概率树分析方法

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概率树分析方法示例
某新产品生产项目，影响未来净现金流量的不确定因素主要是产品的市场销售情况和原材料价格水平。

据分析，市场销售状态有畅销、一般、滞销三种可能（分别记作θm1，θm2，θm3）,原材料价格水平状态有高、中、低三种可能（分别记作θp1，θp2，θp3）。

市场销售状态与原材料价格水平状态之间是相互独立的。

各种市场销售状态和原材料价格水平状态的发生概率如表所示，各种可能的状态组合所对应的方案现金流量如表所示。

试计算方案净现值的期望值与方差（i c=12%）。

表
【问题】
（1）用概率树法分析计算净现值的期望值，并分析项目经济性。

（2）计算净现值的方差、标准差和离散系数，分析净现值偏离期望值的程度。

（3）计算累计概率，并画出累计概率图，分析项目风险性。

【解答】
(1) 绘制概率树（如图所示），计算净现值期望值NPV=267.44万元。

净现值期望值大于0，说明该项目期望的盈利水平达到所要求的盈利水平，在经济上是可接受的。

发生的可能性（概率）
净现值（万元）加权净现值（万元）0.3×0.4=0.120.12
0.060.2
0.20.1
0.080.080.04-1000+390（P/A,12%,5)
=405.86
622.15
838.44
117.48261.67405.86
-170.90-98.81-26.71405.86×0.12=48.70
74.66
50.31
23.50
52.3340.59
-13.67
-7.90
-1.07合计
1.00
267.44
（2）方差计算见表，则净现值的方差为
=s S 72943.69，
标准差为
08.27069.729432===S S
离散系数为
014.144
.26608
.270===
NPV S β 显然，该项目的净现值离散程度较大。

表
（3）将表中的各种状态组合按其所对应的净现值的大小由小到大重新排序，并按重新排序后的状态组合序号依次计算出累计概率，见表。

表
根据表的数据绘制净现值累计概率图，如图所示。

图净现值累计概率图
从表和图中可计算出净现值小于0的概率为
{}237.0)2.04.0(17
.2648.11717.262.00%)12(=-⨯-+-+
=<NPV p
则项目净现值≥0的概率为
{}{}763.0237.010%)12(10%)12(=-=<-=≥NPV p NPV p
计算出该项目净现值大于或等于零的概率约为76.3%，说明项目风险不大。

高中数学概率树图举例分析

高中数学概率树图举例分析概率树图是概率论中常用的一种工具，用于解决涉及多个随机事件的概率问题。

它通过图形的形式，清晰地展示了各个事件之间的关系，帮助我们更好地理解和计算概率。

在高中数学中，概率树图经常出现在考试中，因此掌握概率树图的使用方法对于学生来说至关重要。

以一个具体的例子来说明概率树图的使用方法。

假设有一个箱子里有3个红球和2个蓝球，现在从箱子中随机抽取两个球，不放回，求抽到两个红球的概率。

首先，我们可以用概率树图来表示这个问题。

树的第一层表示第一次抽取的球的颜色，第二层表示第二次抽取的球的颜色。

树的每个分支表示一个事件的发生。

```红球（3/5）/ \红球（2/4）蓝球（2/4）/ \红球（1/3）蓝球（1/3）```从概率树图中可以看出，抽到两个红球的路径只有一条，即红球-红球。

因此，我们只需要将每个事件的概率相乘即可得到抽到两个红球的概率。

P(两个红球) = P(红球) × P(红球|红球) = (3/5) × (2/4) = 3/10通过这个例子，我们可以看到概率树图的使用方法。

首先，我们需要根据题目中的条件，确定树的层数和每个分支的概率。

然后，通过计算每个路径上事件的概率，得到最终的概率。

除了计算概率，概率树图还可以帮助我们分析问题。

例如，我们可以通过概率树图来确定某个事件的互斥事件。

互斥事件指的是两个事件不可能同时发生的情况。

再举一个例子来说明。

假设有一个箱子里有5个球，其中3个红球和2个蓝球。

现在从箱子中随机抽取两个球，放回，求至少抽到一个红球的概率。

同样地，我们可以用概率树图来表示这个问题。

```红球（3/5）/ \红球（3/5）蓝球（2/5）/ \蓝球（2/5）红球（3/5）```从概率树图中可以看出，至少抽到一个红球的路径有三条，即红球-红球、红球-蓝球、蓝球-红球。

因此，我们需要将这三个事件的概率相加即可得到至少抽到一个红球的概率。

P(至少一个红球) = P(红球-红球) + P(红球-蓝球) + P(蓝球-红球) = (3/5) × (3/5) + (3/5) × (2/5) + (2/5) × (3/5) = 23/25通过这个例子，我们可以看到概率树图不仅可以帮助我们计算概率，还可以帮助我们分析问题，确定互斥事件。

风险分析的主要方法：概率树分析

概率树分析
概念：概率分析是借助现代计算技术，运⽤概率论和数理统计原理进⾏概率分析，求得风险因素取值的概率分布，并计算期望值、⽅差或标准差和离散系数，表明项⽬的风险程度。

计算⽅法：基本步骤是：
(1) 假定输⼊变量之间是相互独⽴的，可以通过对每个输⼊变量各种状态取值的不同组合计算项⽬的内部收益率或净现值等指标。

根据每个输⼊变量状态的组合计算得到的内部收益率或净现值的概率为每个输⼊变量所处状态的联合概率，即各输⼊变量所处状态发⽣概率的乘积。

(2)评价指标(净现值或内部收益率)由⼩到⼤进⾏顺序排列，列出相应的联合概率和从⼩到⼤的累计概率，并绘制评价指标为横轴，累计概率为纵轴的累计概率曲线。

计算评价指标的期望值、⽅差、标准差和离散系数
(3)根据评价指标NPV=0，IRR=ic或(is)，由累计概率表计算P【NPV(ic)<0】或P(IRR
P【NPV(ic)≥0】=1-P【NPV(ic)<0】
P(IRR≥ic)=1-P(IRR
适⽤范围：
(1) 概率分析的理论计算法⼀般只使⽤于服从离散分布的输⼊与输出变量。

(2) 当输⼊变量数和每个变量可取的状态数较多(⼤于3个)时，⼀般不适于使⽤理论分析⽅法。

若各输⼊变量之间不是独⽴，⽽存在相互关联时，也不适⽤这种⽅法。

第2二课时用列表法和树状图分析概率

a
16
▪３、小红、小名、小芳在一起做游戏时，需要确定做游
戏的先后顺序，他们约定用
“剪子、包袱、锤”的方式
确定，问在一个回合中三人都出包袱的概率是多少？
a
17
▪４、小明和小红在做掷两枚普通的正方体骰子，并把两枚骰子
的点数相加的游戏。如果规定掷出“和为6”，则小明胜；掷出 “和为5”，则小红胜。试利用
▪ （1）该顾客至少可得到
元购物券，至
多可得到
元购物券；
▪ （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不a 低于30元的概率． 21
课后练习
a
22
1．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是二等品的概率等于( )．
1
1
1
A． 3 B．1 2 C． 4
D．1．
a
23
2.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3， 4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的一半的概率是（）．
A. 1 B. 2
2
3
C. 1
1
D.
3
6
a
24
3、有100张卡片（从1号到100号），从中任取1 张，取到的卡号是7的倍数的概率为（）.
（1）共有多少种可能性相同的结果？
（2）摸出2个黑球有多少种的结果？
（3）摸出两个黑球的概率是多少？
a
28
7．从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙
地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某
人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地
的方法有（）种．