七年级数学下册《用尺规作三角形》典型例题(含答案)

4.4 用尺规作三角形同步练习一.选择题1．尺规作图是指（）A．用量角器和刻度尺作图 B．用圆规和有刻度的直尺作图C．用圆规和无刻度的直尺作图 D．用量角器和无刻度的直尺作图2．如图，两钢条中点连在一起做成一个测量工件，AB的长等于内槽宽A'B'，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4. 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，其理论依据是全等三角形判定定理（）A．SAS B．HL C．AAS D．ASA7．小明将一块三角形的玻璃棒摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），若只带一块配成原来一样大小的三角形，则应该带第块．8．小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD=a，EH=b，则四边形风筝的周长是．9.用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是.10．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．作法：（1）作一条线段AB= ；（2）分别以、为圆心，以为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接、，则△ABC就是所求作的三角形．11．作图题的书写步骤是、、，而且要画出和结论，保留．12．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是．13．如图，已知△ABC，用尺规作出△ABC的角平分线BD．（保留作图的痕迹，不写作法）14．如图所示，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，因无法直接量出A，B两点的距离，请你设计一种方案，求出A，B的距离，并说明理由．15．数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A、B、C、D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中间的两根木条上滑动，AE=CE=BF=DF．求证：∠AOE=∠EOF=∠FOD．一.选择题1．【答案】C；【解析】尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规．故选：C．2．【答案】B；【解析】∵两钢条中点连在一起做成一个测量工件，∴OA′=OB，OB′=OA，∵∠AOB=A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′．所以AB的长等于内槽宽A'B'，用的是SAS的判定定理．3．【答案】D；【解析】解：根据作图过程可知O′C′=OC，O′B′=OB，C′D′=CD，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）．故选D．4．【答案】C；【解析】根据已知所给条件，结合图形中隐含的公共边条件，可以得到A、B、D中的三角形是可以全等，唯有C答案中的两个三角形不能全等，所以答案为C.5．【答案】D；【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角角边”定理作出完全一样的三角形．故选D．6．【答案】C ；【解析】作出图形，利用“角角边”证明全等三角形的判定即可．二.填空题7．【答案】2；【解析】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．8．【答案】2a+2b；【解析】△DEH和△DFH中ED=FD，∠EDH=∠FDH，DH=DH∴△DEH≌△DFH∴EH=FH=b又∵ED=FD=a，EH=b∴该风筝的周长=2a+2b.9．【答案】SAS；【解析】用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．10．【答案】a；A；B；2a；AC，BC；【解析】作法：（1）作一条线段AB=a；（2）分别以A、B为圆心，以 2a为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形．11．【答案】已知、求作、作法，图形，作图痕迹；【解析】作图题的书写步骤是已知、求作、作法，而且要画出图形和结论，保留作图痕迹．12. 【答案】75°．【解析】如图，∵含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，∴AB∥CD，∴∠3=∠4=45°，∴∠2=∠3=45°，∵∠B=30°，∴∠1=∠2+∠B=30°+45°=75°.三.解答题13. 【解析】解：如图：14.【解析】解：在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长．15. 【解析】证明：在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE（SSS），∴∠AOE=∠COE，同理∠COE=∠FOD，∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．。

图4-4-6
作法:如图4-4-7所示,(1)作射线AM,并在AM上截取(jiéqǔ)线段AB=c;(2)以点A 为圆心,b为半径作弧;(3)以点B为圆心,a为半径作弧,交前面的弧于点C, 连接AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形.
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图4-4-7
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例 小明教材上的三角形被墨迹污染了一部分,如图4-4-8,他想在作业(zuòyè) 本上画一个与教材上完全一样的三角形,他该怎么办?你能帮助他画出 来吗?
2
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1.如图所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D、E为两个顶点(dǐngdiǎn)作位置
不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以
作出
个.
答案(dáàn) 4
解析 可以使B、D为对应顶点,C、E为对应顶点,这样可以分别在DE
的上下方(xià fānɡ)各作一个三角形,同理,使B、E为对应顶点,C、D为对应顶点, 也可以作2个三角形,故一共可作4个满足条件的三角形.
答案 C A.AC+AB=4+5=9<10=BC,三边(sān biān)不能组成三角形,A不正确;B. ∵AC=4,AB=5,∠B=60°,由SSA不能得出两三角形全等,∴AC=4,AB=5, ∠B=60°不能确定唯一的三角形,B不正确;C.∵∠A=50°,∠B=60°,AB=2,由 ASA能得出两三角形全等,∴∠A=50°,∠B=60°,AB=2能确定唯一的三角 形,C正确;D.∵∠C=90°,AB=5,缺少证明两三角形全等的条件,∴∠C=90°,
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图4-4-3

第四章三角形第4节用尺规做三角形课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCP ODP△≌△的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS2．用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到△COD△△C'O'D'的依据是（）A．SAA B．SSS C．ASA D．AAS3．不能用尺规作图作出唯一三角形的是（）A．已知两角和夹边B．已知两边和夹角C．已知两角和其中一角的对边D．已知两边和其中一边的对角4．如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，内错角相等D．内错角相等，两直线平行5．已知△BOP 与OP 上点C ，点A （在点C 的右边），李玲现进行如下操作：△以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交OB 于点D ；△以点A 为圆心，OC 长为半径画弧MN ，交OA 于点M ；△以点M 为圆心，CD 长为半径画弧，交弧MN 于点E ，作射线AE ，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）.A ．△ACD=△EAPB ．△ODC=△AEMC ．OB△AED ．CD△ME6．下列作图属于尺规作图的是（ ）． A ．画线段3cm MN =B ．用量角器画出AOB ∠的平分线C ．用三角尺作过点A 垂直于直线l 的直线D ．已知α∠，用没有刻度的直尺和圆规作AOB ∠，使2AOB α∠=∠ 7．在△ABC 中，AB=AC ，△A=80°，进行如下操作：△以点B 为圆心，以小于AB 长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ； △分别以E 、F 为圆心，以大于12EF 长为半径作弧，两弧交于点M ；△作射线BM 交AC 于点D ， 则△BDC 的度数为（ ）.A ．100°B ．65°C ．75°D ．105°8．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC ＝BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．评卷人得分二、填空题9．如图所示，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB=a，BC=AC=2a．作法：（1）作一条线段AB=_________ ；（2）分别以______ 、______为圆心，以________为半径画弧，两弧交于C点；（3）连接_________、________，则△ABC就是所求作的三角形．10．用不带刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则可说明=A OB AOB'''∠∠，其中判断COD C O D'''∆∆≌的依据是______．11．已知，△AOB ．求作：△A′O′B′，使△A′O′B′=△AOB ．作法：△以________为圆心，________为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D ．△画一条射线O′A′，以________为圆心，________长为半径画弧，交O′A′于点C′，△以点________为圆心________长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．△过点________画射线O′B′，则△A′O′B′=△AOB ．12．如图，在△ABC中，△C=90°，△B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则△ADB=________．13．用尺规作一个角等于已知角如下图所示，则说明∠AOB=∠A′O′B′的依据是______（填“SSS” “SAS” “AAS” 或“ASA”）14．已知：AOB∠，求作AOB∠的平分线；如图所示，填写作法：△_________________________________________________________________.△ _________________________________________________________________.△ _________________________________________________________________.评卷人得分三、解答题15．如图，已知线段a和α∠，求作Rt ABC∆，使190,,2C BC a ABCα∠=︒=∠=∠（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．16．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程.已知：线段m，n及△O .求作：△ABC，使得线段m，n及△O分别是它的两边和一角.作法：如图,△以点O为圆心，m长为半径画弧，分别交△O的两边于点M ,N；△画一条射线AP，以点A为圆心，m长为半径画弧，交AP于点B；△以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第△步中所画的弧相交于点D；△画射线AD；△以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；△连接BC ，则△ABC即为所求作的三角形.请回答:（1）步骤△得到两条线段相等，即= ；（2）△A＝△O的作图依据是；（3）小红说小明的作图不全面，原因是.17．如图，已知△α和△β，线段c，用直尺和圆规作出△ABC，使△A=△α，△B=△β，AB=c（要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法）18．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．19．已知：线段a，△α．求作：等腰△ABC，使其腰长AB为a，底角△B为△α．要求：用尺规作图，不写作法和证明，但要清楚地保留作图痕迹．20．按要求作图（保留组图痕迹，不必写作法）用直尺和圆规做一个角，使它等于△α参考答案：1．D【解析】【详解】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP△△ODP．故选D．2．B【解析】【分析】利用作法可以得到OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法可判断△COD△△C'O'D'．【详解】解：由作法得OD＝OD′＝OC＝OC′，CD＝C′D′，所以可根据“SSS”证明△COD△△C'O'D'．故选：B．【点睛】本题考查作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．3．D【解析】【分析】把尺规作图的唯一性转化成全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判定即可．【详解】A. 已知两角和夹边，满足ASA，可知该三角形是唯一的；B. 已知两边和夹角，满足SAS，可知该三角形是唯一的；C. 已知两角和其中一角的对边，满足AAS，可知该三角形是唯一的；D. 已知两边和其中一边的对角，满足SSA，不能确定三角形是唯一的.故选D. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法. 4．D 【解析】 【详解】解：如图所示，根据图中直线a 、b 被c 所截形成的内错角相等，可得依据为内错角相等，两直线平行. 故选D. 5．A 【解析】 【分析】证明△OCD△△AME ，根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】在△OCD 和△AME 中， OC AM OD AE CD ME =⎧⎪=⎨⎪=⎩， △△OCD △△AME (SSS )，△△DCO =△EMA ，△O =△OAE ，△ODC =△AEM . △CD △ME ,OB △AE . 故.B.C.D 都可得到, △△OCD △△AME ，△△DCO =△AME ，则△ACD =△EAP 不一定得出, 故选:A. 【点睛】考查作图-作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等，比较基础. 6．D 【解析】 【详解】解：根据尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规作图，不难判断，只有D 选项属于尺规作图．故选D．【点睛】点睛：掌握尺规作图的概念．7．D【解析】【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出△ABC=△C=50°，再利用角平分线的性质与作法得出即可．【详解】△AB=AC，△A=80°，△△ABC=△C=50°，由题意可得：BD平分△ABC，则△ABD=△CBD=25°，△△BDC的度数为：△A+△ABD=105°．故选D．【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，得出BD平分△ABC是解题关键．8．B【解析】【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选B．考点：作图—复杂作图9．a；A；B;2a;AC BC【解析】【详解】作法：(1)作一条线段AB=a；(2)分别以A. B 为圆心，以2a 为半径画弧，两弧交于C 点；(3)连接AC 、BC ，则△ABC 就是所求作的三角形．故答案为a ；A ；B ；2a ；AC ，BC.10．SSS【解析】【分析】观察作图过程，分别是以点O '为圆心，以OC （或OD ）为半径作弧，再以C '为圆心，以CD 为半径作弧得到，根据全等三角形的判定定理可得结果【详解】解：由图可得△A O B '''的得出过程如下：先以点O '为圆心，以OC （或OD ）为半径作弧，再以C '为圆心，以CD 为半径作弧，两弧相交于点D连结O D ''并延长，得射线O B ''即得△A O B '''由作图过程可知：在△COD 与△C O D '''中OD O D OC O C CD C D '''''=⎧'⎪=⎨⎪=⎩ 故COD C O D '''∆∆≌（SSS ）故答案为：SSS【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，解题的关键是能通过观察图形，理解作图过程 11． O 任意长 O′ OC C CD D′【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法解答即可．【详解】△以O 为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA ， OB 于点C 、D ．△画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′，△以点C为圆心CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．△过点D′画射线O′B′，则△A′O′B′=△AOB.故答案为：(1). O；(2). 任意长；(3). O′；(4). OC；（5）. C ；(6). CD ；(7). D′【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角，是基本作图，需熟练掌握．12．125°【解析】【分析】根据角平分线的作法可得AD平分△CAB，再根据三角形内角和定理可得△ADB的度数．【详解】解：由题意可得：AD平分△CAB，△△C=90°，△B=20°，△△CAB=70°，△△CAD=△BAD=35°，△△ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．故答案为125°．【点睛】此题主要考查了角平分线的作法以及角平分线的定义，熟练根据角平分线的定义得出△DAB度数是解题关键．13．SSS【解析】【详解】分析: 由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,依据SSS可判定△COD△△C'O'D',则△COD△△C'O'D',即△A'O'B'=△AOB（全等三角形的对应角相等）．详解: 作图的步骤:△以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D,△任意作一点O′,作射线O′A′,以O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′,△以C′为圆心,CD长为半径画弧,交前弧于点D′,△过点D′作射线O′B′,所以△A′O′B′就是与△AOB相等的角,作图完毕.在△OCD与△O′C′D′,O′C′＝OCO′D′＝ODC′D′＝CD△△OCD△△O′C′D′（SSS ）,△△A′O′B′=△AOB,显然运用的判定方法是SSS.故答案为:SSS.点睛:本题主要考查作已知角的等角的方法和原理,解决本题的关键是要熟练掌握作已知角的等角的方法.14． 以O 为圆心,适当长为半径作弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ； 分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧在△AOB 内部交于点C ； 作射线OC ．则射线OC 即为所求．【解析】【详解】（1）以O 为圆心,适当长为半径作弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧在△AOB 内部交于点C ； （3）作射线OC ，则射线OC 即为所求．点睛：本题考查了角平分线这一基本作图，是利用了三角形全等的SSS 判定方法进行作图的.15．见解析【解析】【分析】先作射线CM ，在CM 上截取CB=a ，过点C 作垂线CN ，垂足为C ，在点B 处作12ABC α∠=∠，角的另一边交射线CN 于点A ，即可得到图形．解：如下图，作1 2α∠的角；如图，Rt ABC∆为所求．【点睛】本题考查了基本作图，作三角形，作角，作线段，解题的关键是掌握基本作图的方法和步骤进行画图．16．（1）BD,MN; （2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论.【解析】【分析】根据题意，按步骤解答即可.【详解】（1）BD,MN;（2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．17．详见解析．【解析】试题分析：先作△MAN=α，再在AM上取AB=c，再以B为顶点作△ABC=β，两角的一边交于点C，△ABC就是所求三角形．试题解析：如图，△ABC就是所求三角形．考点：尺规作图18．见解析．【解析】【分析】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．利用角平分线的性质以及作法和线段垂直平分线的作法与性质分别得出即可．【详解】根据题意，电视信号发射塔既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔的位置．如图所示：点P就是发射塔修建的位置．【点睛】本题考查了作图与角平分线以及垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线以及垂直平分线的性质并且能根据题意作图．19．见解析【解析】【分析】△作一底角△B为△α；△在△B的一边上截取AB=a；△以点A为圆心，AB长为半径画弧，与△B的另一边相交于点C，连接BC，△ABC就是所求的等腰三角形ABC．【详解】如图所示，△ABC即为所求．20．见解析【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．【详解】如图所示：【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．。

北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（）A．点O在点A的南偏东60°方向上B．点B在点A北偏东30°方向上C．点B在点O北偏东60°方向上D．点B在点O北偏东30°方向上2．在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（）A．B．C．D．3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG 是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作一条线段等于已知线段C．作已知直线的垂线D．作角的平分线6．如图，在△ABC中，过点A作BC边上的高，正确的作法是（）A．B．C．D．7．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①8．如图所示的作图痕迹作的是（）A．线段的垂直平分线B．过一点作已知直线的垂线C．一个角的平分线D．作一个角等于已知角9．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 10．如图，过点P画出直线AB的垂线．下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题）11．如图，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作圆弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若∠CAB＝50°，则∠ADC的大小为度．12．小为同学和小辰同学研究一个数学问题：尺规作图：作三角形的高线．已知：△ABC．尺规作图：作BC边上的高AD．他们的作法如下：①分别以B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F．②连接AF，与BC交于点D，则线段AD即为所求．③以A为圈心，AB为半径画弧，与BC交于点E．老师说：“你们的作法思路正确，但作图顺序不对．”请回答：其中顺序正确的作图步骤是（填写序号）．判断线段AD为BC边上的高的作图依据是．13．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为．14．如图，∠ADB＝°．15．某学习小组中有甲、乙、丙、丁四位同学，为解决尺规作图：“过直线AB外一点M，作一直线垂直于直线AB”，各自提供了如下四种方案：其中正确的有．16．小明在运用尺规作已知∠O的平分线时，他的作法是．17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）以为圆心，为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．（2）画一条射线O′A′，以为圆心，长为半径画弧，交O′A′于点C′，（3）以点为圆心长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．（4）过点画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．三．解答题（共30小题）18．作图题：如图，平面内有四个点A、B、C、D，请你利用直尺和圆规，根据下列语句画出符合要求的图，请保留作图痕迹．（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在直线AB上找一点M，使线段MD与线段MC之和最小；（3）在线段AD的延长线上截AE＝3AD，连线段CE交直线AB于点F．19．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图：（1）画线段AB、射线DC、直线AD；（2）画∠CDB；（3）找一点P，使P既在直线AD上，又在直线BC上．20．已知点A，B，C（如图），按要求完成下列问题：（1）画出直线BC、射线CA、线段AB．（2）过C点画CD⊥AB，垂足为点D．（3）在以上的图中，互余的角为，互补的角为．（各写出一对即可）21．如图，点B在线段AC上，且AB＝2BC＝2．（1）尺规作图：延长线段AC到D，使CD＝AC（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若点E是线段BD中点，求线段AE的长．22．结合图形，完成下列问题：（1）如图，观察图1到图2的变化，用“文字语言”描述图2的形成过程；（2）在图2中按要求完成下列作图，不写作法：①作直线AC，射线BA；②延长BC至点D，使CD＝BC．23．如图，在△ABC中，∠A＝20°．（1）过顶点B，画出AC边上的高，垂足为D点；（2）求∠ABD的度数．24．在△ABC中，画出BC边上的高线，∠B的角平分线．25．已知∠AOB，求作∠COD，使∠COD＝∠AOB．26．如图，过P点，画出OA、OB的垂线．27．如图，直线AB、CD相交于点O，P是CD上一点，（1）过点P作AB的垂线段PE；（2）过点P作CD的垂线，与AB相交于点F；（3）将线段PE、PF、FO从小到大排列为，这样排列的依据是．28．已知∠AOB．求作∠A′O′B′和射线O′P，使∠A′O′B′＝∠AOB，O′P平分∠A′O′B′（不写作法，保留作图痕迹并用黑色笔涂黑）29．在用尺规作线段AB等于线段a时，小明作射线AM，在射线AM上截取AB＝a，如图所示．已知：如图所示，线段b．（1）请你仿照小明的作法，再在射线BM上作线段BD，使得BD＝b；（不要求写作法）（2）在（1）的条件下，取AD的中点E，若AB＝10，BD＝6，求线段BE的长．30．如图，已知△ABC．（1）用尺规分别作出∠B、∠DAC、∠ECA的平分线；（2）观察所作图形，你有什么发现？并证明你的猜想．31．如图所示AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；请仅用无刻度的直尺按要求画图．在图中，画出△ABC的三条高线的交点．32．如图，在△ABC中．（1）画出BC边上的高AD和中线AE（2）若∠B＝43°，求∠BAD的度数．33．直角三角形ABC中，∠C＝90°．（1）用尺规作图法作斜边AB的垂直平分线DE，交BC于点E，垂足为D．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）已知BC＝8，AB＝10，求BE的长．34．请按下列要求认真画图并填空．（1）画∠AOB＝60°，作∠AOB的平分线OC；（2）在射线OC上截取线段OP＝4cm；（3）过点P画OA的垂线，垂足为D；再过点P画OB的垂线，垂足为E；（4）量出线段PD、PE的长度，PD＝cm，PE＝cm；（5）若P是OC上任意一点，则线段PD与PE的大小关系为：PD PE．35．如图所示，过直线l外一点C画直线l的垂线，请你根据作图痕迹，叙述画图过程．36．如图，由共顶点O的三条射线OA、OB、OC组成的图形．（1）用量角器量出∠AOB、∠BOC的大小（精确到1°）．（2）在图（1）中画出∠BOC的平分线OD；（3）在图（2）中画出∠AOE，使∠AOE＝30°；（4）利用以上各问中角的大小，计算∠BOE的大小．37．李老师为了了解学生在家情况，准备去几个同学家家访，他事先知道：（1）张丽在学校北偏东45°方向上，距离学校2km；（2）在张丽家他了解到李超家在张丽家正东500m处；（3）在李超家他了解到刘东家在李超家西偏北60°方向上，到李超家1km．根据这些信息，请你画一张表示各处位置的图．38．如图，已知点P是∠AOB的外部一点．（1）请用尺规过点P作直线PE∥OB，PE交OA于E，作直线PF∥OA，PF交OB反向延长线于点F（不写作法，保留作图痕迹）；（2）判断∠EPF与∠AOB的数量关系，并说明理由．39．按要求作图．（1）如图①，△ABC内有一点P，过P点分别画三边的垂线；（2）如图②，过点A画BC、CA和AB的垂线．40．如图，直线a与b相交于点O，M是直线a，b外一点．（1）过点M作直线c，使c∥a；（2）过点M作直线c′，使c′⊥b．41．作一个角等于已知角α（0＜α＜180°）的补角．42．如图，已知∠AOB．（1）用直尺和圆规作射线OP，使OP⊥OB，并分别作∠POA、∠AOB的平分线OM、ON；（2）求∠MON的度数．43．画图并回答问题．（1）如图，已知点P在∠AOC的边OA上．①过点P画OA的垂线交OC于点B；②画点P到OB的垂线段PM．（2）上述作图中表示点P到OC的距离的是线段的长度．（3）比较PM与OP的大小，并说明理由．44．如图，请按要求作图，并回答问题：（1）过点C画线段AB的垂线，垂足为点D；（2）该垂线是否经过格点﹖如果经过格点，请在图中标出所经过的格点；（3）量一量点C到AB的距离（精确到1mm）45．读下列语句并作图形．（1）直线a，b，c是三条平行直线，直线m分别与直线a，b，c相交于点A、B、C，且直线n与直线m平行；（2）直线a，b互相垂直，O是直线a，b外一点，直线m，n过点O，且平行于a，n 平行于b．46．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．（1）用尺规作图作∠BAC的角平分线AD．（不要求写作法、证明，但保留作图痕迹）；（2）求△ABC的面积．47．已知，如图，∠A0B边上的点D．过点D作DF∥OA．（保留作图痕迹，不写作法）你有几种方法？北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（）A．点O在点A的南偏东60°方向上B．点B在点A北偏东30°方向上C．点B在点O北偏东60°方向上D．点B在点O北偏东30°方向上【分析】如图想办法求出∠DOB的度数即可解决问题；【解答】解：如图由题意：∠AOD＝30°，∠COD＝90°，∴∠AOC＝120°，由作图可知，OB平分∠AOC，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，∴∠DOB＝30°，∴点B在点O北偏东30°方向上，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图、方向角、角平分线的作法等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．2．在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答【解答】解：BC边上的高应从点A向BC引垂线，只有选项D符合条件，故选：D．【点评】掌本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解三角形的高的概念．3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG 是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【分析】运用作一个角等于已知角可得答案．【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD＝∠CAB＝25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA＝90°﹣25°＝65°．【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，∵∠C＝90°，∴∠CDA＝90°﹣25°＝65°，故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及直角三角形的性质．关键是掌握直角三角形两锐角互余．5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作一条线段等于已知线段C．作已知直线的垂线D．作角的平分线【分析】根据作一条线段等于已知线段即可解决问题；【解答】解：已知三边作三角形，用到的基本作图是作一条线段等于已知线段，故选：B．【点评】本题考查基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考基础题．6．如图，在△ABC中，过点A作BC边上的高，正确的作法是（）A．B．C．D．【分析】从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此作高．【解答】解：在△ABC中，过点A作BC边上的高，如图：故选：D．【点评】本题主要考查了学生利用三角板和直尺画三角形的高的作图能力．7．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【分析】找出依据即可依此画出．【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；作射线OC．故其顺序为②③①．故选：C．【点评】本题很简单，只要找出其作图依据便可解答．8．如图所示的作图痕迹作的是（）A．线段的垂直平分线B．过一点作已知直线的垂线C．一个角的平分线D．作一个角等于已知角【分析】根据图形发现此基本作图为过直线外一点作已知直线的垂线，据此求解．【解答】解：观察作图痕迹发现该基本作图为：过直线外一点作已知直线的垂线．故选：B．【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解五个基本作图，只要了解这五个基本作图解决本题就很简单了．9．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，∠O＝∠O'故选：C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．10．如图，过点P画出直线AB的垂线．下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据垂线的定义即可判断．【解答】解：过点P画出直线AB的垂线，正确的是A，故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图、垂线的定义等知识，掌握垂线的定义是解题的关键．二．填空题（共7小题）11．如图，在△ABC中，∠C＝90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作圆弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若∠CAB＝50°，则∠ADC的大小为65度．【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，则根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠CAB＝25°，然后利用互余计算∠ADC的度数．【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CAB＝25°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°．故答案为65．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．12．小为同学和小辰同学研究一个数学问题：尺规作图：作三角形的高线．已知：△ABC．尺规作图：作BC边上的高AD．他们的作法如下：①分别以B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F．②连接AF，与BC交于点D，则线段AD即为所求．③以A为圈心，AB为半径画弧，与BC交于点E．老师说：“你们的作法思路正确，但作图顺序不对．”请回答：其中顺序正确的作图步骤是（填写序号）③①②．判断线段AD为BC边上的高的作图依据是到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．【分析】利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）可得到正确的作图步骤，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断AD⊥BC．【解答】解：作法如下：先以A为圈心，AB为半径画弧，与BC交于点E，再分别以B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧交于点F，然后连接AF，与BC交于点D，因为根据到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以线段AD⊥BC，即AD为高．故答案为③①②；到线段两点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．13．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为65°．【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠ABC＝40°∴∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．【点评】本题综合考查了作图﹣﹣复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG 是∠CAB平分线是解答此题的关键．14．如图，∠ADB＝110°．【分析】利用角平分线的性质得出∠CAD＝∠DAB＝20°，进而利用三角形内角和定理求出即可．【解答】解：如图所示：可得AD平分∠CAB，∵∠C＝90°，∠B＝50°，∴∠CAB＝40°，∴∠CAD＝∠DAB＝20°，∴∠ADB＝180°﹣20°﹣50°＝110°．故答案为：110．【点评】此题主要考查了基本作图以及角平分线的性质和三角形内角和定理，得出∠CAD ＝∠DAB是解题关键．15．某学习小组中有甲、乙、丙、丁四位同学，为解决尺规作图：“过直线AB外一点M，作一直线垂直于直线AB”，各自提供了如下四种方案：其中正确的有甲、乙、丙．【分析】根据作已知线段的垂直平分线可对甲、乙进行判断；根据圆周角定理对丙进行判断．【解答】解：甲作了AB垂直平分过点M的线段；乙作了线段AB的垂直平分线；丙作了以AM为直径的圆；丁的作法不明确．故答案为：甲、乙、丙．【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．16．小明在运用尺规作已知∠O的平分线时，他的作法是①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的角平分线．．【分析】只要在OB上取M，以O为圆心，OM为半径画圆，交OA于点N，连接CD，再分别以大于MN为半径，M，N，为圆心画圆，进而得出OC即为∠AOB的平分线．【解答】解：①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的角平分线．【点评】本题主要考查作已知角的平分线，熟练掌握角平分线的作法是解题关键．17．已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．（2）画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，（3）以点C′为圆心CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．【分析】利用作一个角等于已知角的基本方法求解即可．【解答】解：已知，∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA，OB于点C，D．（2）画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．（4）过点D′画射线O′B′′，则∠AO′B′＝∠AOB．故答案为：O，任意长，O′，OC，C′，CD，D′．【点评】本题主要考查了基本作图，解题的关键是熟记作一个角等于已知角．三．解答题（共30小题）18．作图题：如图，平面内有四个点A、B、C、D，请你利用直尺和圆规，根据下列语句画出符合要求的图，请保留作图痕迹．（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在直线AB上找一点M，使线段MD与线段MC之和最小；（3）在线段AD的延长线上截AE＝3AD，连线段CE交直线AB于点F．【分析】（1）根据几何语言画出对应几何图形；（2）连接CD交AB于M，利用两点之间线段最短可得到此时M点使线段MD与线段MC之和最小；（3）在AD的延长线截取DE＝2AD，然后连接CE交AB于F．【解答】解：（1）如图，直线AB，射线AC，线段BC为所作；（2）如图，点M为所作；（3）如图，点E、F为所作．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．19．如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图：（1）画线段AB、射线DC、直线AD；（2）画∠CDB；（3）找一点P，使P既在直线AD上，又在直线BC上．【分析】（1）利用几何语言画出对应几何图形即可；（2）作射线DB可得到∠CDB；（3）作出直线AD与直线BC的交点即可．【解答】解：（1）如图，线段AB，射线DC，直线AD为所作；（2）如图，∠CDB为所作；（3）如图，点P为所作．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20．已知点A，B，C（如图），按要求完成下列问题：（1）画出直线BC、射线CA、线段AB．（2）过C点画CD⊥AB，垂足为点D．（3）在以上的图中，互余的角为∠DBC和∠BCD等等，互补的角为∠BDC和∠ADC等等．（各写出一对即可）【分析】（1）（2）根据几何语言画出对应的几何图形；（3）根据余角和补角的定义求解．【解答】解：（1）如图，直线BC、射线CA、线段AB为所作；（2）如图，CD为所作；（3）∠DBC+∠BCD＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∠BDC+∠ADC＝180°．故答案为∠DBC和∠BCD等等；∠BDC与∠ADC．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．21．如图，点B在线段AC上，且AB＝2BC＝2．（1）尺规作图：延长线段AC到D，使CD＝AC（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若点E是线段BD中点，求线段AE的长．【分析】（1）在AC的延长线上截取CD＝AC；（2）先利用点E是线段BC的中点得到CE＝1，再利用CD＝AB＝AC+BC＝6，然后计算CD﹣CE得到线段ED的长度．【解答】解：（1）如图，点D为所作；（2）∵AB＝2BC＝2，∴BC＝1，AC＝AB+BC＝3，∴CD＝AC＝3，∴BD＝BC+CD＝4．∵点E是线段BD的中点，∴BE＝BD＝2，∴AE＝AB+BE＝4．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作一条线段等于已知线段．线段中点的定义，线段的和差，两点间的距离等知识，作出点D是解题的关键．22．结合图形，完成下列问题：（1）如图，观察图1到图2的变化，用“文字语言”描述图2的形成过程；（2）在图2中按要求完成下列作图，不写作法：①作直线AC，射线BA；②延长BC至点D，使CD＝BC．【分析】（1）由图2得到线段BC；（2）根据几何语言画出对应的几何图形．【解答】解：（1）作线段BC；（2）如图，射线BA为所作；②如图，CD为所作．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．23．如图，在△ABC中，∠A＝20°．（1）过顶点B，画出AC边上的高，垂足为D点；（2）求∠ABD的度数．【分析】（1）利用三角形高的定义，作BD⊥AC于D；（2）利用互余计算∠ABD的度数．【解答】解：（1）如图，BD为所作；（2）∵BD为高，∴BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣20°＝70°．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．24．在△ABC中，画出BC边上的高线，∠B的角平分线．【分析】作AD⊥BC于D，作BE平分∠ABC．【解答】解：如图，AD、BE为所作．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．25．已知∠AOB，求作∠COD，使∠COD＝∠AOB．【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠COD＝∠AOB．【解答】解：如图，∠COD为所作．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．26．如图，过P点，画出OA、OB的垂线．【分析】根据垂线的定义，画出垂线即可；【解答】解：（1）如图1中，PE⊥OB，PF⊥OA．（2）如图2中，PE⊥OB，PF⊥OA．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本概念，属于中考基础题．27．如图，直线AB、CD相交于点O，P是CD上一点，（1）过点P作AB的垂线段PE；（2）过点P作CD的垂线，与AB相交于点F；（3）将线段PE、PF、FO从小到大排列为PE＜PF＜OF，这样排列的依据是用垂线段最短．【分析】（1）、（2）利用题中几何语言画出对应的几何图形；（3）根据垂线段最短求解．【解答】解：（1）如图，PE为所作；（2）如图，PF为所作；（3）利用垂线段最短可判断PE＜PF＜OF．故答案为PE＜PF＜OF；用垂线段最短．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．28．已知∠AOB．求作∠A′O′B′和射线O′P，使∠A′O′B′＝∠AOB，O′P平分∠A′O′B′（不写作法，保留作图痕迹并用黑色笔涂黑）【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠A′O′B′，然后作它的平分线OP′．【解答】解：如图，O′P、∠A′O′B′为所作．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形全等的判定．29．在用尺规作线段AB等于线段a时，小明作射线AM，在射线AM上截取AB＝a，如图所示．已知：如图所示，线段b．（1）请你仿照小明的作法，再在射线BM上作线段BD，使得BD＝b；（不要求写作法）（2）在（1）的条件下，取AD的中点E，若AB＝10，BD＝6，求线段BE的长．【分析】（1）根据作一线段等于已知线段的尺规作图可得；（2）先求出AD＝16，再根据中点性质知AE＝8，由BE＝AB﹣AE可得答案．【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；（2）∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝16，又∵E是AD中点，∴AE＝8，则BE＝AB﹣AE＝2．【点评】本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段之间的和差关系．30．如图，已知△ABC．（1）用尺规分别作出∠B、∠DAC、∠ECA的平分线；（2）观察所作图形，你有什么发现？并证明你的猜想．【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出答案；。

北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》同步练习卷一．选择题（共12小题）1．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG 是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧4．如图所示的作图痕迹作的是（）A．线段的垂直平分线B．过一点作已知直线的垂线C．一个角的平分线D．作一个角等于已知角5．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC＝61°．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为（）A．100°B．65°C．75°D．105°8．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．根据上述作图步骤，下列结论正确的是（）A．射线OC是∠AOB的平分线B．线段DE平分线段OCC．点O和点C关于直线DE对称D．OE＝CE9．如图，已知△ABC，∠ABC＝2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F，分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC 于点D，则下列说法不正确的是（）A．∠ADB＝∠ABC B．AB＝BD C．AC＝AD+BD D．∠ABD＝∠BCD 10．已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC中点，分别过B、C为圆心，大于线段BC 长为半径作弧，两弧交于点P，作直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论中不正确的是（）A．ED⊥BC B．BE平分∠AEDC．E为△ABC的外接圆圆心D．ED＝AB11．已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A．作已知角的平分线B．作已知线段的垂直平分线C．过一点作已知直线的高D．作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段12．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．P A＝PBC．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQ北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线【分析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．【解答】解：如图所示：可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线．故选：A．【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD＝∠CAB＝25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA＝90°﹣25°＝65°．【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，∵∠C＝90°，∴∠CDA＝90°﹣25°＝65°，故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及直角三角形的性质．关键是掌握直角三角形两锐角互余．3．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG 是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【分析】运用作一个角等于已知角可得答案．【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法．4．如图所示的作图痕迹作的是（）A．线段的垂直平分线B．过一点作已知直线的垂线C．一个角的平分线D．作一个角等于已知角【分析】根据图形发现此基本作图为过直线外一点作已知直线的垂线，据此求解．【解答】解：观察作图痕迹发现该基本作图为：过直线外一点作已知直线的垂线．故选：B．【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解五个基本作图，只要了解这五个基本作图解决本题就很简单了．5．在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，相交于两点M，N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若CD＝BC，∠A＝35°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】首先根据作图过程得到MN垂直平分AB，然后利用中垂线的性质得到∠A＝∠ABD，然后利用三角形外角的性质求得∠CDB的度数，从而可以求得∠C的度数．【解答】解：∵根据作图过程和痕迹发现MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝35°，∴∠CDB＝∠CBD＝2∠A＝70°，∴∠C＝40°，故选：A．【点评】本题考查了基本作图中作已知线段的垂直平分线及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是能利用垂直平分线的性质及外角的性质进行角之间的计算，难度不大．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝32°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC＝61°．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据直角三角形的高的定义可得②正确，然后计算出∠CAD＝∠DAB＝29°，可得AD≠BD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此③错误，根据三角形内角和可得④正确．【解答】解：根据作法可得AD是∠BAC的平分线，故①正确；∵∠C＝90°，∴CD是△ADC的高，故②正确；∵∠C＝90°，∠B＝32°，∴∠CAB＝58°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠DAB＝29°，∴点D不在AB的垂直平分线上，故③错误；∵∠CAD＝29°，∠C＝90°，∴∠CDA＝61°，故④正确；共有3个正确，故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的做法和线段垂直平分线的判定定理．7．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为（）A．100°B．65°C．75°D．105°【分析】利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠ABC＝∠C＝50°，再利用角平分线的性质与作法得出即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝80°，∴∠ABC＝∠C＝50°，由题意可得：BD平分∠ABC，则∠ABD＝∠CBD＝25°，∴∠BDC的度数为：∠A+∠ABD＝105°．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，得出BD平分∠ABC是解题关键．8．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．根据上述作图步骤，下列结论正确的是（）A．射线OC是∠AOB的平分线B．线段DE平分线段OCC．点O和点C关于直线DE对称D．OE＝CE【分析】根据题干中的作图步骤得到OC是∠AOB的平分线，从而确定正确的选项．【解答】解：根据作图过程可知：OC是∠AOB的平分线，故选：A．【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何平分已知角，难度不大．9．如图，已知△ABC，∠ABC＝2∠C，以B为圆心任意长为半径作弧，交BA、BC于点E、F，分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AC 于点D，则下列说法不正确的是（）A．∠ADB＝∠ABC B．AB＝BD C．AC＝AD+BD D．∠ABD＝∠BCD 【分析】根据作图方法可得BD平分∠ABC，进而可得∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，然后根据条件∠ABC＝2∠C可证明∠ABD＝∠DBC＝∠C，再根据三角形内角和外角的关系可得A说法正确；根据等角对等边可得DB＝CD，进而可得AC＝AD+BD，可得C说法正确；根据等量代换可得D正确．【解答】解：由题意可得BD平分∠ABC，A、∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC，∵∠ABC＝2∠C，∠ADB＝∠C+∠DBC，∴∠ADB＝2∠C，∴∠ADB＝∠ABC，故A不合题意；B、∵∠A≠∠ADB，∴AB≠BD，故此选项符合题意；C、∵∠DBC＝∠ABC，∠ABC＝2∠C，∴∠DBC＝∠C，∴DC＝BD，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+BD，故此选项不合题意；D、∵∠ABD＝∠ABC，∠ABC＝2∠C，∴∠ABD＝∠C，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了基本作图，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握角平分线的作法．10．已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC中点，分别过B、C为圆心，大于线段BC 长为半径作弧，两弧交于点P，作直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论中不正确的是（）A．ED⊥BC B．BE平分∠AEDC．E为△ABC的外接圆圆心D．ED＝AB【分析】根据作图过程得到PB＝PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．【解答】解：根据作图过程可知：PB＝CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴AED⊥BC正确；∵∠ABC＝90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC＝EA，∵EB＝EC，∴B、EB平分∠AED错误；C、E为△ABC的外接圆圆心正确；D、ED＝AB正确，故错误的为B，故选：B．【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．11．已知两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A．作已知角的平分线B．作已知线段的垂直平分线C．过一点作已知直线的高D．作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段【分析】根据题意可得作图过程中需要作一条线段等于已知线段，然后再作两个角等于已知角．【解答】解：两角及夹边作三角形，所用的基本作图方法是作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．12．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．P A＝PBC．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ＝∠BPQ【分析】根据角平分线的作法进行解答即可．【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，P A＝PB，∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键．。

直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离知识点一：直角三角形的判定1.直角三角形全等的判定条件——HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.2.直角三角形全等的判定方法的综合运用.判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA.AAS，HL.3.判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.例1.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.分析：本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具.解：由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.例2.如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE.DF分别垂直于AB.AC，垂足为E.F.求证BE=CF.解：在△AED和△AFD中，∠ ∠ （垂直的定义）∠ ∠ （角平分线的定义）（公共边）所以△AED≌△AFD（AAS）.所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在Rt△BDE和Rt△CDF中， （已知） （已证）所以Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）.所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3.如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.分析：要证CF=DF，可连接AC.AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：连结AC.AD.在△ABC和△AED中，所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.在Rt△ACF和Rt△ADF中，（已证） （公共边）所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.例4.已知在△ABC与△A′B′C′中，CD.C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC 与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解：情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为CD.C′D′分别是△ABC.△A′B′C′的高.所以∠ADC=∠A′D′C′=90°.在△ADC和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′.在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC与△A′B′C′不全等.情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由CD.C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′.∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′.例5.阅读下题及证明过程：如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE.证明：在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE 第一步∴∠ABE=∠ACE 第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90°在△AGE与△AHE中∴△AGE≌△AHE∴EG=EH在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH，BE=CE.∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6.已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中， （已知） （已知）所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.在△BFD与△ACD中，∠ ∠ （已证）∠ ∠ °（已证）（已知）所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.知识二：利用三角形全等测距离通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题．在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化为三角形全等的问题）．例1.如图，有一湖的湖岸在A.B之间呈一段圆弧状，A.B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A.B间的距离吗？答案：要测量A.B间的距离，可用如下方法：（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C.D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A.C.E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出DE的长就是A.B之间的距离．（如图甲）（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使A.•C.E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE＝BA．即DE的长就是A.B间的距离．（•如图乙）例2.如图、小红和小亮两家分别位于A.B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离．方案：如图，在点B所在的河岸上取点C，连接BC并延长到D，使CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A.C.E三点在同一直线上．测量出DE的长，就是AB的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE．知识点三：尺规作图1.用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件.2.尺规作图的几何语言①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连接两点××；或连接××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；④在××上截取××＝××；⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×．3.用尺规作图具有以下三个步骤①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．已知：∠α，∠β，线段c(如图)．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．请按照给出的作法作出相应的图形．例2.如图，已知线段a，b，c，满足a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.错误作法：(1)作线段AB＝c；（2）作线段BC＝a；（3）连接AC，则△ABC就是所求作的三角形(如图).分析：本题第2步作线段BC＝a，在哪个方向作，∠CBA的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保证AC的长一定等于b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法．正确作法：（1）作射线CE；（2）在射线CE上截取CB＝a；（3）分别以C，B为圆心，b，c长为半径画弧，两弧交于点A．连接AC.AB，则△ABC为所求作的三角形(如图)．例3.已知两边和其中一边上的中线，求作三角形．已知线段A.b 和 m．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.分析：如果BC已作出，则只要确定顶点A．由于AD是中线，则D为BC的中点，A在以D为圆心，m为半径的圆上，又AC＝b，点A也在以C为圆心b为半径的圆上，因此点A是这两个轨迹的交点．作法：1.作线段BC＝a．2.分别以B.C为圆心，大于 长为半径画弧，在BC两侧各交于一点M、N，连接M、N交BC于点D．3.分别以D为圆心，m长为半径作弧，以C为圆心，b长为半径作弧，两弧交于点A．4.分别连接AB.AC．则△ABC就是所求作的三角形．思考：假定△ABC已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC中，AD＝m，DC＝ ，AC＝b，所以△ADC若先作出．然后由BD＝ 的关系，可求得顶点B的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．1.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B.C，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC∴∠B=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠1=∠2∴AD平分∠BAC.2.如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD和BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.证明：（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD∴∠ABD=∠ACD=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL)∴∠1=∠2在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE（SAS）∴BE=CE（2）∵△ABE≌△ACE∴∠3=∠4又∵∠3＋∠4=180°∴∠3=90°∴CB⊥AD3.如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.解：能.作法：（1）在OA，OB上分别截取OM=ON（2）过M作MC⊥OA，过N作ND⊥OB，MC交ND于P（3）作射线OP则OP为∠AOB的平分线证明：∵MC⊥OA.ND⊥OB∴∠1=∠2=90°在Rt△OMP和Rt△ONP中∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）∴∠3=∠4∴OP平分∠AOB.4.如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？解：能.理由如下：∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL） ∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC 和△ANE 中∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AM=AN. 5.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E.F，且 AE=BF，AD=BC，则（1）△ADF 和△BEC 全等吗？为什么？ （2）CM 与 DN 相等吗？为什么？解： （1）△ADF≌△BCE，理由如下：∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在 Rt△ADF 和 Rt△BCE 中∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL） （2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME 和△BNF 中∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND. 6.如图所示，已知线段 a，b，∠α ，求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α ，•根据作图在下面空格中填上适 当的文字或字母． （1）如图甲所示，作∠MCN＝________； （2）如图乙所示，在射线 CM 上截取 BC＝________，在射线 CN 上截取 AC＝________． （3）如图丙所示，连接 AB，△ABC 就是_________．答案：∠α ，a，b，所求作的三角形. 7.已知线段 a 及锐角α ，求作：三角形 ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α ，BC＝A．作法：（1）作∠MCN＝90°； （2）以 C 为圆心，a 为半径，在 CM 上截取 CB＝a； （3）以 B 为顶点，BC 为一边作∠ABC＝∠α ，交 CN 于点 A．连接 AB，则△ABC 即为所求作的三角形． 8.你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱 OC 与地面垂直，点 O 是横板 AB 的中点，AB 可以绕着点 O 上下转动，当 A 端落地时，∠OAC＝20°．（1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？ （2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA′，BB′有何数量关系？为什么？解：（1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°， 同理可求∠B′OC＝70°， ∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°；（2）AA′＝BB′， 如图所示，连接 AA′、BB′， ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，∴AA′＝BB′． 9.有一池塘，要测池塘两端 A.B 间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D， 使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A.B 之间的距离。

4.4用尺规作三角形同步训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，用尺规作AOB∠的平分线的方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于点C，D，再分別以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.由作法得OGP ODP∆≅∆，从而得两角相等.那么这两个三角形全等的根据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA2．根据下列条件作出的三角形不唯一是（）A．AB=6，∠A=60°，∠C=40° B．AB=5，BC=4，CA=6C．AB=5，AC=4，∠C=40° D．∠A=50°，AB=8，AC=63．根据下列条件不能唯一画出∆ABC的是( )A．AB=5，BC=6，AC=7B．AB=5，BC=6，∠B=45︒C．AB= 5，AC=4，∠C= 90︒D．AB=5，AC=4，∠C=45︒4．已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线C．作一条线段等于已知线段D．作一条线段等于已知线段的和5．根据下列已知条件，能画出唯一∠ABC的是（）A．AB=3，BC=4，AC=8B．∠A=100°，∠B=45°，AB=5C．AB=3，BC=5，∠A=75°D．∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°6．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A．2、2、4B．2、6、3C．8、6、3D．11、4、6 7．如图所示，∠ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三A．2B．4C．6D．88．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是（）A．已知三条边B．已知三个角C．已知两角和夹边D．已知两边和夹角二、填空题9．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣14x+48=0的根，则该三角形的周长为_____．10．如图，作一个角等于已知角，其尺规作图的原理是________（填SAS，ASA，AAS，SSS）．11．下列四种基本尺规作图分别表示：∠作一个角等于已知角；∠作一个角度平分线；∠做一条线段的垂直平分线；∠过直线外一点作已知直线的垂线．则对应选项中做法错误的是_____．∆全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称12．如图，画出一个与ABC∆)?并画为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括ABC出其中4个。

北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的（）A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能2．下列选项中的尺规作图，能推出P A＝PC的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝26°．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（）A．50°B．52°C．58°D．64°4．作∠AOB的平分线OC，按以下作图方法错误的是（）A．B．C．D．5．如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．PQ为直线l的垂线B．CA＝CBC．PO＝QO D．∠APO＝∠BPO6．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（）A．56°B．68°C．28°D．34°7．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角的平分线C．作一条线段的垂直平分线D．过直线外一点P作已知直线的垂线8．如图，已知∠AOB，用尺规作图如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N②以点N为圆心，MN为半径画弧，交已画的弧于点C③作射线OC那么下列角的关系不正确的是（）A．∠BOC＝∠AOB B．∠BOC＝2∠AOBC．∠AOC＝2∠BOC D．∠AOB＝∠AOC9．下面是小明按照语句画出的四个图形：（1）直线EF经过点C；（2）点A在直线l外；（3）经过点O的三条线段a、b、c；（4）线段AB、CD相交于点B．他所画图形中，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BD＝AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为．12．阅读下面材料：数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”小艾的作法如下：（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．（3）两弧分别交于点P和点M（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．13．下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．请回答：该尺规作图的依据是．14．如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD＝40°，则∠NCD的度数为．15．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，连接AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；（3）分别以B、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；（4）作直线AC．直线AC即为所求（如图2）．小云作图的依据是．16．如何过直线l上一点P作已知直线l的垂线，下面作法的合理顺序为．①分别以A、B 为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；②在直线l上点P的两旁分别截取线段P A，PB，使P A＝PB；③过点C、P作直线CP，则直线CP为所求作的直线．17．阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．已知：直线和直线外的一点P．求作：过点P且与直线垂直的直线PQ，垂足为点QP某同学的作图步骤如下：请你根据该同学的作图方法完成以下推理：∵P A＝PB，∠APQ＝∠，∴PQ⊥l．（依据：）．18．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是．①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．19．下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是．20．如图，已知∠AOB＝48°，依据尺规作图的痕迹，则∠HCP＝°．三．解答题（共30小题）21．如图，已知△ABC，按要求作图．（1）过点A作BC的垂线段AD；（2）过C作AB、AC的垂线分别交AB于点E、F；（3）AB＝15，BC＝7，AC＝20，AD＝12，求点C到线段AB的距离．22．“三等分任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个任意角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC 的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，当AB＝BE＝EF时，有∠F AN＝∠MAN，请你证明．23．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．24．如图，已知△ABC中，∠B＞90°，请用尺规作出AB边的高线CD（请留作图痕迹，不写作法）25．如图，已知平面上四个点A、B、C、D，请按要求作出相应的图形．（1）画直线AB；（2）连接BC并反向延长线段BC；（3）作射线DC；（4）作出到A、B、C、D四个点距离之和最小的点P．26．阅读材料：用尺规作图要求作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：已知：线段a，如图1．求作：线段AB，使得线段AB＝a．解：作图步骤如下．①作射线AM；②用圆规在射线AM上截取AB＝a，如图2．∴线段AB为所求作的线段解决下列问题：已知：线段b，如图3．（1）请你仿照小明的作法，在图2中的射线AM上作线段BD，使得BD＝b；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹，用签字笔加粗）（2）在（1）的条件下，取AD的中点E，若AB＝4，BD＝2，求线段BE的长？27．作图与计算（1）已知：∠α，∠AOB求作：在图2中，以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC＝∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹．）（2）过点O分别引射线OA、OB、OC，且∠AOB＝65°，∠BOC＝30°，求∠AOC的度数．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．（1）作出△ABC边AB上的高；（2）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠EAD；（3）若AD＝3，BC＝8，AB＝6，求AB边上的高．29．如图，已知在△ABC中，AB＝AC．（1）试用直尺和圆规在AC上找一点D，使AD＝BD（不写作法，但需保留作图痕迹）．（2）在（1）中，连接BD，若BD＝BC，求∠A的度数．30．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC＝DC，E为AB边的中点，（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EF，若BD＝4，求EF的长．31．如图，△ABC中，BC＞AC，∠C＝50°．（Ⅰ）作图：在CB上截取CD＝CA，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（Ⅱ）求∠ADE的度数．32．（1）已知：如图，线段a，b．请按下列语句作出图形（保留作图痕迹）：①作射线AM；②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a；③在线段DA上截取DB＝b．（2）由（1）的作图可知AB＝（用含a，b的式子表示）33．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．34．按要求用尺规作图（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线MN．35．如图，点A、点B是直线MN外同侧的两点，请用直尺与圆规在直线MN上取点P使得∠APM＝∠APB．（不写作法，保留作图痕迹）36．如图，已知△ABC中，请用尺规作出△ABC的高CD（保留作图痕迹，不写作法）37．用尺规作图法画出∠AOB的角平分线，保留作图痕迹，并写画法．38．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AC上．（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE交AB于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若BC＝5，点D是AC的中点，求DE的长．39．用圆规和直尺作图：已知∠AOB（如图），求作：∠AOB的平分线OC．（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程）．40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠ABC的平分线分别交AD，AC于P，Q两点，证明：AP＝AQ．41．读下列语句，并画出图形：直线AB、CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P，且与直线AB平行，与直线CD相交于点E．42．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若DE＝4，求BC的长．43．如图矩形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．44．如图，已知△ABC．（1）请用直尺和圆规作出∠A的平分线AD（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB＝AC，∠B＝70°，求∠BAD的度数．45．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．作∠BAC的平分线AP交边BC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）；若∠BAC＝28°，求∠ADB的度数．46．画出图中△ABC的三条高．（要标明字母，不写画法）47．如图，O是直线AB上一点，OC是一条射线，OD平分∠AOC，∠BOC＝70°（1）画出∠BOC的平分线OE；（2）求∠COD和∠DOE的度数．48．已知∠α，线段a、b．请按下列步骤完成作图．（不需要写作法，保留作图痕迹）（1）作∠P AQ＝∠α．（2）在边AP上截取AB＝a，在边AQ上截取AC＝b．（3）连接BC．49．如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）用尺规作图法作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）若BD＝AD＝2，求BC．50．已知∠1和线段a，b，如图（1）按下列步骤作图（不写作法，保留作图痕迹）①先作∠AOB，使∠AOB＝∠1．②在OA边上截取OC，使OC＝a．③在OB边上截取OD，使OD＝b．（2）利用刻度尺比较OC+OD与CD的大小．北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的（）A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能【分析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，推出线段AD是△ABC的中线；【解答】解：由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线，故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．下列选项中的尺规作图，能推出P A＝PC的是（）A．B．C．D．【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质知．【解答】解：A．由此作图知CA＝CP，不符合题意；B．由此作图知BA＝BP，不符合题意；C由此作图知∠ABP＝∠CBP，不符合题意；D．由此作图知P A＝PC，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了基本作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝26°．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（）A．50°B．52°C．58°D．64°【分析】由作图可知，AD平分∠BAC，由∠ADC＝90°﹣∠DAC计算机可解决问题；【解答】解：由作图可知，AD平分∠BAC，∵∠C＝90°，∠B＝26°，∴∠BAC＝64°，∴∠DAC＝∠BAC＝32°，∴∠ADC＝90°﹣32°＝58°，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4．作∠AOB的平分线OC，按以下作图方法错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定和性质一一判断即可；【解答】解：A、由作图可知：OA＝OB，AC＝BC，可得△AOC≌△BOC，可得结论；本选项正确，不符合题意；B、由作图可知：OA＝OB，AD＝BC，可以证明△AOC≌△BOC，可得结论；本选项正确，不符合题意；C、由作图可知：OA＝OB，AC＝BC，可得△AOC≌△BOC，可得结论；本选项正确，不符合题意；D、无法判断OC平分∠AOB，本选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．PQ为直线l的垂线B．CA＝CBC．PO＝QO D．∠APO＝∠BPO【分析】直接利用线段垂直平分线的性质以及其基本作图，进而分析得出答案．【解答】解：由作图方法可得出PQ是线段AB的垂直平分线，则PQ为直线l的垂线，故选项A正确，不合题意；CA＝CB（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故选项B正确，不合题意；无法得出PO＝QO，故选项C错误，符合题意；可得P A＝PB，PQ⊥AB，则∠APO＝∠BPO，故选项D正确，不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．6．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（）A．56°B．68°C．28°D．34°【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．7．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角的平分线C．作一条线段的垂直平分线D．过直线外一点P作已知直线的垂线【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．8．如图，已知∠AOB，用尺规作图如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N②以点N为圆心，MN为半径画弧，交已画的弧于点C③作射线OC那么下列角的关系不正确的是（）A．∠BOC＝∠AOB B．∠BOC＝2∠AOBC．∠AOC＝2∠BOC D．∠AOB＝∠AOC【分析】由作图可知：∠AOB＝∠BOC，推出射线OB是∠AOC的角平分线，由此即可判断；【解答】解：由作图可知：∠AOB＝∠BOC，∴射线OB是∠AOC的角平分线，故A、C、D正确，故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．9．下面是小明按照语句画出的四个图形：（1）直线EF经过点C；（2）点A在直线l外；（3）经过点O的三条线段a、b、c；（4）线段AB、CD相交于点B．他所画图形中，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用直线与点的关系分析．【解答】解：（1）正确，C在直线EF上；（2）正确，A不在直线l上；（3）正确，三条线段相交于O点；（4）错误，两条线段相交于B外一点．故选：C．【点评】本题比较简单，考查的是直线于点的关系，线段相交的特点，锻炼了学生观察事物的能力．10．画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（）A．B．C．D．【分析】第一步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y 轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°．第二步：在x′轴上取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y’轴上取O′C′＝OC第三步：连接A′C′，B′C′．所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直观图．【解答】解：根据画正三角形的直观图的方法可知此题选D．故选：D．【点评】本题主要考查了画直观图的方法．二．填空题（共10小题）11．如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BD＝AB；连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E，以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C，则AC长为﹣1．【分析】设AB＝x，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD，求出AC与AB 的比值，根据黄金比值进行判断即可．【解答】解：：∵AB＝2，则BD＝DE＝×2＝1，由勾股定理得，AD＝，则AC＝AE＝，∴AC＝AB＝，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是作图和黄金分割的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．12．阅读下面材料：数学活动课上，老师出了一道作图问题：“如图，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”小艾的作法如下：（1）在直线l上任取点A，以A为圆心，AP长为半径画弧．（2）在直线l上任取点B，以B为圆心，BP长为半径画弧．（3）两弧分别交于点P和点M（4）连接PM，与直线l交于点Q，直线PQ即为所求．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一．【分析】根据SSS可以证明△ABP≌△ABM，利用等腰三角形的三线合一即可判断．（理由不唯一）【解答】解：∵AP＝AM，BP＝BM，AB＝AB，∴△ABP≌△ABM，∴∠BAP＝∠BAM，∵AP＝AM，∴AQ⊥PM．故答案为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或sss 或全等三角形对应角相等或等腰三角形的三线合一【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题用到的知识点比较多，答案不唯一．13．下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC的边BC上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．请回答：该尺规作图的依据是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．【分析】利用作法和线段垂直平分线定理的逆定理可得到BC垂直平分AE，然后根据三角形高的定义得到AD为高．【解答】解：由作法得BC垂直平分AE，所以该尺规作图的依据为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．故答案为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．14．如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD＝40°，则∠NCD的度数为40°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB，则∠ABD＝∠ACD，然后根据邻补角得出∠MBD＝∠NCD．【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠MBD＝∠NCD＝40°，故答案为：40°【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．15．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，连接AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；（3）分别以B、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；（4）作直线AC．直线AC即为所求（如图2）．小云作图的依据是四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直（答案不唯一）．【分析】根据作法和菱形的判定方法可证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质判断AC与BD垂直；也可以利用线段垂直平分线定理的逆定理进行判断．【解答】解：由作法得AB＝AD＝BC＝DC，则四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．16．如何过直线l上一点P作已知直线l的垂线，下面作法的合理顺序为②①③．①分别以A、B 为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；②在直线l上点P的两旁分别截取线段P A，PB，使P A＝PB；③过点C、P作直线CP，则直线CP为所求作的直线．【分析】根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可．【解答】解：过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下：在直线l上点P的两旁分别截取线段P A，PB，使P A＝PB；分别以A、B 为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；过点C、P作直线CP，则直线CP为所求作的直线；故答案为：②①③【点评】本题考查了基本作图的复合题目，关键是根据过直线l上一点P作已知直线l 的垂线的作法解答．17．阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．已知：直线和直线外的一点P．求作：过点P且与直线垂直的直线PQ，垂足为点QP某同学的作图步骤如下：请你根据该同学的作图方法完成以下推理：∵P A＝PB，∠APQ＝∠BPQ，∴PQ⊥l．（依据：等腰三角形三线合一）．【分析】由AP＝AQ、BP＝BQ，依据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上知点A、B在线段PQ的中垂线上，据此可得PQ⊥l．【解答】解：由作图可知AP＝AQ、BP＝BQ，所以点A、B在线段PQ的中垂线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），所以PQ⊥l，故答案为：BPQ，等腰三角形三线合一【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握线段中垂线的性质及过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．18．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是②③①．①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．【分析】根据作角平分线的步骤即可判断；【解答】解：已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB：步骤：a、在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；b、分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．c、作射线OC；故答案为②③①．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤，属于中考常考题型．19．下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图1，∠MON．求作：射线OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（2）连结AB；（3）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是等腰三角形三线合一．【分析】利用基本作图得到△OAB为等腰三角形，OP垂直平分AB，然后根据等腰三角形的性质可判定射线OP平分∠MON．【解答】解：利用作图可得到OA＝OB，P A＝PB，利用等腰三角形的性质可判定OP平分∠AOB．故答案为：等腰三角形的三线合一．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20．如图，已知∠AOB＝48°，依据尺规作图的痕迹，则∠HCP＝48°．【分析】根据平分线的定义，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：由作图可知：∠HOB＝∠AOB＝24°，由作图可知：EF垂直平分线段OP，∴CO＝CP，∴∠COP＝∠CPO＝24°，∴∠HCP＝∠COP+∠CPO＝48°，故答案为48．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．三．解答题（共30小题）21．如图，已知△ABC，按要求作图．（1）过点A作BC的垂线段AD；（2）过C作AB、AC的垂线分别交AB于点E、F；（3）AB＝15，BC＝7，AC＝20，AD＝12，求点C到线段AB的距离．【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；（3）利用三角形面积公式得到•AB•CE＝•BC•AD，然后把AB＝15，BC＝7，AD＝12代入计算可求出CE．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）如图，CE、CF为所作；（3）∵S△ABC＝•AB•CE＝•BC•AD，∴CE＝＝＝，即点C到线段AB的距离为．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．22．“三等分任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个任意角三等分．如图：在∠MAN的边上任取一点B，过点B作BC⊥AN于点C，并作BC 的垂线BF，连接AF，E是AF上一点，当AB＝BE＝EF时，有∠F AN＝∠MAN，请你证明．【分析】设∠F＝x，由BE＝FE得∠BEA＝2x，由AB＝BE得∠BAE＝∠BEA＝2x，再证BF∥AN得∠F AN＝∠F＝x，据此即可得证．【解答】解：设∠F＝x，∵BE＝FE，∴∠F＝∠EBF＝x，则∠BEA＝2x，∵AB＝BE，。

北师大版七年级数学下册：4.4用尺规作三角形（含解析) 1 / 17北师大版七年级数学下册：4.4用尺规作三角形(含解析）一、单选题1．已知三边作三角形时，用到所学知识是（ ）A ．作一个角等于已知角B ．作一个角使它等于已知角的一半C ．在射线上取一线段等于已知线段D ．作一条直线的平行线或垂线2．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）A ．3cm AB =， 7cm BC =， 4cm AC = B ．3cm AB =， 7cm BC =， 8cm AC =C ．30A ∠=︒， 3cm AB =D ．30A ∠=︒， 100B ∠=︒， 50C ∠=︒3．如图AOB ∠，以OB 为边作BOC ∠，使2BOC AOB ∠=∠，那么下列说法正确的是（ ）．A ．3AOC AOB ∠=∠ B ．AOC AOB ∠=∠ C ．AOC BOC ∠>∠D ．AOB AOC ∠=∠或3AOC AOB ∠=∠4．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A ′O ′B ′=∠AOB 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA5．根据下列条件作出的三角形不唯一是（ ）A ．AB=6，∠A=60°，∠C=40°B ．AB=5，BC=4，CA=6C ．AB=5，AC=4，∠C=40°D ．∠A=50°，AB=8，AC=66．下列选项所给条件能画出唯一ABC ∆的是（ ）A ．50A ∠=︒， 30B ∠=︒， 2AB = B ．4AC =， 5AB =， 60B ∠=︒C ．90C ∠=︒， 90AB =D ．3AC =， 4AB =， 8BC =7．已知∠AOB ，用尺规作一个角∠A ’O ’B ’等于已知角∠AOB 的作图痕迹如图所示，则判断∠AOB=∠A ’O ’B ’所用到的三角形全等的判断方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS8．已知∠BOP 与OP 上点C ，点A （在点C 的右边），李玲现进行如下操作：①以点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交OB 于点D ；②以点A 为圆心，OC 长为半径画弧MN ，交OA 于点M ；③以点M 为圆心，CD 长为半径画弧，交弧MN 于点E ，作射线AE ，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）.A ．∠ACD=∠EAPB ．∠ODC=∠AEMC ．OB ∥AED ．CD ∥ME9．如图，点C 在AOB ∠的OB 边上，用尺规作出了CN OA ，作图痕迹中， FG 是（ ）北师大版七年级数学下册：4.4用尺规作三角形（含解析)A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，DM为半径的弧 D．以点E为圆心，OD为半径的弧二、解答题10．如图，已知a和∠α，用尺规作一个三角形ABC，使AB=AC=2a，∠BAC=180°-∠α。

北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》同步练习卷一．选择题（共10小题）1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．2．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3 3．已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（）A．AP⊥BC B．∠APC＝2∠ABC C．AP＝CP D．BP＝CP4．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ5．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．6．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧7．如图，作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是（）①作射线OC；②在OA、OB上分别截取ON，OM，使ON＝OM；③分别以N，M为圆心，以大于NM为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①8．如图，用尺规法作∠DEC＝∠BAC，作图痕迹的正确画法是（）A．以点E为圆心，线段AP为半径的弧B．以点E为圆心，线段QP为半径的弧C．以点G为圆心，线段AP为半径的弧D．以点G为圆心，线段QP为半径的弧9．画∠AOB的平分线的方法步骤是：①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．请你说明这样作角平分线的根据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 10．小明在计算三角形面积时需要作出最长边的垂线段，下列作法正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．如图，∠C＝90°，根据作图痕迹可知∠ADC＝°．12．下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：射线OE，使OE平分∠AOB．作法：如图，（1）在射线OB上任取一点C；（2）以点O为圆心，OC长为半径作弧，交射线OA于点D；（3）分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧相交于点E；（4）作射线OE．所以射线OE就是所求作的射线．请回答：该作图的依据是．13．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，∠ABC＝60°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC于点D．则∠ADB的度数为°．16．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边与点D．则∠ADB的度数为．17．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．18．数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有．19．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是．20．请你用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ＝60°，在它的边OP上截取OA＝50mm，OQ上截取OB＝70mm，连结AB，画∠AOB的平分线与AB交于点C，并量出AC和OC 的长．（结果精确到1mm，不要求写作法）．三．解答题（共30小题）21．如图，已知线段DA与B、C两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算：（1）画直线AB、射线DC；（2）延长线段DA至点E，使AE＝AB（保留作图痕迹）；（3）若AB＝4cm，AD＝2cm，求线段DE的长．22．如图，点C是线段AB的中点．（1）尺规作图：延长AB到D，使BD＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC＝2cm，求AD的长．23．如图，点A，B，C是平面上三个点．（1）按下列要求画图：①画线段AB；②画射线CB；③反向延长线段AB；④连接AC（2）请你测量点B到直线AC的距离，大约是cm．（精确到0.1cm）24．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°（1）尺规作图：作BC边的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：∠C＝∠BAD25．尺规作图题（不写作图步骤，但保留作图痕迹）．已知：如图∠MON（1）求作：∠MON的平分线OC．（2）根据作法，请说明所作的射线OC就是∠MON的平分线OC．26．如图，已知△ABC中，∠B＞90°，请用尺规作出AB边的高线CD（请留作图痕迹，不写作法）27．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD＝∠AOB．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）2．请你写出作图的依据．28．按照下列要求画图并作答：如图，已知△ABC．（1）画出BC边上的高线AD；（2）画∠ADC的对顶角∠EDF，使点E在AD的延长线上，DE＝AD，点F在CD的延长线上，DF＝CD，连接EF，AF；（3）猜想线段AF与EF的大小关系是：；直线AC与EF的位置关系是：．29．用尺规作出△ABC的中线AD．30．如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）31．如图，已知∠AOB，求作∠ECF，使∠ECF＝∠AOB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）32．如图，平面上有三点A、B、C，（1）按下列要求画出图形：①、画直线AB；②、画射线AC；③连接BC；（2）写出图中有哪几条线段；（3）指出图中有几条射线，并写出其中能用字母表示的射线（不再添加字母）．33．拿起圆规和直尺，耐心做一做，不写作法，保留作图痕迹．已知线段a、b，作线段AB＝2a﹣b（要求：保留作图痕迹）34．（1）在方格纸上过点P作线段AB的平行线l；（2）在方格纸上以AB为边画一个正方形；（3）填空：若图中小方格的面积为1cm2，则（2）中所作正方形的面积＝cm2．35．如图，已知△ABC，请作出该三角形的外接圆⊙O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要写作图过程）．36．如图，在同一个平面内有四个点A、B、C、D．①画射线CD；②画直线AD；③连接AB；④直线BD与直线AC相交于点O．37．如图，已知△ABC，请你作出AC边上的高和BC边上的高．38．尺规作图已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠AOB＝∠A′O′B′．（保留作图痕迹，不写作法）39．读句画图并填空：如图，点P是∠AOB外一点，根据下列语句画图，（1）过点P，作线段PC⊥OB，垂足为C；（2）过点P，作直线PD∥OB，交OA于D；（3）结合所作图形，若∠O＝50°，则∠ADP＝°．40．按要求用尺规作图并填空（保留作图痕迹）：如图，点P是∠AOB边OA上一点．过点P作直线PC∥BO．你的作图方法使PC∥BO 的依据是．41．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．（1）作∠A的平分线AD，交BC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑）；（2）计算S△DAC：S△ABC的值．42．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）已知：（如图）线段a和∠α，求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠A＝∠α．43．已知∠AOC，请用尺规作图的方法作出该角的角平分线．44．已知：∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，P A为一边作∠APC＝∠O．（不写作法，但必须保留作图痕迹）45．如图，已知△ABC．（1）作边BC的垂直平分线；（2）作∠A的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）46．如图，C是线段AB外一点，用圆规和直尺画图．（1）画射线CB；（2）反向延长线段AB；（3）连接AC，并延长AC至点D，使CD＝AC．47．已知∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，P A为一边作∠APC＝∠O（不写作法，但必须保留作图痕迹）问：（1）PC与OB一定平行吗？答：（2）简要说明理由：48．如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）49．已知∠AOB，用直尺和圆规作图：（1）作∠AOB的平分线；（2）过∠AOB边OA上一点P分别作边OA、OB的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）50．利用尺规作图（保留作图痕迹即可）：如图，在射线BC上，作线段BD，使BD＝2AB；以点D为顶点，射线DC为一边，作∠EDC（两种情况），使∠EDC＝∠ABC．北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答【解答】解：∵四个选项中只有AD⊥BC，∴C正确．故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟记三角形高线的定义是解题的关键．2．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了勾股定理和等腰三角形的性质．3．已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（）A．AP⊥BC B．∠APC＝2∠ABC C．AP＝CP D．BP＝CP【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，进而利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：如图所示：MN是AB的垂直平分线，则AP＝BP，故∠PBA＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠ABC．故选：B．【点评】此题主要考查了基本作图，正确得出AP＝BP是解题关键．4．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．5．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了作图﹣基本作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．6．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【分析】根据作一个角等于已知角的步骤即可得．【解答】解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，故选：D．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．7．如图，作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是（）①作射线OC；②在OA、OB上分别截取ON，OM，使ON＝OM；③分别以N，M为圆心，以大于NM为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【分析】根据角平分线的尺规作图的步骤解答即可得．【解答】解：作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是：②在OA、OB上分别截取ON，OM，使ON＝OM；③分别以N，M为圆心，以大于NM为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C．①作射线OC；故选：C．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握利用尺规作图作角平分线的步骤．8．如图，用尺规法作∠DEC＝∠BAC，作图痕迹的正确画法是（）A．以点E为圆心，线段AP为半径的弧B．以点E为圆心，线段QP为半径的弧C．以点G为圆心，线段AP为半径的弧D．以点G为圆心，线段QP为半径的弧【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．【解答】解：先以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点Q，P；再以点E为圆心，AQ的长为半径画弧，交AC于点G，再以点G为圆心，PQ的长为半径画弧．故选：D．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键．9．画∠AOB的平分线的方法步骤是：①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．请你说明这样作角平分线的根据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．【解答】解：从画法①可知OA＝OB，从画法②可知CM＝CN，又OC＝OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，∴∠MOC＝∠NOC，即射线OC就是∠AOB的角平分线．故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图、全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题．10．小明在计算三角形面积时需要作出最长边的垂线段，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上即可得．【解答】解：最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上，故选：C．【点评】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．二．填空题（共10小题）11．如图，∠C＝90°，根据作图痕迹可知∠ADC＝70°．【分析】根据作图痕迹可知：AD平分∠CAB，再由直角三角形性质可得∠CAB的度数，最后由三角形的外角可得结论．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝50°，∴∠CAB＝40°，由作图痕迹可知：AD平分∠CAB，∴∠DAB＝20°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝20°+50°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了基本作图﹣角平分线，三角形外角的性质和直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的基本作图是关键．12．下面是“作已知角的平分线”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：射线OE，使OE平分∠AOB．作法：如图，（1）在射线OB上任取一点C；（2）以点O为圆心，OC长为半径作弧，交射线OA于点D；（3）分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧相交于点E；（4）作射线OE．所以射线OE就是所求作的射线．请回答：该作图的依据是四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角，两点确定一条直线．．【分析】依据作图痕迹可得四边形OCED是菱形，再根据菱形的性质，即可得到OE平分∠AOB．【解答】解：如图所示，连接DE，CE，∵OD＝DE＝EC＝OC，∴四边形OCED是菱形（四条边都相等的四边形是菱形），∴OE平分∠AOB（菱形的每一条对角线平分一组对角），故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角，两点确定一条直线．【点评】本题主要考查了基本作图依据菱形的性质，解题时注意：四条边都相等的四边形是菱形，菱形的每一条对角线平分一组对角．13．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）．【分析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵P A＝AQ，PB＝QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝125°．【分析】根据角平分线的作法可得AD平分∠CAB，再根据三角形内角和定理可得∠ADB 的度数．【解答】解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C＝90°，∠B＝20°，∴∠CAB＝70°，∴∠CAD＝∠BAD＝35°，∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．故答案为：125°．【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及角平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADB度数是解题关键．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，∠ABC＝60°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC于点D．则∠ADB的度数为100°．【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠ACB＝80°，∠ABC＝60°，∴∠CAB＝40°，∴∠BAD＝20°；在△ADC中，∠B＝60°，∠CAD＝20°，∴∠ADB＝100°，故答案是：100．【点评】本题综合考查了作图﹣﹣复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG 是∠CAB平分线是解答此题的关键．16．如图，在△ABC，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边与点D．则∠ADB的度数为115°．【分析】利用角平分线的作法可得出答案．【解答】解：∵根据作法可得AG是∠CAB的角平分线，∴∠DAC＝∠CAB＝×50°＝25°，∴∠ADB＝∠DAC+∠ACD＝25°+90°＝115°故答案为：115°．【点评】本题主要考查了基本作图，解的关键是熟记角平分线的作法．17．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．【分析】通过作图得到CA＝CB，DA＝DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为线段AB的垂直平分线．【解答】解：∵CA＝CB，DA＝DB，∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．）故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．【点评】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．18．数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线．【解答】解：他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．19．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是SSS．【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中，，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），故答案为：SSS．【点评】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．20．请你用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ＝60°，在它的边OP上截取OA＝50mm，OQ上截取OB＝70mm，连结AB，画∠AOB的平分线与AB交于点C，并量出AC和OC 的长．（结果精确到1mm，不要求写作法）．【分析】利用三角板的60度角作∠POQ＝60°，然后利用刻度尺在它的边OP上截取OA＝50mm，OQ上截取OB＝70mm，连结AB；利用三角板的30度角即可作出∠AOB的平分线，然后利用刻度尺测量AC和OC的长．【解答】解：如图所示：测量得：AC＝26 mm，OC＝50 mm．【点评】本题考查了利用三角板作图，理解三角板的特点是关键．三．解答题（共30小题）21．如图，已知线段DA与B、C两点，用圆规和无刻度的直尺按下列要求画图并计算：（1）画直线AB、射线DC；（2）延长线段DA至点E，使AE＝AB（保留作图痕迹）；（3）若AB＝4cm，AD＝2cm，求线段DE的长．【分析】（1）根据几何语言画出对应几何图形；（2）利用圆规截取AE＝AB；（3）计算DA和AE的和即可．【解答】解：（1）如图，直线AB、射线DC为所作；（2）如图，点E为所作；（3）DE＝DA+AE＝DA+AB＝2+4＝6，即线段DE的长为6cm．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．22．如图，点C是线段AB的中点．（1）尺规作图：延长AB到D，使BD＝AB（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC＝2cm，求AD的长．【分析】（1）在AB的延长线上截取BD＝AB即可；（2）根据中点的定义先求出AB，再求出AD的长．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵点C是线段AB的中点，AC＝2cm，∴AB＝4cm，∵BD＝AB，∴AD＝8cm．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作一条线段等于已知线段，线段中点的定义等知识，作出点D是解题的关键．23．如图，点A，B，C是平面上三个点．（1）按下列要求画图：①画线段AB；②画射线CB；③反向延长线段AB；④连接AC（2）请你测量点B到直线AC的距离，大约是 1.5cm．（精确到0.1cm）【分析】（1）根据线段和射线的画法进行画图即可；（2）直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．【解答】解：（1）如图所示：（2）根据测量可得，点B到直线AC的距离，大约是1.5cm，故答案为：1.5．【点评】本题主要考查了基本作图以及点到直线的距离．解决问题的关键是掌握线段和射线的概念．24．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°（1）尺规作图：作BC边的高AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：∠C＝∠BAD【分析】（1）直接利用过直线外一点作已知垂线的作法得出答案；（2）利用直角三角形的性质结合垂线的定义得出答案．【解答】（1）解：如图所示：AD即为所求；（2）证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵AD是△ABC的高，AD⊥BC，∴∠CDA＝90°，在Rt△CAD中，∠C+∠CAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．【点评】此题主要考查了基本作图以及直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法是解题关键．25．尺规作图题（不写作图步骤，但保留作图痕迹）．已知：如图∠MON（1）求作：∠MON的平分线OC．（2）根据作法，请说明所作的射线OC就是∠MON的平分线OC．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得；（2）连接OC、BC、AC，利用“SSS”证明△OAC≌△OBC可得．【解答】解：（1）如图，射线OC是∠MON的平分线，（2）证明：如图，连接OC、BC、AC，根据作法可得BC＝AC，OA＝OB，在△OAC和△OBC中，∵∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，即射线OC是∠MON的平分线．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质．26．如图，已知△ABC中，∠B＞90°，请用尺规作出AB边的高线CD（请留作图痕迹，不写作法）【分析】延长AB，以点C为圆心，大于点C到直线AB的距离的长为半径画弧，交AB 的延长线于点M和点N，再作线段MN的垂直平分线CD即可．【解答】解：延长AB，以点C为圆心，大于点C到直线AB的距离的长为半径画弧，交AB的延长线于点M和点N，再作线段MN的垂直平分线CD，如下图所示：【点评】本题考查作图﹣基本作图，掌握作垂直平分线的基本步骤为解题关键．27．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD＝∠AOB．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）2．请你写出作图的依据．【分析】（1）以点C为顶点，作∠OCD＝∠COA，交AO于点D；（2）作一个角等于已知角的依据为SSS．【解答】解：（1）如图所示，∠OCD即为所求；（2）作图的依据为SSS．【点评】本题主要考查了基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．28．按照下列要求画图并作答：如图，已知△ABC．（1）画出BC边上的高线AD；（2）画∠ADC的对顶角∠EDF，使点E在AD的延长线上，DE＝AD，点F在CD的延长线上，DF＝CD，连接EF，AF；（3）猜想线段AF与EF的大小关系是：AF＝EF；直线AC与EF的位置关系是：AC∥EF．【分析】（1）直接利用钝角三角形高线的作法得出答案；（2）利用圆规与直尺截取得出E，F位置进而得出答案；。

北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》同步练习卷一．选择题（共3小题）1．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的（）A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能2．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC＝60°③点D在AB的垂直平分线上④AB＝2AC．A．1B．2C．3D．4二．解答题（共13小题）4．已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．5．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．6．按要求用直尺作图：如图，平面上有A，B，C三点，画直线AC、射线BC、线段AB、在射线BC上取一点D，使BD＝AB，并连接AD．7．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．8．如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图．（1）画射线AB，直线BC，线段AC；（2）连接AD与BC相交于点E．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，若CB＝4，CA＝6，则DE＝．10．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？11．如图，O是直线AB上一点，OC是一条射线，OD垂直直线AB，且∠AOC﹣∠BOC＝32°，（1）在图中画出∠AOC的平分线OE；（2）求∠COD和∠DOE的度数．12．已知∠AOB，用直尺和圆规作图：（1）作∠AOB的平分线；（2）过∠AOB边OA上一点P分别作边OA、OB的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）13．（1）如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB 于点M、N，连接PM，PN；（2）若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．14．用尺规画出下列图形：已知a、b、c（a＞b）求作线段AB使AB＝2c﹣b+a．（不要求写画法）15．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．16．已知线段AB＝4cm，延长AB至点C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝AB （1）按题意画出图形，并求出CD的长；（2）若E、F分别是AD、BC的中点，求EF的长．北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．根据如图中尺规作图的痕迹，可判断AD一定为三角形的（）A．角平分线B．中线C．高线D．都有可能【分析】由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，推出线段AD是△ABC的中线；【解答】解：由作图的痕迹可知：点D是线段BC的中点，∴线段AD是△ABC的中线，故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【分析】找出依据即可依此画出．【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；作射线OC．故其顺序为②③①．故选：C．【点评】本题很简单，只要找出其作图依据便可解答．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线②∠ADC＝60°③点D在AB的垂直平分线上④AB＝2AC．A．1B．2C．3D．4【分析】根据角平分线的做法可得①正确，再根据三角形内角和定理和外角与内角的关系可得∠ADC＝60°，再根据线段垂直平分线的性质逆定理可得③正确．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得④正确．【解答】解：①AD是∠BAC的平分线，说法正确；②∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，因此∠ADC＝60°正确；③∵∠DAB＝30°，∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上，故③说法正确，④∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，故选：D．【点评】此题主要考查了角平分线的做法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．二．解答题（共13小题）4．已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．【分析】以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与边OA、OB分别相交于点M、N，再以点M、N为圆心，以大于MN长为半径画弧，在∠AOB内部相交于点C，作射线OC 即为∠AOB的平分线．【解答】解：如图所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线．【点评】本题考查了基本作图，主要是作角的平分线，是基本作图，需熟练掌握．5．如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．【分析】（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．【解答】解：（1）如图所示：PQ即为所求；（2）如图所示：PR即为所求；（3）∠PQC＝60°理由：∵PQ∥CD，∴∠DCB+∠PQC＝180°，∵∠DCB＝120°，∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．【点评】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．6．按要求用直尺作图：如图，平面上有A，B，C三点，画直线AC、射线BC、线段AB、在射线BC上取一点D，使BD＝AB，并连接AD．【分析】直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸的，线段有2个端点，根据三线的性质画出图形即可．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是掌握三线的性质．7．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．【分析】（1）过点P作∠PQA＝∠DCA即可．（2）过点P作∠QPR＝90°即可．【解答】解：每对一问得（3分）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（3分）（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．（6分）【点评】本题主要考查了最基本的作图﹣﹣﹣﹣平行线和垂线的画法．8．如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图．（1）画射线AB，直线BC，线段AC；（2）连接AD与BC相交于点E．【分析】（1）画射线AB，以A为端点向AB方向延长；画直线BC，连接BC并向两方无限延长；画线段AC，连接AB即可；（2）连接各点，其交点即为点E．【解答】解：画射线AB；画直线BC；画线段AC；连接AD与BC相交于点E．（8分）【点评】解答此题，要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟悉基本工具的用法．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，若CB＝4，CA＝6，则DE＝．【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD＝∠EDC，进而证得DE＝CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）解：∵DC是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，设DE＝CE＝x，则AE＝6﹣x，∴＝，解得：x＝，即DE＝，故答案为：．【点评】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．10．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？【分析】（1）作PE⊥AB，垂足为E；（2）过点P作∠DPF＝90°，其中PF交AB于点F；（3）利用垂线段最短，即可作出判断．【解答】解：（1）（2）如图所示．（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．【点评】本题需利用垂线段的性质来解决问题．11．如图，O是直线AB上一点，OC是一条射线，OD垂直直线AB，且∠AOC﹣∠BOC＝32°，（1）在图中画出∠AOC的平分线OE；（2）求∠COD和∠DOE的度数．【分析】（1）利用角平分线的作法得出EO即可；（2）利用∠AOC﹣∠BOC＝32°以及∠AOC+∠BOC＝180°，进而求出∠COD的度数，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：OE即为所求；（2）∵∠AOC﹣∠BOC＝32°，∠AOC+∠BOC＝180°，∴解得：∠AOC＝106°，∠BOC＝74°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝53°，∴∠DOE＝90°﹣53°＝37°．【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及其性质，利用数形结合得出是解题关键．12．已知∠AOB，用直尺和圆规作图：（1）作∠AOB的平分线；（2）过∠AOB边OA上一点P分别作边OA、OB的垂线．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】（1）根据角平分线的做法作图即可；（2）分别过已知点作已知直线的垂线即可．【解答】解：（1）（2）如图：【点评】考查角平分线及线段垂线的基本作图；掌握基本作图的作法是解决本题的关键．13．（1）如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB 于点M、N，连接PM，PN；（2）若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为5cm．【分析】（1）按题意，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，并连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；（2）依题意知，OA、OB分别为PP1、PP2的中垂线，可得出P1M＝PM，P2N＝PN，且已知P1P2＝P1M+MN+NP2＝PM+MN+NP＝5cm，即可得出PMN的周长．【解答】解：（1）依题意，如下图所示：（2）∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴L△PMN＝PM+PN+MN＝P1M+MN+P2N＝P1P2＝5cm．故答案为：5cm【点评】本题主要考查了学生对基本作图的运用以及对三角形知识的灵活运用．14．用尺规画出下列图形：已知a、b、c（a＞b）求作线段AB使AB＝2c﹣b+a．（不要求写画法）【分析】先画出射线AM，在射线AM上截取CE＝2c，在线段CE上截取CA＝b，在射线AM上截取EB＝a，则AB就是要作的线段．【解答】解：如图AB＝2c﹣b+a．【点评】本题考查线段的和差的作法，按照从左到右的顺序，求和向右作，求差向左作．15．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并说明理由．【分析】（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R；（3）利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．【解答】解：（1）（2）如图所示；（3）∠PQC＝60°∵PQ∥CD∴∠DCB+∠PQC＝180°∵∠DCB＝120°∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．【点评】本题需熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题．16．已知线段AB＝4cm，延长AB至点C，使BC＝AB，反向延长AB至D，使AD＝AB （1）按题意画出图形，并求出CD的长；（2）若E、F分别是AD、BC的中点，求EF的长．【分析】本题可用作圆的方法作出AD、BC再求解．【解答】解：（1）作图如上：①以B为圆心，2cm为半径画圆，交AB的延长线交于点C，则BC＝AB＝×4＝2cm．②以A为圆心，4cm为半径，画圆与AB的反向延长线交于点D，则AD＝AB＝4cm．CD＝AD+AB+BC＝4+4+2＝10cm；（2）EF＝AD+AB+BC＝×4+4+×2＝7cm．【点评】本题考查了同学们对圆的掌握情况，体现了圆在尺规作图中的重要作用．是中学阶段的重点．。

第五章三角形 5.尺规作图一、选择题1、（2019·宜昌）通过如下尺规作图，能确定D是BC边中点的是（）A. B.C. D.2、（2019·南宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°3、（2019·深圳）如图，AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（）A. 8B. 10C. 11D. 134、（2019·包头）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G.若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）A. 1B. 32C. 2D.525、（2019·新疆）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D. 下列说法中不正确的是（）A. BP是∠ABC的平分线B. AD＝BDC. S△CBD∶S△ABD＝1∶3D. CD＝12 BD6、（2019·长春）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A. B.C. D.7、（2019·北京）如图，已知锐角∠AOB.（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A. ∠COM＝∠CODB. 若OM＝MN，则∠AOB＝20°C. MN∥CDD. MN＝3CD8、（2019·烟台）已知∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A. 15°B. 45°C. 15°或30°D. 15°或45°9、（2019·台湾）如图，在△ABC 中，AB ＞AC ＞BC ，且D 为BC 上一点．现打算在AB 上找一点P ，在AC 上找一点Q ，使得△APQ 与△PDQ 全等，以下是甲、乙两人的作法： （甲）连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点P ，Q ，则P ，Q 两点即为所求； （乙）过点D 作与AC 平行的直线交AB 于点P ，过点D 作与AB 平行的直线交AC 于点Q ，则P ，Q 两点即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ） A. 两人皆正确 B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确二、填空题10、（2019·宁夏）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点M ，N ，再分别以点M ，N为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D. 若∠A ＝30°，则BCD ABDSS＝______．三、解答题11、（2019·长春）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A ，B ，C ，D ，E ，F 均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，以线段AB 为边画一个△ABM ，使其面积为6； （2）在图②中，以线段CD 为边画一个△CDN ，使其面积为6；（3）在图③中，以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且∠EFG ＝90°．12、（2019·柳州）如图，已知∠AOB.求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB.作法：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′（请保留作图痕迹）．（2）完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程（注：括号里填写推理的依据）．证明：由作法可知，O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝______，∴△C′O′D′≌△COD（______）．∴∠A′O′B′＝∠AOB（______）．13、（2019·广东）如图，在△ABC中，D是AB上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若ADDB＝2，求AEEC的值．14、（2019·绥化）如图，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．15、（2019·济宁）如图，点M和点N在∠AOB内部．（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图依据．16、（2019·达州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．17、（2019·泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．18、（2019·玉林）如图，等腰三角形ABC的顶角∠A＝36°．（1）在AC上作一点D，使AD＝BD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）求证：△BCD是等腰三角形．第五章三角形 5.尺规作图一、选择题1、A2、C3、A4、C5、C6、B7、D8、D9、A二、填空题10、1 2三、解答题11、答案不唯一，如（1）如图①，△ABM即为所求（2）如图②，△CDN即为所求（3）如图③，四边形EFGH即为所求12、（1）如图，∠A′O′B′即为所求（2）CDSSS全等三角形的对应角相等13、（1）如图，∠ADE即为所求（2）∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC. ∴AEEC＝ADDB＝214、如图，点P即为所求15、（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（2）角的平分线上的点到角的两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等16、（1）如图所示（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝12∠ACB＝45°.∵DE⊥BC，∴∠BED＝∠CED＝90°.∴△CDE为等腰直角三角形．∴DE＝CE.∵∠BED＝∠ACB＝90°，∴DE∥AC.∴△BDE∽△BAC.∴DEAC＝BEBC，即2DE＝33DE.∴DE＝6517、（1）如图，直线MN即为所求（2）如图，连接AD. ∵MN垂直平分线段AB，∴AD＝BD. 设AD＝BD＝x.在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2＋CD2，∴x2＝42＋（8-x）2，解得x＝5.∴BD＝5 18、（1）如图，点D即为所求（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝12×（180°-36°）＝72°.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°.∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.∴∠BDC＝∠C. ∴BD＝BC，即△BCD是等腰三角形。

4.4用尺规作三角形同步提升训练1．用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC 内部交于点P；③画射线BP．射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（ ）A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜m C．m＞0，n＞DE D．m＞0，n＜DE 2．如图，在△ABC中．∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°3．按下列语句画图：点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，下列图形符合题意的是（ ）A．B．C．D．4．如图，已知锐角∠AOB，按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧MN，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C、D为圆心，CD 长为半径作圆弧，两圆弧交于点P，连接CP、DP；③作射线OP交CD于点Q．下列说法不正确的是（ ）A．∠AOP＝∠BOP B．∠CDO＝∠PDB C．CP＝2QC D．CD⊥OP5．下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容如图，已知∠AOB，求作：∠AOB的角平分线．作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交☺于点N；②分别以点⊕为圆心，大于♡的长为半径画弧，两弧在⊗内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．（ ）A．☺表示OA B．⊕表示M、C C．♡表示ON D．⊗表示∠AOB 6．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（ ）①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．A．①﹣②﹣③﹣④B．③﹣②﹣④﹣①C．④﹣①﹣③﹣②D．④﹣③﹣①﹣②7．下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB＝∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（ ）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧9．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交该角的两边于A，B两点，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，连接OC，若∠MON＝60°，则∠ACO的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝26°．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF 长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（ ）A．50°B．52°C．58°D．64°11．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧MN，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是 ．①CP∥OB；②CP＝2QC；③∠AOP＝∠BOP；④CD⊥OP．12．为作∠AOB的平分线OM，小齐利用尺规作图，作法如下：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点P、Q；②分别以点P、Q为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点M．则射线OM为∠AOB的平分线．OM为∠AOB的平分线的原理是 ．13．已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交直线AB于点D，连接CD．若∠ABC＝40°，∠ACD＝30°，则∠BAC的度数为 ．14．阅读下面材料：在数学课上老师提出如下问题：尺规作图：作∠A′O′B′＝∠AOB．已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′＝∠AOB．小米的作法如下：如图：（1）作射线O′A′；（2）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，OC为半径作弧C′E′，交O′A′于点C′；（4）以点C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C′E′于D′；（5）过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是所求作的角．老师说：“小米的做法正确．”请回答：小米的作图依据是 ．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝ ．16．在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．（1）经过点P画CB的平行线PQ．（2）过点A，画CB的垂线AM．（3）过点C，画CB的垂线CN．（4）请直接写出AM、CN的位置关系．17．如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）18．尺规作图：已知：∠AOB．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．（不写作法，保留作图痕迹，画在答题纸的方框中）写出这样作图的两点依据：① ；② ．19．如图，已知∠AOB，点P是OA边上的一点．（1）在OA的右侧作∠APC＝∠AOB（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线PC与直线OB的位置关系，并说明理由．20．如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）21．如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）22．已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．参考答案1．解：作∠ABC的平分线的步骤如下：①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP．射线BP即为所求．∴m＞0，n＞DE，故选：C．2．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，根据作图过程可知：AD是∠CAB的平分线，∴∠DAC＝∠DAB＝CAB＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝60°．故选：C．3．解：∵点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，∴点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，∴图形符合题意的是选项B．故选：B．4．解：由作法得OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，所以A选项的说法正确；由作法得OC＝OD，PC＝PD，∴OP垂直平分CD，所以D选项的说法正确；∴CD＝2CQ，∵CP＝CD＝PD，∴CP＝2CQ，所以C选项的说法正确；∵∠AOB不能确定为60°，∴不能确定∠CDO等于∠PDB，所以B选项的说法错误．故选：B．5．解：作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC，OC即为所求．故选：D．6．解：根据作一个角等于已知角的过程可知：④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．故选：C．7．解：A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；所以A选项不符合题意；B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以B选项符号题意；C．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；所以C选项不符合题意；D．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．所以D选项不符合题意．故选：B．8．解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，故选：D．9．解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠AOC＝30°，∵AC＝AO，∴∠AOC＝∠ACO＝30°．故选：B．10．解：由作图可知，AD平分∠BAC，∵∠C＝90°，∠B＝26°，∴∠BAC＝64°，∴∠DAC＝∠BAC＝32°，∴∠ADC＝90°﹣32°＝58°，故选：C．11．解：由作图可知，OC＝OD，PC＝PD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，故③④正确，∵△PCD是等边三角形，PQ⊥CD，∴CQ＝DQ，∴CP＝2QC，故②正确，故答案为②③④．12．解：如图，连接PM，PQ．∵OP＝OQ，PM＝QM，OM＝OM，∴△POM≌△QOM（SSS），∴∠POM＝∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．故答案为SSS．13．解：由题意得，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴∠BCD＝∠B＝40°，∵∠ACD＝30°，如图1，∴∠ACB＝40°+30°＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；如图2，∴∠ACB＝40°﹣30°＝10°，∴∠BAC＝180°﹣10°﹣40°＝130°，综上所述，∠BAC的度数为70°或130°，故答案为：70°或130°．14．解：根据作图过程可知：在△OCD和△OC′D′中所以△OCD≌△OC′D′（SSS）所以∠A′O′B′＝∠AOB（全等三角形对应角相等）．故答案为：全等三角形对应角相等．15．解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C＝90°，∠B＝20°，∴∠CAB＝70°，∴∠CAD＝∠BAD＝35°，∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．故答案为：125°．16．解：（1）如图，PQ为所作；（2）如图，AM为所作；（3）如图，CN为所作；（4）AM∥CN．17．解：如图，点P即为所求．18．解：如图∠A′O′B′即为所求；作图的依据：①三边对应相等两三角形全等．②全等三角形的对应角相等．故答案为：三边对应相等两三角形全等．全等三角形的对应角相等．19．解：（1）如图，∠APC就是所要求作的角；（2）直线PC与直线OB的位置关系为：PC∥OB，理由如下：由（1）作图可得：∠APC＝∠AOB，∴PC∥OB．20．解：如图，射线BD即为所求．21．解：如图，点P即为所求．22．解：（1）如图2所示，∠AOD即为所求；（2）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，又∵∠AOE＝2∠BOE，∴∠AOB＝∠BOE，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，又∵∠AOD＝40°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°。

4.4《用尺规作三角形》习题1一、选择题1．已知点C在∠AOB的OB边上，用尺规过点C作CN∥OA，作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述，正确的是( )A．以点C为圆心，OD的长为半径的弧B．以点C为圆心，OM的长为半径的弧C．以点E为圆心，DM的长为半径的弧D．以点E为圆心，CE的长为半径的弧2．如图，点C在∠AOB的边OB上，用直尺和圆规作∠BCN＝∠AOC，这个尺规作图的依据是( )A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA3．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是( )A．①B．②C．③D．④4．下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是( ) A．作一个角等于已知角B．作一个角的平分线C．作一条线段的垂直平分线D．过直线外一点P作已知直线的垂线5．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是( )①②③A．①②B．①③C．②③D．①②③6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形角平分线交点的是( ) A．B．C．D．7．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：(1)弧①是以O 为圆心，任意长为半径所画的弧；(2)弧②是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；(3)弧③是以A 为圆心，任意长为半径所画的弧；(4)弧④是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．如图是作ABC ∆的作图痕迹，则此作图的已知条件是( )A ．已知两边及夹角B ．已知三边C ．已知两角及夹边D ．已知两边及一边对角二、解答题 1.已知：如图，ABC ∆，点D 是BC 延长线上的一点，且CD BC =.求作：ECD ∆，使ECD ABC ∆≅∆，且点E 与点A 在BC 同侧.(要求：尺规作图，保留作图痕迹)2.已知：AC 是ABCD 的对角线．(1)用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线，与AD 相交于点E ，连接CE ．(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，若3,5AB BC ==，求DCE 的周长．3.如图所示，已知△ABC .(1)用直尺和圆规作∠A 的平分线1l 和边BC 的垂直平分线2l ；(要求：不写作法，但需要保留画图痕迹)(2)设(1)中的1l 和直线2l 交于点P ，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为点E ，过点P 作PF ⊥AC 交AC 的延长线于点F .请你探究BE 和CF 之间的数量关系，并加以证明.4.如图，已知△ABC ≌△EBD ，(1)若BE =6，BD =4，求线段AD 的长；(2)若∠E =30°，∠B =48°，求∠ACE 的度数．5.如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E ，F 在线段AD 上，且2DF AF =，12BAC ∠=∠=∠．若BE 的长为5，求AD 的长．6.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度．(1)DE=AB吗？请说明理由；(2)如果DE的长度是8 m，则AB的长度是多少？7.如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量，小军是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和B C的距离，并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，小军的做法有道理吗？说明理由．你还有比小军更简单的方法吗？8.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B 路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC外部，且AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为D、E．(1)求证：△BEC≌△CDA；(2)若AD＝1.7cm，DE＝2.5cm，求BE的长度．10.明明同学用10块高度都是3cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙上面刚好可以放进一个等腰直角三角形(AC=BC ∠ACB=90°)点C在DE 上，点A和点B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．答案一、选择题1．C ．2．B ．3．D ．4．C ．5．A ．6．B ．7．C ．8．C.二、解答题1.解：如图，ECD ∆即为所求作的三角形．(作法不唯一)2.解：(1)如图，CE 为所作；(2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴5,3AD BC CD AB ====，∵点E 在线段AC 的垂直平分线上，∴EA EC =，∴DCE 的周长538CE DE CD EA DE CD AD CD =++=++=+=+=．3.解：(1)(2)BE=CF.连接PB 和PC∵AP 平分∠CAB ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ∴PE=PF. ∵l 2垂直平分BC 边,∴PC=PB.由HL 证明△PFC ≌△PEB ∴BE=CF.4.(1)∵△ABC ≌△EBD ， ∴AB =BE =6,∵AD =AB -BD ，BD =4，∴AD =6-4=2；(2)∵△ABC ≌△EBD ，∴∠A =∠E =30°，∵∠ACE =∠A +∠B ，∠B =48°， ∴∠ACE =30°+48°=78°．5.解：∵12BAC ∠=∠=∠，且1BAE ABE ∠=∠+∠，2CAF ACF ∠=∠+∠， ∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∴∠BAE=∠ACF ，∠ABE=∠CAF ．在ABE △和CAF 中，BAE ACF AB CA ABE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CAF ASA ≌△△. ∴AF BE =∵2DF AF =，BE 的长为5，∴10DF =，5AF BE ==，∴51015AD AF DF =+=+=．6.(1)解：由题意知AC=DC ，BC=EC ，且∠ACB=∠DCE ，在△ABC 和△DEC 中，AC DC ACB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DEC(SAS)，∴DE=AB ．(2)由(1)知AB =DE =8m ．7.解:小军的作法有道理,理由如下:过点B 作BG ∥AC 交EF 的延长线于点G,连接BE∵ 点E 、F 分别是AC 、BC 的中点∴ AE=CE, BF=CF∵ BG ∥AC∴ ∠ECF=∠GBF ,∠AEB=∠GBE (两直线平行,内错角相等)∵ECF GBF BF CF CFE BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △ECF ≌△GBF (两角及其夹边对应相等的两个三角形全等)∴ EF=GF ,CE=BG (全等三角形的对应边相等)∵ EF=GF ,EF+GF=EG∴ EG=2EF∵ CE=BG, AE=CE∴ AE=BG∵ 在△AEB 和△GBE 中,AE GB AEB GBE EB BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AEB ≌△GBE (两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)∴ AB=GE (全等三角形的对应边相等)∵ GE=2EF, AB=GE∴ AB=2EF故小军的做法是有道理的；取直接能到达A ，B 两点的C 点，延长BC ，AC ，使EC AC =，DC BC =， 连接DE ，在△ABC 和△EDC 中,EC AC DCE BCA DC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则ABC EDC △≌△，所以DE AB =．8.解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；④当Q到A点(和A重合)，P在BC上时，∵CQ ＝CP ，CQ ＝AC ＝6，CP ＝t ﹣6，∴t ﹣6＝6∴t ＝12∵t ＜14∴t ＝12符合题意答：点P 运动1或3.5或12秒时，△PEC 与△QFC 全等．9.解：(1)证明：∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠BEC ＝∠D ＝90°，∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°，∠BCE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBE ＝∠ACD ，∵AC ＝BC ，∴△BEC ≌△CDA ；(2)∵△BEC ≌△CDA∴AD ＝CE ＝1.7cm ，∴BE ＝CD ＝CE ＋DE ＝1.7＋2.5＝4.2cm ．10.解：由题意得：AC=BC ，∠ACB=90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB(AAS)；由题意得：AD=EC=9cm ，DC=BE=21cm ，∴DE=DC+CE=30(cm)，答：两堵木墙之间的距离为30cm ．。

用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）责编:杜少波【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．【答案与解析】解：已知：线段a、b，求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．举一反三：【变式】（2015•魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D．类型二、作三角形2、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．类型三、三角形全等的实际应用3、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离．【答案与解析】解：能．证明：连接EF∵AB∥CD，（已知）∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．∵M是BC中点∴BM=CM，在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴CF=BE（对应边相等）．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．举一反三【变式】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【答案】B.4、（2016春•芦溪县期末）为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？【思路点拨】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长．【答案与解析】解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=52°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=33，PB=8，∴AB=33﹣8=25（m），答：楼高AB是25米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．举一反三【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【答案】C.。

北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》同步练习卷一．填空题（共4小题）1．如图所示，求作一个角等于已知角∠AOB．作法：（1）作射线；（2）以为圆心，以为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以为圆心，以为半径画弧，交O′B′于点D′；（4）以点D′为圆心，以为半径画弧，交前面的弧于点C′；（5）过作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．2．如图，使用直尺作图，看图填空：（1）过点和作直线AB；（2）连接线段；（3）以点为端点，过点作射线；（4）延长线段到，使BC＝2AB．3．如图，使用圆规作图，看图填空：（1）在射线AM上线段＝；（2）以点为圆心，以线段为半径作弧交于点；（3）分别以点和点为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点和点；（4）以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交∠AOB两边，于点，点．4．要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF，连接CF，DE，交于P点，那么∠AOB的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明△EOD ≌△，理由是，得到∠OED＝∠，再说明△PEC≌△，理由是，得到PE＝PF；最后说明△EOP≌△，理由是，从而说明了∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．二．解答题（共30小题）5．已知：线段AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．6．已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．7．如图，已知点D为OB上的一点，按下列要求进行作图．（1）作∠AOB的平分线OC；（2）在OC上取一点P，使得OP＝a；（3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使得PE ＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP与∠ODP 的数量关系，并说明理由．8．如图，已知△ABC中，∠C＝90°．在BC上求作点D，使AD＝BD．当AC＝4，CD＝3时，求AB的长，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）9．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）求作：△ABC的角平分线AD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AC＝6，BC＝8，求CD的长．10．如图，在△ABC中，请用两种方法作出BC边的中线AD．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）11．已知△ABC中，∠A＝90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC＝2AD．12．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图．（不写作法，保留作图痕迹）①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并说明理由．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上任意一点（P与A不重合），PQ⊥BC，垂足为D．（1）操作：作∠BAC的平分线AE交PQ于点E（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）图中是否存在与AP相等的线段？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由．14．平面上有四个点A、B、C、D，按照以下要求作图：（1）连接AB并延长AB至E，使BE＝AB；（2）作射线CB；（3）在直线BD上确定点G，使得AG+GC最短．15．如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．16．如图，∠AOB（1）用尺规作出∠AOB的平分线OD．（2）以OA为一边在∠AOB的外部画，∠AOB的余角∠AOC．（画图时不要求写出画法，但要保留画图痕迹）17．如图，平面内有A、B、C、D四点，按照下列要求画图：（1）顺次连接A、B、C、D四点，画出四边形ABCD；（2）连接AC、BD相交于点O；（3）分别延长线段AD、BC相交于点P；（4）以点C为一个端点的线段有条；（5）在线段BC上截取线段BM＝AD+CD，保留作图痕迹．18．按要求完成下列问题如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图（1）画直线AB、CD交于E点，画线段AC、BD交于点F，并连接E、F交BC于点G；（2）连接AD，并在AD的反向延长线上截取一点M，使AM＝AC；（3）画射线BC，并反射延长BC到N点，使BN＝BC．19．如图：在∠AOB的边OB上有一点C．求证：过点C作CD∥OA（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（l）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若CD＝3，AD＝5，求AB的长．21．根据下列语句用圆规和直尺，在下面方框内作图，保留作图痕迹．已知：如图，∠MPN．求作：①∠AOB，使得∠AOB＝∠MPN；②∠AOB的平分线OC．22．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．23．作图题：已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．24．如图，已知∠AOB＝120°．点C在∠AOB的内部，且∠BOC＝30°；OP是∠AOB的角平分线．（1）作∠BOC；（2）尺规作图：作∠AOB的角平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹．）（3）若射线OC、OA分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示方向；（4）在图中找出与∠AOP互余的角是；（5）在图中找出与∠AOB互补的角是．25．如图，直线AB、CD相交于O，P是CD上一点按要求画图并回答问题：（1）过P点画AB的垂线段PE，垂足为E；（2）过P点画CD的垂线段，与AB相交于F；（3）说明线段PE、PO、FO三者的大小关系，其依据是什么？26．如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图．（1）画射线AB，直线BC，线段AC；（2）连接AD与BC相交于点E．27．已知不在同一条直线上的三点P，M，N（1）画射线NP；再画直线MP；（2）连接MN并延长MN至点R，使NR＝MN；（保留作图痕迹，不写作图过程）（3）若∠PNR比∠PNM大100°，求∠PNR的度数．28．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圆规过点C作边AB的垂线，交AB于点D（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AC＝12，BC＝5，求CD的长．30．已知∠AOB，求作∠A′O′B′＝∠AOB，保留作图痕迹，并说明∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是．31．如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝5cm．（1）作图：求作一条直线分别交AC，BC于点D、E．使得BD＝CD，DE⊥BC．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要要求写作法）：（2）在（1）的条件下，连接BD，求△ABD的周长．32．如图，直线AB、CD相交于点O，P是CD上一点，（1）过点P画PE⊥AB于E（2）过点P画PF⊥CD，与AB相交于点F（3）将线段PF、PE、FO从小到大排列为，这样排列的依据是．33．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，使∠A′O′B′＝∠AOB．34．尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法）北师大新版七年级下学期《4.4 用尺规作三角形》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共4小题）1．如图所示，求作一个角等于已知角∠AOB．作法：（1）作射线O′B′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长（或OD的长）为半径画弧，交O′B′于点D′；（4）以点D′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点C′；（5）过点C′作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．【分析】求作一个角等于已知角∠AOB，只要在∠AOB的两边上取C，D，连接CD，在作射线O′B′，在O′B′上取点D′，使OD＝O′D′，再利用圆的性质找出C′点，连接C′D′使△OCD≌△O′C′D′（SSS）即可．【解答】解：作法如下：（1）作射线O′B′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长（或OD的长）为半径画弧，交O′B′于点D′；（4）以点D′为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点C′；（5）过点C′作射线O′A′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【点评】本题考查了运用三角形全等的判定与性质，结合圆的性质作等角的方法，需同学们熟练掌握．2．如图，使用直尺作图，看图填空：（1）过点A和B作直线AB；（2）连接线段AB；（3）以点O为端点，过点A作射线OA；（4）延长线段AB到C，使BC＝2AB．【分析】（1）利用点与直线的位置关系即可求解；（2）连接线段AB即可；（3）利用射线的端点O积射线上的点A即可解决问题；（4）延长线段AB到C，使BC＝2AB．【解答】解：（1）过点A和B作直线AB；（2）连接线段AB；（3）以点O为端点，过点A作射线OA；（4）延长线段AB到C，使BC＝2AB．【点评】本题的解决需熟练掌握常见的作图语言．3．如图，使用圆规作图，看图填空：（1）在射线AM上截取线段AB＝a；（2）以点A为圆心，以线段r为半径作弧交FB于点C；（3）分别以点P和点Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N；（4）以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交∠AOB两边OA，OB于点C，点D．【分析】（1）在射线AM上截取线段AB＝a；（2）以点A为圆心，以线段r为半径作弧交FB于点C；（3）分别以点P和点Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N；（4）以O点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交∠AOB两边OA，OB于点C，点D．【解答】解：（1）截取，AB，a；（2）A，r，FB，C；（3）P，Q，M，N；（4）O，OA，OB，C，D．【点评】本题需熟练掌握作图语言才能解决问题．4．要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF，连接CF，DE，交于P点，那么∠AOB的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明△EOD ≌△FOC，理由是SAS，得到∠OED＝∠OFC，再说明△PEC≌△PFD，理由是ASA，得到PE＝PF；最后说明△EOP≌△FOP，理由是SSS，从而说明了∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．【分析】求∠AOB的平分线可利用三角形全等的性质作图．【解答】解：作法：（1）分别在OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF，连接CF，DE，交于P点，（2）连接OP即可，∵OE＝OF，∠EOF＝∠EOF，OC＝OD，∴△EOD≌△FOC，∠OED＝∠OFC，在△PEC与△PFD中，∵∠OED＝∠OFC，∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，∴△PEC≌△PFD，故PE＝PF，在△EOP与△FOP中，OE＝OF，PE＝PF，OP＝OP，故△EOP≌△FOP，故∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．【点评】此题考查了利用三角形全等求角平分线的方法，比较简便，是常用的方法．二．解答题（共30小题）5．已知：线段AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．【分析】根据过直线外一点作一直直线垂线的方法即可得出结论．【解答】解：如图所示，直线CD即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．6．已知：∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．【分析】以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与边OA、OB分别相交于点M、N，再以点M、N为圆心，以大于MN长为半径画弧，在∠AOB内部相交于点C，作射线OC 即为∠AOB的平分线．【解答】解：如图所示，OC即为所求作的∠AOB的平分线．【点评】本题考查了基本作图，主要是作角的平分线，是基本作图，需熟练掌握．7．如图，已知点D为OB上的一点，按下列要求进行作图．（1）作∠AOB的平分线OC；（2）在OC上取一点P，使得OP＝a；（3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP与∠ODP 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧与∠AOB的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与O作射线OC即可；（2）在OC上取一点P，使得OP＝a；（3）以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN ⊥OB于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM＝PN，利用HL证明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P＝∠ODP，再根据平角的定义即可求解．【解答】解：（1）如图，OC即为所求；（2）如图，OP＝a；（3）∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OA于E2，连接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，则PM＝PN．在△E2PM和△DPN中，，∴△E2PM≌△DPN（HL），∴∠OE2P＝∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OA于另一点E1，连接PE1，则此点E1也符合条件PD＝PE1，∵PE2＝PE1＝PD，∴∠PE2E1＝∠PE1E2，∵∠OE1P+∠E2E1P＝180°，∵∠OE2P＝∠ODP，∴∠OE1P+∠ODP＝180°，∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP＝∠ODP或∠OEP+∠ODP＝180°．【点评】本题主要考查了角平分线的作法，作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握，另外还考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．8．如图，已知△ABC中，∠C＝90°．在BC上求作点D，使AD＝BD．当AC＝4，CD＝3时，求AB的长，（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）【分析】作AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，先利用勾股定理计算出AD，从而得到BC的长，然后再利用勾股定理计算AB．【解答】解：如图，点D为所作，在Rt△ACD中，AD＝＝5，∵AD＝BD＝5，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ACB中，AB＝42+82＝4．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）9．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）求作：△ABC的角平分线AD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AC＝6，BC＝8，求CD的长．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）作DE⊥AB于点E，根据角平分线性质知DE＝DC，继而可得AE＝AC＝6，设DE ＝DC＝x，则BD＝8﹣x，在Rt△BED中利用勾股定理可得x的值．【解答】解：（1）如图：（2）过点D作DE⊥AB于E．∵DE⊥AB，∠C＝90°∴由题意可知DE＝DC，∠DEB＝90°又∵DE＝DC，AD＝AD∴AD2﹣ED2＝AD2﹣DC2∴AE＝AC＝6∵AB＝10，∴BE＝AC﹣AE＝4设DE＝DC＝x，则BD＝8﹣x∴在Rt△BED中，（8﹣x）2＝16+x2∴x＝3，∴CD＝3．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质、勾股定理等．10．如图，在△ABC中，请用两种方法作出BC边的中线AD．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】作BC的垂直平分线得到BC的中点，从而得到中线AD，如图1；分别以B、C 为圆心，AC、AB为半径画弧得到平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到中线AD．【解答】解：如图1，如图2，AD为所作．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．11．已知△ABC中，∠A＝90°．（1）请在图1中作出BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，设BC边上的中线为AD，求证：BC＝2AD．【分析】（1）如图1，作BC的垂直平分线得到BC的中点D，从而得到BC边上的中线AD；（2）延长AD到E，使ED＝AD，连接EB、EC，如图2，通过证明四边形ABEC为矩形得到AE＝BC，从而得到BC＝2AD．【解答】（1）解：如图1，AD为所作；（2）证明：延长AD到E，使ED＝AD，连接EB、EC，如图2，∵CD＝BD，AD＝ED，∴四边形ABEC为平行四边形，∵∠CAB＝90°，∴四边形ABEC为矩形，∴AE＝BC，∴BC＝2AD．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的判定与性质．12．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．（1）利用尺规完成以下作图．（不写作法，保留作图痕迹）①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；②作∠ABM的角平分线交AC于D点；③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①以A为圆心，AB长为半径画弧交BC于C；②根据角平分线的作法作∠ABM的角平分线；③以C为圆心CD长为半径画弧交CM于E，再连接ED即可；（2）根据角平分线的性质可得∠1＝∠ABC，根据等边对等角可得∠ABC＝∠4，∠2＝∠3，然后再证明∠1＝∠3，根据等角对等边可得BD＝DE．【解答】解：（1）如图所示．（2）BD＝DE．理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠ABC．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4．∴∠1＝∠4．∵CE＝CD，∴∠2＝∠3．∵∠4＝∠2+∠3，∴∠3＝∠4．∴∠1＝∠3．∴BD＝DE．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及等腰三角形的性质，关键是正确画出图形，掌握等边对等角和等角对等边．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上任意一点（P与A不重合），PQ⊥BC，垂足为D．（1）操作：作∠BAC的平分线AE交PQ于点E（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）图中是否存在与AP相等的线段？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用尺规作出∠CAB的平分线即可；（2）存在．结论：P A＝PE，只要证明∠P AE＝∠PEA即可；【解答】解：（1）∠BAC的平分线如图所示；（2）存在．P A＝PE．理由：∵PD⊥BC，∴∠C＝∠PDB＝90°，∴AC∥PE，∴∠CAE＝∠AEP，∵∠EAB＝∠EAC，∴∠P AE＝∠PEA，∴P A＝PE．【点评】本题考查作图、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．14．平面上有四个点A、B、C、D，按照以下要求作图：（1）连接AB并延长AB至E，使BE＝AB；（2）作射线CB；（3）在直线BD上确定点G，使得AG+GC最短．【分析】（1）连接AB并延长AB至E，使BE＝AB即可；（2）作射线CB即可；（3）连接AC交BD于点G，则点G即为所求．【解答】解：（1）如图；（2）如图，射线CB即为所求；（3）如图，点G即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知直线、射线的作法是解答此题的关键．15．如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．（1）过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【解答】解：（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB＝180°或∠MPN＝∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∴∠MPN+∠AOB＝180°．右图中，∵∠PJM＝∠OJN，∠AMJ＝∠JNO＝90°，∴∠MPN＝∠AOB．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，∠AOB（1）用尺规作出∠AOB的平分线OD．（2）以OA为一边在∠AOB的外部画，∠AOB的余角∠AOC．（画图时不要求写出画法，但要保留画图痕迹）【分析】（1）利用角平分线的作法得出OD即可；（2）直接利用余角的定义进而得出符合题意的答案．【解答】解：（1）如图所示：OD即为所求；（2）如图所示：∠AOC即为所求．【点评】此题主要考查了基本作图以及余角的定义，正确掌握基本作图方法是解题关键．17．如图，平面内有A、B、C、D四点，按照下列要求画图：（1）顺次连接A、B、C、D四点，画出四边形ABCD；（2）连接AC、BD相交于点O；（3）分别延长线段AD、BC相交于点P；（4）以点C为一个端点的线段有5条；（5）在线段BC上截取线段BM＝AD+CD，保留作图痕迹．【分析】（1）根据题意画图即可；（2）连接AC、BD，交点记作O；（3）延长AD、BC，两延长线的交点记作P；（4）根据图形可得答案；（5）利用圆规在线段BC上截取即可．【解答】解：（1）（2）（3）（5）如图所示：（4）点C为一个端点的线段有AC，CD，CP，CB，CM，共5条，故答案为：5．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握线段有两个端点，本身不能向任何一方延伸．18．按要求完成下列问题如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图（1）画直线AB、CD交于E点，画线段AC、BD交于点F，并连接E、F交BC于点G；（2）连接AD，并在AD的反向延长线上截取一点M，使AM＝AC；（3）画射线BC，并反射延长BC到N点，使BN＝BC．【分析】（1）根据直线、线段的定义即可解决问题；（2）根据线段的性质即可解决问题；（3）根据射线的定义即可解决问题；【解答】解：（1）直线AB、CD等如图所示；（2）M如图所示；（3）射线BC，点N如图所示；【点评】本题考查基本作图、直线、线段、射线的定义等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．19．如图：在∠AOB的边OB上有一点C．求证：过点C作CD∥OA（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【分析】作∠DCB＝∠O即可．【解答】解：如图，CD为所作．【点评】本题考查了基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（l）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若CD＝3，AD＝5，求AB的长．【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的平分线即可；（2）只要证明△BDE≌△BDC，推出CD＝DE＝3，BC＝BE，设BC＝BE＝x，在Rt△ADE中，AE＝＝4，在Rt△ABC中，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）∠ABC的角平分线BD如图所示；（2）作DE⊥AB于E．∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBC，∠DEB＝∠C＝90°，∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDC，∴CD＝DE＝3，BC＝BE，设BC＝BE＝x，在Rt△ADE中，AE＝＝4，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，∴x2+82＝（x+4）2，∴x＝6，∴AB＝BE+AE＝4+6＝10．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用参数构建方程解决问题．21．根据下列语句用圆规和直尺，在下面方框内作图，保留作图痕迹．已知：如图，∠MPN．求作：①∠AOB，使得∠AOB＝∠MPN；②∠AOB的平分线OC．【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角和作已知角的角平分线）作∠AOB＝∠MPN 和作OC平分∠AOB．【解答】解：如图，∠AOB和OC为所作．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．22．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．【分析】（1）过点P作∠PQA＝∠DCA即可．（2）过点P作∠QPR＝90°即可．【解答】解：每对一问得（3分）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（3分）（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．（6分）【点评】本题主要考查了最基本的作图﹣﹣﹣﹣平行线和垂线的画法．23．作图题：已知∠AOB，利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【分析】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【解答】解：作法：①做∠DO'B'＝∠AOB；②在∠DO'B'的外部做∠A'OD＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求的角．【点评】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．24．如图，已知∠AOB＝120°．点C在∠AOB的内部，且∠BOC＝30°；OP是∠AOB的角平分线．（1）作∠BOC；（2）尺规作图：作∠AOB的角平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹．）（3）若射线OC、OA分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示北偏西30°方向；（4）在图中找出与∠AOP互余的角是∠BOC和∠COP；（5）在图中找出与∠AOB互补的角是∠AOP和∠BOP．【分析】（1）以OB为边，在∠AOB的内部画∠BOC＝30°；（2）利用尺规作图的方法，作∠AOB的角平分线OP；（3）把OC、OA看做方向标，那么OB指的是北偏西30°方向；（4）互余角是指两角角度和为90度，这两个角叫互为余角，据此找出；（5）互补角是指两角角度和为180度，这两个角叫互为补角，根据图形中角的度数特点即可解决．【解答】解：（1）以OB为边，在∠AOB的内部画∠BOC＝30°，如图所示；（2）画出∠AOB的角平分线OP如图所示；（3）把射线OC、OA看做方向标，分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB 表示北偏西30°方向；（4）∠BOC＝30°，∠AOP＝∠BOP＝60°，则∠C0P＝60°﹣30°＝30°，所以可得：∠AOP+∠BOC＝90°，∠AOP+∠COP＝90°所以∠AOP的余角是∠BOC和∠COP；（5）因为∠AOB＝120°所以∠AOB+∠AOP＝180°，∠AOB+∠BOP＝180°，所以∠AOB的补角是：∠AOP和∠BOP．故答案为：（3）北偏西30°；（4）∠BOC和∠COP；（5）∠AOP和∠BOP．【点评】此题考查了画已知度数的角；利用尺规作图画角的平分线；根据方向标和角的度数表示方向；以及求一个角的余角和补角的方法的灵活应用．25．如图，直线AB、CD相交于O，P是CD上一点按要求画图并回答问题：（1）过P点画AB的垂线段PE，垂足为E；（2）过P点画CD的垂线段，与AB相交于F；（3）说明线段PE、PO、FO三者的大小关系，其依据是什么？【分析】（1）过直线外一点作已知直线的垂线即可得；（2）过直线上一点作已知直线的垂线可得；（3）根据点到直线上所有点的连线中垂线段最短解答可得．【解答】解：（1）如图，垂线段PE即为所求；（2）如图，垂线段PF即为所求；（3）PE＜PO＜FO，∵PE⊥AB，∴PE＜PO，∵OP⊥PF，∴PO＜OF，∴PE＜PO＜FO．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握作已知直线的垂线的尺规作图和垂线段的性质是解题的关键．26．如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图．（1）画射线AB，直线BC，线段AC；（2）连接AD与BC相交于点E．【分析】（1）画射线AB，以A为端点向AB方向延长；画直线BC，连接BC并向两方无限延长；画线段AC，连接AB即可；（2）连接各点，其交点即为点E．【解答】解：画射线AB；画直线BC；画线段AC；连接AD与BC相交于点E．（8分）【点评】解答此题，要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟悉基本工具的用法．27．已知不在同一条直线上的三点P，M，N（1）画射线NP；再画直线MP；（2）连接MN并延长MN至点R，使NR＝MN；（保留作图痕迹，不写作图过程）（3）若∠PNR比∠PNM大100°，求∠PNR的度数．【分析】（1）根据射线、直线的定义画出图形即可．（2）连接MN并延长MN至点R，截取NR＝MN即可．（3）由题意可知∠PNR＝∠PNM+100°，∠PNR+∠PNM＝180°，即∠PNM+（∠PNM+100°）＝180°，由此即可解决问题【解答】解：（1）射线NP、直线MP如图所示．（2）连接MN并延长MN至点R，使NR＝MN，点R即为舍弃（如图）．（3）∵∠PNR＝∠PNM+100°，∠PNR+∠PNM＝180°，∴∠PNM+（∠PNM+100°）＝180°，∴2∠PNM＝80°，∴∠PNM＝40°．【点评】本题考查作图﹣基本作图、邻角互补等知识，解题的关键是熟练掌握射线、直线、线段的定义，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．28．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC，求此时t的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．【分析】（1）用角的度数除以转动速度即可得；（2）根据∠AOC＝30°、OM恰好平分∠BOC知∠BOM＝75°，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MOB画图即可．【解答】解：（1）∵30÷3＝10，∴10秒后ON与OC重合；（2）∵∠AON+∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝2∠COM＝150°，∴∠COM＝75°，∴∠CON＝15°，∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝30°﹣15°＝15°，解得：t＝15°÷3°＝5秒；（3）∵∠AON+∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，∴∠COM为（90°﹣3t），∵∠BOM+∠AON＝90°，可得：180°﹣（30°+6t）＝（90°﹣3t），解得：t＝秒；如图：【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用直尺和圆规过点C作边AB的垂线，交AB于点D（要求：不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AC＝12，BC＝5，求CD的长．【分析】（1）以点C为圆心，以任意长为半径画圆，交BA于点EF，再作EF的垂直平分线即可；（2）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求；（2）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∴CD＝＝＝．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知过直线外一点作已知直线垂线的方法是解答此题的关键．30．已知∠AOB，求作∠A′O′B′＝∠AOB，保留作图痕迹，并说明∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是SSS．。

《用尺规作三角形》练习一、选择——根底知识运用1．一个角的平分线的尺规作图的理论依据是〔〕A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS2．用尺规作图，三边作三角形，用到的根本作图是〔〕A．作一个角等于角B．作直线的垂线C．作一条线段等于线段D．作角的平分线3．∠AOB，用尺规作一个角∠A’O’B’等于角∠AOB的作图痕迹如下图，那么判断∠AOB=∠A’O’B’所用到的三角形全等的判断方法是〔〕A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于线段时，实际上就是的条件是〔〕A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三边C．三角形的两个角和它们的夹边D．三角形的三个角5．利用尺规进行作图，根据以下条件作三角形，画出的三角形不是唯一的是〔〕A．三条边B．三个角C．两角和夹边D．两边和夹角二、解答——知识提高运用6．作图：画一个三角形与△ABC全等，保存作图痕迹。

7．线段BC=2，用尺规作△ABC，使∠A=45°，你能作出多少个满足条件的三角形？8．如图，a和∠α，用尺规作一个三角形ABC，使AB=AC=2a，∠BAC=180°-∠α。

9．尺规作图：小明作业本上画的三角形被墨迹污染，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想方法用尺规作图画一个出来，并说明，你的理由．10．作图：求作一个三角形，使它的两边分别为a和2a，其夹角为∠α。

〔要求：用尺规作图，并写出，求作，保存作图痕迹，不写作法〕11．利用尺规，用三种不同的方法作一个是三角形与直角三角形ABC全等，并简要说明理由。

参考答案一、选择——根底知识运用1．【答案】B【解析】连接NC，MC，在△ONC和△OMC中，∵ON=OM ，NC=MC，OC=OC ，∴△ONC≌△OMC〔SSS〕，∴∠AOC=∠BOC，应选：B。

2．【答案】C【解析】根据三边作三角形用的的根本作图是：作一条线段等于线段。