第一章 直角三角形的边角关系(1.1～1.3) 水平测试AB卷(含答案)

一、选择题1．下列不等式成立的是（ ） A ．sin60°<sin45°<sin30° B ．cos30°<cos45°<cos60° C ．tan60°<tan45°<tan30° D ．sin30°<cos45°<tan60°2．sin45cos45︒+︒的值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．223．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，//DE AC 交AB 于点E ，//DF AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，若8AF EF ==，则sin DAC ∠的值为（ ）A ．13B ．32C ．12D ．224．关于直角三角形，下列说法正确的是（ ） A ．所有的直角三角形一定相似B ．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5C ．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解D ．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定 5．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) ( )A ．415B ．280C ．335D ．2506．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ） A 5B ．2 C ．32D ．127．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BPC △是等边三角形，连接DP 并延长交CB 的延长线于点H ，连接BD 交PC 于点Q ，下列结论：①135BPD ︒∠=；②BDP HDB △∽△；③:1:2DQ BQ =；④314BDPS-=．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②③④D ．①②④8．如图，直线123////l l l ，ABC 的三个顶点分别落在123,,l l l 上，AC 交2l 于点D ，设1l 与2l 的距离为12,h l 与3l 的距离为2h ．若12,:1:2AB BC h h ==，则下列说法正确的是（ ）A ．:2:3ABDABCSS=B ．:1:2ABD ABC S S =△△ C ．sin :sin 2:3ABD DBC ∠∠=D ．sin :sin 1:2ABD DBC ∠∠=9．如图，等边OAB ∆的边OB 在x 轴的负半轴上，双曲线ky x=过OA 的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（ ）A ．3y =B ．3y =-C ．23y =D ．23y =-10．在ΔABC 中，∠C ＝90º，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ） A ．34B ．43C ．35D ．4511．如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转60°后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（ ） A ．(4，23)B ．(23，4)C ．（3，3）D ．（23＋2，2）12．在ABC 中，AB 122=，AC 13=，2cos B 2∠=，则BC 边长为（ ） A ．7B ．8C ．8或17D ．7或17二、填空题13．已知α，β均为锐角，且满足cos 0.5tan 30αβ-+-=，则αβ+的度数为_______．14．一运动员乘雪橇以10米/秒的速度沿坡比1:3的斜坡匀速滑下，若下滑的垂直高度为1000米，则该运动员滑到坡底所需的时间是______秒．15．在AOB 中，90AOB ∠=︒，30ABO ∠=︒，将AOB 绕顶点O 顺时针旋转，旋转角为()0180θθ︒<<︒，得到11AOB ．（1）如图1，连接1AA 、1BB ，设1AOA 和1BOB 的面积分别为1S 、2S ．则12:S S =__________．（2）如图2，设OB 中点为Q ，11A B 中点为P ，连接QP ，若1AO =，当θ=_______︒时，线段QP 长度最小，最小值为_____________．16．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，8AD =，按下列步骤进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图（1）所示；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为'B ，得Rt 'AB E △，如图（2）所示；第三步：沿'EB 折叠折痕为EF ，且AF 交B N '的延长线于点G ，如图（3）所示；则由纸片折叠成的图形中，'AB G S △为____．17．如图是一个海绵施把，图1、图2是它的示意图，现用线段BC 表示拉手柄，线段DE 表示海绵头，其工作原理是：当拉动BC 时线段OA 能绕点O 旋转（设定转角AOQ∠大于等于0°且小于等于180°），同时带动连杆AQ 拉着DE 向上移动．图1表示拖把的初始位置（点O 、A 、Q 三点共线，P 、Q 重合），此时45cm OQ =，图2表示拉动过程中的一种状态图，若DE 可提升的最大距离10cm PQ =．（1）请计算：OA =______cm ；AQ =_____cm ．（2）当1sin 10OQA ∠=时，则PQ =______cm ． 18．2cos302sin303tan45︒-+︒=______．19．已知等腰ABC ，AB AC =，BH 为腰AC 上的高，3BH =，3tan ABH ∠=，则CH 的长为______．20．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1cot 3B =，2BC =，那么AC =_____________. 三、解答题21．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，E 为BC 上一点，∠BDE=∠BAD=90°， （1）求证：BD 2=BA·BE ； （2）若AB=6，BE=8，求CD 的长．22．如图，已知甲、乙两栋楼的楼间距AB 30=米，小明在甲楼的楼下A 点处测得乙楼的楼顶点C 的仰角为63.5°（1）求乙楼的高BC ．（参考数据：sin63.50.89︒≈，cos63.50.45︒≈，tan63.52︒≈）（2）小明发现在甲楼的中间外墙有一巨幅广告DE ，为了测量巨幅广告的宽度DE ，小明先在乙楼的楼底B 点测得点E 的仰角为45°，然后小明到楼顶点C 处，测得点D 的俯角为30°，根据小明测量的数据，请你帮助小明计算巨幅广告的宽度DE （结果保留根号）23．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值． （2）求线段AH 的长．24．在ABC 中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==，点P 是边AB 的中点，连接CP ．（1）如图①，B 的大小＝______（度），AB 的长＝______；CP 的长＝______； （2）延长BC 至点O ，使2OC BC =，将ABC 绕点O 逆时针旋转()0180αα︒<︒<︒得到A B C '''，点A ，B ，C ，P 的对应点分别为A '，B '，C '，P '． ①如图②，当30α=︒时，求点C '到直线OB 的距离及点C '到直线AB 的距离；②当C P ''与ABC 的一条边平行时，求点P '到直线AC 的距离（直接写出结果即可）．25．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶8m BC =，坝高30m ，斜坡CD 的坡度1:3,30i A =∠=︒，求坝底DA 的长．（3 1.732≈，结果精确到0.01m ）26．（1）计算：022sin 30(2021)tan 60π︒+--︒． （2）已知线段4a =，9b =，求线段a ，b 的比例中项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】 解：A 、sin60°=32，sin45°=22，sin30°=12 ，故A 不成立；B 、cos30°3cos45°=22，cos60°=12，故B 不成立；C 、tan60°3，tan45°=1，tan30°=33，故C 不成立； D 、sin30°=12，cos45°=22，tan60°3D 成立； 故选：D ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．2．C解析：C 【分析】直接用特殊的锐角三角函数值代入求值即可； 【详解】∵ sin45°=2 ，cos45°=2，∴sin45°+ cos45°=2+2， 故选：C ． 【点睛】本题考查了特殊的锐角三角函数值，正确记忆锐角三角函数值是解题的关键 ．3．C解析：C 【分析】先证明四边形AEDF 是平行四边形，在根据题意得到四边形AEDF 是菱形，即可得到结果； 【详解】由题意：//DE AC ，//DF AB ， 即//DE AF ，//DF EA ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， 又∵AD 平分BAC ∠， ∴BAD CAD ∠=∠， ∵//AE DF ， ∴BAD ADF ∠=∠， ∴DAF FDA ∠=∠，∴FA FD =， ∴四边形AEDF 是菱形，∴EF AD ⊥，且O 为EF 的中点，8EF =， ∴4OF =，∴在Rt △OAF 中，41sin 82OF DAF AF ∠===； ∴1sin 2DAC ∠=； 故答案选C ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，结合三角函数计算是解题的关键．4．D解析：D 【分析】根据题目条件，利用举反例的方法判断即可. 【详解】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的， ∴选项A 错误；若斜边长为4， ∴选项B 错误；已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的， 缺少解直角三角形需要的边元素， ∴选项C 错误；∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值， ∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比， 根据勾股定理可以确定第三边的量比， ∴直角三角形的三边之比一定确定， 故选D. 【点睛】本题考查了命题的真伪，以数学基本概念，基本性质，基本法则为基础，通过举反例的方法判断是解题的关键.5．B解析：B 【分析】根据正弦的定义求解即可； 【详解】由题可知sin 340.56500280AC AB =︒=⨯=（米）； 故选B ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．6．A解析：A 【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值． 【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =， ∴AB ==sinBC A AB ===， 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．7．D解析：D【分析】由等边三角形及正方形的性质求出∠CPD＝∠CDP＝75°、∠PCB＝∠CPB＝60°，从而判断①；证∠DBH＝∠DPB＝135°可判断②；作QE⊥CD，设QE＝DE＝x，则QD＝2x，CQ＝2QE＝2x，CE＝3x，由CE＋DE＝CD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断③，证DP＝DQ＝6-22，根据BDPS＝12BD•PDsin∠BDP求解可判断④．【详解】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，则∠BPD＝∠BPC＋∠CPD＝135°，故①正确；∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DBH＝∠DPB＝135°，又∵∠PDB＝∠BDH，∴△BDP∽△HDB，故②正确；如图，过点Q作QE⊥CD于E，设QE＝DE＝x，则QD2x，CQ＝2QE＝2x，∴CE3，由CE＋DE＝CD知x3x＝1，解得x＝3-12，∴QD2＝6-22，∵BD2∴BQ＝BD−DQ26-232-6，则DQ∶6-2∶32-6∶2，故③错误；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，∴∠PDQ＝30°，又∵∠CPD ＝75°， ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝75°， ∴DP ＝DQ ＝6-22， ∴BDP S＝12BD•PDsin ∠BDP ＝12×2×6-22×12=314- ，故④正确； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形和正方形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的判定等知识点．8．D解析：D 【分析】作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，利用三角形面积公式可得到12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆==，则可对A 、B 进行判断；利用正弦的定义得到1sin h ABD AB ∠=，2sin hDBC BC∠=，利用AB CB =可对C 、D 进行判断． 【详解】解：作2⊥AE l ，2⊥CF l ，如图，则1AE h =，2CF h =，11122ABD S BD AE BD h ∆==，21122BCE S BD CF BD h ∆==， 12::1:2ABD BCD S S h h ∆∆∴==，:1:3ABD ABC S S ∆∆∴=，所以A 、B 选项错误；在Rt ABE ∆中，1sin h AE ABD AB AB ∠==， 在Rt BCF ∆中，2sin h CFDBC BC BC∠==， 而AB CB =，12sin :sin :1:2ABD DBC h h ∴∠∠==，所以C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了考查了解直角三角形，也考查了平行线之间的距离和等腰直角三角形的性质，难度一般．9．B解析：B【分析】如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．根据等边三角形的性质、中点的定义可以求得点C 的坐标，然后把点C 的坐标代入双曲线方程，列出关于系数k 的方程，通过解该方程即可求得k 的值．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥OB 于点D ．∵△OAB 是等边三角形，该等边三角形的边长是4，∴OA=4，∠COD=60°，又∵点C 是边OA 的中点，∴OC=2，∴OD=OC•cos60°=2×12=1，33． ∴C （-13 31k -， 解得，3，∴该双曲线的表达式为3y =． 故选：B ．【解答】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质．解题的关键是求得点C 的坐标． 10．D解析：D【分析】利用勾股定理可求出AC 的长，根据余弦函数的定义即可得答案．【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴22AB BC -=4，∴cosA=AC AB =45． 故选：D ．【点睛】 考查勾股定理及锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的余弦是角的邻边与斜边的比；熟练掌握各三角函数的定义是解题的关键.11．B解析：B【分析】根据直线解析式求出点A 、B 的坐标，从而得到OA 、OB 的长度，再求出∠OAB ＝30°，利用勾股定理列式求出AB ，然后根据旋转角是60°判断出AB′⊥x 轴，再写出点B′的坐标即可．【详解】令y ＝0，则−x ＋2＝0，解得x ＝，令x ＝0，则y ＝2，所以，点A （0），B （0，2），所以，OA ＝OB ＝2，∵tan ∠OAB ＝3OB OA ==， ∴∠OAB ＝30°，由勾股定理得，AB 4==，∵旋转角是60°，∴∠OAB′＝30°＋60°＝90°，∴AB′⊥x 轴，∴点B′（4）．故选：B ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质−旋转，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角函数的应用，求出AB′⊥x 轴是解题的关键． 12．D解析：D【分析】首先根据特殊角的三角函数值求得B ∠的度数，然后分锐角三角形和钝角三角形分别求得BD 和CD 的长后即可求得线段BC 的长．【详解】解：∵2 cos B2∠=，∴B45∠=，当ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB122=，B45∠=，∴AD BD12==，∵AC13=，∴由勾股定理得CD5=，∴BC BD CD1257=-=-=；当ABC为锐角三角形时，如图2，BC BD CD12517=+=+=，故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确余弦定理的内容、利用锐角三角函数解答．二、填空题13．【分析】根据非负数的性质列出算式根据特殊角的三角函数值计算即可【详解】解：由题意得cosα-05=0tanβ-=0∴cosα=05tanβ=解得α=60°β=60°则α+β的度数为120°故答案为：解析：120︒【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：由题意得，cosα-0.5=0，tanβ3，∴cosα=0.5，3解得，α=60°，β=60°，则α+β的度数为120°，故答案为：120°．【点睛】本题考查的是非负数的性质和特殊角的三角函数值，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．14．200【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间【详解】解：由已知得：垂直高度1000米与水平解析：200【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值，因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度，再用勾股定理求出斜坡长；在已知速度的条件下即可求出时间．【详解】解：由已知得：垂直高度1000米与水平宽度之比为1∴水平宽度为2000m =； ∴200020010s t s v ===． 故答案为：200．【点睛】 此题考查了解直角三角形−坡度坡角问题，正确理解坡比的定义是解题的关键． 15．1∶330【分析】（1）由旋转的性质解得继而证明结合30°的正切值再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接根据三角形三边关系得到当在同一直线上时线段长度最小由直角三角形斜边中线的解析：1∶3 30 12-． 【分析】（1）由旋转的性质，解得1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ==∠=∠=，继而证明11()AOA BOB SAS ，结合30°的正切值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可；（2）连接OP ，根据三角形三边关系得到当O Q P 、、在同一直线上时，线段QP 长度最小，由直角三角形斜边中线的性质结合含30°角的直角三角形性质，可证1OA P 是等边三角形，继而解得OP 、OQ 的长，最后由=PQ OP OQ -解题即可．【详解】解：（1）旋转1111,,OA OA OB OB AOA BOB θ∴==∠=∠=11AOA BOB ∴、均是等腰三角形11tan 30OA OA OB OB ==︒=11AOA BOB ∴相似比3k =22133k ∴== 12:13S S ∴=：故答案为：1∶3；（2）连接OP ，在OQP 中，OQ QP OP +>当O Q P 、、在同一直线上时，OP 有最小值，即=PQ OP OQ -有最小值，当O Q P 、、在同一直线上时， P 是11A B 的中点，1111=2=O B P P A A ∴ 1130A B O ABO ∠=∠=︒ 1112OA A B ∴=11==P OP A OA ∴1OA P ∴是等边三角形，160OP A ∴∠=︒1906030AOA ∴∠=︒-︒=︒30θ∴=︒1OA =∴1OP =，tan 30OA OB ==︒Q 为OB 中点，122OQ OB ∴==12PQ ∴=-．【点睛】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边的中线、含30°角的直角三角形、正切、三角形三边关系、等边三角形的判定与性质等知识，在重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．16．【分析】根据折叠得到△AEF是等边三角形再根据Rt△ABE中求得AE=根据相似三角形的性质可得到的长即可求解【详解】如图所示将图3展开可得下图由折叠可得Rt△AMB中AM=AB==3∴∠ABM=30解析：33【分析】根据折叠得到△AEF是等边三角形，再根据Rt△ABE中，求得AE=43，根据相似三角形的性质可得到B G 的长，即可求解．【详解】如图所示，将图3展开，可得下图，由折叠可得，Rt △AMB'中，AM=12AB=12AB '=3， ∴∠AB'M=30°，∴∠AA'B=30°，∴∠A'AB=60°，∴∠BAE=∠B'AE=30°， ∴∠EAF=60°，∠AEB=60°=∠AEB'，∴△AEF 是等边三角形，又∵Rt △ABE 中，AB=6，∠BAE=30°，∴EF=AE=cos30AB ︒= ∵∠B'AE=∠AA'B=30°， ∴AE= A'E=∵B'G ∥A'E ，∴~FB G FEA ''， ∴1EF 2B G FB EA ''=='， ∴B G '=，∵△A B G ''的高为BM=3，∴'1'2AB G S B G BM =⨯⨯=△．故答案为：【点睛】 本题属于折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．得到△AEF 是等边三角形是解决问题的关键． 17．40或【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半AQ ＝OQ-OA 即可解决问题（2）分两种情形分别画出图形解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）由题意故答案为540（2）当是钝角时如图解析：40 42-48-【分析】（1）由题意可知：OA 定义DE 使得最大值的一半，AQ ＝OQ -OA 即可解决问题． （2）分两种情形分别画出图形，解直角三角形即可解决问题．【详解】解：（1）由题意11052OA cm =⨯=，45540AQ cm =-=， 故答案为5，40．（2）当OAQ ∠是钝角时，如图1中，作AH PQ ⊥于H ．在Rt AHQ ∆中，1sin 10AH AQH AQ ∠==，40AQ =， 4AH ∴=，22224041211QH AQ AH ∴=-=-=，在Rt QOH ∆中，223OHOA AH ，31211OQ ∴=+，45(31211)(421211)PQ cm ∴=-+=-， 当OAQ ∠是锐角时，如图2中，作AH OP ⊥交PO 的延长线于H ．同法可得：12113OQ =-，45(12113)(481211)PQ cm ∴=--=-．故答案为：421211-或481211-．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．18．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算熟记特殊角的三角函数值是解题关键32【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】 解：312cos302sin 303tan 4522313133222︒-+︒=⨯-⨯+⨯=-+=+， 故答案为：32+． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 19．或【分析】如图所示分两种情况利用特殊角的三角函数值求出的度数利用勾股定理求出所求即可【详解】当为钝角时如图所示在中根据勾股定理得：即；当为锐角时如图所示在中设则有根据勾股定理得：解得：则故答案为或【 解析：33或3【分析】如图所示，分两种情况，利用特殊角的三角函数值求出ABH ∠的度数，利用勾股定理求出所求即可．【详解】当BAC ∠为钝角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan 3AH ABH BH ∠==，3BH =， 3AH ∴=，根据勾股定理得：22(3)323AB =+=，即23AC =，23333CH CA AH ∴=+=+=；当BAC ∠为锐角时，如图所示，在Rt ABH 中，3tan ABH ∠=， 30ABH ∴∠=，1122AH AB AC ∴==， 设AH x =，则有2AB AC x ==， 根据勾股定理得：222(2)3x x =+，解得：x =则HC AC AH =-=故答案为【点睛】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：等腰三角形的性质，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的性质及分类的求解的数学思想是解本题的关键． 20．6【分析】根据三角函数的定义即可求解【详解】∵cotB=∴AC==3BC=6故答案是：6【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用解题关键在于掌握在直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边余弦为邻边比斜边正解析：6【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=BC AC， ∴AC=13BC BC cotB= =3BC=6． 故答案是：6．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．三、解答题21．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据角平分线定义可证得∠ABD=∠EBD ，再根据相似三角形的判定证明△BAD ∽△BDE ，然后根据相似三角形的性质即可证得结论；（2）根据（1）中结论求得BD 长，再根据勾股定理求得AD 长，进而可求得∠ABD=30°，即∠ABC=60°，利用锐角三角函数求得AC 长，即可求得CD 长．【详解】解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠EBD ，又∵∠BDE=∠BAD=90°，∴△BAD ∽△BDE ，∴BD ：BE=BA ：BD ，即BD 2=BA·BE ； （2）∵由（1）可知，BD 2=BE·BA ，且AB=6，BE=8 ，∴BD=43，∴AD2=BD2-AB2=12 即AD=23，∵sin∠ABD=ADBD=12，∴∠ABD=30°，又∠ABD=∠EBD，∴∠ABC=60°，∴CA=BA×tan60°=63，∴CD=43．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．22．（1）乙楼的高为BC为60米；（2）巨幅广告的宽度DE为（30-103）米．【分析】（1）在Rt△ABC中，由tan∠BAC=BCAB，得到BC的值．（2）在图中的两个直角三角形，Rt△ABE，Rt△DFC，利用45°，30°角的正切值，分别求出AE，DF的长，再得到DE的长度．【详解】（1）在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=BCAB，∴BC=AB·tan∠BAC=30×2 =60（米），答：乙楼的高为BC为60米．（2）如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，在Rt △ABE 中，∵∠AEB=90°-∠ABE=90°-45°=45°，∴∠AEB=∠ABE ，∴AE=AB=30 （米），在Rt △DFC 中，∵tan ∠FCD=DF CF ， ∴DF=CF·tan ∠FCD=30×33=103， ∴DE=AF-AE-DF=60-30-103=30-103（米），答：巨幅广告的宽度DE 为（30-103）米．【点睛】本题考查解直角三角形，以及仰角，俯角的定义，解题的关键是利用仰角，俯角构造直角三角形并解直角三角形．23．（1）17；（2）203417【分析】 （1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题． （2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题． 【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =，2234AE AD DE ∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆，GCD EAD ∴∠=∠，GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，∴118522AH ⨯⨯=，AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．24．（1）45°，；（2）①∴点C '到直线OB 的距离为2；点C '到直线AB 的距离为②4-4+5【分析】（1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可（2）①过点C '作C D OB '⊥，垂足为点D ，过点C '作C E AB '⊥，交BA 的延长线于点E ，连接AC '，解直角三角形求出C D '、C E '即可；②分三种情况：当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H ；当//P C AB ''时，过点P '作P H OB '⊥交BO 的延长线于点H ，交A C ''于T ；当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H 分别画出图形求解即可【详解】解：（1）在ABC 中，90ACB ∠=︒，2CA CB ==45B A ∴∠=∠=︒sin 2CA B AB == 点P 是AB 的中点12CP AB ∴==故答案为：45°，．（2）①过点C '作C D OB '⊥，垂足为点D ，过点C '作C E AB '⊥，交BA 的延长线于点E ，连接AC '，将ABC 绕点O 逆时针旋转α得到A B C '''，2224OC OC BC '∴===⨯=．在Rt OC D '△中，30O ∠=︒，114222C D OC ''∴==⨯=． ∴点C '到直线OB 的距离为2.2222421223OD OC C D ''=-=-==C D OB '⊥，90ACB ∠=︒，90C DB ACB '∴∠=∠=︒．//AC C D '∴．2C D '=，2AC =，C D AC '∴=．∴四边形C DCA '是平行四边形．423C A DC OC OD '∴==-=-，//C A DC '，45EAC B '∴∠=∠=︒．90904545EC A EAC ''∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．EAC EC A ''∴∠=∠．C E AE '∴=．在Rt AC E '△中，222C E AE C A ''+=，222C A C E ''∴=．()2242322622C E C A ''==-=-． ∴点C '到直线AB 的距离为226-．②如图：当//P C AC ''时，延长P C ''交OB 于H//AC P H '90OHC AOC '∴∠=∠=︒45OC H B C P ''''=∠=︒cos 4522OH OC '∴=⋅︒=422CH OC OH ∴=-=-∴点P '到直线AC 的距离为422-如图，当//P C AB ''时，过点P '作P H OB '⊥交BO 的延长线于点H ，交A C ''于T ，由题意可得四边形OHTC '是矩形，1OH C T '==145CH OC OH ∴=+=+=∴点P '到直线AC 的距离为5如图，当//P C BC ''时，延长B A ''交BO 于点H ，可得cos 4532OH OB '=⋅︒=324CH ∴=∴点P '到直线AC 的距离为432+综上所述，点P '到直线AC 的距离为422-432+5．【点睛】本题考查了作图—旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．25．96m【分析】在Rt △DCF 中利用DC 的坡度和CF 的长求得线段DF 的长，根据30A ∠=︒，求AE ，然后与AE 、EF 相加即可求得AD 的长．【详解】解：∵坝高BE ＝CF ＝30米，斜坡AB 的坡角∠A ＝30°，∴tan30°＝BE AE ，即303AE =， ∴AE ＝m ），∵斜坡CD 的坡度i ＝1：3，∴DF ＝3×30＝90（m ），∴AD ＝AE +EF +DF ＝＝（m ），答：坝底宽AD 的长约为149.96m ．【点睛】本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是理解掌握坡度、坡角的定义，能正确解直角三角形．26．（1）1-；（2）6．【分析】（1）先计算特殊角的正弦与正切值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得； （2）根据比例中项的定义列出式子计算即可得．【详解】（1）原式21212⨯+-= 113=+-1=-；（2）设线段a ，b 的比例中项为x ，则::a x x b =，4a =，9b =，4::9x x ∴=，解得6x =或6x =-（不符题意，舍去），即线段a ，b 的比例中项为6．【点睛】本题考查了特殊角的正弦与正切值、零指数幂、比例中项，熟记各定义和运算法则是解题关键．。

第一章直角三角形的边角关系一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝（）A．B．C．D．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；②tan12°•tan78°＝1；③在△ABC中，已知∠C＝90°，如果tan（90°﹣A）＝2，那么cot（90°﹣A）＝2；④若∠A为锐角，则0＜tan A＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，那么∠C的度数为（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB 上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m8．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．A．20 B．15 C．D．9．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝．12．已知α是锐角，且tanα＝1，则sinα+cosα＝．13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，则sin B＝．14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是．15．若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形有条对角线；用科学计算器计算：135×sin13°≈．（精确到0.1）16．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．三．解答题（共6小题）17．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M 与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．18．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐，cosα的值逐渐，tanα的值逐渐．（2）sin30°＝cos ，sin ＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝；（4）；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝．19．计算：sin45°+sin2α+cos2α+20．计算：2cos230°+﹣sin60°．21．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．22．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝（）A．B．C．D．【分析】如图，因为BC≥AC，只有BC边上的中线，满足条件，AD＝BC，设CD＝BD＝a．只要证明∠DAC＝30°即可解决问题；【解答】解：如图，∵BC≥AC，∴只有BC边上的中线，满足条件，AD＝BC，设CD＝BD＝a．则AD＝2a，CD＝a，AD＝2CD，∵∠C＝90°，∴∠DAC＝30°，∴AC＝a，∴tan B＝＝．故选：B．2．以下说法正确的是（）①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；②tan12°•tan78°＝1；③在△ABC中，已知∠C＝90°，如果tan（90°﹣A）＝2，那么cot（90°﹣A）＝2；④若∠A为锐角，则0＜tan A＜1．A．①②B．③④⑤C．①②③D．③④【分析】当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；一个角的正切值等于它的余角的余切值．【解答】解：①根据锐角三角函数的增减性，可知正确；②∵tan78°＝cot12°，∴tan12°•tan78°＝1．正确；③根据同角的正切和余切互为倒数．错误；④如tan60°＝＞1．错误．故选：A．3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α＝1，求出sinαcosα的值，解答即可．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，那么∠C的度数为（）A．75°B．90°C．105°D．120°【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sin A＝，tan B＝1，进而得出∠A＝30°，∠B＝45°，即可得出答案．【解答】解：∵|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，∴|sin A﹣|＝0，（1﹣tan B）2＝0，∴sin A＝，tan B＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：C．5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT【分析】本题要求熟练应用计算器．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB 上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）A．B．C．D．【分析】连结AD，如图，先利用勾股定理计算出BC＝10，再根据直角三角形斜边上的中线性质得DA＝DC＝5，则∠1＝∠C，接着根据圆周角定理得到点A、D在以MN为直径的圆上，所以∠1＝∠DMN，则∠C＝∠DMN，然后在Rt△ABC中利用正弦定义求∠C的正弦值即可得到sin∠DMN．【解答】解：连结AD，如图，∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，∵点D为边BC的中点，∴DA＝DC＝5，∴∠1＝∠C，∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，∴点A、D在以MN为直径的圆上，∴∠1＝∠DMN，∴∠C＝∠DMN，在Rt△ABC中，sin C＝＝＝，∴sin∠DMN＝，故选：A．7．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长春的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a…，已知冬至叫长春的正午光人射角∠ABC约为23°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（距BC的长）约为（）A．m B．a sin23°m C．m D．a tan23°m【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为：＝m，故选：C．8．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．A．20 B．15 C．D．【分析】延长DE交BC于H．解直角三角形求出BC＝AC＝30，再证明BH＝CH＝DH＝30，EH＝10，即可解决问题；【解答】解：延长DE交BC于H．由题意BH：EH＝3：1，在Rt△ABC中，AB＝60，∠BAC＝45°，∵BC＝AC＝60，∵AD＝DB，DH∥AC，∴BH＝CH＝30，∴DH＝AC＝30，∴EH＝10，DE＝30﹣10＝20，故选：A．9．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设CD＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．在Rt△CDG中，∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，∴四边形EGBM是矩形，∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝27°，∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．故选：B．10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题；【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2PA，∵PA＝AB•tan60°，∴PC＝2×20×＝40（海里），故选：D．二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝．【分析】由tan∠D＝＝可设AB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x，得出CD＝x，继而可得答案．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，∴设AB＝2x，AD＝3x，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝2x，则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，∴＝＝，故答案为：．12．已知α是锐角，且tanα＝1，则sinα+cosα＝．【分析】根据α是锐角，且tanα＝1，推出α＝45°即可解决问题．【解答】解：∵α是锐角，且tanα＝1，∴α＝45°，∴sinα+cosα＝+＝故答案为：13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，则sin B＝．【分析】根据勾股定理及三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，即＝，设CB＝2x，则AB＝3x，根据勾股定理可得：AC＝x．∴sin B＝＝＝．故答案为：．14．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出∠A，∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状．【解答】解：∵，∴tan B﹣＝0，2sin A﹣＝0．∴tan B＝，∠B＝60°；sin A＝，∠A＝60°．∴∠C＝60°∴△ABC的形状是等边三角形．15．若一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正多边形有35 条对角线；用科学计算器计算：135×sin13°≈83503.8 ．（精确到0.1）【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形，∴这个正多边形有＝35条对角线，135×sin13°≈83503.8，故答案为：35，83503.8．16．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°＞cos50°．【分析】先由互余两角的三角函数的关系得出cos50°＝sin40°，再根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大得出sin50°＞sin40°，从而得出结果．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．三．解答题（共6小题）17．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M 与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是垂直；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：CM＝m•tan；α的取值范围是0°＜α＜90°．【分析】（1）连接CD，OM．根据旋转的性质得出MC＝MD，OC＝OD，再证明△COM≌△DOM，得出∠COM＝∠DOM，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出CD⊥OM；（2）首先用含α的代数式表示∠COM，然后在Rt△COM中，根据正切函数的定义即可得出CM的长度；由OD与OM不能重合，且只能在OC右边，得出α的取值范围．【解答】解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC＝MD，OC＝OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM＝∠DOM，又∵OC＝OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM＝∠DOM，∴∠COM＝，在Rt△COM中，CM＝OC•tan∠COM＝m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．18．完成下列表格，并回答下列问题，（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°＝cos 60゜，sin 30゜＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝ 1 ；（4）30°；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝45°．【分析】根据特殊角的三角函数值填写即可；（1）根据锐角三角函数的增减性，同角三角函数的关系填写；（2）根据同角三角函数的关系解答；（3）根据同角三角函数的关系解答；（4）45°角的正弦和余弦相等．【解答】解：填表如下：（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐增大，cosα的值逐渐减少，tanα的值逐渐增大．（2）sin30°＝cos 60゜，sin 30゜＝cos60°；（3）sin230°+cos230°＝1；（4） 30°；（5）若sinα＝cosα，则锐角α＝45°．故答案为：增大，减少，增大．60゜，30゜；1；30°；45°．19．计算：sin45°+sin2α+cos2α+【分析】利用平方关系得到sin2α+cos2α＝1，再将特殊角的三角函数值代入，即可求出式子的值．【解答】解：原式＝×+1+﹣，＝1+1+1﹣1，＝2．20．计算：2cos230°+﹣sin60°．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算乘方，后算乘法，最后计算加减即可．【解答】解：原式＝2×（）2+﹣，＝+﹣，＝3﹣．21．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；（2）根据（1）中的关系可得出结论；（3）任选一个角验证（3）的结论即可；（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．22．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝AC sin C＝3、，再在△ABD 中根据AB＝3、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．【解答】解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AC＝5，，∴AD＝AC•sin C＝3．∴在Rt△ACD中，．∵AB＝，∴在Rt△ABD中，．∴BC＝BD+CD＝7．。

第一章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分) 1．sin30°的值为（ ） A.12 B.32 C.22 D.332．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝15，则tan A 的值为（ ） A.817 B.1517 C.815 D.158第2题图第3题图3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 4．在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，那么下列结论正确的是（ ） A ．sin A ＝32 B ．tan A ＝12 C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 3 5．若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是A （ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50° 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，AC ＝10，则S △ABC 等于（ ） A ．3 B ．300 C.503D ．1507．如图，沿AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，使A ，C ，E 在一条直线上，那么开挖点E 与D 的距离是（ ）A ．500sin55°米B ．500cos35°米C ．500cos55°米D ．500tan55°米第7题图第8题图第9题图8．如图，点P 在第二象限，OP 与x 轴负半轴的夹角是α，且OP ＝5，cos α＝35，则点P 的坐标是（ ）A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(－4，3)D ．(－3，5)9．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为（ ） A ．43米 B ．65米 C ．125米 D ．24米10．如图，直线y ＝34x ＋3与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，则cos ∠BAO 的值是（ ）A.45B.35C.43D.54第10题图第11题图11．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠B ＝3，则BD 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．3 2 D ．2 3 12．若锐角α满足cos α＜22且tan α＜3，则α的范围是（ ） A ．30°＜α＜45° B ．45°＜α＜60° C ．60°＜α＜90° D ．30°＜α＜60° 13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝35，则BC 的长是（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm第13题图14．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB .已知观测点C 到旗杆的距离CE ＝8m ，测得旗杆的顶部A 的仰角∠ECA ＝30°，旗杆底部B 的俯角∠ECB ＝45°，那么，旗杆AB 的高度是（ ）A ．(2＋83)mB ．(8＋83)mC.⎝⎛⎭⎫82＋833mD.⎝⎛⎭⎫8＋833m第14题图第15题图15．如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N 处，观测到灯塔P 在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)（ ）A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里 二、填空题(每小题5分，共25分) 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°.若AB ＝2，则cos B ＝ ，BC ＝ . 17．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝ .第17题图第18题图18．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为 m(结果保留根号)．19．齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB ，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1m ，则该车大灯照亮地面的宽度BC 是 m(不考虑其他因素，参考数据：sin8°≈750，tan8°≈17，sin10°≈950，tan 10°≈528)．第19题图第20题图20．如图，在正方形ABCD 外作等腰直角△CDE ，DE ＝CE ，连接BE ，则tan ∠EBC ＝.三、解答题(共80分)21．(8分)计算： (1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°；(2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.22．(8分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，求sin B 和tan B 的值．23．(10分)如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB 的高度，在操场的平地上选择一点C ，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D 处(C ，D ，B 三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A 的仰角为45°，请计算旗杆AB 的高度(结果保留根号)．24．(12分)在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°.若定义cot A ＝∠A 的邻边∠A 的对边＝ba ，则称它为锐角A 的余切，根据这个定义解答下列问题：(1)cot30°＝ ；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，求cot A 的值．25．(12分)在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A ，B 两个凉亭之间的距离．如图，现测得∠ABC ＝30°，∠BAC ＝15°，AC ＝200米，请计算A ，B 两个凉亭之间的距离(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)．26．(14分)如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．27．(16分)南海是我国的南大门，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，如图所示，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)?下册第一章检测卷1．A 2.D 3.C 4.D 5.A 6.D7.C8.B9．B10.A11.A12.B13.A14.D15．B解析：如图，过点P作P A⊥MN于点A.由题意，得MN＝30×2＝60(海里)．∵∠MNC＝90°，∠CNP ＝46°，∴∠MNP＝∠MNC＋∠CNP＝136°.∵∠BMP＝68°，∴∠PMN＝90°－∠BMP＝22°，∴∠MPN＝180°－∠PMN－∠PNM＝22°，∴∠PMN＝∠MPN，∴MN＝PN＝60海里．∵∠CNP＝46°，∴∠PNA＝44°，∴P A＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.16.323 17.1218.(103＋1) 19.1.420.13 解析：过点E 作EF ⊥BC 于点F .设DE ＝CE ＝a .∵△CDE 为等腰直角三角形，∴CD ＝2CE ＝2a ，∠DCE ＝45°.∵四边形ABCD 为正方形，∴CB ＝CD ＝2a ，∠BCD ＝90°，∴∠ECF ＝45°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴CF ＝EF ＝22CE ＝22a .∴BF ＝BC ＋CF ＝2a ＋22a ＝322a .在Rt △BEF 中，tan ∠EBF ＝EF BF ＝13，即tan ∠EBC ＝13.21．解：(1)原式＝3×33＋⎝⎛⎭⎫222－2×32＝3＋12－3＝12；(4分)(2)原式＝(3)2－2×22＋12＝3－2＋12＝72－ 2.(8分) 22．解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝132－52＝12.(4分)∴sin B ＝AC AB ＝1213，(6分)tan B＝AC BC ＝125.(8分) 23．解：由题意可得CD ＝16米．∵AB ＝CB ·tan30°，AB ＝BD ·tan45°，∴CB ·tan30°＝BD ·tan45°，(4分)∴(CD ＋DB )×33＝BD ×1，∴BD ＝(83＋8)米．(7分)∴AB ＝BD ·tan45°＝(83＋8)米．(9分) 答：旗杆AB 的高度是(83＋8)米．(10分) 24．解：(1)3(4分)(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵tan A ＝BC AC ＝34，∴可设BC ＝3k ，则AC ＝4k ，(8分)∴cot A ＝AC BC ＝4k 3k ＝43.(12分)25．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 延长线于点D .(2分)∵∠B ＝30°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAC ＝15°，∴∠CAD ＝45°.(5分)在Rt △ACD 中，∵AC ＝200米，∴AD ＝AC ·cos ∠CAD ＝200×22＝1002(米)，(8分)∴AB ＝AD sin B ＝100212＝2002≈283(米)．(11分) 答：A ，B 两个凉亭之间的距离约为283米．(12分)26．解：(1)如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E .∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°.(2分)在Rt △ACE 中，∵CE ＝AC ·cos C ＝2×22＝1，∴AE ＝CE ＝1.(4分)在Rt △ABE 中，∵tan B ＝13，∴AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3，∴BC ＝BE ＋CE ＝4；(7分)(2)由(1)可知BC ＝4，CE ＝1.∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1.(9分)∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ＝1，∴∠ADC ＝45°，(12分)∴sin ∠ADC ＝22.(14分) 27．解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D .由题意得∠BAC ＝75°－30°＝45°，AB ＝20海里．(3分)在Rt △ABD 中，∵∠BAD ＝∠ABD ＝45°，∴BD ＝AD ＝22AB ＝22×20＝102(海里)．(7分)在Rt △BCD 中，∵∠C ＝90°－75°＝15°，∠CBD ＝90°－∠C ＝75°，tan ∠CBD ＝CDBD ，∴CD ＝BD ·tan75°≈102×3.732≈52.8(海里)，(11分)∴AC＝AD ＋DC ＝102＋52.8≈67(海里)．(15分)答：我国海监执法船在前往监视巡查点的过程中约行驶了约67海里．(16分)。

九年级下《直角三角形的边角关系》单元测试(一)含答案(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级下《直角三角形的边角关系》单元测试(一)含答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级下《直角三角形的边角关系》单元测试(一)含答案(word版可编辑修改)的全部内容。

单元测试(一)直角三角形的边角关系（时间：45分钟满分:100分）题号一二三总分合分人复分人得分一、选择题(每小题3分，共24分)1．2cos45°的值等于( ）A.错误!B.错误! C。

错误! D．2错误!2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°,BC＝6，AC＝8,则sinA的值为( )A。

错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!3．(广东中考)如图,在平面直角坐标系中，点A坐标为(4，3)，那么cosα的值是（）A。

错误! B。

错误! C.错误! D.错误!4．如图,Rt△ABC中,∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是（）A．BC＝错误! B．CD＝ADtanαC．BD＝ABcosα D．AC＝ADcosα5．在△ABC中,若｜sinA－错误!|＋（错误!－tanB)2＝0，则∠C的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于( ）A．1 B.错误! C.错误! D.错误!7．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为( ）A．50错误!米 B．100错误!米 C。

直角三角形的边角关系测试题一、选择题(每小题2分,共计24分):1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A ．sin a c B = B ．cos a b B = C ．tan c a B = D ．tan a b A =2. 已知△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且（cosA-12 ）2+|tanB-3 |=0，你认为最确切的判断是( )A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是等边三角形 3.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=12，则sinB 等于( ) A 、15 B 、15 5 C 、25 5 D 、24. 当锐角A 的cosA ＞22时，∠A 的值为（ ）。

A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°5.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（ ） A. 22 B.22C. 2D. 16.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（ ）A ．53B ．54C ．34D ．437.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．54 D ．538．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于 （ ）A ．100 mB ．350mC ．250mD ．50（13+）m9.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）5题 6题7题 8题A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500tan35°米10.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）。

直角三角形的边角关系 测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图 第12题图 第13题图 第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)． 答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)． 答：乙船每小时航行203海里.。

第一章《直角三角形的边角关系》检测一、填空题（每题2分，共24分）1.计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°=_______.2.已知角α为锐角，且53sin =α，则αcos ＝ . 3.在△ABC 中，若AC，BC，AB =3，则cos A = . 4.已知A 是锐角，且sin A =13，则cos （90°－A ）＝___________． 5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，已知sin A =35,则cos B =_______. 6.用科学计算器或数学用表求：如图1，有甲、乙两楼，甲楼高AD 是23米，现在想测量乙楼CB 的高度.某人在甲楼的楼底A 和楼顶D ，分别测得乙楼的楼顶B 的仰角为65°13′和45°，处用这些数据可求得乙楼的高度为 米（结果精确到0.01米）. 注：用数学用表求解时，可参照下面正切．．表的相关部分.7.已知36α∠=︒，若β∠是α∠的余角，则β∠= 度，sin β=____（结果保留四个有效数字）.8.如图2青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为A D CB图145° 65°13′（甲楼） （乙楼）图230°30′.因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为_____米，才能保证不挡光（sin30°30′=0.5075,tan30°30′=0.5890,结果保留四个有效数字）. 9.如图3，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是__________米.10.在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝________________(用b 和θ的三角比表示)．11.某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了_______米．12.如图4，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m(精确到0.1m).二、选择题（每题2分，共24分） 13.2sin450的值等于（ ）A.1D.2, 14.在△ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则con B 等于（）B.3 C.23 D.2115.在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是（ ）A ．135 B ．1312 C ．125 D ．51216.已知α为锐角，tan （90°－α），则α的度数为（ ）图3图4A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°17.如图5，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约为（ ） A ．5.2 m B ．6.8 m C ．9.4 m D ．17.2 m18.如图6，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） A.1 B.2 C.22D.22 19.在ΔABC 中，∠C ＝90°，sin A =35，则cos A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．34 D ．4320.如图7，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）．A ．a ·sinαB ．a ·cosαC ．a ·tanαD ．a ·cotα21.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A=2，则的值为（ ）A ..12D.122.如图8，△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，CA =4，那么sin A 等于（ ）ACB图8图5图7 a B AC图6A.34 B.43 C.35 D.4523.如图9在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α，AB = 4, 则AD的长为（ ） A.3 B.316 C.320 D.51624.某市在“旧城改造”中计划在一块如图10所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ） A.450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元三、解答题（第25题2分，其余每题5分，共52分）25.计算：︒⋅︒-︒60tan 45cos 30sin 2．26.在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A =12,tan B,AB =10,求△ABC 的面积.A BCDE图9︒15020米30米图1027.如图11，从一块矩形薄板ABCD 上裁下一个工件GEHCPD （阴影部分）. 图中EF //BC ，GH //AB ，∠AEG =11°18′，∠PCF =33°42′，AG =2cm ，FC =6cm. 求工件GEHCPD 的面积.（参考数据：322433tan ,518111tan ≈'︒≈'︒）28.如图12将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD ，试求ADB ∠的余切值.CABD图12DBAC图11FH29.如图13，沿AC 的方向修建高速公路，为了加快工程进度，要在小山的两边同时施工．在AC 上取一点B ，在AC 外另取一点D ，使∠ABD ＝130°，BD ＝480 m ，∠BDE ＝40°，问开挖点E 离D 多远，才能使A 、C 、E 在一条直线上（sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，精确到0.1m ）.30.如图14，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1 i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）.图14D CBA图1331.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图15－①所示）：(1)在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图15－②）的方案：(1)在图15－②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）；(2)写出你设计的方案.①NM②图1532.如图16，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC ＝45°，DC ＝6，求∠BAD 正切值.33.如图17，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD )方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？ABCD 图16图17图1834.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图18），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ （结果保留整数，参考数据：53106sin 32,cos32,tan 321001258≈≈≈鞍?35.为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？参考答案一、1.0；2.54； 4.31；5.35；6.42.73；7.54、0.8090；8.33.96或33.95；9.βαcot cot -s；10.b ·cot θ；11.10；12.2.3.二、13，B ；14，C ；15，C ；16，C ，17，A ；18，B ；19，A ；20，C ；21，B ；22，C ；23，B ；24，C . 三、25，4621-；26，3225；27，48； 28，过点A 作DB 的延长线的垂线AE ，垂足为E .cot 1)1DE ADB EA ∠===+ 29, 367.7ｍ；30，∠A =22°1′ AB =37.8米； 31，（1）图略；（2）①在测点A 处安置测倾器，测得此时M 的仰角，∠MCE ＝α；②在测点A 与小山之间的B 出安置测倾器（A 、B 与N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角∠MDE ＝β；③量出测倾器的高度AC ＝BD ＝h ，以及测点A 、B 之间的距离AB ＝m .根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN.；32，过D 点作，交AB 于E 点，所以tan=∠BAD ＝6515427DE AE =⨯=； 33，过点B 作BM ⊥AH 于M ，∴BM ∥AF .∴∠ABM =∠BAF =30°.在△BAM 中，AM =12,AB =5，BM 过点C 作CN ⊥AH 于N ，交BD 于K .,在Rt △BCK 中，∠CBK =90°－60°=30°,设CK =x ，11 则BKx , Rt △ACN ∠CAN =90°-45°=45°，AN =NC .∴AM +MN =CK +KN .又NM =BK ，BM =KN .即xx .解得x =5.∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险；34，（1）如图设CE=x 米，则AF =（20-x ）米，tan 32,AF EF?即20-x =15tan 32,11x ≈° ∵11＞6， ∴居民住房的采光有影响.（2）如图：sin 32,ABBF ?820325BF =⨯=，两楼应相距32米；35，可求出AB = 43米，因为8＞43，所以距离B 点8米远的保护物不在危险区内.。

第一章回顾与思考1、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ） A 030 B 060 C 090 D 01202、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ）A 090 B 060 C 075 D01053、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53c o s =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5164、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（ ）． （A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=α º． 6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米． 7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含α的三角比表示）．9、在Rt ABC ∆中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ∆沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于 度．10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到，A ︒=∠30AC = 40米，αPoyx34ABCDE︒555.8m10mBC = 25米，请你求出这块花圃的面积.12、如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为︒30的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是︒15，求热气球升空点A 与着火点B 的距离．13、如图，一勘测人员从B 点出发，沿坡角为︒15的坡面以5千米/时的速度行至D 点，用了12分钟，然后沿坡角为︒20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点，用了10分钟.求山高（即AC 的长度）及A 、B 两点的水平距离（即BC 的长度）（精确到0.01千米）.14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。

一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕直角边AC 的中点O 旋转，得到DEF ，连接AD ，若DE 恰好经过点C ，且DE 交AB 于点G ，则tan DAG ∠的值为（ ）A ．524B ．513C ．512D ．7242．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（ ）A ．sin c bB =⋅ B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B =⋅ 3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）A ．34B ．43 C ．35D ．45 4．在Rt ABC 中，90,3,2C BC AC ∠=︒==，则sin A 的值为（ ）A ．32B ．23C ．21313D ．31313 5．在Rt ABC 中，90,2,6C AC AB ∠=︒==，则下列结论正确的是（ ） A ．1sin 3A = B ．2cos 4B = C ．tan 22A = D ．22tan 3B = 6．如图，边长为23的等边三角形AOB 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点C 为AOB 的中心，将AOB 绕点O 以每秒60︒的速度逆时针旋转，则第2021秒，AOB 的中心C 的对应点2021C 的坐标为（ ）A ．()0,2-B ．()3,1-C ．()1,3D ．()1,3- 7．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ）A ．5B ．2C ．3D ．128．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3=，则tan CAD ∠的值是（ ）A 3B 3C ．13D ．15 9．在ABC 中，90C ∠=︒，tan 2A =，则sin A 的值是（ ） A ．23 B ．13 C 25 D 5 10．如图，在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则BAC ∠的正弦值是（ ）A ．12B ．55C ．255D ．无法确定 11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若1cos 2B =，则sin A 的值为（ ） A ．1 B ．12 C ．32 D ．3312．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，若5AC =，BC=2，则sin ∠A 的值为（ ）A ．5B ．5C ．23D ．25 二、填空题13．江堤的横断面如图，堤高BC 10=米，迎水坡AB 的坡比是1:3，则堤脚AC 的长是______．14．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数()0k y x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点'C 的坐标为()()1,1n n ≠，若OAB 的面积为4．则下列结论：①2n =；②4k =；③不等式k x x <的解集是2x >；④tan 2ABO ，其中正确结论的序号是________．15．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 是AC 边上的中线，则tan ADB ∠的值是______．16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝9，AC ＝6，则cos ∠DCB ＝________________ ．17．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC ＝6cm ，则AB 的长为_____．18．如图，在菱形ABCD 中，4AB =，45ABC ∠=︒，菱形ABCD 的对角线交于点O ，则ABO 的面积为__________．19．在菱形ABCD 中，AB=4cm ，AB=BD ，则菱形ABCD 的面积是______．20．2sin30°+tan60°×tan30°＝_____．三、解答题21．如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45︒，然后沿坡面CF 上行了205米（即205CD =米）到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7︒．（参考数据：sin26.70.45︒≈，cos26.70.89︒≈，tan26.70.50︒≈）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度． 22．如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点,,A D G 在同一直线上，且5,3AD DE ==，连接,,AC CG AE ，并延长AE 交CG 于点H ．（1）求sin EAC ∠的值．（2）求线段AH 的长．23．如图，建设“五化东安”，打造“绿色发展样板城市”．在数学课外实践活动中，小薇在紫水河北岸的自行车绿化道AC 上，在A 处测得对岸的吴公塔D 位于南偏东60°方向，往东走300米到达B 处，测得对岸的吴公塔D 位于南偏东30°方向．（1）求吴公塔D 到紫水河北岸AC 的距离约为多少米？（精确到13≈1.73）（2）小薇继续向东走到轮船码头C 处，测得对岸的吴公塔D 位于西南方向．已知小薇的平均速度为每小时5千米，小薇从B 处到轮船码头大约几分钟？（精确到1分钟） 24．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB 上方150米的点C 处悬停，此时测得桥两端,A B 两点的俯角分别为65°和45°，求桥AB 的长度．（参考数据：sin650.91︒≈，cos650.42︒≈，tan65 2.14︒≈；结果精确到0.1米）25．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头海岸AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 处正东方向距离A 处50米的C 处测得轮船M 在北偏东37︒方向上．（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果保留整数米）（2）如果轮船M 沿着南偏东22︒的方向就行，那么该轮船能否行至码头海岸AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈）26．（1）计算：230360245sin tan cos ︒+-︒．（2）已知32a b =，求22a b a b -+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OG ，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG ，CD ，AD 的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【详解】解：连接OG ，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴222243AC BC+=+，∵点O是AC边的中点，∴OC=OA=OD=12AC=2，∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°，∴AG=CG，∴OG⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC=35BCAB=，cos∠BAC=45ACAB=，∴sin∠OCG=35，cos∠OCG=45，在Rt△OCG中，CG=5 cos2OCOCG=∠，在Rt△ACD中，CD=AC•cos∠OCG=165，AD=AC•sin∠OCG=125，∴DG=CD-CG=165-52=710，∴tan∠DAG=771012245DGAD==．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据∠B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．【详解】解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=b c ， ∴c=sin b B，A 选项等式不成立； ∵cosB=a c ， ∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ， ∴a=tan b B，C 选项等式不成立； ∵tanB=b a ， ∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键． 3．C解析：C【分析】将α∠转换成β∠去计算正弦值．【详解】解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，∴5AC =，则3sin sin 5BC AC αβ===． 故选：C ．【点睛】本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．4．D解析：D【分析】根据勾股定理求出斜边AB ，再根据锐角三角函数的意义求出结果即可；【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得，AB ==∴sinBC A AB === 故答案选D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确计算是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据勾股定理求出BC =【详解】∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，6AB =， ∴BC =∴sin 63BC A AB ===，故A 错误；cos sin B A ==，故B 错误；tan ===BC A AC C 正确；tan===AC B BC ，故D 错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．6．B解析：B【分析】通过计算画出第2021秒，AOB 的位置，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解．【详解】∵360°÷60°=6，∴AOB 的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，∴第2021秒，AOB 的位置如图所示，设点C 的对应点C′，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，OD=DB=3， ∴DC′=OD∙tan ∠DOC′=3×tan30°=3×33=1， ∴C′()3,1-． 故选B ．【点睛】本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．7．A解析：A【分析】求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值． 【详解】解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =，∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5BC A AB ===， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．8．D解析：D【分析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：12CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值．解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵5tanB 3=，即53AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，∴△CDE ∽△BDA ， ∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝15CE AE =． 故选：D ．【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．9．C解析：C【分析】由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，可得AC=x ，Rt △ABC 中利用勾股定理算出5x ，然后利用三角函数在直角三角形中的定义，可算出sinA 的值．【详解】解：由tanA=BC AC=2，设BC=2x ，则AC=x ， ∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴根据勾股定理，得()222225BC AC x x x +=+=， 因此，sinA=255BC AB x== 故选：C ．本题已知正切值，求同角的正弦值．着重考查了勾股定理、三角函数的定义等知识，属于基础题．10．B解析：B【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC 的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：2223425AB =+=，2222420AC =+=，222125BC =+=，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴为直角三角形，且90ACB ∠=︒，则sin BC BAC AB ∠==， 故选：B ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键． 11．B解析：B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin （90°-α）=cosα，cos （90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sinA= cosB=12， 故选：B ．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB 是解题的关键． 12．C解析：C【分析】先利用勾股定理求出AB 的长，然后再求sin ∠A 的大小．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，AC =BC=2∴3=∴sin ∠A=23BC AB = 故选：C ．【点睛】 本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．米【分析】在Rt △ABC 中已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值据此即可求解【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1：解得：AC=BC=10（米）故答案为：10米【点睛】本题考查了解直解析：【分析】在Rt △ABC 中，已知了坡面AB 的坡比是铅直高度BC 和水平宽度AC 的比值，据此即可求解．【详解】解：根据题意得：BC ：AC=1解得：故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，理解坡度坡角定义是关键． 14．②④【分析】根据对称性求出C 点坐标进而得OA 与AB 的长度再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n 进而用待定系数法求得k 再利用相关性质即可判断【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C 的坐标为（1n ） 解析：②④【分析】根据对称性求出C 点坐标，进而得OA 与AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n ，进而用待定系数法求得k ，再利用相关性质即可判断．【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C'的坐标为（1，n ）（n≠1），∴C （n ，1），∴OA=n ，AC=1，∴AB=2AC=2，∵△OAB 的面积为4，2解得，n=4，故①不正确；∴C（4，1），B（4，1），∴k=4×1=4，故②正确；解方程组4y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩，得：22xy=⎧⎨=⎩(负值已舍)，∴直线y=x反比例函数(0)ky xx=>的图象的交点为（2，2），观察图象，不等式kxx<的解集是02x<<，故③不正确；∵B（4，1），∴OA=4，AB=2，∴tan ABO2OAAB∠==，故④正确；故答案为：②④．【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，正切函数等，关键是根据对称求得C点坐标及由三角形的面积列出方程．15．2【分析】由题意得到则结合角的正切值即可得到答案【详解】解：∵是边上的中线∴∴∵∴∵在中∴；故答案为：2【点睛】本题考查了求角的正切值三角形中线的性质解题的关键是掌握三角形中线的性质正确得到解析：2【分析】由题意，得到12AD AC=，则2ACAD=，结合角的正切值tanABADBAD∠=，即可得到答案．【详解】解：∵BD是AC边上的中线，∴12AD AC=，AD∵AB AC =， ∴2AB AD=， ∵在Rt ABD 中，90A ∠=︒， ∴tan 2AB ADB AD ∠==； 故答案为：2．【点睛】本题考查了求角的正切值，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质，正确得到2AB AD=． 16．【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB 然后根据余弦的定义求出cosA 即可【详解】解：在Rt △ABC 中∵CD ⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°∵∠ACB ＝90°∴∠A+∠B=90°∴∠A=∠DCB 而 解析：23【分析】首先利用等角的余角得到∠A=∠DCB ，然后根据余弦的定义求出cosA 即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB+∠B=90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB ，而cosA=AC AB ＝69=23， ∴cos ∠DCB=23． 故答案为：23． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的邻边a 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．17．【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB 根据∠B ＝45°得CD ＝BD 根据勾股定理和BC ＝得出BD 再根据∠A ＝30°得出AD 进而分析计算得出AB 即可【详解】解；过点C 作CD ⊥AB 交AB 于D ∵∠B ＝45°∴C 解析：33+【分析】根据题意过点C 作CD ⊥AB ，根据∠B ＝45°，得CD ＝BD ，根据勾股定理和BC ＝6得出BD ，再根据∠A ＝30°，得出AD ，进而分析计算得出AB 即可．【详解】解；过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于D ．∵∠B ＝45°，∴CD ＝BD ，∵BC 6，∴BD 3∵∠A ＝30°， ∴tan30°＝CD AD， ∴AD ＝30CD tan ︒33＝3， ∴AB ＝AD+BD ＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．18．【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E 则由题意可得AE 的值进一步可求得△ABO 的面积【详解】解：如图过A 作AE ⊥BC 于点E ∵AB=4∠ABC=45°∴AE=AB=∴故答案为【点睛】本题考查菱形性质和解直角三解析：2【分析】过A 作AE ⊥BC 于点E ，则由题意可得AE 的值，进一步可求得△ABO 的面积．【详解】解：如图，过A 作AE ⊥BC 于点E ，∵AB=4，∠ABC=45°，∴AE=AB sin 45︒=24222⨯= ∴1111·422222224ABO ABC S S BC AE ==⨯=⨯⨯= 故答案为22 ．【点睛】 本题考查菱形性质和解直角三角形的综合应用，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 19．【分析】根据菱形的性质结合AB=BD 得到△ABD 是等边三角形再利用锐角三角函数关系得出BE 的长即可得出菱形的面积【详解】∵在菱形ABCD 中AB=BD ∴AB=AD=BD=4(cm)∴△ABD 是等边三角解析：283cm【分析】根据菱形的性质结合AB=BD ，得到△ABD 是等边三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE 的长，即可得出菱形的面积．．【详解】∵在菱形ABCD 中，AB=BD ，∴AB=AD=BD=4(cm)，∴△ABD 是等边三角形，∴∠A=60°，过点B 作BE ⊥AD 于E ，∴BE=AB•sin60°=433=， ∴菱形ABCD 的面积S=AD×BE 42383=⨯=(2cm )，故答案为：283cm【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，得出BE 的长是解题关键．20．2【分析】特殊值：sin30°=tan60°=tan30°=本题是特殊角将特殊角的三角函数值代入求解【详解】解：2sin30°+tan60°×tan30°=2×+×=1+1=2【点睛】本题考查了特殊解析：2【分析】特殊值：sin 30° =12，ta n 60°ta n 30°本题是特殊角，将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：2sin30°+ta n60°×ta n30°=2×123=1+1=2【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．三、解答题21．（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD == = 解方程可得答案； （2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+， 设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH ∠=︒ 建立方程，再解方程检验即可得到答案．【详解】解：（1） CF 的坡度1:2i =，,DE CE ⊥1,2DE CE ∴= 设,DE x = 则2,CE x =,CD ∴===20,x ∴=240.CE x ∴==（2）如图，过D 作DH AB ⊥于,H,,DE BE AB BE ⊥⊥∴ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC ∴====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE ∠=︒⊥，45,ACB BAC ∴∠=∠=︒,BC AB m ∴==20,40,AH m DH m ∴=-=+由26.7,ADH ∠=︒tan 26.7,AH DH ∴︒=200.5,40m m -∴=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键．22．（1）1717；（2）3417【分析】 （1）作EM AC ⊥于M ，根据sin EM EAM AE∠=求出EM 、AE 即可解决问题． （2）先证明GDC EDA ∆≅∆，得GCD EAD ∠=∠，推出AH GC ⊥，再根据1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅，即可解决问题． 【详解】解：（1）作EM AC ⊥于M ．四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，5AD DC ，45DCA ∠=︒，∴在RT ADE ∆中，90ADE ∠=︒，5AD =，3DE =， 2234AE AD DE∴=+=，在RT EMC ∆中，90EMC ∠=︒，45ECM ∠=︒，2EC =，2EM CM ∴==， ∴在RT AEM ∆中，217sin 34EM EAC AE ∠===．（2）在GDC ∆和EDA ∆中，DG DE GDC EDA DC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GDC EDA ∴∆≅∆， GCD EAD ∴∠=∠，34GC AE =90DAE AED ∠+∠=︒，DEA CEH ∠=∠，90DCG HEC ∴∠+∠=︒，90EHC ∴∠=︒，AH GC ∴⊥，1122AGC S AG DC GC AH ∆=⋅⋅=⋅⋅， ∴11853422AH ⨯⨯=， 2034AH ∴=【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．23．（1）260，（2）5；【分析】（1）如图，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．设DH=x 米，通过解直角三角形列方程，得到DH 的长度．（2）求出BC 长，再求时间即可．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于点H ．由题意可知，∠HBD＝60°，∠DAC＝30°，AB＝300，设DH=x米，在直角△BHD中，tan60°＝DH BH，BH= 3x，tan30°＝DH AH，AH=3x，300=3x-3x，解得，x=1503，∴DH＝1503≈150×1.73≈260．答：求吴公塔D到紫水河北岸AC的距离约为260米．（2）由（1）可知，BH=150米，小薇继续向东走到轮船码头C处，测得对岸的吴公塔D位于西南方向，可知DH=HC=260米，BC=150+260=410（米），410米=0.41千米，小薇从B处到轮船码头的时间为0.410.0825（小时），0.082×60=4.92≈5（分钟），小薇从B处到轮船码头的时间为5分钟．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是构造直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．24．1米【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠CAD=∠MCA=65°，∠CBD=∠NCB=45°，利用角的三角函数求解即可．【详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，由题意得65MCA A ∠=∠=︒，45NCB B ∠=∠=︒，150CD =（米），在Rt ACD ∆中，015070.1tan 65 2.14CD AD ==≈（米）， 在Rt BCD ∆中，45CBD ∠=︒， ∴150BD CD ==（米）∴70.1150220.1AB AD BD =+=+=（米）答：桥AB 的长度约为220.1米．【点睛】本题考查了三角函数的运算，构造直角三角形，利用解直角三角形求边是解题的关键． 25．（1）轮船M 到海岸线l 的距离为200米；（2）该轮船能行至码头海岸AB 靠岸【分析】（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，解直角三角形即可得到结论； （2）作∠DMF=22°，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，∵在Rt △CDM 中，CD=DM•tan ∠CMD=x•tan37°，又∵在Rt △ADM 中，∠MAC=45°，∴AD=DM ，∵AD=AC+CD=50+x•tan37°，∴50+x•tan37°=x ，∴50502001tan 3710.75x ︒=≈=--， 答：轮船M 到海岸线l 的距离约为200米；（2）作∠DMF=22°，交l 于点F ，在Rt △DMF 中，DF=DM•tan ∠FMD=DM•tan22°≈200×0.40=80（米），∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈200+80=280＜300，所以该轮船能行至码头AB 靠岸．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．26．（1）3；（2）47【分析】（1）将这些特殊角的三角函数值代入求解即可；（2）将比例式转换为等积式后得到a 、b 之间的关系，然后求得两个的比值即可．【详解】（1）23060245sin cos ︒+-︒1222=⨯+ 131=+-3=；（2）设32a x b x ==，，则26242347a b x x a b x x --==++. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，比例的基本性质以及实数的运算，解题的关键是熟记这些特殊角的三角函数值．。

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。