2019-2020学年高中数学 1.2.1 排列教案 理 新人教B版选修2-3.doc

1．2．1 排列课标要求：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。

过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 教学过程：一、复习引入： 1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：1问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。

教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学过程：一、复习引入：1.分类计数原理：2，乘法原理：二、新课学习：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．顺序．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+，排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+=!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤） 说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）4、典例分析例1．计算：（1）316A ； （2）66A ； （3）46A ．例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导。

1．2．1排列教学目标：1、知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，掌握优先处理元素（位置）法,掌握捆绑法和插空法2、过程与方法：从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算3、情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题教学重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法教学难点：排列的应用教材分析：分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系教法选择：探究式与讲授式结合学情分析：对于高二的学生，知识经验已较为丰富，他们已具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，所以在授课时注重引导、启发、研究和探讨，从而促进思维能力的进一步发展。

针对高中生思维特点和心里特征，本节课我采用启发式、探究式、讲授式相结合的教学方式。

教学过程：一、复习引入：1、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列？从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2、什么叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数？从n个不同的元素中取出m（m≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 用符号 表示3、排列数的两个公式是什么？二．巩固复习问题11从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，有多少种选法？2从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，共中1名同学参加上午的活动,另1名参加下午的活动,有多少种选法？问题21从1,2,3,4中任意选出3个不同的数组成一个集合，这样的集合有多少个？2从1,2,3,4中任意选出3个组成一个三位数,共可得到多少个三位数三、讲解新课：例1：（1）7位同学站成一排，共有多少种 不同的排法？（2）7位同学站成两排前3后4，共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。

1.2.1 排列【教学目标】①了解排列和排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题；②培养归纳概括能力；③从中体会“化归”的数学思想【教学重点】排列、排列数的概念【教学难点】排列数公式的推导一、课前预习1.我们把被取得对象叫做_________.2.从n 个______的元素中______________个元素，按照____________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．. 两个排列相同的含义为：________________________________.3.从n 个______的元素中______________个元素的所有排列的_______，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，．．．．用符号______表示.且排列数公式为)*,,.(___________n m N m n A m n ≤∈=特殊的，n 个______的元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，此时m=n ，则___________==n n A . 规定 0！=_________.排列数公式的阶乘表示式为.________=m n A4.[思考] 排列与排列数的区别：二、课上学习例1、（1）写出从甲、乙、丙三个元素种任取两个元素的所有排列：（2）写出由1，2，3这三个数字组成的没有重复数字的所有三位数.例2、（1）计算：5988584824A A A A -+ （2）解方程：3412140x x A A =+ （3）解不等式：2996->x x A A例3、用0，1，2，3，4，5六个数字.（1） 能组成多少个无重复数字的四位偶数？其中小于4000的有多少个？（2） 能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？例4、有5名男生，4名女生排成一排.（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？（4）若四名女生互不相邻，有多少种不同的排法？（5）若男生甲必须站在女生乙的右边（甲、乙可以不相邻），有多少种不同的站法？（6）男生和女生间隔排列的方法有多少种？例5、在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，共有多少种安排方法？三、课后练习1.有小麦、大麦品种各一种，在5块不同土质的试验田里引种试验，要求小麦品种有3块试验田，大麦品种有2块试验田，问有多少种不同的试验方法？2.5名同学站成一排，（1）甲、乙两名同学不能站在一起的不同排法总数有多少种？（2）甲不能站在两端，乙不能站在中间的不同排法有多少种？（3）甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列种数有多少种？（4）甲、乙、丙3人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，有多少种不同的排法？3.4棵柳树和4棵杨树，栽成一行，且杨树和柳树逐一相间的栽法共有多少种？4.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，不同的成列方式有多少种？5.（1）8名学生站成两排，前排4人，后排4人，有多少种不同的站法？（2）8人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？6.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法种数是（）.A18种.B24种.C36种.D48种7.一环形花坛分成A,B,C,D四块.现有四种不同的花供选择，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为（）.A96 .B84 .C60 .D488.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事翻译工作，则选派方案有多少种？9.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法种数为（ ）44.A A 36.A B 46.A C 33.A D10.（1）4个同学，分配到3个课外小组中去活动，共有几种分配方法？（2）4个同学争夺3项竞赛的冠军，冠军获得者共有几种可能情况？。

排列第2课时教学目标：1、知识与技能：能用排列公式解简单的排列问题，熟练排列的基本题型，能用排列数公式计算。

2、过程与方法：通过复习提问，师生互动，完成本节课3、情感、态度与价值观：通过本节的学习，培养学生一题多解和一题多变的能力。

教学重点：能应用排列的相关知识解决排列的基本题型。

教学难点：能应用排列的相关知识解决排列的基本题型。

一、课前复习巩固（一）排列的定义：（提问学生）一般地，从n个不同元素中取出mm≤n个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．复习巩固12021·徐州期末用1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的三位数共有________个．用数字作答（学生思考回答）（二）排列数的定义：从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．（提问学生）（三）排列数公式1A错误!＝nn－1n－2…n－m＋1．2 A错误!＝错误!，全排列公式可写成A错误!＝n！（提问学生）复习巩固2 设m∈N＋，且m<15，则15－m16－m…2021等于A．A错误!B．A错误! C．A错误!（教师引导，学生思考回答）（四）几类特殊排列问题的解决方法（教师举例讲解，生师共同总结）1．相邻元素捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序．2．插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当．3．缩倍法：某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘．复习巩固3 3名男生，4名女生，按照不同的要求排列，求不同的排队方案的方法种数．1全体站成一排，男生必须排在一起；2全体站成一排，男生不能排在一起；3全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；4全体站成一排，甲必须在乙的右边；5全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变．[解析]1捆绑法即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故N＝A错误!·A错误!＝720212插空法先排女生有A错误!种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排有A错误!种排法，故N＝A错误!·A错误!＝1440种．3捆绑法先从甲、乙二人之外的5人中选二人站在甲、乙二人之间，有A错误!种排法；甲、乙二人可交换位置有A错误!种方法；将这四人看成一个整体，与余下3人全排列，有A错误!种．故由分步乘法计算原理，有N＝A错误!·A错误!·A 错误!＝960种．4甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝错误!＝2 520215甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的错误!，故N＝错误!＝840种．（五）有限制条件的排列应用问题的解法（生师共同总结）1解答这类有限制条件的排列问题，常用的方法有“直接法”和“间接法”即剔除不符合限制条件的情况，因而间接法又称为排除法，如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题分的类少或计算较简便，往往采用“间接法”．2用“直接法”来解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．3“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．4不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素位置的性质分类每一类的各种方法都能保证事件的完成，按事件发生的连续过程合理分步来解决．尤其不能疏忽这类问题的隐含条件上“0不能在首位”．复习巩固 4 2021·四川理，4用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（学生思考回答）A．24 B．48 C．60 D．72二、课堂典例探究命题方向1：排列定义的理解与应用例1：判断下列问题是否是排列问题：（学生思考回答，教师总结）1从1,2,3,5中任取两个不同的数相加乘可得多少种不同的结果？2有12个车站，共需准备多少种车票？3从学号为1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？4平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？[解析]1与顺序无关，不是排列问题；2满足排列的定义，是排列问题；3与顺序无关，不是排列问题；4由于确定直线时与两点顺序无关，所以不是排列问题，而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题．跟踪练习1：下列问题是排列问题吗？（学生思考回答，教师总结）1从5个人中选取两个人去完成某项工作．2从5个人中选取两个人担任正副组长．[解析] 1不是，甲和乙去与乙和甲去完成这项工作是同一种选法．2是，甲担任组长、乙担任副组长，与甲担任副组长、乙担任组长是不同的方法命题方向2：简单的排列问题例2：1从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？（学生思考回答，教师总结）[解析]1由题意作树形图，如图．1234 2134 3124 4123故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．2写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．（学生思考回答，教师总结）[解析] 2由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共24个．跟踪练习2：某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？（学生思考回答，教师总结）命题方向3：解有约束条件的排列问题例3：三个女生和五个男生排成一排．（学生思考回答，教师引导总结）1如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？2如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？3如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？4如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[师生共同总结]1解决排列、应用问题最常用、最基本的方法是位置分析法和元素分析法．1若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置．有两个以上约束条件，往往在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件．2若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他的元素．2．间接法有时也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得更简单、明快．3．捆绑法、插入法适用于某些问题，要认真搞清在什么条件下使用．一般地，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．跟踪练习3 6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（学生思考回答，教师引导总结）1男甲必排在首位；2男甲、男乙必排在正中间；3男甲不在首位，男乙不在末位；4男甲、男乙必排在一起；54名女生排在一起；6任何两个女生都不得相邻；7男生甲、乙、丙顺序一定．[解析]1先满足甲，再排余下的9人，共有A错误!种排法．2先排甲、乙，再排余下的8人，共有A 错误!·A错误!种不同排法．3解法1：直接法甲不在首位，按甲的排法分类：若甲在末位，则有A错误!种不同排法；若甲不在末位，则甲有A错误!种排法，乙有A错误!种排法，其余有A错误!种排法，共有A错误!A错误!A错误!种排法．综所述上，共有A错误!＋A错误!A错误!A 错误!种不同排法．命题方向4：有关排列的计算与证明例4：计算下列各题：1 1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！；2 错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误![解析] 1 原式＝2！－1＋3！－2！＋4！－3！＋…＋[n＋1！－n！]＝n＋1！－12 ∵错误!＝错误!－错误!，∴错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝1－错误![师生总结]准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关键．本题计算中灵活地用到下列各式：n！＝nn－1！；nn！＝n＋1！－n！；错误!＝错误!－错误!使问题解得简单、快捷．三、课堂小结1、排列错误!2、排列的基本题型（捆绑，插空的）四、布置作业完成本节课时作业五、板书设计课题一、课前复习巩固二、课堂典例探究（一）排列的定义：命题方向1--4复习巩固 1例题及跟踪练习（二）排列数的定义：三、课堂小结（三）排列数公式四布置作业复习巩固2 （四）几类特殊排列问题的解决方法复习巩固3 （五）有限制条件的排列应用问题的解法复习巩固4。

1．2．1排列（一）教学目标1．知识与技能: 理解排列的意义，并能用树形图正确写出一些简单排列问题的所有排列，了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算。

2 过程与方法:通过引导学生从生活中的例子理解排列的意义。

3情态与价值：体会“化归”的数学思想和培养学生转化的能力。

（二）教学重、难点重点：理解排列的意义，能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。

难点：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题。

（三）教学过程新课导入2021年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。

在男子4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？思考:上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？1有顺序的2不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等1排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。

排列问题实际包含两个过程：1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。

2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。

注意：1、元素不能重复。

n个中不能重复，m个中也不能重复。

2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。

3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。

4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。

例1下列问题中哪些是排列问题？1）10名学生中抽2名学生开会2）10名学生中选2名做正、副组长3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除5）2021学互通一次电话6）2021学互通一封信（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？2、排列数从n个不同的元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

第二课时排列的应用[对应学生用书P8][1] 有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？[思路点拨]本题的实质是从5个元素中选出3个元素的排列问题．[精解详析] 从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有A35＝5×4×3＝60种．[一点通]没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为( )A．123B．312C．A312D．12＋11＋10解析：从12名选手中选出3名并安排奖次，共有A312种不同的获奖情况．答案：C2．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，则不同的选择方案共有( )A．120种B．360种C．720种D．480种解析：从6人中选出4人进行排列，共有A46＝360种排法．答案：B[例2] 用(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？[思路点拨]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[精解详析] (1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先排个位，有A13种排法；第二步排十万位，有A14种排法；第三步排其他位，有A4种排法．故共有A13A14A4＝288个六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端，有A14种排法；从1,3,5中任选一个排在个位，有A13种排法；其他位上用剩下的元素作全排列，有A4种排法．故共有A14A13A4＝288个六位奇数．法三(间接法)：6个数字的全排列有A6个，0,2,4在个位上的排列有3A5个，1,3,5在个位上、0在十万位上的排列有3A4个，故对应的六位奇数的排列数为A6－3A5－3A4＝288个．(2)法一(间接法)：0在十万位或5在个位的排列都不是符合题意的排列，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A6－2A5＋A4＝504个．法二(直接法)：因为十万位数字的排法与个位上排0与不排0而有所不同，所以分两类．第一类，当个位排0时，有A5个；第二类，当个位不排0时，有A14A14A4个．故共有符合题意的六位数A5＋A14A14A4＝504个．[一点通]1．排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素．解决该类问题的方法主要是“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足的特殊位置．2．解决此类问题常用方法：(1)直接法：直接根据约束条件分步或分类计数；(2)间接法：问题的正面分的情况较多，或计算较复杂，而反面情况较少或计算简单时选用间接法．3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．解析：分两步完成：第一步，安排三名主力队员，有A3种；第二步安排另2名队员，有A27种，所以共有A3·A27＝252种．答案：2524．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，若不许有空袋，且红口袋不能装入红球，则有________种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，共有A14×A4＝96种．答案：965．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________(用数字作答)．解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A13种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A14种安排方法；其余4节课无约束条件，有A4种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A13·A14·A4＝288.答案：288[例3] (10分(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．[思路点拨](1)(2)中元素相邻，可用“捆绑法”，(3)(4)中元素不相邻，可用“插空法”．[精解详析] (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A3种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A4种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2种排法．由分步计数原理知，共有A3·A4·A2＝288种排队方法．(2)三个男生全排列有A3种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A5种排法．故有A3·A5＝720种排队方法．(3)先安排女生，共有A4种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A4·A35＝1440种排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A3·A4＝144种排法．[一点通]1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列．2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．6．(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120C．72 D．24解析：剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.答案：D7．用两个字母、五个数字组成一组密码，且字母、数字不能分开，则共能组成________个不同的密码．解析：共组成A2·A5·A2＝480个不同的密码．答案：4808．7人站成一排．求：(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A6种排法．甲、乙两人可交换位置，有A2种排法．故共有A6·A2＝1 440种排法．(2)法一(间接法)：7人任意排列，有A7种排法，甲、乙两人相邻有A2·A6种排法，故共有A7－A2·A6＝3 600种甲、乙不相邻的排法．法二(插空法)：将其余5人排列，有A5种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A26种排法．故共有A5·A26＝3 600种排法．(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A5种排法，甲、乙、丙三人有A3种排法，共有A5·A3＝720种排法．解决排列应用题的常用方法：(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分类处理．(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素．(3)间接法：也叫排异法，直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可考虑用间接法．(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中．要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数，此方法适用于“不相邻”问题的排列．(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看成一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列．此法适用于“相邻”问题的排列．错误!1．将2位新同学分到4个班中的2个班中去，共有的分法种数为( )A．4 B．12C．6 D．24解析：共有A24＝12种分法．答案：B2．有不同的5本书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．现把它们摆放成一排，要求2本数学书不能相邻，则这5本书的不同摆放种数是( )A．24 B．36C．48 D．72解析：先排语文、物理书，有A3种方法．然后将数学书插空，有A24种方法，由分步乘法计数原理，得不同摆放种数为A3×A24＝72.答案：D3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种解析：先排第一列，有A3种方法；再排第二列，有2种方法．由分步乘法计数原理知，共有A3×2＝12种排列方法．答案：A4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种B．12种C．24种D．30种解析：分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，有A23＝6种排列方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24种．答案：C5．为配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为________．(用数字作答)解析：先排无机染料和添加剂，有A4种不同的排法，再排有机染料．因为它们不能相邻，所以用插空的方法排有机染料，有A35种不同的排法．共有A4A35＝1 440种不同的试验方法．答案：1 4406．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：先选出文娱委员，有3种选法，再选出学习委员、体育委员，有A24＝12种选法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：367．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A3.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A3·A4＝144种排法．(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A4种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A4·A25＝480种排法．8．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台．(2)2个唱歌节目不相邻．(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解：(1)先排唱歌节目有A2种排法，再排其他节目有A6种排法，所以共有A2·A6＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A6种排法，再从其中7个空(包括两端)中任选2个排唱歌节目，有A27种插空方法，所以共有A6·A27＝30 240种排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A4种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插空法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A2种排法，由分步乘法计数原理知，符合要求的排法共有：A4·A35·A2＝2 880种．1．2.2 组合[对应学生用书P10]从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．问题1：所得商和积的个数相同吗？提示：不相同．问题2：它们是排列吗？提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．1．组合(1)一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．(2)如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合．2．组合数从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.从1,3,5,7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？提示：A24＝4×3＝12个．问题2：如何用分步法求商的个数？提示：第一步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第二步，将每个组合中的两个数排列，有A2种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C24A2.问题3：你能得出计算C24的公式吗？提示：能．因为A24＝C24A2，所以C24＝A24 A22 .问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数．提示：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：第一步，从这n 个不同元素中取出m 个元素，共有C m n 种不同的取法； 第二步，将取出的m 个元素全排列，共有A m 种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，A m n ＝C m n ·A m ，故C m n ＝Am n Am m.组合数公式1．组合的定义定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”．“合成一组”表示与元素的顺序无关．2．相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．。