记作： A B (或B A) 读作：A 含于 B(或 B 包含 A).
如果 A B,但存在 x∈B,且 xA,我们就说这两个集合有真包含关系，称集合 A 是集合
B 的真子集,记作 A B(或 B A). ②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等.
问题3：与实数中的结论“若 a b, 且b a, 则a b
4.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组
2x 3x
- 3y 14, 2y 8 的解集;
(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
(4)所有正方形;
(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.
解：
(1){(4,-2)}; (2){x|x=3k+2,k∈N且x<1000}; (3){(x,y)|x<0且y>0}; (4){正方形}; (5){(x,y)|x<-1或x>１}.
A={ 2 , 2 }.
(2)设大于 10 小于 20 的整数为 x,它满足条件 x∈Z,且 10<x<20,因此,用描述法表示为 B={x∈Z|10<x<20}.
大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,用列举法表示为
B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
集合之间也可以相加,也可以进行运算,但是为了不和实数的运算相混淆,规定这种运算 不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合 C 叫集合 A 与 B 的并集.记为 A∪B=C,读作 A 并 B.
（1）文字语言:所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成了集合 C. (2) 数学符号:C={x|x∈A,或 x∈B}. (3) Venn 图:
合,B 表示重量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.已知集合 A、B、C 均不是空集.
(1) 下列包含关系：A B；B A；A C；C A 中成立的是？
(2)试用 Venn 图表示集合 A、B、C 间的关系.
解：(1)包含关系成立的有:B A,C A.
(2)集合 A、B、C 间的关系用 Venn 图表示,如图所示.
(3)设 C {x | x是两条边相等的三角形}, D {x | x是等腰三角形}; (4) E {2, 4, 6}, F {6, 4, 2}
通过对比得到：两个集合之间的关系:包含关系与相等关系。
1、集合间的基本关系：
①一般地，对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我 们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为 B 的子集.
例2.写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.
解：集合{a,b}的所有子集为 ,{a},{b},{a,b}.真子集为 ,{a},{b}.
例 3.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B A,则实数 m=_______.
解：∵B A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或 m2=2m-1.解得 m=1.∴m=1.
方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方 形”组成的集合等等.
3．元素与集合的关系
“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.
4．集合元素的性质 （1）确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这 个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属 于这个集合,要么不属于这个集合 （2）互异性:一个给定集合的元素是互不相同的, 即集合中的元素是不重复出现的
[变式演练，深化提高] 1.已知集合 M={x|2-x<0},集合 N={x|ax=1},若 N M,求实数 a 的取值范围.
解：由题意得 M={x|x>2}≠ ,则 N= 或 N≠ . 当 N= 时,关于 x 的方程 ax=1 中无解,则有 a=0; 当 N≠ 时,关于 x 的方程 ax=1 中有解,则 a≠0,此时 x= 1 ,又∵N
{a,b,c}有 8 个子集. (2)由(1)可得:当 n=0 时,有 1=20 个子集;
当 n=1 时,集合 M 有 2=21 个子集; 当 n=2 时,集合 M 有 4=22 个子集; 当 n=3 时,集合 M 有 8=23 个子集;
因此含有 n 个元素的集合 M 有 2n 个子集.
3 已知集合 A {2,3,7},且 A 中至多有一个奇数,则这样的集合 A ( )
请同学们想一想 (1)本节课我们学习过哪些知识内容? (2)你认为学习集合有什么意义？ (3)选择集合的表示法时应注意些什么?
[作业精选，巩固提高] 1.课本P11习题1.1A组4. 2.元素、集合间有何种关系？如何用符号表示？
类似地集合与集合间的关系又如何？ 如何表示？请同学们通过预习课本来解答.
集合也可以“相加”
问题:2：请同学们考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗? (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}; (2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},C={x|x是实数}.
集合C是由集合A与集合B“相加”
1、集合的并集
a 1 >2. a ∴0<a< 1 .
2 综上所得,实数 a 的取值范围是 a=0 或 0<a< 1 ,
2
即实数 a 的取值范围是{a|0≤a< 1 }
2
M,∴ 1 ∈M.∴ a
2.(1)分别写出下列集合的子集及其个数: ,{a},{a,b},{a,b,c}.
(2)由(1)你发现集合 M 中含有 n 个元素,则集合 M 有多少个子集？
描述法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范 围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所 含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简 写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可 以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
问题2：集合应当如何表示呢？元素与集合是什么样 的关系？
2.集合的表示：
方法一(字母表示法):大写的英文字母表示集合, 集合常用大写字 母A,B,C,D,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示. 国际标准化组 织(ISO)制定了常用数集的记法: 自 然 数 集 ( 包 含 零 ):N, 正 整 数 集 :N*(N+), 整 数 集 :Z, 有 理 数 集 :Q, 实 数 集:R.
例1.下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y= 1 图像上所有的点
x
答案：B
例2.用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)由1~20以内的所有质数组成的集合.
问题1：实数有相等、大小的关系,如5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关系,你会想到集合 之间有什么关系吗？
问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合
.
间有什么关系吗？
（1）A {1, 2,3}, B {1, 2,3, 4,5}
（2）设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组
成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
答案： (1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示 为{-3,-2,-1,0,1,2,3}. (2){x|x=3n,n∈Z}. (3)∵x=|x|,∴x≥0. ∵x∈Z且x<5, {x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为 {0,1,2,3,4}. (4){-2}. (5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.6 个
答案：D
4 已知集合 P={1,2},那么满足 Q P 的集合 Q 的个数是(
A.4
B.3
C.2
) D.1
答案：A
作业精选 课本习题1.1A组5.
问题1：实数有加法运算,两个实数可以相加,例如5+3=8.类比实数的加法运算,集 合是否也可以“相加”呢?
（1）不能.因为方程 x2+1=0 没有实数解.
（2）一个集合没有任何元素，定义为空集。空集记为 ,并规定:空集是任何集合的子
集,即 A;空集是任何非空集合的真子集,即 A(A≠ ).
[运用规律，解决问题] 例 1.某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用 A 表示合格产品的集
（3）无序性:集合中的元素是没有顺序的 （4）集合相等：如果两个集合中的元素完全相同 ,那么这两个集合是相等的.
问题4： (1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合A”. (2)你能写出不等式2-x>3的所有解吗？怎样表示这个不等 式的解集？
列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合, 这种表示集合的方法叫做列举法;
变式1. 下列所给对象不能构成集合的是( ) A.一个平面内的所有点 B.所有大于零的正数 C.某校高一(4)班的高个子学生 D.某一天到商场买过货物的顾客
答案：C
2.用另一种形式表示下列集合: (1){绝对值不大于3的整数}; (2){所有被3整除的数}; (3){x|x=|x|,x∈Z且x<5}; (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}; (5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的 取值范围.
