微专题24椭圆中与面积有关的取值范围问题

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。

椭圆中面积的最值问题
椭圆是一种广泛存在于自然界的平面图形，它不仅仅是一个平面图形，而且它具有极大的实用价值。

椭圆是多种物理科学，化学，天文，生物等领域中常见的图形。

椭圆的面积有很多变化，这些变化会产生最大值和最小值，椭圆的最大和最小面积的求解称为椭圆中面积的最值问题。

椭圆的面积可以通过下面的公式来计算：A = πab, 其中a 和b分别是椭圆的两个半轴长。

通过研究发现，椭圆的最大面积是在两个半轴长相等的情况下，即a=b时实现的，最大面积可以表示为：A_max = πa^2 同样，当两个半轴长不等时，椭圆的最小面积是在a和b的乘积最小的情况下实现的，最小面积可以表示为：A_min = πab 因此，当椭圆的两个半轴长a和b不等时，最大面积A_max 就会大于最小面积A_min，而当两个半轴长a和b相等时，最大面积A_max就等于最小面积A_min。

椭圆中面积的最值问题是一个经典的数学问题，是对几何学中椭圆的有关知识的深入研究。

椭圆最大最小面积的求解，不仅仅可以帮助我们理解椭圆的特性，而且还有助于更好地应用椭圆。

椭圆中面积的最值问题，是一个有趣而又有实际意义的数学研究课题，由于椭圆的特性，可以将其应用于多种领域，因
此，对椭圆中面积的最值问题的研究，也有助于更好地应用椭圆。

微专题24 椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构例题：如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a 2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分 由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k 2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14分。

椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结一、直线与椭圆问题的常规解题方法：1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：(1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法：(1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题．一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的． (1)直线恒过定点问题1．已知点00()P x y ，是椭圆E ：2212x y +=上任意一点，直线l 的方程为0012x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点(10)M -，关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标． 解：直线0l 的方程为()()00002x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=设(10)M -，关于直线0l 的对称点N 的坐标为()N m n ，，则0000001212022x n m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪-⋅--=⎪⎩，，解得()3200020432000020023444244824x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩ 所以直线PN 的斜率为()432000003200004288234n y x x x x k m x y x x -++--==---+， 从而直线PN 的方程为：()()432000000320004288234x x x x y y x x y x x ++---=---+即()32000432000023414288y x x x y x x x x --+=+++--从而直线PN 恒过定点(10)G ，．2．已知椭圆两焦点12F F ，在y 轴上，短轴长为22，离心率为2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点． (1)求P 点坐标；(2)求证直线AB 的斜率为定值；解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2222a b c ===，，， 所以椭圆的方程为22142y x +=， 则12(02)(02)F F -，，，，设()()000000P x y x y >>，， 则()()10020022PF x y PF x y =--=---u u u r u u u u r，，，，.所以()22120021PF PF x y ⋅=--=u u u r u u u r ，因为点()00P x y ，在曲线上，则2200124x y +=，所以220042y x -=，从而()22004212y y ---=，得0y =，则点P的坐标为(1．(2)由(1)知1PF //x 轴，直线PA PB ，斜率互为相反数，设PB 斜率为0)k k >(，则PB的直线方程为：(1)y k x -，由22(1)124y k x y x ⎧-⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222))40k x k k x k ++-+--=，设()B B B x y ，，则1B x -同理可得A xA Bx x -， ()()28112A B A B k y y k x k x k-=----=+，所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-3．已知动直线(1)y k x =+与椭圆C ：221553y x +=相交于A B ，两点，已知点()703M -，， 求证：MA MB ⋅u u u r u u u r为定值．解：将(1)y k x =+代入221553y x +=中得()2222136350k x k x k +++-=， 所以()()4222364313548200k k k k ∆=-+-=+>，221212226353131k k x x x x k k -+=-=++，所以()()()()1122121277773333MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u r u u u r，， ()()()()21212771133x x k x x =+++++()()()2221212749139k x x k x x k =++++++()()()22222223576491393131k k k k k k k -=+++-++++422231654949931k k k k ---=++=+．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：2213x y +=．如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A B ，两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3)D m -，． (1)求22m k +的最小值；(2)若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点． 解：(1)由题意：设直线l ：(0)y kc n n =+≠，由2213y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()222136330k x knx n +++-=， ()()()222222364133112310k n k n k n ∆=-+⨯-=+->，设()()1122A x y B x y ，，，，AB 的中点()00E x y ，， 则由韦达定理得：0122613t nx x k -+=+，即00022233131313kn kn n x y kx n k n k k k--==+=⨯+=+++，， 所以中点E 的坐标为()2231313km n k k -++，，因为O E D ，，三点在同一直线上，所以O OE D k k =，即133m k -=-，解得1m k =，所以222212m k k k+=+…，当且仅当1k =时取等号，即22m k +的最小值为2． (2)证明：由题意知：0n >，因为直线OD 的方程为3m y x =-，所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+， 又因为213E D n y y m k==+，，且2OG OD OE =⋅，所以222313m n m m k =⋅++， 又由(1)知：1m k=，，所以解得k n =，所以直线l 的方程为y kx k =+，即(1)y k x =+， 令1x =-得，0y =，与实数k 无关．椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函敞的值域来解． (1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围．5．已知直线l 与y 轴交于点(0)P m ，，与椭圆C ：2221x y +=交于相异两点A B，，且3AP PB =u u u r u u u r ， 求m 的取值范围．解：(1)当直线斜率不存在时：12m =±；(2)当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为()()1122A x y B x y ，，，， 所以2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，，得()2222210k x knx m +++-= 所以()()()22222(2)4214220()kn k m k m ∆=-+-=-+>*21212222122km m x x x x k k --+==++， 1233AP PB x x =∴-=u u u r u u u r Q ，，所以122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，，消去2x 得()21212340x x x x ++=， 所以()22222134022km m k k --+=++， 整理得22224220k m m k +--=，214m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， 所以22222041m k m -=-…，所以112m -<-„或112m <„， 把2222241m k m -=-代入(*)得112m -<<-或112m <<， 所以112m -<<-或112m <<，综上m 的取值范围为112m -<-„或112m <„．(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式，确定参数的取值范围． 6．已知点(40)(10)M N ，，，，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A B ，两点，若181275NA NB -⋅-u u u r u u u r 剟，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点()P x y ，，则(4)(30)(1)MP x y MN PN x y =-=-=--u u u r u u u u r u u u r，，，，，．由已知得3(4)x --=223412x y +=，得22143y x +=．所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为22143y x +=． (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A B ，两点的坐标分别为()()1122A x y B x y ，，，． 由22(1)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，因为N 在椭圆内，所以0∆>．所以2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 因为()()()()()212121211111NA NB x x y y k x x⋅=--+=+--u u u r u u u r()()2121211k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦()()22222229141283413434k k k k k k k -+--++=+=++，所以()229118127534k k -+--+剟，解得213k 剟．(3)利用基本不等式求参数的取值范围7．已知点Q 为椭圆E ：221182y x +=上的一动点，点A 的坐标为(31)，，求AP AQ ⋅u u u r u u u r 的取值范围． 解：(13)AP =u u u r，，设()(31)Q x y AQ x y =--u u u r ，，，， (3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-u u u r u u u r因为221182y x +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅…，所以18618xy -剟．而222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[036]，， 3x y +的取值范围是[66]-，， 所以36AP AQ x y ⋅=+-u u u r u u u r取值范围是[120]-，．8．已知椭圆的一个顶点为(01)A -，，焦点在x轴上．若右焦点到直线0x y -+=的距离为3． (1)求椭圆的方程．(2)设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M N ，．当AM AN =时，求m 的取值范围． 解：(1)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)0F，3=，解得23a =，故所求椭圆的方程为2213x y +=．(2)设()()(),,,p p M M N N P x y M x y N x y ，，，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()()222316310k x mkx m +++-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22222(6)43131031mk k m m k ∆=-+⨯->⇒<+，① 所以23231M NP x x mk x k +==-+，从而231p p m y kx m k =+=+， 所以21313P AP P y m k k x mk+++==-，又AM AN =，所以AP MN ⊥, 则23113m k mk k++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >．综上求得m 的取值范围是122m <<．9．如图所示，已知圆C ：22(1)8x y ++=，定点(10)A ，，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，，点N 的轨迹为曲线E ． (1)求曲线E 的方程；(2)若过定点(02)F ，的直线交曲线E 于不同的两点G H ，(点G 在点F H ，之间)，且满足FG FH λ=u u u r u u u r，求λ的取值范围．解：(1)因为20AM AP NP AM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r，． 所以NP 为AM 的垂直平分线，所以NA NM =， 又因为22CN NM +=，所以222CN AN +=>． 所以动点N 的轨迹是以点(10)(10)C A -，，，为焦点的椭圆 且椭圆长轴长为222a =，焦距21c =． 所以2211a c b ===，，． 所以曲线E 的方程为2212x y +=(2)当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+．代入椭圆方程2212x y +=， 得()2214302k x kx +++=，由0∆>得232k >，设()()1122G x y H x y ，，，，则121222431122k x x x x k k -+==++，， 又因为FG FH λ=u u u r u u u r，所以()()112222x y x y λ-=-，，，所以12x x λ=，所以2122122(1)x x x x x x λλ+=+=，， 所以()22121221x x x x x λλ+==+，所以2222431122(1)k k k λλ-⎛⎫ ⎪+ ⎪+⎝⎭=+，整理得22(1)161312k λλ+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为232k >，所以2161643332k <<+，所以116423λλ<++<，解得133λ<<．又因为01λ<<，所以113λ<<．又当直线GH 斜率不存在，方程为11033x FG FH λ===u u u r u u u r ，，， 所以113λ<…，即所求λ的取值范围是)113⎡⎢⎣，． 10．已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点(20)M ，的直线与椭圆C 相交于两点A B ，，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点)，当||PA PB -<u u u r u u u r时，求实数t 取值范围．解：(1)由题意知c e a ==，所以22222212c a b e a a -===， 即222a b =，所以2221a b ==，． 故椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：()2y k x =-，()()1122()x y B x A y P x y ，，，，，， 由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222128820k x k x k +-+-=， ()()42221644218202k k k k ∆=-+-><，，221212228821212k k x x x x k k -+=⋅=++，． 因为OA OB tOP +=u u u r u u u r u u u r ，所以()()212121228()12x x k x x y y t x y x t t k +++===+，，，，()()1212214412y y k y k x x k t t t k +-==+-=⎡⎤⎣⎦+， 因为点P 在椭圆上，所以()()()2222222228(4)221212k k tk t k-+=++，所以()2221612k t k =+．因为||PA PB -<u u u r u u u r12x -()()22121220149k x x x x ⎡⎤++-⋅<⎣⎦，所以()()4222226482201491212k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-⋅<⎢⎥++⎣⎦， 所以()()224114130k k -+>，所以214k >，所以21142k <<，因为()2221612k t k=+，所以222216881212k t k k==-++，所以2t -<<2t <<，所以实数t取值范围为()22-U ，．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： (1)利用基本不等式求最值，11．已知椭圆两焦点12F F ，在y轴上，短轴长为，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ⋅=u u u r u u u r，过P 作关于直线1F P 对称的两条直线PA PB ，分别交椭圆于A B ，两点，求PAB ∆面积的最大值．解：设椭圆方程为22221y x a b+=，由题意可得2a b c ===，故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：2y x m =+．由222124y x m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，得2242240x mx m ++-=，由()22(22)1640m m ∆=-->，得2222m -<<，P 到AB 的距离为3d =， 则()2111||432223PAB S AB d m ∆=⋅=-⋅⋅， ()()2222211882882m m m m -+=-+=„．当且仅当2(2222)m =±∈-，取等号，所以三角形PAB 面积的最大值为2． (2)利用函数求最值，12．如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且2DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0)T t ，作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A B ，两点，求AOB ∆面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解：(1)设点M 的坐标为()x y ，，点P 的坐标为00()x y ，，则002x x y y ==，，所以002yx x y ==，，① 因为00()P x y ，在圆221x y +=上，所以22001x y +=② 将①代入②，得点M 的轨方程C 的方程2214y x +=． (2)由题意知，||1t …．当1t =时，切线l 的方程为1y =，点A B ，的坐标分别为()()3311-，，，，此时3AB =；当1t =-时，同理可得3AB =；当||1t >时，设切线l 的方程为y kx m k =+∈R ，， 由2214y kx t y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2224240k x ktx t +++-=③设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则由③得： 21212222444kt t x x x x k k -+=-=++，．又由l 与圆221x y +=1=，即221t k =+． 所以||AB ==因为||23||||ABt t ==+，且当t = 2AB =，所以AB 的最大值为2，依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆221x y +=的半径，所以AOB ∆面积1112S AB =⨯„， 当且仅当t =AOB∆面积S 的最大值为1，相应的T的坐标为(0-，或(0．13．已知椭圆G ：2214x y +=．过点(0)m ，作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点．将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．解：由题意知，||1m …．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A B ，的坐标分别为((11，，，此时AB= 当1m =-时，同理可得AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()22222148440k x k mx k m +-+-=． 设A B ，两点的坐标分别为()()1122x y x y ，，，， 又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+． 所以AB ===由于当1m =±时，AB ，23||||AB m m==+， 当且当m =时，2AB =．所以AB 的最大值为2．【练习题】1．已知A B C ，，是椭圆m ：22221(0)y x a b a b+=>>上的三点，其中点A 的坐标为(230)，，BC 过椭圆m 的中心，且0||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)求椭圆m 的方程；(2)过点(0 )M t ，的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P Q ，，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =u u u r u u u r ，求实数t 的取值范围．2．已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(10)N ，，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP上，且满足20NP NQ GQ NP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，． (1)若104m n r =-==，，，求点G 的轨迹C 的方程；(2)若动圆M 和(1)中所求轨迹C 相交于不同两点A B ，，是否存在一组正实数m n r ，，，使得直线MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．3．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线：y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点(A B ，不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点1(2)M ，，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l交椭圆于A B ，两个不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围；(3)求证直线MA MB ，与x 轴始终围成一个等腰三角形．。

椭圆最值问题分类微专题1.椭圆：，已知，，若过的直线与椭圆交于两点．（1）求证：；（2）求面积的最大值．解：（1）即证：设直线方程为，代入椭圆方程得：，（*）设，则（2）（，）因（*）中，所以所以时，的最大值为3.已知椭圆的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为。

若有一个菱形的顶点，在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为。

（1）求椭圆的方程；（2）当直线过点时，求直线的方程；（3）当时，求菱形面积的最大值。

解:（1）依题意，解，得所以，于是椭圆的的方程为（2）由已知得直线：设直线：，，由方程组得 当时，的中点坐标为， 因为是菱形，所以的中点在上，所以，解得，满足 所以的方程为（3）因为四边形为菱形，且，所以，所以菱形的面积由（2）可得又因为，所以当且仅当时，菱形的面积取得最大值，最大值为。

4.如图所示,椭圆C : ,左右焦点分别记作 ,过 分别作直线 交椭圆于 ,且 ⫽ ．(1)当直线 的斜率与直线 的斜率 都存在时,求证: 为定值;(2)求四边形面积的最大值．证明:(1)设 ,根据对称性,有 ;因为 都在椭圆C 上,所以 ,二式相减得 ;所以为定值(2)(Ⅰ)当 的倾角为时, 与 重合,舍去.(Ⅱ)当 的倾角不为 时,由对称性得四边形 为平行四边形；而 过 ，设直线 的方程为 ；代入 ,得 ；显然；所以设 ,所以；所以，当且仅当即时等号成立.所以；所以平行四边形面积的最大值为解法二5.已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．解：（1）依题意设切线长∴当且仅当取得最小值时取得最小值，而，，从而解得，故离心率的取值范围是；（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为，联立方程组得，设，则有，，代入直线方程得，，又，，，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，，，，所以．。

椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。

线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。

与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。

与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。

然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。

【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。

椭圆中的面积最值
一、解答题
1．已知椭圆Γ：22
221x y a b
+=的右焦点为()1,0，且经过点()0,1A ，设O 为原点，直线l ：
y kx t =+（1t ≠±）与椭圆Γ交于两个不同点P 、Q ，(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若AP AQ ⊥，求APQ △面积的最大值，并求此时直线l 的方程.设直线AP 方程为1y mx =+由22
122
y mx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 并整理得
2．已知椭圆()22:10E a b a b
+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .
(1)求E 的方程；
(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.
3．已知椭圆C ：2
21(0)x y a b a b
+=>>过点A （2，且C (1)求C 的方程；
(2)设直线l 交C 于不同于点A 的M ，N 两点，直线AM ，AN 的倾斜角分别为α，β，若
cos 1cos α
β
=-，求AMN 面积的最大值.
84
）
()()1122,,,x y N x y ，易知直线l 的斜率不为2214my t y =++=得()
22222m y mty t +++()()(2222244288m t m t t =-+-=--221222
28
22
mt t y y m m -=-=++，，。

微专题25例题证法1（1）解：椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点，2a ∴=，1b =，则c =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率为e （2）证明：如图， 设0(P x ，0)y ，则002PA y k x =-，PA 所在直线方程为00(2)2y y x x =--，取0x =，得0022M y y x =--； 001PB y k x -=，PB 所在直线方程为0011y y x x -=+，取0y =，得001N xx y =-． 0000022||2211N x y x AN x y y --∴=-=-=--，00000222||1122M y x y BM x x x +-=-=+=--． ∴000000222211||||2212ABNM y x x y S AN BM y x --+-==-- 22220000000000000000000000(22)(2)4(2)4444841112(1)(2)222222x y x y x y x x y y x y y x x y x y x y x y +-+-++++--+=-==--+--+--000000004(22)11422222x y x y x y x y +--==⨯=+--．∴四边形ABNM 的面积为定值2．设点P(x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1(x 0＜0，y 0＜0)．所以，直线PA 方程：y ＝y 0x 0(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2.∴BM ＝⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2.直线PB 方程：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1.∴AN ＝⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1 ∴S 四边形AMNB ＝12AN·BM ＝12⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02＋4y 02＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.所以，四边形AMNB 的面积为定值．证法2设点P(2cos θ，sin θ)，因为P 在第三象限，所以不妨设π＜θ＜3π2，直线PA ：y ＝sin θ2cos θ－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝sin θ1－cos θ.∴BM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ＋cos θ－11－cos θ.直线PB ：y ＝sin θ－12cos θx ＋1，令y ＝0，x N ＝2cos θ1－sin θ.AN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin θ＋2cos θ－21－sin θ. ∴S 四边形AMNB ＝12AN·BM ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin θ＋2cos θ－21－sin θ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ＋cos θ－11－cos θ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin θ－2cos θ＋2sin θcos θ1－sin θ－cos θ＋sin θcos θ＝2.所以，四边形AMNB 的面积为定值． 说明：将四边形面积转化为12AN·BM ，是顺利解题的关键．本例可以拓展为一般的情形．变式联想变式1 答案：AN·BN 为定值．解析：根据例题解析，可知AN·BM ＝4.说明：实际上，正是因为AN·BM 为定值，当P 在第三象限时，四边形AMNB 为凸四边形，所以才有上述例题，而点P 分别在第二、第一、第四象限时，四边形AMNB 为凹四边形，其面积依然为定值2，但中学阶不研究这类图形．变式2 答案：2.解析：设点P(x 0，y 0)，则有x 022＋y 02＝1.所以AP 方程：y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得m ＝x 01－y 0.由题意，点Q 与P 关于x 轴对称，所以Q(x 0，－y 0)，同理得n ＝x 01＋y 0.所以mn ＝x 021－y 02＝2.所以mn ＝2为常数．说明：本题看起来很简单，实际上，点A 只要是椭圆上的一个定点，都有mn ＝2的结论，更一般地，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ≠b)，有mn ＝a 2.对于一般的情况，直接运算就有一定难度．建议数学能力强的学生直接从一般情况入手研究．本题题根来自圆，如图，PQ ⊥l ，那么l 垂直平分PQ ，所以∠QAP ＝12∠QOP ＝∠FOP ，由此最终可得△EAO ∽△AFO ，从而OE·OF ＝OA 2＝r 2.串讲激活串讲1答案：(1)略；(2)1.解析：(1)证明：S ＝12·OA·OB·sin 〈OA →，OB →〉＝12OA·OB ·错误!＝错误!错误!OA 2·OB 2－(错误!·错误!)2)＝12|x 1y 2－x 2y 1|. (2)解：设A(2cos α，sin α)，B(2cos β，sin β)．由l 1与l 2的斜率之积为－14.所以y 1y 2x 1x 2＝sin αsin β2cos α2cos β＝－14，所以cos αcos β＋sin αsin β＝0，所以cos (α－β)＝0.又S ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝|cos αsin β－cos βsin α|＝|sin (α－β)|＝1.所以△AOB 面积S 的值为1.说明：本题用另一种求三角形面积的方法S ＝12AB·AC sin A ，在解析几何中，求夹角的正弦值需要利用余弦转化，从而需要用到两向量的夹角公式． 此外，本题也可以用与例题相同的方法求解： 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线AB ：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，令y ＝0，则x ＝－y 1（x 2－x 1）y 2－y 1＋x 1＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，所以S ＝12|y 1－y 2|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1＝12|x 1y 2－x 2y 1|.串讲2 答案：P ⎝⎛⎭⎫263，1.解析：因为点P 为椭圆上位于第一象限内的一点，所以设P(x 0，y 0)(x 0，y 0＞0)．则直线PA 方程：y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝0，得y M ＝2y 0x 0＋2，即M ⎝⎛⎭⎫0，2y 0x 0＋2.同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2y 0x 0－2.所以，S △MOA ＝2y 0x 0＋2，S △NOB ＝－2y 0x 0－2.所以2y 0x 0＋2＋－2y 0x 0－2＝6，即4y 0＝12－3x 02.所以⎩⎨⎧4y 0＝12－3x 02，3x 02＋4y 02＝12，由于x 0，y 0＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝263，y 0＝1.即点P )1,362(. 新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)x －2y ＋2＝0.解析：(1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，所以b ＝c.所以直线BD 的方程是y ＝－22x ＋b ，又O 到直线BD 的距离为63，所以b 1＋12＝63， 所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设P(2，t)，t ＞0，那么直线PA 方程是y ＝t22(x ＋2)， 联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t22（x ＋2），整理得(4＋t 2)x 2＋22t 2x ＋2t 2－8＝0，解得x ＝42－2t 24＋t 2，则点C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫42－2t 24＋t 2，4t 4＋t 2. 因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积， 而S △AOC ＝12×2×4t 4＋t 2＝22t 4＋t 2，S △PBC ＝12×t ×⎝⎛⎭⎪⎫2－42－2t 24＋t 2＝2t 34＋t 2， 所以t ＝2，所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.。

高中数学椭圆大题之面积问题题型一：面积为定值例1、（18三中高二理 ）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，B A ,分别是椭圆的右顶点和上顶点，52=AB .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 在第三象限的一个动点，直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证：四边形ABNM 的面积为定值.练1、（18厦门一中高二期末）已知椭圆系方程()*∈>>=+N n b a n b y a x C n ,0:2222，1F ，2F 是椭圆6C 的焦点，()3,6A 是椭圆6C 上一点，且0212=⋅F F AF（1）求6C 的方程；（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ，N 两点，点P 关于原点对称点为Q ，求证：QMN ∆的面积为定值，并求出这个值．练2、(2017北京文)已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．题型二：面积的取值范围例1、（19四中期末）已知点,M N 分别是椭圆2222:1,(0)bx y C a b a +=>>的左右顶点, F 为其右焦点,(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 的直线l 与该轨迹交于,A B 两点,若直线,,OA AB OB 的斜率依次成等比数列,求OAB V 面积的取值范围.例2、（18八中期中）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为23，且点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线L 交椭圆C 于Q P ,两点，线段PQ 的中点为O H ,为坐标原点，且1=OH ，求POQ ∆面积的最大值.例3、（19三中期末）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，其中长轴长为4，离心率为21.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）已知椭圆E 的左焦点为F ，A 是椭圆E 上的一个点，直线AF 交椭圆E 于另一个点B ，以AB 为边作一个平行四边形，顶点A 、B 、C 、D 都在椭圆E 上，（ⅰ）判断平行四边形ABCD 能否为菱形，并说明理由； （ⅱ）求平行四边形ABCD 的面积的最大值.练1、（18一中高二期末）.已知点M 为圆8)1(:221=++y x F 上动点，点)01(2，F ,线段2MF 的中垂线交线段1MF 于点N ,记点E N 的轨迹为.(1)证明21NF NF +为定值，并求出轨迹E 的方程；(2)如图所示，过2F 的直线l 交轨迹E 于B A 、，记A F F 21∆的面积为1S ,记B F F 21∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.练2、（2016全国Ⅰ理）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.题型三、已知面积求参例1、（2018天津文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.练1、（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,A B两点．若OAB△26，求直线l的方程．- 11 -。

椭圆中与面积有关的取值范围问题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量例题：如图，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．变式1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．变式2设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.(1)求OQOP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．串讲1如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．串讲2已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．(2018·广西初赛改编)已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点P ，Q ，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．(2018·南通泰州一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．答案：(1)x 24＋y22＝1；(2)y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得，c a ＝22，2a2c ＝42，2分解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝分(2)解法1：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)，所以x 02＋y 02＝89，①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1，②10分由①②，得9x 02－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23或x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，12分所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分解法2：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以点M 为AB 的中点.6分设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2），得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0，解得x B ＝2－4k 21＋2k2，8分所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k21＋2k2，10分y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k 2，代入x 2＋y 2＝89，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 2＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，12分即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝分例题答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)S∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.解析：(1)由题设知e ＝22，a 2＝2c 2＝b 2＋c 2，即a 2＝2b 2，将⎝⎛⎭⎪⎫1，－22代入椭圆C 的方程得到12b 2＋12b 2＝1，则b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2)当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将y ＝kx代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 12＝22k 2＋1，y 12＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA·OB2＝ （k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）. 令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)， S ＝t2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2，令u ＝1t ∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －12＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22. 变式联想变式1 答案： 2.解析：①当直线AB 的斜率不存在时，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22， 则C ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22. 此时S △ABC ＝12×2×2＝2；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2. 化简得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有Δ＝16k 4－4(2k 2＋1)(2k 2－2)＝8(1＋k 2)，x 1，2＝4k 2±Δ2（1＋2k 2）， 所以AB ＝（1＋k 2）·|x 1－x 2|＝1＋k 2·Δ（1＋2k 2）＝221＋k21＋2k2.(弦长公式)另一方面点O 到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|k 2＋1，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d ＝2|k|k 2＋1，∴S △ABC ＝12AB·2d＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫22·1＋k 21＋2k 2·2|k|k 2＋1＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2＝ 2214－14（2k 2＋1）2＜ 2. 综上，△ABC 面积的最大值为 2.说明：O 为AC 中点，所以△ABC 的面积是△OAB 面积的两倍，而△OAB 的面积可以用公式S △OAB ＝12OF·|y 1－y 2|得出，所以S △ABC ＝2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k|·|x 1－x 2|＝22k 2（k 2＋1）（2k 2＋1）2.这样计算可以简洁一些． 变式2答案：(1)2；(2)6 3.解析：(1)设P(x 0，y 0)，OQ OP ＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)，因为x 024＋y 02＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 024＋20＝1，所以λ＝2，即OQ OP ＝2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB 的面积S ＝12|m|·|x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m|1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）·m 21＋4k2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2·m 21＋4k 2.令m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t≤1.因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋2t ，故S≤2 3.当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.串讲激活串讲1 答案：43.解析：设S(22，t)，则t≠0，直线SA 1：y ＝t 32(x ＋2)，直线SA 2：y ＝t 2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t32（x ＋2），得x 2＋t 29(x ＋2)2＝2，解得x 1＝－2，x 2＝－2t 2＋92t 2＋9，即x M ＝－2t 2＋92t 2＋9. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝t2（x －2），可得x N ＝2t 2－2t 2＋1.所以 S 1S 2＝12SA 1·SA 2·sin ∠S 12SM ·SN ·sin ∠S ＝SA 1·SA 2SM ·SN＝ |22＋2|·|22－2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋2t 2－92t 2＋9·⎪⎪⎪⎪⎪⎪22－2t 2－2t 2＋1＝（t 2＋9）（t 2＋1）（t 2＋3）2＝1＋4t 2t 4＋6t 2＋9＝1＋4t 2＋9t2＋6≤1＋412＝43，等号当且仅当t 2＝3，即t ＝±3时成立． 所以，当S(22，±3)时，S 1S 2的最大值为43.说明：本题用三角形面积公式S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ，最后得到S 1S 2＝|x S －xA 1||x S －xA 2||x S －x M ||x S －x N |，这样运算就简单了．还有，用直线SA 1的方程求点M 坐标时，要注意方程组一定有一个解x A1，所以，也可以用韦达定理求出x M .串讲2答案：(1)x 24＋y2＝1；(2)y ＝72x －2或y ＝－72x －2.解析：(1)设F(c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝3，又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法1：依题意，当l⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y ＝kx －2，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1，2＝8k±24k 2－31＋4k 2，从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－31＋4k 2，又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·PQ＝44k 2－31＋4k 2，设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t≤1，当且仅当t ＝2，k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 解法2由题意知直线l 的斜率必存在．则S △OPQ ＝ 12OP 2·OQ 2－（OP →·OQ →）2，设P(2cos α，sin α)，Q(2cos β，sin β)．所以S △OPQ ＝12·2·|sin (α－β)|≤1，当sin (α－β)＝±1时，等号成立．此时α－β＝2k π＋π2或α－β＝2k π－π2(k∈Z)．又P (2cos α，sin α)，Q (2cos β，sin β)与A (0，－2)共线，则sin β＋22cos β＝sin α＋22cos αsin(α－β)＝2(cosα－cos β)＝±1cos α－cos β＝±12.又k PQ ＝sin α－sin β2（cos α－cos β）＝±(sin α－sinβ)．①若α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＋β＝cos β，同理cos α＝－sin β.所以sin α－sin β＝sin α＋cos α.因为cos α－cos β＝12得到cos α－sin α＝12.且(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±72.②同理，当α－β＝2k π－π2(k ∈Z)时，sin α－sin β＝±72，所以k PQ ＝11 ±72.(以下同解法1) 新题在线答案：(0，1)．解析：由题意，直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且x 1·x 2≠0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4.消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2，得－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 因为m ≠0，所以k 2＝14，所以k ＝±12. 因为Δ＞0，且x 1·x 2≠0，所以0＜m 2＜2且m 2≠1.设点O 到直线l 的距离为d ，则d ＝|m |1＋k 2， 所以S △OPQ ＝12·d ·PQ ＝12d ·1＋k 2|x 1－x 2|＝m 2（2－m 2）＝－（m 2－1）2＋1. 所以△OPQ 面积的取值范围是(0，1)．说明：命题人用直线OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，是为了告知直线PQ 斜率为±12.。

2014年二轮复习椭圆之弦长面积范围问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之弦长面积范围问题高考大纲自检自查必考点设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++= 即222222212()10k km m x x a b b b +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.题型一：弦长问题222222121212''11()41()41'''B C AB k x x kx x x x kk A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+注意：',','A B C 对应联立后的一元二次方程的二次项，一次项和常数项的系数.自检自查必考点OyxBA题型二：三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ d PH ==12ABP S AB d ∆=⋅==焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,FABF ∆的面积为 112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-= 注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+d CH ==12AB x =-=ABCDSAB d =⋅==注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数.题型三：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论） （2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立.【例1】 已知圆O ：221x y +=，点O 为坐标原点,一条直线：:(b 0)l y kx b =+>与圆O 相切并与椭圆2212x y +=交于不同的两点A B 、（1）设(k)b f =,求(k)f 的表达式； （2）若23OA OB ⋅=，求直线l 的方程；（3）若23()34OA OB m m ⋅=≤≤，求三角形OAB 面积的取值范围.例题精讲【例2】 已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．【例3】 已知,A B 是椭圆2822=+y x 上两点，O 是坐标原点，定点)0,1(E ，向量OA ．OB 在向量OE 方向上的投影分别是,m n ，且7OA OB mn ⋅=-，动点P 满足OB OA OP += （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点E 的直线l 与C 交于两个不同的点M N ,，求EM EN ⋅的取值范围。

专题37椭圆中与面积有关的取值范围问题取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.如图37-1所示，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，左准线方程为x＝－2.图37-1(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．求椭圆中某个三角形的面积的最值或范围问题，一般是从函数角度出发，本题也是如此，而构建函数是本题的关键，先是选择变量，条件OA⊥OB启示本题应选直线OA(或OB)的斜率k为变量，根据三角形的几何特征，通过代数计算建立三角形的面积关于k的函数，然后利换元法求出最终结果.如图37-3所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．图37-3设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图37-4所示．图37-4(1)求OQ OP 的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．如图37-5所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．图37-5已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．如图37-6所示．图37-6(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图37-7所示．图37-7(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值．(本小题满分14分)(2019·苏北七市三模)如图37-8所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A (0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M (0,1)．图37-8(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N . 若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率.(1)x 24＋y 23＝1；(2)±12.(1)因为椭圆C 的上顶点为A ()0 ， 3，所以b ＝3，又圆O : x 2＋y 2＝14a 2经过点M ()0 ， 1，所以a ＝2. …………………………………………………………………………………………2分(求出a )所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)若l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.…………………………………………………………………………………5分(检验l 1的斜率为0是否合理)设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1)消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，设P ()x 1 ， y 1，Q ()x 2 ， y 2，则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2， 所以|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2||x 1－x 2＝461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2.…………………8分(利用弦长公式求出PQ )直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，圆心到直线的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以|MN |＝21－k 21＋k 2＝21＋k 2. …………………………………………………………………11分(由| MN |＝2 r 2－d 2 容易求得MN )所以△PQN 的面积S ＝12|PQ |·|MN |＝12×461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.…………………………………………………………14分(将求得的PQ ，MN 代入面积公式求出l 1的斜率)答题模板 第一步：由圆O 过点M ，求出a ；第二步：求出椭圆的方程；第三步：检验l 1的斜率为0时，题设是否成立；第四步：联立方程，由弦长公式求出PQ ；第五步：由圆心到直线的距离和半径求出圆的弦长MN ； 第六步：将求出的PQ ，MN 代入S △PQN ＝3求得斜率k .作业评价点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上的动点，F 1，F 2是左右焦点，若∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是_________．若椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是________．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，D ，动点P 满足P A PB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则此椭圆的离心率为_________．已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________．过椭圆x 216＋y 24＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________．椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．如图37-10所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．图37-10如图37-11所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B，C 两点，过B，C两点且分别与直线AB，AC垂直的直线相交于点D.已知椭圆E的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455.(1)求椭圆E的标准方程；(2)证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求△BCD面积的最大值．图37-11。

椭圆中的最值与范围问题作者：段开发来源：《金田》2015年第03期摘要：圆锥曲线在新课标考卷中的地位是不言而喻，同时大题的难度也是师生公认的。

对这样的题我们应该从平时做起、从点面做起，不断进行归类总结，逐类、逐点突破，这样才能达到预期的目的。

椭圆又是圆锥曲线的重点，对椭圆的学习就显得十分重要。

下面我从一个侧面谈谈椭圆中的最值和范围问题。

关键词：椭圆；范围；最值与椭圆有关的一些问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题的解题思路可从下面两点说起。

（1）、一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.（2）解决椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中的范围问常用的关系有：①-a≤x≤a，-b≤y≤b；②离心率0例1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解答、（1）由4x2+y2=1y=x+m得5x2+2mx+m2-1=0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ=4m2-20（m2-1）≥0解得-52≤m≤52.（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由（1）知：5x2+2mx+m2-1=0，所以x1+x2=-2m5，x1x2=15（m2-1）所以|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2=2（x1-x2）2=2[（x1+x2）2-4x1x2]= 24m225-45（m2-1）=2510-8m2所以当m=0时，|AB|最大，此时直线方程为y=x.变式练习：在本例中，设直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程解答：可求得O到AB的距离d=|m|2，又|AB|=2510-8m2，∴S△AOB=12|AB|·d=12·2510-8m2·|m|2=25 54-m2m2≤25·54-m2m22=14.当且仅当“54-m2=m2”时，上式取“=”.此时m=±104∈-52，52.∴所求直线方程为x-y±104=0.反思与悟领本题主要运用了方程思想、函数思想和均值不等式思想。

椭圆面积知识点归纳总结
椭圆是一种常见的几何形状，它有许多有趣的性质和应用。

在这篇文档中，我们将归纳总结椭圆面积的相关知识点。

椭圆的定义
椭圆是指平面上一点到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆的主要特点
- 椭圆有两个焦点，它们的距离称为椭圆的焦距。

- 椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，短轴是垂直于长轴且通过椭圆中心的线段。

- 椭圆的长轴和短轴的长度分别称为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆面积公式
椭圆的面积可以通过以下公式计算：
面积= π * a * b
其中，a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。

π 是圆周率，取值约为 3..
椭圆面积的推导
椭圆的面积可以通过对椭圆进行分割，将其视为无数个狭长的矩形的和来推导得到。

这个过程比较复杂，可以参考相关的数学教材或资源进行详细研究。

椭圆面积的应用
椭圆面积的计算可以应用于很多实际问题，例如：
- 建筑物的地板面积计算
- 圆形舞台的搭建和布置
- 椭圆形冰场的面积计算
总结：
椭圆面积知识点的归纳总结包括了椭圆的定义、主要特点、面积公式、推导方法以及应用领域。

椭圆面积的计算是一个重要的数学问题，在实际中有着广泛的应用。