子里有5个不同颜色的球，其中3个红球，2个蓝球，无放回地先后摸出两个球，求第一次摸到红球，第二次摸到蓝球的概率。

㊀㊀㊀摸球问题㊀有型可循∗◉福建省石狮市第一中学㊀李桂娟在古典概率问题中,有一类物品抽取问题,其概率的计算较为困难,如抽签㊁随机取数㊁次品抽取等．但如果能建立某种模型,将要解决的概率问题通过适当的转化,让它适用于该模型,往往能使问题更清楚,更容易看出问题本质．引例㊀一个袋子内有６个大小一样的小球,其中４个是黑球,２个是白球．(１)从中任意取出３个球,求既有黑球又有白球的概率;(２)从中不放回地依次取出３个球,求第三次摸到白球的概率;(３)从中有放回地依次取出３个球,求第三次摸到白球的概率．分析:以上三个问题,分别代表了古典概型中摸球问题的常见三种类型．(１)一次性摸取．摸球的特点:一次性摸取,元素不重复,无顺序．解决的方法:组合的思想．(２)逐次㊁每次不放回摸取．摸球的特点:逐次㊁每次不放回摸取,元素不重复,但有顺序．解决的方法:排列的思想．(３)逐次㊁每次有放回摸取．摸球的特点:逐次㊁每次有放回摸取,元素重复,同一个球每次被摸到的概率都一样．解决方法:独立重复试验中某事件发生的概率不变．解:(１)从６个球中任意取出３个球的总数是C ３６．既有黑球又有白球,可能１黑２白,也可能２黑１白,取法总数是C １４C ２２＋C ２４C １２．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝C １４C ２２＋C ２４C １２C ３６＝１６２０＝４５．(２)问题等价于 从６个球选出３个球进行排列,求第三个球是白球的概率 ．６个球选出３个球排列的总数是A ３６,而第三个球是白球的取法总数是A ２５C １２．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝A ２５C １２A ３６＝５ˑ４ˑ２６ˑ５ˑ４＝１３．(３)有放回地摸取,每次摸球都是独立的,从而只考虑此第三次摸球即可,不需要考虑前面２次摸球的情况．由古典概型的概率计算公式可得所求概率P ＝C １２C １６＝２６＝１３．反思:需要指出的是,在计算古典概型的事件A的概率时,注意P (A )＝有序有序＝无序无序．为了方便起见,把上述的第一种类型(一次性摸取)和第二种类型(逐次㊁每次不放回摸取),统称为不放回摸球模型．第三种类型(逐次㊁每次有放回摸取),称为有放回摸球模型．模型的析出:不放回摸球模型 解决的方法:组合或排列的思想．有放回摸球模型 解决的方法:独立重复试验中某事件发生的概率不变．在不放回摸球模型和有放回摸球模型中,最后一次摸到白球的概率是一样的．能否得到一般性的结论变式１㊀一个袋子内有a ＋b 个大小一样的小球,其中a 个是黑球,b 个是白球．(１)从中不放回地依次取出k 个球(１ɤk ɤa ＋b ),最后一次摸到白球的概率为多少?(２)从中有放回地依次取出k 个球(１ɤk ɤa ＋b ),最后一次摸到白球的概率为多少?分析:变式１是引例的推广．解:(１)问题等价于 从a ＋b 个球中任意取出k 个球进行排列,求第k 个球是白球的概率 ,所求概率１３２０２２年９月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀新颖试题命题考试∗基金项目:本文系福建省２０１９年度泉州市基础教育课程教学研究课题高中数学题根教学实践研究 (编号:Q J Y K T ２０１９Ｇ１５４)的研究成果之一．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀P＝A k－１a＋b－１C１bA k a＋b＝(a＋b－１)!(a＋b－k)!ˑb(a＋b)!(a＋b－k)!＝b a＋b．(２)有放回地摸取,每次摸球都是独立的,从而可得所求概率P＝C１bC１a＋b＝ba＋b．反思:在不放回摸球模型和有放回摸球模型中,第k次摸到白球的概率是一样的．但是思考的方式却不同．在有放回摸球模型中,每次摸到白球都是独立的,从而只考虑第k次即可,不需要考虑前面k－１次摸球的情况;在不放回摸球模型中,前一次摸球会影响后一次摸球,所以整个摸球过程要当成一个整体考虑．变式２㊀(高考题改编)已知６只动物中有１只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法:方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止．方案乙:先任取３只,将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这３只中的１只,然后再逐个化验这３只,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则表明患病动物为另外３只中的１只,然后再逐个化验另外３只,直到能确定患病动物为止．(１)用X表示依方案甲所需化验次数,求X的期望;(２)用Y表示依方案乙所需化验次数,求Y的期望．分析:这是一道以摸球为背景的概率问题．问题等价于:有６个大小一样的小球,其中５个是黑球,１个是白球．方案甲:依次不放回地摸球,直到能确定摸出白球为止．方案乙:从中任取３个球,若这三个球含白球,则继续从这３个球中依次不放回摸球,直到能确定摸出白球为止;若这三个球不含白球,则继续从另外含白球的３个球中依次不放回地摸球,直到能确定摸出白球为止．属于不放回摸球模型．解决的方法:组合或排列的思想．解:化验次数X的所有可能取值是１,２,３,４,５．(１)当X＝１时,表示第一次就抽到患病的,概率为P１＝C１１C１６＝１６;当X＝２时,表示第一次抽到不患病的,第二次抽到患病的,概率为P２＝C１５C１１A２６＝１６;同理可得P３＝A２５C１１A３６＝１６,P４＝A３５C１１A４６＝１６;当X＝５时,表示前四次都抽到不患病的,第五次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束,概率为P５＝A４５A４６＝１３．因此,方案甲所需化验次数X的数学期望E X＝１ˑ１６＋２ˑ１６＋３ˑ１６＋４ˑ１６＋５ˑ１３＝１０３．(２)化验次数Y的所有可能取值是２,３．当Y＝２时,有两类:第一类,第一次任取的３只是含患病的,则继续从这３只中逐个化验,第一次就抽到患病的;第二类,第一次任取的３只是不含患病的,则继续从另外含患病的３只中逐个化验,第一次就抽到患病的．这两类事件互斥,概率为P(Y＝２)＝C２５C１１C３６C１１C１３＋C３５C３６C１１C１３＝１３;同理,当Y＝３时,也有两类:第一类,第一次任取的３只是含患病的,则继续从这３只中逐个化验,第一次抽到不患病的,第二次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束;第二类,第一次任取的３只是不含患病的,则继续从另外含患病的３只中逐个化验,第一次就抽到不患病的,第二次不论是抽到不患病的还是抽到患病的,都能确定哪只是患病动物,化验结束．这两类事件互斥,概率为P(Y＝３)＝C２５C１１C３６C１２C１３＋C３５C３６C１２C１３＝２３．因此,方案乙所需化验次数Y的数学期望E Y＝２ˑ１３＋３ˑ２３＝８３．反思:本题也可以从对立事件的角度来求X＝５与Y＝３的概率．研究以摸球为背景的概率问题,我们可以在解题中以如下思路思考问题:不放回摸球模型解决的方法是利用组合或排列的思想;有放回摸球模型解决方法是利用独立重复试验中某事件发生的概率的不变性．善于利用对立事件,是探求解题捷径的重要手段之一．在摸球情景下,正确地求解概率问题,必须要具备一定的排列组合知识,熟悉并掌握必要的 概率模型 ,会灵活运用分类与讨论㊁化归与转化等数学思想．F２３命题考试新颖试题㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年９月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

高二复习公开课《摸球问题的三种题型及解题方法》摸球问题是古典概型中一类重要而常见的问题。

由于摸球的方式、球色的搭配及最终考虑的问题不同,其内容可以说是形形色色、千差万别。

在高考中以摸球为背景的概率问题多种多样，但同学们对这一类问题始终不能很好地分析和解答，为此有必要对以摸球为背景的问题类型做一次深入的归纳总结，以期让同学提高解决这一类问题的能力。

下面我们通过三个典型的摸球问题来阐述解决此类问题的思想方法。

引例：盒中装有大小、重量相同的5个小球，其中白色2个，黑色3个，求下列事件的概率：（1）从中摸出3个小球，恰有一个是白色；（2）连续摸球3次，每次摸一个，摸后不放回，第三次摸到白球；（3）连续摸球三次，每次摸一个，摸后放回，恰有两次摸到白球。

总结：以上三个问题，分别代表了摸球问题中常见的三种类型，即（1）一次性摸取：摸球的特点：一次摸够，元素不重复，无顺序。

解决的方法：用组合的思想去解决。

（2）逐次、每次不放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素不重复，但有顺序。

解决的方法：用排列的思想或分步计数原理去解决。

（3）逐次、每次有放回摸取:摸球的特点：每次只摸一个，若干次摸够，元素重复，同一个（种）球每次被摸到的概率都一样。

解决方法：独立重复实验某事件恰好发生k次的概率。

为了让大家更好地理解并应用这三种思想方法来解决相关问题，我们再通过三个三个例题来加深大家的印象：例1.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球。

（1）从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（2）采取不放回的抽样方式，从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率。

例2.袋中有同样的小球5个，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸一个，当两种颜色的小球都被摸到时，即停止摸球，求至少摸球三次才停止游戏的概率。

例3.袋子中有若干个均匀的小球，其中红球5个，白球10个。

从袋中有放回地摸球，每次摸一个，有3次摸到红球即停止。

ʏ查 霖在日常工作和现实生活中,有大量的随机事件的概率并不一定要通过大量的试验来得到,只要掌握了一些基本情况,就可以知道它们相应的概率,这就是最常见的古典概型㊂古典概型中主要有几种经典的实例:骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等㊂下面就此举例分析,供大家学习与参考㊂一㊁骰子(或硬币)问题抛掷骰子问题和抛掷硬币问题一样,是古典概型中一种重要的模型㊂它的实质就是抛掷骰子(或硬币)n 次,那么对应的基本事件总数为6n (或2n),根据相应事件所对应的基本事件的个数,结合古典概型的计算公式求得对应的概率㊂例1 将一颗质地均匀的骰子(一种六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为㊂思路导引:根据抛掷骰子的总数确定古典概型中的基本事件总数,再结合抛掷2次出现向上的点数之和为4的事件的个数,进而利用古典概型的概率公式求解㊂基本事件的总数为6ˑ6=36,点数之和为4的可能结果为(1,3),(2,2),(3,1),共3种情况,所以所求概率P =336=112㊂答案为112㊂解法反思:抛掷骰子或抛掷硬币问题,关键是确定相关事件的个数㊂容易出错的地方是计算遗漏,如本题中的(1,3)和(3,1)是两种不同的结果,不能认为是一种结果㊂二㊁摸球问题摸球问题等同于抽签问题,关键是确定每次所摸的符合题目要求的球的可能结果㊂要注意所摸球的先后顺序和球的颜色与题目条件之间的关系,否则容易出错㊂例2 袋中有4个白球,3个黑球,从中连续任意取出2个球,且每次取出的球不再放回,求第2次取出的球是白球的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是从7个球中有次序地取出2个球的不同取法,即7ˑ6种取法㊂第2次取出的球是白球的可能结果是:若第一次取的是白球,那么第2次是从3个白球中再取出一球,若第一次取的是黑球,那么第2次是从4个白球中再取出一球㊂由题意可得,所求概率P ( 第2次取出的球是白球 )=4ˑ37ˑ6+3ˑ47ˑ6=47㊂解法反思:本题实质上也是抽签问题,按上述规则抽签,每人抽中白球的机会相等,且与抽签次序无关㊂在涉及与抽签及其相关事件时,都可以采用摸球问题的数学模型所对应的古典概型问题来分析与处理㊂三㊁抽数问题抽数问题可以根据条件加以分析,也可以结合排列与组合加以综合分析㊂解答这类问题,关键是确定所有的数的总个数,以及所满足条件的数的个数㊂如果利用排列与组合分析时,一定要注意两者分析时的一致性㊂例3 从1,2, ,9这9个数字中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )A.59 B .49C .1121D .1021思路导引:本题基本事件的总数是从9个数中有次序地取出3个数的不同取法,即基本事件总数是9ˑ8ˑ7=504㊂分析3个数的和为偶数的不同情况,确定所包含的基本事件个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是9ˑ8ˑ7=504㊂这3个数的和为偶数33经典题突破方法高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的可能结果有四种情况:偶奇奇,共有4ˑ5ˑ4=80(种);奇偶奇,共有5ˑ4ˑ4=80(种);奇奇偶,共有5ˑ4ˑ4=80(种);偶偶偶,共有4ˑ3ˑ2=24(种)㊂所以所求概率P =80+80+80+24504=1121㊂应选C ㊂解法反思:本题实质上就是数的一种排列问题,抽出来的2个数所组成的两位数有次序关系,通过计算基本事件的总数以及所求事件的个数,从而得到所求的概率㊂四㊁格子问题格子问题也是一种常见的古典概型问题㊂解答这类问题,关键是确定对应的格子与相应的元素之间的填充关系,有时可以结合树状图㊁列举法加以分析与处理㊂例4 把3个不同的球投入3个不同的盒子内(每盒球数可以不限),计算:(1)无空盒的概率㊂(2)恰有一个空盒的概率㊂思路导引:本题的基本事件总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,题设条件是每盒的球数可以不限,即最多可以投入3个,最少可以投入0个,然后按要求计算出所求事件的个数,从而得到所求概率㊂基本事件的总数是把3个不同的球投入3个不同的盒子内的不同放法,第一个球的放法有3种可能,第二个球的放法也有3种可能,第三个球的放法还是有3种可能,则基本事件总数是3ˑ3ˑ3=27㊂设事件A = 无空盒 ,事件B = 恰有一个空盒 ,3个不同的球分别记为a ,b ,c ㊂(1)事件A 包含的可能结果为a b c ,a c b ,b ac ,b c a ,c a b ,c b a ,共有6种情况,所以P (A )=627=29㊂(2)第一个盒子是空盒的可能结果为( )(a )(b c ),( )(b )(a c ),( )(c )(a b ),( )(b c )(a ),( )(a c )(b ),( )(a b )(c ),共有6种情况,其他两个盒子是空盒的情况与第一个盒子一样,所以事件B 包含的基本事件个数是6ˑ3=18,所以P (B )=1827=23㊂解法反思:本题通过分析3个不同的球与3个不同的盒子之间的关系,计算出基本事件的总数,再根据题设条件,正确分析并列举出所求事件的个数,最后结合古典概型的概率公式求得结果㊂编者的话:在解答古典概型问题时,有时会直接涉及骰子(硬币)问题㊁摸球问题㊁抽数问题㊁格子问题等,有时会涉及与之相关的问题,解题的关键是合理构建对应的古典概率模型,借助古典概型的概率公式来分析与处理,从而实现问题的解决㊂1.连掷两次骰子分别得到点数m ,n ,则向量a =(m ,n )与向量b =(-1,1)的夹角θ>90ʎ的概率是( )㊂A.512 B .712 C .13 D .12提示:连掷两次骰子得到的点数(m ,n )的所有基本事件为(1,1),(1,2), ,(6,6),共36个㊂因为(m ,n )㊃(-1,1)=-m +n <0,所以m >n ,可知符合要求的事件为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), ,(5,4),(6,1), ,(6,5),共15个㊂故所求概率P =1536=512㊂应选A ㊂2.已知集合A ={2,3,4,5,6,7},B ={2,3,6,9},在集合A ɣB 中任取一个元素,则它是集合A ɘB 中的元素的概率为( )㊂A.23 B .35 C .37 D .25提示:依题意得A ɣB ={2,3,4,5,6,7,9},即这个试验的样本空间Ω中有7个元素㊂由A ɘB ={2,3,6},可知这个试验包含3个样本点㊂由古典概型的概率公式得所求概率为37㊂应选C ㊂作者单位:江苏省高邮市临泽中学(责任编辑 郭正华)43 经典题突破方法 高一数学 2023年5月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。