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第二章 电磁场的基本规律2

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电磁场与电磁波第二章电磁场的基本规律笔记

电磁场与电磁波第二章电磁场的基本规律笔记

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1.1 电磁场的概念。

电磁场与电磁波第二章电磁场的基本规律讲解

电磁场与电磁波第二章电磁场的基本规律讲解
第二章 电磁场的基本规律
• §2.1 电荷和电场 • §2.2 电流和磁场 • §2.3 真空中的麦克斯韦方程组 • §2.4 媒质的电磁性质 • §2.5 媒质中的麦克斯韦方程组 • §2.6 电磁场边值条件 • §2.7 电磁场能量和能流
§2.1 电荷与电场
1. 电荷是什么东西？
摩擦起电 与绸缎摩擦过的玻璃棒能吸引小纸屑； 与皮毛摩擦过的橡胶棒也能吸引纸屑。
例题 无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上 的面电荷密度为±σf ，求电场和极化电荷分布。 解：根据边界条件
在导体与电介质的界面处： 介质1与导体界面
介质2与导体界面 两种介质界面
作业：P88 2.31
§2.7 电磁场的能量密度和能流密度 1. 电磁场的能量密度
电场的能量密度 磁场的能量密度 电磁场的能量密度 在非线性介质中，
当回路不随时间变化时，
2. 位移电流假设 稳恒电流产生的磁场满足规律： 非稳恒情况下， 假设：
——称为位移电流。
3. 麦克斯韦方程组
4. 洛仑兹力公式
（点电荷） （体分布电荷）
作业：P86-87 2.24, 2.27
§2.4 媒质的电磁性质
1.媒质的概念——
在电磁学中一般把材料分为导体和绝缘体。 所以电磁学中涉及的空间区域只有真空、导体 和绝缘体三种不同性质的区域。而在电场中， 绝缘体又被称为“电介质”。
库仑定律：
F12
k
q1q2 r122
e12
F21
令 k 1
4π 0
（ 0 为真空电容率）
0

1 4π k
8.85421012 C2
N1 m2
8.8542 10 12 F m1

第2章--电磁场基本方程---2

第2章--电磁场基本方程---2

B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )

静电场的散度与旋度 恒定磁场及其散度与旋度

静电场的散度与旋度 恒定磁场及其散度与旋度


S
S
1 E ( r ) dS
0
(r ) E (r ) 0
F ( x, y, z ) dl
C


无
0
0

V
( r )dV
S

n
S
F
M
0
高斯定理表明：
C
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
第一课
2013/3/25
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
2.2.2 静电场的散度与旋度 1. 静电场散度与高斯定理 回顾1.1 矢量场通量的概念
F ( x, y, z )
1.2 通量的物理意义
en
dS
面积元矢量
dS en dS ——
en ——
d F en dS ——
R (r ) 3 dV R

(r ) R
R3
1 E (r )
0

V
(r ) R dV

V
V
1 dV 4 π 0

V
1 1 2.2.10) p43 (r ) dV 4 π 0 V R 1 1 E (r ) (r ) 2 dV 4π 0 V R 2 1 4 π R R 1 E (r ) (r ) R dV 2.2.11) p43
( R r r )
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波

电磁场基本规律

电磁场基本规律

t
V
dV
0
即整个空间的总电荷是守恒的。
2、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动 的局部关系。
3、恒定（稳恒）电流的连续性方程 所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量不随时间变化。 不随时间变化电流称为恒定电流（或稳恒电流）。 恒定电流空间中，电荷分布也恒定不变，即对时间的偏导数为零，则电流连续性方程为
(r
/
r
)
0
/
(r r )
/
(r r )
函数性质：
(r/Biblioteka r)dV1
V
0
(r r/点在体积V内) (r r/点不在体积V内)
函数取样特性。
V f(r)(rr/)dV 0 f(r(/r)(rr/点 在 r/点 V外 在 )V内 )
/
/
(rr)(rr) 函数对场点和源点的对称性
（2）点电荷的表示
• 库仑力是平方反比径向力，是保守力。 • 库仑定律只能直接用于静止点电荷间。但若施力电荷静止，受力电荷运动，它们间的作用仍满足库仑定律。
2.2.2、 电场强度
E (r )
电场强度是描述电场的基本物理量。 1）定义：电场强度 = 空间中一点处的单位正电荷受的力。
E(r)F/q0 q 点电荷 的场强
J
JlimI ndI n S0S dS
载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫 做电流线。
S 流过任意面积 的电流强度I
I S J d S S J d S c o s S J d S
2）（ 面）电流密度
JS
当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。

第2章 电磁场的基本规律(2)

第2章 电磁场的基本规律(2)

D dS q
电介质中的高斯定理 的积分形式
表明电位移矢量穿过任一闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的 自由电荷的代数和。
对介质中静电场基本方程的讨论
注意式中：q为自由电荷电量，不包括极化电荷电荷。
S E dS S DdS q ( D0 P )dS q S D0 dS P dS q S S D0 dS q qP
r 1 2 3
r 0 3 4π 107 3.77 (μH/m) B H 5.31 yex (kA/m) M m H 2 H 10.62 yex (kA/m) M x J m M ez 10.62ez (kA/m 2 ) y (kA/m 2 ) J C H 5.31ez
r 1 m 媒质的相对磁导率 （除铁磁性物质外r 1 ）
0 r 媒质的磁导率
抗磁性媒质磁化后使磁场减弱，因此
顺磁性媒质磁化后使磁场增强，因此
m 0, 0 , r 1
m 0, 0 , r 1
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此， 可以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
3）介质的极化： 在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分子的取向一致， 宏观上出现电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，
使电场发生变化。

无极分子 有极分子 无外加电场
E

电磁场与电磁波(第四版)课后答案_谢处方_第二章习题 2


2.10 一个半圆环上均匀分布线电荷 ，求垂直于圆 平面的轴线z＝a处的电场强度，设半圆环的半径也为a。
解：
dq ldl ', dl ' a d ',
dE
R eza era a(ez ex cos ' ey sin '),
E r
l 4 0
c
R R3
dl
'
a
l
40
(ez ex cos ' ey sin ')a2 d '
的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。
解：将题中问题看做两个对称电流的叠加：
一个是密度为 J 均匀分布在半径为 b
的圆柱内，另一个是密度为 J 均匀
b
分布在半径为 a 的圆柱内。 a
由安培环路定律在 b 和 a 中分布的
d
磁场分别为
0 2
J
b
b b
Bb
0b2 J b 2 b2
b b
0
q(ex x ey y (x a)2
ez z exa)
y2
z2
3/ 2
2q(ex x ey y ez z exa)
(x
a)2
y2
z2
3/ 2
0
由此可得个分量为零的方程组：
q(x
a)
(x
a)2
y2
z2
3/ 2
2q(x
a)
(x
a)2
y2
z2
3/ 2
0
qy
(
x
2
a)2
y2
z2
3/ 2
2qy
解：（1）
d
q (r ) d 0 (r ) s dx

02电磁波第二章-电磁场的基本规律

1 10 9 8.854 10 12 F / m 真空介电常数： 0 36 SI制（国际单位制）： 长度的单位：m（米）
质量的单位：kg（千克） F 的 单 位：N（牛顿）
时间的单位：s（秒） q 的 单 位: C（库仑）
第20页
库仑定律是静电场的基本定律，为何还要定义电场强度 （见参考教材P 53-54）
0 r 0 (r ) r 0
0 (r r )
r r r r
r 0的点 0 积分区域不包含 ( r ) dV V 1 积分区域包含 r 0的点
第11页
电磁场与电磁波 第二章__电磁场的基本规律 2.1.2 电流及电流密度
面-体积分转化：
V FdV SF dS 散度定理（高斯定理）
ey y Fy
ez z Fz
面-线积分转化：
F dl F dS 斯托克斯定理
C S
第 3页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析总结
梯度的旋度恒等于零：
归纳法、演绎法、类比法、理想模型、数学语言
物理电子学院 周俊 第 6页
电磁场与电磁波 第二章__电磁场的基本规律
第一节 电荷守恒定律
电磁场的两类基本物理量：源量和场量
, t ) 是产生电场的源 q ( r 电荷 , t ) 是产生磁场的源 I ( r 电流
电荷和电流是产生电磁场的源量
2.1.1 电荷及电荷密度
2
V ( )dV S ( n n )dS
2 2
物理电子学院
周俊
第 4页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析总结 亥姆霍兹定理： 只要一个矢量场的散度和旋度处处是已知的， 那么就可以惟一地求出这个矢量场 F 场基本方程的微分形式： F J

练习题(第二章 电磁场的基本规律)


c
d
x
B • 2.27 解： (1)由麦克斯韦方程组 E t B H 0 B ( E )dt B H (2) H H D E D 0 E D t D H k 1/ 3 t (3)将内导体视为理想导体 ，利用边界条件 1 8 J S en H ez 265.3 cos(10 t z ) a 3 1 D dS e 2 dz (4) J d id J d dS J d 2dz 0 t
E
l a
Hale Waihona Puke 40 2a 2 2 (ez ex cos 'ey sin ' )d '
2 2

l ez 'ex sin 'ey cos ' 2 8 2 0 a 2 l ( ex 2 ez ) 8 2 0 a
l ,求垂直于圆平面 2.10 一个半圆环上均匀分布线电荷 的轴线z=a处的电场强度，设半圆环的半径也为a. 解： 柱坐标系: 1 l ad ' dE z dE eR 2 p e 4 0 2a r a 1 1 eR eZ ( e ) y 2 2 er 1 (ex cos 'e y sin ' ez ) dl 2 x
• 2.31
y 媒质1 理想导体 x
1
1
1
r1 e r1 正电荷在空腔内产生的电场为 E1 3 0
单位向量 e r 1 e r 2 分别以大、小球体的球心为球面坐标 的原点。考虑到
负电荷在空腔内产生的电场为 E 2 r 2 e r2 3 0

25电磁感应定律和位移电流

图所示。试求：
（1）线圈静止时的感应电动势；
（2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。
解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故
z
a
b
x
B
y
en
in
B dS S t
S
t
[ey
B0
sin(t
)]
endS
S B0 cos(t) cosdS
时变磁场中的矩形线圈
B0ab cos(t) cos
中国矿业大学
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
3
2.5.1 电磁感应定律
1831年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时， 回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变 化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律。
1. 法拉第电磁感应定律
当通过导体回路所围面积的磁通量
S
t
[ez
B0
cos(t
)]
ez
dS
vbB0 cos(t) vtbB0 sin(t)
y
a
r oB
L
r v
b x
x
均匀பைடு நூலகம்场中的矩形环
中国矿业大学
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
12
练习 在时变磁场 B ey B0 sin(t) 中，放置有一个 a b 的 矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 en与ey 成α角，如
由于 C Ec d，l 故 0有：
in
d d
E dl
C
dt dt
B dS
S
若回路不动，则：
E Ein Ec
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0 t
农大理学院
J 0、 J dS 0
S
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
14
2.2 真空中静电场的基本规律
静电场：由静止电荷产生的电场。
重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。
本节内容
2.2.1 库仑定律 电场强度 2.2.2 静电场的散度与旋度
农大理学院
q0 ——试验正电荷
根据上述定义，真空中静止点
z
r
q
( R r r )
x
o
R M E r y
如果电荷是连续分布呢？
农大理学院
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律 体密度为 (r ) 的体分布电荷产生的电场强度
18
(ri)ΔViRi E (r ) 4π 0 Ri3 i 1 (r ) R V R 3 dV 4π 0
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
1
农大理学院
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
2
本章讨论内容
2.1 电荷守恒定律
2.2 真空中静电场的基本规律 2.3 真空中恒定磁场的基本规律 2.4 媒质的电磁特性 2.5 电磁感应定律和位移电流
2.6 麦克斯韦方程组
2.7 电磁场的边界条件
农大理学院
t 0
单位: A （安） 电流方向: 正电荷的流动方向
形成电流的条件： • 存在可以自由移动的电荷; • 存在电场。 说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定 电流，用I 表示。
农大理学院
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
11
一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不 同的。在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流 的分别状态。 1. 体电流 电荷在某一体积内定向运动所形
20
电荷系统，其远区电场强度为
1 3( p r )r p P E (r ) 3 e 2cos e sin 3 r r5 4π 0 r 4π 0 r p ql ——电偶极矩
z
l o
电流，用电流密度矢 量 J 来描述。 体电流密度矢量 i di J en lim en S 0 S dS 单位：A / m2 （安/米2） 。 正电荷运动的方向 流过任意曲面S 的电流为 i J dS
S
J
农大理学院
电磁场与电磁波
均匀带电的环形薄圆盘
由于 故
S z b S z d 1 1 E (r ) e z a ( z 2 2 )3/ 2 ez 2 0 ( z 2 a2 )1/ 2 ( z 2 b2 )1/ 2 2 0

2π
0
2π e d (ex cos e y sin )d 0 0
面电流密度矢量
正电荷运动的方向
通过薄导体层上任意有向曲线 l 的电流为
i
农大理学院
l
J S (en dl )
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
13
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）
电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
9
4. 点电荷 对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分 析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算
电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电
荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域 中心、电荷为 q 的点电荷。 点电荷的电荷密度表示
农大理学院
(单位：C )
确认了电荷的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷，而任
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
6
理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点电荷、体分布电荷、面分布电荷、线分布电荷 1. 电荷体密度 电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布 Δq (r ) dq (r ) (r ) lim ΔV 0 ΔV dV z q 单位：C/m3 (库/米3 ) V 根据电荷密度的定义，如果已知 V r 某空间区域V 中的电荷体密度，则区 o 域V 中的总电荷q为 x q (r )dV
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
15
2.2.1 库仑定律 电场强度 1. 库仑（Coulomb）定律(1785年) 真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
z
q1 r1
R12 q2
F12 eR
说明：
q1q2 2 4π 0 R12
q1q2 R12 3 4π 0 R12
z
l
2
1

M
均匀带电直线段
l E 2π 0
（无限长）
M
z
a x
y
均匀带电圆环轴线上的电场强度：
a l z Ez (0, 0, z ) 2 0 (a 2 + z 2 )3 2
农大理学院
o
l
均匀带电圆环
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律 电偶极子的电场强度： 电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的
V
y
农大理学院
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
7
2. 电荷面密度 若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要
比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电
场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的 电荷可用电荷面密度表示。
Δq(r ) dq(r ) S (r ) lim ΔS 0 ΔS dS
电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。 电流连续性方程
流出闭曲面S 的电流 等于体积V 内单位时 间所减少的电荷量
dq d 积分形式 J dS S dt dt 微分形式 J t 恒定电流的连续性方程

V
dV
恒定电流是无源场，电 流线是连续的闭合曲线， 既无起点也无终点
小体积元中的电荷产生的电场
z
(r ) r r o
Vi V
M
y
x
面密度为 S (r ) 的面分布
电荷的电场强度
线密度为l (r ) 的线分布
电荷的电场强度
E (r )
农大理学院
1 4π 0

S
S (r ) R dS 3 R
E (r )
1 4π 0

C
l (r ) R dl 3 R
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
19
3. 几种典型电荷分布的电场强度 均匀带电直线段的电场强度： l Er (cos 1 - cos 2 ) 4π 0 r （有限长） l Ez (sin 2 - sin 1 ) 4π 0 r
单位: C/m2 (库/米2)
如果已知某空间曲面S 上的电荷 面密度，则该曲面上的总电荷q 为
z
S q S r
o x
y
q
农大理学院
S
s (r )dS
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
8
3. 电荷线密度 若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要 比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
4
本节内容
2.1.1 电荷与电荷密度 2.1.2 电流与电流密度 2.1.3 电荷守恒定律
农大理学院
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
5
2.1.1 电荷与电荷密度 • 电荷是物质基本属性之一。 • 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了 电子。 • 1907 — 1913年间，美国科学家密立根(iken)通过 油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 33×10-19 何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。 • 宏观分析时，电荷常是数以亿计的电子电荷e的集合，故 可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。
q3 q2 q1 q4 q q7 q6 q5
农大理学院
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
17
2. 电场强度
电场强度矢量 E —— 描述电场分布的基本物理量
空间某点的电场强度定义为臵于该点的单位点电荷（又称
试验电荷）受到的作用力，即 F (r ) E (r ) lim q0 0 q 0 电荷q 激发的电场为 qR E (r ) 4π 0 R 3
可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电
荷线密度表示。
Δq(r ) dq(r ) l (r ) lim Δl dl Δl 0
z
r
q
单位: C / m (库/米) 如果已知某空间曲线上的电荷线 密度，则该曲线上的总电荷q 为
l
o x
y
q
农大理学院
C
l (r )dl
电磁场与电磁波
第二章：电磁场的基本规律
3
2.1 电荷守恒定律
电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。
源量为电荷 q(r , t ) 和电流 I (r , t ) ，分别用来描述产生电磁效
应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。