云南省昆明市官渡区九年级(上)期末数学试卷

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．用配方法解方程22830x x --=时，原方程可变形为（ ）A ．()2522x -=-B ．()21122x -=C ．()227x +=D ．()227x -= 2．用配方法解方程246x x +=，下列配方正确的是( )A ．()2210x +=B ．()226x +=C ．()224x +=D ．()242x += 3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1BC =，4AB =，则sin B 的值是（ ）A ．155B ．14C ．13D ．1544．如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测. 根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是 （ ）A ．小明：“早上8点”B ．小亮：“中午12点”C ．小刚：“下午5点”D ．小红：“什么时间都行”5．一个不透明的盒子装有m 个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m 的值约为（ ） A ．8B ．10C ．20D ．40 6．抛物线()2221y x m x m m =--+-与坐标轴的交点个数为（ ）A ．2个B ．2个或3个C ．3个D ．不确定7．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2πC ．4D ．4π8．若ABC DEF ∆∆∽，面积之比为9:4，则相似比为（ ）A ．94B ．49C ．32D ．81169．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为（ ）A ．2a 2B ．3a 2C ．4a 2D ．5a 210．如图，在线段AB 上有一点C,在AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△ECB,且AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,直线BD 与线段AE,线段CE 分别交于点F,G .对于下列结论：①△DCG ∽△BEG ；②△ACE ∽△DCB ；③GF·GB=GC·GE ；④若∠DAC=∠CEB=90°,则2AD 2=DF·DG .其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①③④D ．①②二、填空题(每小题3分,共24分)11．如果关于x 的方程2690kx x -+=有两个相等的实数根，那么k 的值为________，此时方程的根为_______．12．方程()()()232x x x ++=+的解是__________．13．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差S 02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为S 12，则S 12__S 02（填“＞”，“＝”或”＜”）14．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC ∆沿着AD 方向平移，得到A B C '''，当两个三角形重叠部分的面积为3时，则AA '的长为_________．15．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．16．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点B ，C 在x 轴上，A ，D 两点分别在反比例函数y ＝﹣3x （x ＜0）与y ＝k x（x ＞0）的图象上，若▱ABCD 的面积为4，则k 的值为：_____．17．已知a b =13，则a a b+的值是_______． 18．关于x 的方程2120x ax --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是__________． 三、解答题(共66分)19．（10分）已知9a 2-4b 2=0，求代数式 a b -b a -22a b ab +的值． 20．（6分）先化简，再求值:222222111x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-+--⎝⎭，其中1245302x cos sin =︒-︒. 21．（6分）如图，AB 是⊙O 的直径，D 是弦AC 的延长线上一点，且CD ＝AC ，DB 的延长线交⊙O 于点E ．（1）求证：CD ＝CE ；（2）连结AE ，若∠D ＝25°，求∠BAE 的度数．22．（8分）（1）解方程：x 2+4x -1＝0（2）已知α为锐角，若()3sin -152α=，求α的度数. 23．（8分）如图，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点A 在直线l 上，AD 与直线l 相交所得的锐角为60°.点F 在直线l 上，8AF =，EF ⊥直线l ，垂足为点F 且6EF =，以EF 为直径，在EF 的左侧作半圆O ，点M 是半圆O 上任一点.发现：AM 的最小值为_________，AM 的最大值为__________，OB 与直线l 的位置关系_________.思考：矩形ABCD 保持不动，半圆O 沿直线l 向左平移，当点E 落在AD 边上时，求半圆与矩形重合部分的周长和面积.24．（8分） “万州古红桔”原名“万县红桔”，古称丹桔（以下简称为红桔），种植距今至少已有一千多年的历史，“玫瑰香橙”（源自意大利西西里岛塔罗科血橙，以下简称香橙）现已是万州柑橘发展的主推品种之一．某水果店老板在2017年11月份用15200元购进了400千克红桔和600千克香橙，已知香橙的每千克进价比红桔的每千克进价2倍还多4元．（1）求11月份这两种水果的进价分别为每千克多少元？（2）时下正值柑橘销售旺季，水果店老板决定在12月份继续购进这两种水果，但进入12月份，由于柑橘的大量上市，红桔和香橙的进价都有大幅下滑，红桔每千克的进价在11月份的基础上下降了12m %，香橙每千克的进价在11月份的基础上下降了m %，由于红桔和“玫瑰香橙”都深受库区人民欢迎，实际水果店老板在12月份购进的红桔数量比11月份增加了5m8%，香橙购进的数量比11月份增加了2m%，结果12月份所购进的这两种柑橘的总价与11月份所购进的这两种柑橘的总价相同，求m的值．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F．（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：①当∠D的度数为时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为时，四边形ECOG为正方形．26．（10分）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，若AD＝4，则四边形BEGF的面积为_____．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先将二次项系数化为1，将常数项移动到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，结合完全平方公式进行化简即可解题．【详解】22830x x --=228=3x x ∴-234=2x x ∴- 234+4=+42x x ∴- 211(2)=2x ∴- 故选：B ．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，其中涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2、A【分析】通过配方法可将方程246x x +=化为2()x a b +=的形式．【详解】解：配方，得：24464++=+x x ，由此可得：()2210x +=，故选A ．【点睛】本题重点考查解一元二次方程中的配方法，熟练掌握配方法的过程是解题的关键；注意当方程中二次项系数不为1时，要先将系数化为1后再进行移项和配方．3、D【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，∴AC ==∴4AC sinB AB ==， 故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比． 4、C【解析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案．解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．故选C ．本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．5、C【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得，4m＝0.2， 解得，m ＝20，经检验m=20是所列方程的根且符合实际意义，故选：C ．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．6、C【分析】根据题意，与y 轴有一个交点，令y=0，利用根的判别式进行判断一元二次方程的根的情况，得到与x 轴的交点个数，即可得到答案.【详解】解：抛物线()2221y x m x m m =--+-与y 轴肯定有一个交点； 令y=0，则()22210y x m x m m =--+-=， ∴2224[(21)]41()b ac m m m ∆=-=---⨯⨯-=2244144m m m m -+-+=10>；∴抛物线与x 轴有2个交点；∴抛物线与坐标轴的交点个数有3个；故选：C.【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点情况，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确得到与坐标轴的交点.7、B【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB '的面积﹣△CA 'B '的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA '的面积），代入数值解答即可．【详解】∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，∴BC ＝，∠ACB ＝∠A 'CB '＝45°， ∴阴影部分的面积＝＝2π，故选B ．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB '的面积﹣△CA 'B '的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA '的面积）是解决问题的关键.8、C【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为9：4，∴它们的相似比为3：1．故选：C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．9、A【分析】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质．图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半 【详解】解：222114222a a a +⨯⨯=． 故选A ．10、A【解析】利用三角形的内角和定理及两组角分别相等证明①正确；根据两组边成比例夹角相等判断②正确；利用③的相似三角形证得∠AEC=∠DBC,又对顶角相等，证得③正确；根据△ACE∽△DCB 证得F 、E 、B 、C 四点共圆，由此推出△DCF∽△DGC，列比例线段即可证得④正确.【详解】①正确；在等腰△ACD 和等腰△ECB 中AC=AD,EC=EB,∠DAC=∠CEB,∴∠ACD=∠ADC=∠BCE=∠BEC,∴∠DCG=180︒-∠ACD-∠BCE=∠BEC,∵∠DGC=∠BGE,∴△DCG∽△BEG;②正确；∵∠ACD+∠DCG=∠BCE+∠DCG, ∴∠ACE=∠DCB,∵AC DC EC BC=,∴△ACE∽△DCB；③正确；∵△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,∵∠FGE=∠CGB,∴△FGE∽△CGB,∴GF·GB=GC·GE；④正确；如图，连接CF,由②可得△ACE∽△DCB，∴∠AEC=∠DBC,∴F、E、B、C四点共圆，∴∠CFB=∠CEB=90︒，∵∠ACD=∠ECB=45︒，∴∠DCE=90︒，∴△DCF∽△DGC∴DF DC DC DG,∴2DC DF DG, ∵2DC AD,∴2AD2=DF·DG.故选：A.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，③的证明可通过②的相似推出所需要的条件继而得到证明；④是本题的难点，需要重新画图，并根据条件判定DF 、DG 所在的三角形相似，由此可判断连接CF ，由此证明F 、E 、B 、C 四点共圆，得到∠CFB=∠CEB=90︒是解本题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1 123x x ==【分析】根据题意，讨论当k=0时，符合题意，当0k ≠时，一元二次方程有两个相等的实数根即240b ac -=，据此代入系数，结合完全平方公式解题即可．【详解】当k=0，方程为一元一次方程，没有两个实数根，故0k ≠关于x 的方程2690kx x -+=有两个相等的实数根，240∴-=b ac即364901k k -⨯=∴=，2690x x ∴-+=即2(3)0x -= 123x x ∴==故答案为：1；123x x ==．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12、122x x ==-【分析】先通过移项将等号右边多项式移到左边，再利用提公因式法因式分解，即可得出方程的根.【详解】解：()()()232x x x ++=+移项得：()()()2023x x x -++=+提公因式得：()()022x x ++=解得：122x x ==-；故答案为：122x x ==-.【点睛】本题考查一元二次方程因式分解的解法.在解一元二次方程的时候，一定要先观察方程的形式，如果遇到了相同的因式，先将他们移到方程等号的一侧，看能否利用提公因式解方程，观察以及积累是快速解题的关键.13、=【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴则S 12＝S 1．故答案为：＝．【点睛】本题考查方差的意义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差S 2=1n [（x 1-x ）2+（x 2-x ）2+…+（x n -x ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．14、1或1【分析】设AC 、A B ''交于点E ，DC 、A C ''交于点F ，且设AA x '=，则A E AA x ''==，4A D x '=-，列出方程即可解决问题．【详解】设AC 、A B ''交于点E ，DC 、A C ''交于点F ，且设AA x '=，则A E AA x ''==，4A D x '=-，重叠部分的面积为()4x x -， 由()4=3x x -，解得1x =或1．即1AA '=或1．故答案是1或1．【点睛】本题考查了平移的性质、菱形的判定和正方形的性质综合，准确分析题意是解题的关键．15、(2,0)-【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.【详解】∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，由勾股定理得：2由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…2，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，∴B12),B2(−1,1),B32,0)，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，∴点B2019的坐标为2,0)【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.16、2【分析】连接OA、OD，如图，利用平行四边形的性质得AD垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△ODE，所以S△OAD＝32+2k，，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABCD的面积＝2S△OAD＝2，即可求出k的值．【详解】连接OA、OD，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD垂直y轴，∴S△OAE＝12×|﹣3|＝32，S△ODE＝12×|k|，∴S△OAD＝32+2k，∵▱ABCD的面积＝2S△OAD＝2．∴3+|k|＝2，∵k＞0，解得k ＝2，故答案为2．【点睛】此题考查平行四边形的性质、反比例函数的性质，反比例函数图形上任意一点向两个坐标轴作垂线构成的矩形面积等于k ，再与原点连线分矩形为两个三角形，面积等于2k . 17、14【分析】由a b =13可设a=k ，b=3k ，代入a a b+中即可. 【详解】解：∵a b =13， ∴设a=k ，b=3k ，代入a a b+中， a a b +=3k k k +=14. 故答案为：14. 【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．18、6【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可.【详解】解：设方程的另一个根是1x ，则()1212x -=-，解得：16x =.故答案为：6.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与其系数的关系是解此类题的关键.三、解答题(共66分)19、±3【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，已知等式利用平方差公式化简，整理得到2b=3a 或2b=-3a ，代入计算即可求出值．【详解】原式= 2a ab - 2b ab - 22a b ab+ =2222a b a b ab--- =22b ab- =2b a-=-2·b a ， ∵9a 2-4b 2=0， ∴22b a= 94， ∴b a =±32， ∴原式=-2×32=-3或原式=3232⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭. 点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20、1,x +原式=74. 【分析】先把分式进行化简，得到最简代数式，然后根据特殊角的三角函数值，求出x 的值，把x 代入计算，即可得到答案.【详解】解：原式()()()()21112121x x x x x x x ⎡⎤-+-=-⋅⎢⎥---⎢⎥⎣⎦ ()()112112x x x x x x +-⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ ()()11221x x x x x +-⋅---= 1x =+；当1113453022224x sin =︒-︒=-⨯=时， 原式371144x =+=+=. 【点睛】 本题考查了特殊值的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行运算.21、（1）证明见解析；（2）40°.【分析】(1) 连接BC ，利用直径所对的圆周角是直角、线段垂直平分线性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边即可证明.（2）利用三角形外角等于不相邻的两个内角和、利用直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余即可解答.【详解】（1）证明：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即BC ⊥AD ，∵CD ＝AC ，∴AB ＝BD ，∴∠A ＝∠D ，∴∠CEB ＝∠A ，∴∠CEB ＝∠D ，∴CE ＝CD ．（2）解：连接AE ．∵∠A BE ＝∠A+∠D ＝50°， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， ∴∠BAE ＝90°﹣50°＝40°．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、（1）125x =-， 225x =-（2）75°.【分析】（1）用公式法即可求解；（2）根据特殊角的三角函数求解即可.【详解】（1）∵()2244411200b ac =-=-⨯⨯-=>⊿，∴244202522b b ac x a -±--±===-±， ∴125x =-+， 225x =-- ，（2）∵3sin 602︒=， ∴1560α-︒=︒，∴75α=︒．【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程和利用特殊角的三角函数值求角的度值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.23、733-, 10 , //OB l ；233π+,9334π-. 【分析】发现：先依据勾股定理求得AO 的长，然后由圆的性质可得到OM=1，当点M 在AO 上时，AM 有最小值，当点M 与点E 重合时，AM 有最大值，然后过点B 作BG ⊥l ，垂足为G ，接下来求得BG 的长，从而可证明四边形OBGF 为平行四边形，于是可得到OB 与直线1的位置关系．思考：连结OG ，过点O 作OH ⊥EG ，依据垂径定理可知GE=2HE ，然后在△EOH 中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE 的长，从而得到EG 的长，接下来求得∠EOG 得度数，依据弧长公式可求得弧EG 的长，利用扇形面积减去三角形面积即可得到面积.【详解】解：发现：由题意可知OM=OF=1，AF=8，EF ⊥l ，∴OA=22228373AF OF +=+=．当点M 在线段OA 上时，AM 有最小值，最小值为=733-．当点M 与点E 重合时，AM 有最大值，最大值=2210AF EF +=．如图1所示：过点B 作BG ⊥l ，垂足为G ．∵∠DAF=60°，∠BAD=90°，∴∠BAG=10°．∴GB=12AB=1．∴OF=BG=1，又∵GB ∥OF ，∴四边形OBGF 为平行四边形，∴OB ∥FG ，即OB ∥l ． 故答案为：733-，10，//OB l ；思考：如图2所示：连结OG ，过点O 作OH EG ⊥，∵60,DAF EF AF ∠=︒⊥，∴30AEF ∠=︒，∴333,22OH EH == ∴120GOE ∠=︒， ∴332233GE EH === 弧EG 的长12032180ππ==， ∴半圆与矩形重合部分的周长233π=+ ∴GOE GOE S S S ∆=-重合部分扇形212033193333360224ππ=-⨯⨯=-. 【点睛】本题考查了求弓形的周长和面积，考查了弧长公式，垂径定理，10°直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握题意，得到重合的图形是弓形，利用所学的知识求出弓形的周长和面积.注意了利用数形结合的思想进行解题.24、（1）11月份红桔的进价为每千克8元，香橙的进价为每千克20元；（2）m 的值为49.1．【解析】（1）设11月份红桔的进价为每千克x 元，香橙的进价为每千克y 元，依题意有4006001520024x yy x+=⎧⎨=+⎩，解得820xy=⎧⎨=⎩，答：11月份红桔的进价为每千克8元，香橙的进价为每千克20元；（2）依题意有：8（1﹣12m%）×400（1+58m%）+20（1﹣m%）×100（1+2m%）=15200，解得m1=0（舍去），m2=49.1，故m的值为49.1．25、（1）证明见解析；（2）①30°；②22.5°.【解析】分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形ECFG为菱形；②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG 为正方形．详解：（1）证明：连接OC，如图，.∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，∵DO⊥AB，∴∠3+∠B=90°，而∠2=∠3，∴∠2+∠B=90°，而OB=OC，∴∠4=∠B，∴∠1=∠2，∴CE=FE；（2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°，而AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=30°，∴∠3=∠2=60°，而CE=FE，∴△CEF为等边三角形，∴CE=CF=EF，同理可得∠GFE=60°，利用对称得FG=FC，∵FG=EF，∴△FEG为等边三角形，∴EG=FG，∴EF=FG=GE=CE，∴四边形ECFG为菱形；②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，而OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=67.5°，∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，∴∠AOC=45°，∴∠COE=45°，利用对称得∠EOG=45°，∴∠COG=90°，易得△OEC≌△OEG，∴∠OEG=∠OCE=90°，∴四边形ECOG为矩形，而OC=OG，∴四边形ECOG 为正方形．故答案为30°，22.5°．点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形的判定．26、2【分析】设DG ＝CG ＝a ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝4，由勾股定理得出()22243a a +=，解得a ，证明△EDG ∽△GCF ，得出比例线段ED DG CG CF =，求出CF ．则可求出EF ．由四边形面积公式可求出答案．【详解】解：由折叠可得，AE ＝OE ＝DE ，CG ＝OG ＝DG ，∴E ，G 分别为AD ，CD 的中点，设DG ＝CG ＝a ，则AB ＝2a ＝OB ，DG ＝OG ＝CG ＝a ，BG ＝3a ，BC ＝AD ＝4，∵∠C ＝90°，∴Rt △BCG 中，222CG BC BG +=，∴()22243a a +=，∴a ＝，∴DG ＝CG ，∴BG ＝OB+OG ＝，由折叠可得∠EGD ＝∠EGO ，∠OGF ＝∠FGC ，∴∠EGF ＝90°，∴∠EGD+∠FGC ＝90°，∵∠EGD+∠DEG ＝90°，∴∠FGC ＝∠DEG ，∵∠EDG ＝∠GCF ＝90°，∴△EDG ∽△GCF ， ∴ED DG CG CF=，CF =．∴CF ＝1，∴FO ＝1，∴EF ＝3，由折叠可得，∴∠BOE=∠A ＝90°，∵点B ，O ，G 在同一条直线上，点E ，O ，F 在另一条直线上，∴EF ⊥BG ，∴S 四边形EBFG ＝12×BG×EF ＝12 ×3＝2．故答案为：2． 【点睛】 本题考查了矩形折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键。

2019-2019学年云南省昆明市九年级（上）期末测试数学试卷一、选择题：每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应题号后的横线上．1．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，4）关于原点对称点是B，则点B的坐标为．2．方程x2﹣4=0的解是．3．如图，△ABC中，∠BAC=30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°，对应得到△ADE，则∠DAE的度数为度．4．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．5．袋子中装有除颜色外完全相同的n个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，从中随机抽取1个，若选中白色乒乓球的概率是，则n的值是．6．用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为．二、选择题：每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请将正确选项的代号填在相应的表格内．7．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．下列事件中，属于必然事件的是（）A．抛出的篮球会下落B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数C．打开电视，正在播放动画片D．你最喜欢的篮球队将夺得CBA冠军9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定10．二次函数y=﹣（x+3）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A．向下，直线x=3，（3，2）B．向下，直线x=﹣3，（3，2）C．向上，直线x=﹣3，（3，2） D．向下，直线x=﹣3，（﹣3，2）11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=26°，则∠C的大小为（）A．26°B．52°C．60°D．64°12．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查发现，截至2016年底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知2014年底该市汽车拥有量为10万辆，设2014年底至2016年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意可列方程得（）A．10（1﹣x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1+x）2=16.9 D．16.9（1+x）2=10 13．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y314．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2 D．2三、解答题：共9小题，共70分，请考生在答题卡相应的题号后作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明．15．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣5=0；（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′．（2）求BA边旋转到B′A′位置时所扫过图形的面积．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．19．某商品现在的售价为每件60元，每月可卖出300件，经市场调查发现：每件商品涨价1元，每月少卖出10件，已知商品的进价为每件40元．（1）设每件这种商品涨价x元，商场销售这种商品每月盈利y元，求出y与x之间的函数关系式；（2）这种商品每件涨多少元时才能使每月利润最大，最大利润为多少？20．从﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=m•n．（1）请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果；（2）求正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率．21．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？22．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB=4，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．23．如图，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．2019-2019学年云南省昆明市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共18分．请将答案写在答题卡相应题号后的横线上．1．在平面直角坐标系中，若点A（﹣3，4）关于原点对称点是B，则点B的坐标为（3，﹣4）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】直接利用关于原点对称点的性质横纵坐标改变符号进而得出答案．【解答】解：点A（﹣3，4）关于原点对称点是B，则点B的坐标为：（3，﹣4）．故答案为：（3，﹣4）．2．方程x2﹣4=0的解是±2．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：x2﹣4=0，移项得：x2=4，两边直接开平方得：x=±2，故答案为：±2．3．如图，△ABC中，∠BAC=30°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°，对应得到△ADE，则∠DAE的度数为30度．【考点】旋转的性质．【分析】直接利用旋转的性质求解．【解答】解：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转85°，对应得到△ADE，∴∠DAE=∠BAC=30°．故答案为30°．4．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．【考点】垂径定理．【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．【解答】解：∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理得：OA===，故答案为：．5．袋子中装有除颜色外完全相同的n个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，从中随机抽取1个，若选中白色乒乓球的概率是，则n的值是6．【考点】概率公式．【分析】根据概率公式列出算式，再进行计算即可求出n的值．【解答】解：根据题意得：=，解得：n=6；故答案为：6．6．用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为．【考点】弧长的计算；勾股定理．【分析】本题已知扇形的圆心角及半径就是已知圆锥的底面周长，能求出底面半径，圆锥的高，母线长即扇形半径，构成直角三角形，可以利用勾股定理解决．【解答】解：扇形的弧长即圆锥的底面周长是，若底面半径是R，则，∴R=2，∴圆锥的高是．二、选择题：每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请将正确选项的代号填在相应的表格内．7．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选A．8．下列事件中，属于必然事件的是（）A．抛出的篮球会下落B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数C．打开电视，正在播放动画片D．你最喜欢的篮球队将夺得CBA冠军【考点】随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、抛出的篮球会下落是必然事件，故A正确；B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故B错误；C、打开电视，正在播放动画片是随机事件，故C错误；D、你最喜欢的篮球队将夺得CBA冠军是随机事件，故C错误；故选：A．9．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．10．二次函数y=﹣（x+3）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A．向下，直线x=3，（3，2）B．向下，直线x=﹣3，（3，2）C．向上，直线x=﹣3，（3，2） D．向下，直线x=﹣3，（﹣3，2）【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣（x+3）2+2，∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣3，顶点坐标为（﹣3，2），故选D．11．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=26°，则∠C的大小为（）A．26°B．52°C．60°D．64°【考点】圆周角定理．【分析】连接OB，根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA，三角形的内角和定理求得∠AOB=128°，然后由圆周角定理求得∠C的度数．【解答】解：连接OB，在△OAB中，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∵∠OAB=26°，∴∠OBA=26°；∴∠AOB=180°﹣2×26°=128°；∴∠C=∠AOB=64°．12．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查发现，截至2016年底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知2014年底该市汽车拥有量为10万辆，设2014年底至2016年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意可列方程得（）A．10（1﹣x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1+x）2=16.9 D．16.9（1+x）2=10【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据年平均增长率相等，可以得到2014年的汽车拥有量乘（1+x）2，即可得到2016年的汽车拥有量，从而可以写出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，10（1+x）2=16.9，故选C．13．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x 的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，14．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π B．πC．2 D．2【考点】轨迹；等腰直角三角形．【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=•2π•1=π．故选B．三、解答题：共9小题，共70分，请考生在答题卡相应的题号后作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明．15．解下列方程：（1）x2﹣2x﹣5=0；（2）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）公式法求解可得；（2）因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2，c=﹣5，∴△=4﹣4×1×（﹣5）=24＞0，∴x==1；（2）∵（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（x﹣3+2）=0，即（x﹣3）（x﹣1）=0，则x﹣3=0或x﹣1=0，解得：x=3或x=1．16．如图，AB与⊙O相切于点B，AO及AO的延长线分别交⊙O于D、C两点，若∠A=40°，求∠C的度数．【考点】切线的性质．【分析】连接OB，利用切线的性质OB⊥AB，进而可得∠OBA=50°，再利用外角等于不相邻两内角的和，即可求得∠C的度数．【解答】解：（1）如图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵∠A=40°，∴∠OBA=50°，又∵OC=OB，∴∠C=∠BOA=25°．17．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′．（2）求BA边旋转到B′A′位置时所扫过图形的面积．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）利用旋转的性质得出各对应点位置，再顺次连结即可求解；（2）先根据勾股定理得到AB的长，再利用扇形面积公式得出答【解答】解：（1）如图所示：△A′BC′即为所求，（2）∵AB==，∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积为：=．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．【分析】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得=，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．【解答】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，∴=，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，∵OD=AB，∴BC=OD．19．某商品现在的售价为每件60元，每月可卖出300件，经市场调查发现：每件商品涨价1元，每月少卖出10件，已知商品的进价为每件40元．（1）设每件这种商品涨价x元，商场销售这种商品每月盈利y元，求出y与x之间的函数关系式；（2）这种商品每件涨多少元时才能使每月利润最大，最大利润为多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“总利润=单件利润×销售量”可列出函数解析式；（2）由二次函数的顶点式可得其最值情况，即可解答．【解答】解：（1）根据题意可得：y=（60﹣40+x）=﹣10x2+100x+6000=﹣10（x﹣5）2+6250；∵300﹣10x≥0，∴0≤x≤30；（2）∵y=﹣10（x﹣5）2+6250，∴当x=5时，y最大=6250，答：这种商品每件涨5元时才能使每月利润最大，最大利润为6250元．20．从﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m，再从余下的三个数中，任取一个数记为n，若k=m•n．（1）请用列表或画树状图的方法表示取出数字的所有结果；（2）求正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；（2）利用正比例函数的性质得到k＞0时，正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，然后找出两数之积为正数的结果数，再利用概率公式计算即可．【解答】解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）两数之积为正数的结果数为2，即k＞0有两种可能，所以正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限的概率==．21．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【考点】一元二次方程的应用．【分析】可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4=28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：=28．解得：x1=8，x2=﹣7（舍去），答：比赛组织者应邀请8队参赛．22．如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当AB=4，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，然后求得阴影部分面积即可．【解答】解：（1）连接OD，∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∵点D在圆上，∴DE为⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，∵OD∥BC，∠C=∠ODF=30°，∴∠ADO=30°，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA=30°，∴∠A=∠C，∴AB=BC=4，∴OD=2，∠AOD=120°，OF=，∴AF=3，AD=6，=AD•OF=×6×=3，∴S△AOD∴阴影部分面积S=﹣3=4．23．如图，抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP=CD时，②当DP=DC时，分别求出点P坐标即可．（3）如图2中，作CM⊥EF于M，设E（a，﹣+2），F（a，﹣a2+a+2），则EF=﹣a2+a+2=S△BCD+S△CEF+S△﹣（﹣+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），根据S四边形CDBF=•BD•OC+•EF•CM+•EF•BN，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．BEF【解答】解：（1）由题意，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）存在．如图1中，∵C（0，2），D（，0），∴CD==，当CP=CD时，P1（，4），当DP=DC时，P2（，），P3（，﹣）．综上所述，满足条件的点P坐标为（，4）或（，）或（，﹣）．（3）如图2中，作CM⊥EF于M，∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y=﹣，设E（a，﹣+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），=S△BCD+S△CEF+S△BEF=•BD•OC+•EF•CM+•EF•BN ∵S四边形CDBF=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）=﹣a2+4a+=﹣（a﹣2）2+，∴a=2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为，∴E（2，1）．2019年2月25日。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）1．已知一元二次方程1–（x–3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2（x1<x2），则下列判断正确的是( )A．–2<x1<x2<3 B．x1<–2<3<x2C．–2<x1<3<x2D．x1<–2<x2<32．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是（）A．100°B．80°C．60°D．50°3．下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼4．如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（）A．33B．43C．53D．635．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（）A ．黑（1，5），白（5，5）B ．黑（3，2），白（3，3）C ．黑（3，3），白（3，1）D ．黑（3，1），白（3，3） 6．cos60︒的值等于（ ）A ．12B ．22C ．32D ．337．如图，小明夜晚从路灯下A 处走到B 处这一过程中，他在路上的影子（ ）A ．逐渐变长B ．逐渐变短C ．长度不变D ．先变短后变长 8．在矩形ABCD 中，AB=12，P 是边AB 上一点，把△PBC 沿直线PC 折叠，顶点B 的对应点是G ，过点B 作BE ⊥CG ，垂足为E ，且在AD 上，BE 交PC 于点F ，那么下列选项正确的是（ ）①BP=BF ；②如图1，若点E 是AD 的中点，那么△AEB ≌△DEC ；③当AD=25，且AE ＜DE 时，则DE=16；④在③的条件下，可得sin ∠310；⑤当BP=9时，BE∙EF=108. A ．①②③④ B ．①②④⑤ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤9．若抛物线223y x =+()1,A m ，则m 的值在（ ）．A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间10．下列图形中为中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．平行四边形C ．抛物线D ．五角星 11．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，若56ABD ∠=︒，则BCD ∠=（ ）．A ．32︒B ．34︒C ．44︒D ．46︒12．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2x ﹣3y +1B ．3x +y ＝zC ．x 2﹣5x ＝1D ．x 2﹣1x +2＝0 二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，点A （m ，2），B （5，n ）在函数k y x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A 、B 的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k 的值为 ．14．某圆锥的底面半径是2，母线长是6，则该圆锥的侧面积等于________．15．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．16．二中岗十字路口南北方向的红绿灯设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小明由南向北经过路口遇到红灯的概率为______．17．已知654a b c ==，且26a b c +-=，则a 的值为__________． 18．已知线段a ＝4 cm ，b ＝9 cm ，则线段a ，b 的比例中项为_________cm ．三、解答题（共78分）19．（8分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，篮球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12． （1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．21．（8分）某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润W（元）最大，最大是多少元？22．（10分）如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点E，∠A＝120°，∠C ＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CD＝6，求BC的长．（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为．23．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m 为正整数时，求方程的根．24．（10分）当121x =+时，求21111x x x x ⎛⎫⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭的值． 25．（12分）在平面直角坐标系中，直线y =x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y =a 2x +bx +c (a <0)经过点A ，B ，(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值，(2)当x <0时，若y =a 2x +bx +c (a <0)的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围，(3)如图，当a =−1时，在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积为32?若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由，26．已知：△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF ．（1）如图甲，AB 为直径，要使EF 为⊙O 的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：① 或② ；（2）如图乙，AB 是非直径的弦，若∠CAF=∠B ，求证：EF 是⊙O 的切线．（3）如图乙，若EF 是⊙O 的切线，CA 平分∠BAF ，求证：OC ⊥AB ．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）根据二次函数的图像性质可知y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1个单位长度，根据图像的开口方向即可得出答案.【详解】设y=-（x﹣3）（x+2），y1=1﹣（x﹣3）（x+2）∵y=0时，x=-2或x=3，∴y=-（x﹣3）（x+2）的图像与x轴的交点为（-2，0）（3，0），∵1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴y1=1﹣（x﹣3）（x+2）的图像可看做y=-（x﹣3）（x+2）的图像向上平移1，与x轴的交点的横坐标为x1、x2，∵-1<0，∴两个抛物线的开口向下，∴x1＜﹣2＜3＜x2，故选B.【点睛】本题考查二次函数图像性质及平移的特点，根据开口方向确定函数的增减性是解题关键.2、B【解析】试题分析：如图，翻折△ACD，点A落在A′处，可知∠A=∠A′=100°，然后由圆内接四边形可知∠A′+∠B=180°，解得∠B=80°.故选：B3、B【解析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选B．考点：随机事件.4、C【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC=2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【详解】过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=30°，∵⊙O的半径为5，∴BD=OB•cos∠OBC=353522⨯=，∴BC=53，故选C．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.5、D【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答．【详解】如图所示：黑（3，1），白（3，3）．故选D．【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键．6、A【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可．【详解】解：cos60°=1 2 .故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值.7、A【分析】因为人和路灯间的位置发生了变化，光线与地面的夹角发生变化，所以影子的长度也会发生变化，进而得出答案．【详解】当他远离路灯走向B处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越来越长，所以他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度逐渐变长，故选：A．【点睛】此题考查了中心投影的性质，解题关键是了解人从路灯下走过的过程中，人与灯之间位置变化，光线与地面的夹角发生变化，从而导致影子的长度发生变化．8、C【分析】易证BE∥PG可得∠FPG=∠PFB，再由折叠的性质得∠FPB=∠FPG，所以∠FPB=∠PFB，根据等边对等角即可判断①；由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD，用SAS即可判定全等，从而判断②；证明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求出DE，从而判断③；证明△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得到sin∠PCB的值，从而判断④；证明△GEF∽△EAB，利用对应边成比例可得出结论，从而判断⑤.【详解】①∵四边形ABCD为矩形，顶点B的对应点是G，∴∠G=90°，即PG⊥CG，∵BE⊥CG∴BE∥PG∴∠FPG=∠PFB由折叠的性质可得∠FPB=∠FPG，∴∠FPB=∠PFB∴BP=BF，故①正确；②∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC又∵点E 是AD 的中点，∴AE=DE在△AEB 和△DEC 中，AB=DC A=D AE=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEB ≌△DEC （SAS ），故②正确；③当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE ，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE ∽△DEC ， ∴AB DE =AE CD ，即1225AE =AE 12-， 解得AE=9或16，∵AE ＜DE ，∴AE=9，DE=16，故③正确；④在Rt △ABE中，在Rt △CDE中，由①可知BE ∥PG ，∴△ECF ∽△GCP ∴EF CE =PG CG设BP=BF=PG=a ，则EF=BE-BF=15-a ，由折叠性质可得CG=BC=25， ∴1520=25-a a ，解得253a =， 在Rt △PBC中，∴sin ∠PCB=BP 10=PC 3，故④错误. ⑤如图，连接FG ，∵∠GEF=∠PGC=90°，∴∠GEF+∠PGC=180°，∴BF ∥PG∵BF=PG ，∴四边形BPGF 是菱形，∴BP ∥GF ，GF=BP=9∴∠GFE=∠ABE ，∴△GEF ∽△EAB ，∴EF AB =GF BE∴BE•EF=AB•GF=12×9=108，故⑤正确；①②③⑤正确，故选C.【点睛】本题考查四边形综合问题，难度较大，需要熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理和三角函数，综合运用所学几何知识是关键.9、D【分析】将点A 代入抛物线表达式中，得到23m =+，根据132<<进行判断． 【详解】∵抛物线223y x =()1,A m ，∴23m =，∵132<<，∴m 的值在3和4之间，故选D ．【点睛】本题考查抛物线的表达式，无理数的估计，熟知132<<是解题的关键．10、B【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、抛物线不是中心对称图形，故本选项错误；D、五角星不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11、B【分析】根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，再求出∠A的度数，由圆周角定理即可推出∠BCD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ABD中，∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，∵弧BD＝弧BD，∴∠BCD＝∠A＝34°，故选B ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．12、C【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．逐一判断即可．【详解】解：A、它不是方程，故此选项不符合题意；B、该方程是三元一次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；D、该方程不是整式方程，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．二、填空题（每题4分，共24分）13、2．【解析】试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A 、B 的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A （2，2），∴k=2×2=2．故答案为2． 考点：2．反比例函数系数k 的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．14、12π【分析】根据圆锥的侧面积公式即可得．【详解】圆锥的侧面积公式：S rl π=圆锥侧，其中r 为底面半径，l 为圆锥母线则该圆锥的侧面积为2612ππ⨯⨯=故答案为：12π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，熟记公式是解题关键．15、：k ＜1．【详解】∵一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴△=24b ac -=4﹣4k ＞0，解得：k ＜1，则k 的取值范围是：k ＜1．故答案为k ＜1．16、1031【解析】∵该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒， ∴爸爸随机地由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是30103060331=++， 故答案为:1031. 17、1【解析】分析：直接利用已知比例式假设出a ，b ，c 的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案． 详解：∵654a b c ==， ∴设a=6x ，b=5x ，c=4x ，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=1．故答案为1．点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．18、6【分析】设比例中项为c，得到关于c的方程即可解答.【详解】设比例中项为c，由题意得：2c ab=，∴24936c，∴c1=6，c2=-6（不合题意，舍去）故填6.【点睛】此题考查线段成比例，理解比例中项的含义即可正确解答.三、解答题（共78分）19、 (1)黄球有1个；(2)16；(3)34.【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：2121x2=++，解此方程即可求得答案．（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：2121x2=++，解得：x=1．经检验：x=1是原分式方程的解．∴口袋中黄球的个数为1个．（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，∴两次摸出都是红球的概率为：21 126=．（3）∵摸到红球得5分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，∴乙同学已经得了7分．∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果； ∴若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为：34． 20、（1）点A 坐标为（4，0）；（2）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（3）m ＝2或或1【分析】(1)直线y=﹣12x +2中令y=0，即可求得A 点坐标； (2)将A 、C 坐标代入，利用待定系数法进行求解即可；(3)先求出BD 的长，用含m 的式子表示出MQ 的长，然后根据BD=QM ，得到关于m 的方程，求解即可得.【详解】(1)令y ＝﹣12x +2＝0，解得：x ＝4， 所以点A 坐标为：(4，0)；(2)把点A 、C 坐标代入二次函数表达式，得0164202a b a b =+-⎧⎨=--⎩， 解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故：二次函数表达式为：y ＝12x 2﹣32x ﹣2； (3)y=﹣12x +2中，令x=0，则y=2，故B(0，2)， y ＝12x 2﹣32x ﹣2中，令x=0，则y=-2，故D(0，-2)， 所以BD=4，设点M (m ，﹣12m +2)，则Q (m ，12m 2﹣32m ﹣2)， 则MQ=|(12m 2﹣32m ﹣2)-(﹣12m +2)|=|12m 2﹣m ﹣4| 以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，则：MQ ＝BD ＝4，即|12m 2﹣m ﹣4|=4， 当12m 2﹣m ﹣4=-4时， 解得：m ＝2或m ＝0(舍去)；当12m 2﹣m ﹣4=4时，解得m ＝，故：m ＝2或【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，解一元二次方程等内容，综合性较强，熟练掌握相关内容并运用分类讨论思想是解题的关键.21、（1）每次下降的百分率为20%；（2）每千克水果应涨价1.5元时，商场获得的利润W 最大，最大利润是6125元．【分析】(1) 设每次下降百分率为m ，，得方程()250132m -=，求解即可(2)根据销售利润=销售量×(售价−−进价)，列出每天的销售利润W(元))与涨价x 元之间的函数关系式．即可求解．【详解】解：（1）设每次下降百分率为m ，根据题意，得 ()250132m -=，解得120.2, 1.8m m ==（不合题意，舍去）答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克涨价x 元，由题意得： ()()1050020W x x =+-2203005000x x =-++()2207.56125x =--+∵200a =-<，开口向下，W 有最大值，∴当7.5x =（元）时，6125W =最大值（元）答：每千克水果应涨价1．5元时，商场获得的利润W 最大，最大利润是6125元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案22、（1）证明见解析；（2）（3）【分析】（1）连接OD 、DE ，根据圆内接四边形的性质得到180********OED A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，求得90ODC BOD C ∠=∠-∠=︒，又点D 在O 上，于是得到结论；（2）由（1）知：90ODC ∠==︒又30C ∠=︒，设OD 为x ，则OC 为2x ，根据勾股定理即可得到结论；（3）连接BD ，OA ，根据已知条件推出当四边形ABOD 的面积最大时，四边形ABCD 的面积最大，当OA ⊥BD 时，四边形ABOD 的面积最大，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）证明：连接OD 、DE ，四边形ABED 为圆内接四边形，180********OED A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，2120BOD OED ∴∠=∠=︒，90ODC BOD C ∴∠=∠-∠=︒，又点D 在O 上，CD ∴是O 的切线；（2）由（1）知：90ODC ∠==︒又30C ∠=︒， ∴12OD OC =， 设OD 为x ，则OC 为2x ，在Rt ODC ∆中，222OD DC OC +=，即2236(2)x x +=，x ∴=±又0x >，x ∴=3BC OB OC x ∴=+==（3）连接BD ，OA ，1302DBE DOC ∴∠=∠=︒， 8BE =，BD ∴=30C ∠=︒，90CDO ∠=︒，4OD =，CD ∴=CDO ABCD ABOD S S S ∆∴=+四边形四边形， 142COD S ∆⨯⨯= ∴当四边形ABOD 的面积最大时，四边形ABCD 的面积最大，∴当OA BD ⊥时，四边形ABOD 的面积最大，∴四边形ABCD的最大面积1443831632=⨯⨯+=，故答案为：163．【点睛】本题考查了圆的综合题，切线的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23、（2）m＜2；（2）x23x23【解析】（2）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；（2）求出m的值，解方程即可解答．【详解】（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=42﹣4（3m﹣2）=24﹣22m＞0，解得：m＜2．（2）∵m为正整数，∴m=2．∴原方程为x2﹣4x+2=0解这个方程得：x23，x23．【点睛】考查了根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系是解题的关键．24、3【分析】先对分式进行化简，然后代值计算．【详解】原式=2222221111 111x x x x x xxx x x x+-+--÷=⋅=-+-+将121x=代入得1121123 x-=-=故答案为：23【点睛】本题考查分式的化简，注意先化简过程中，可以适当使用乘法公式，从而简化计算．25、（1）b=3a+1；c=3；（2）103a -≤<；（3）点P 的坐标为：或，52-）或，12+）或（32-，12-）. 【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，即可求解；（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02b x a=-≥，而b=3a+1，即：3102a a+-≥，即可求解； （3）过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，由S △PAB =32，则P Q y y -=1，即可求解． 【详解】解：（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=3-，故点A 、B 的坐标分别为（-3，0）、（0，3），则c=3，则函数表达式为：y=ax 2+bx+3，将点A 坐标代入上式并整理得：b=3a+1；（2）当x ＜0时，若y=ax 2+bx+c （a ＜0）的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴02b x a=-≥， ∵31b a =+， ∴3102a a+-≥， 解得：13a ≥-， ∴a 的取值范围为：103a -≤<； （3）当a=1-时，b=3a+1=2-二次函数表达式为：223y x x =--+，过点P 作直线l ∥AB ，作PQ ∥y 轴交BA 于点Q ，作PH ⊥AB 于点H ，∵OA=OB ，∴∠BAO=∠PQH=45°，S △PAB =12×AB ×PH=12×32PQ ×22=32， 则PQ=P Q y y -=1，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点，分别与点AB 组成的三角形的面积也为32， ∴1P Q y y -=，设点P （x ，-x 2-2x+3），则点Q （x ，x+3），即：-x 2-2x+3-x-3=±1， 解得：35x -±=313x -±=； ∴点P 的坐标为：35-+，55+或35--，55-或313-+，113+或313--，113-. 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．26、（1）①OA ⊥EF ；②∠FAC=∠B ；（2）见解析；（3）见解析．【分析】(1) 添加条件是:①OA ⊥EF 或∠FAC=∠B 根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM ，推出∠M=∠B=∠EAC ，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB ，所以点O 在AB 的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B ，∠BAC=∠FAC ，等量代换得到∠BAC=∠B ，所以点C 在AB 的垂直平分线上，得到OC 垂直平分AB ．【详解】（1）①OA ⊥EF ②∠FAC=∠B ，理由是：①∵OA ⊥EF ，OA 是半径，∴EF是⊙O切线，②∵AB是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．。

云南省昆明市官渡区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．B．C．D．25552521二、填空题13．点()2,3-关于原点的对称点的坐标为________．14．如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是______________.15．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =，1m OB =，则阴影部分的面积为__________2m ．16．筒车亦称“水转筒车”，发明于唐，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，当筒车三、解答题17．用适当方法解方程(1)2420x x -+=；(2)()()3222x x x -=-18．从2025年起，云南省高考将采用“3+1+2”新模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．(1)若小红在“1”中选择了物理，在“2”中选择了生物，则她选择化学的概率是_________．(2)若小军在“1”中选择了历史，用画树状图或者列表的方法求他在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．选中思想政治、地理的概率．19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，将ABC V 绕着点B 顺时针旋转得到FBE V ，点C ，点A 的对应点分别为点E ，点F ，点E 落在BA 上，连接AF ．(1)若20BAC =︒∠，求BAF ∠的度数；(2)若12AC =，5BC =，求AE 的长．20．2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践若设菜地的宽AB 为x 米．(1)BC =（ ）米（用含x 的代数式表示）；(2)若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB ．21．如图，AB 为O e 的直径，AC 为O e 的弦，6AB =，2AC =，ACB ∠的平分线交O e 于点D ．(1)若55CAB ∠=︒，求ADC ∠的度数；(2)求四边形ACBD 的面积．22．“阳光玫瑰”葡萄近几年来广受各地消费者青味，在云南省广泛种植．某水果经销商以每公斤15元的价格购进一批“阳光玫瑰”葡萄，若按每公斤30元的价格销售，平均每天可售出60公斤结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．．．．． (1)若一次降价2元，则每天的销售利润为_________元；(2)销售单价定为每公斤多少元时，每天销售阳光玫瑰获得的利润w 最大？最大利润是多少元？23．如图，已知点P 为O e 的直径AB 延长线上的一点，过点P 作PC 与O e 相切于点C ，以点P 为圆心，线段PC 的长为半径画弧，交O e 于点D ，连接PD ．(1)求证：直线PD 与O e 相切；(2)若PD AC =，2AB =，求AC 的长．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x ax b =++的顶点为(1,4)A -，与y 轴交于点()0,3C -，交x 轴于另一点B ．(1)求二次函数解析式；(2)若点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点（不与点B ，点C 重合），过点P 作直线PD 垂直x 轴于点D ，交直线BC 于点E ．当PE 最大时，求P 点坐标及PE 的最大值；(3)当二次函数2y x ax b =++的自变量x 满足1m x m +≤≤时，此函数的最大值为p ，最小值为q ，且2p q -=，求出m 的值．。

九年级上学期期末数学试题一、填空题1．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．2．已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于 ．3．如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 m2．4．如图是昆明西山的著名景点升庵亭，它的地基是半径为3m的正六边形，则正六边形的周长为 ．5．一个直角三角形的两边长分别为和，则这个直角三角形的外接圆直径为 ．6．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依次进行下去，则点的坐标为 ．二、单选题7．昆明市作为全国文明城市，倡导市民：“垃圾分类，人人参与”．下列四个图形是生活中常见的垃圾分类标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．8．下列事件，属于不可能事件的是（ ）A．旭日东升B．某个数的相反数等于它本身C．任意一个五边形的外角和等于540°D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯9．把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A．B．C．D．10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A．B．C．且D．且11．对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（ ）A．，B．C．，D．，12．我国疫情防控工作已进入一个积极向上的阶段——“全民常态化”，佩戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店10月份销售口罩500包，12月份销售口罩980包．设该店11、12月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）A．B．C．D．13．如图，从一块直径为4的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，且点C，A，B都在上，将此扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径是（ ）A．B．C．D．14．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④若点，为函数图象上的两点，则；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个三、解答题15．解方程：（1）（2）16．如图，已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．( 1 )画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；( 2 )画出将绕点按顺时针方向旋转90°所得的；( 3 )求在（2）的旋转过程中，点旋转到点的过程中经过路径的长度（结果保留）．17．如图，四边形内接于，，求证：．18．随着COP15的召开，昆明街头的100组立体花坛受到了广大市民的关注．某班宣传委员小李去金马坊和会展中心拍了2张大小相同的“花仙子”照片，并在两张照片的四周及中间用宽度相同的花边做如图的装饰（阴影部分），制成一幅宣传画，贴在班级文化墙上．每张照片长为，宽为，且整幅宣传画（含花边）的面积是，求花边的宽度是多少厘米？19．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕，求的半径．20．为引领青少年自觉接受优秀传统文化的熏陶，我区大力开展非遗进校园等文化活动．某校今年艺术节安排了以下4个表演节目，分别是A舞龙舞狮，B阿乌演奏，C滇剧，D花灯，初三年级抽签决定表演节目．抽签时，将A、B、C、D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片上，洗匀后正面向下放在桌面上，九（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，再由九（2）班班长从剩余卡片中随机抽取一张卡片，进行排练．（1）九（1）班抽中A舞龙舞狮的概率是 ；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出两个班恰好抽中B阿乌演奏和C 滇剧的概率．21．为了助农增收，推动乡村振兴，某网店出售“碱水”面条．面条进价为每袋40元，当售价为每袋60元时，每月可销售300袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调研反映，销售单价每降1元，则每月可多销售30袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设当每袋面条的售价降了x元时，每月的销售量为y袋．（1）求出y与x的函数关系式；（2）设该网店捐款后每月利润为w元，则当每袋面条降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？22．如图，已知为的直径，是的弦，是的切线，切点为B，点D，F是的三等分点，，的延长线相交于点E．（1）求证：DC是的切线；（2）若的半径为1，求阴影部分面积．23．如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（2）如图①，点为抛物线上一点，且，过点E作轴，交抛物线的对称轴于点F，作轴于点H，得到矩形．求矩形的周长的最大值；（3）如图②，点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以点A、C、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】42．【答案】﹣13．【答案】1.84．【答案】5．【答案】10cm或8cm6．【答案】7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】C13．【答案】C14．【答案】A15．【答案】（1）解：，（2）解：，16．【答案】解：⑴如图所示，即为所求，点的坐标为；⑵如（1）中图所示，即为所求；⑶根据题意可知，，，点旋转到所经过的路径长为：．17．【答案】证明：∵，∴又∵四边形内接于∴∴∴18．【答案】解：设花边宽度是x厘米．依题意，得：解得：，（不合题意，舍去）答：花边宽度是5厘米．19．【答案】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，∴，由折叠得：，设，∴在中，由勾股定理得：，即：解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去）∴答：的半径为．20．【答案】（1）（2）解：列表如下：九（1）班A B C D九（2）班A　（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）　（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）　（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）　共有12种结果，且每种结果发生的可能性相同，其中两个班恰好抽中B阿乌演奏和C滇剧的结果有2种，即（B，C），（C，B）∴P（两个班恰好抽中B阿乌演奏和C滇剧）=．21．【答案】（1）解：由题意得，y与x之间的函数关系式为y=300+30x；（2）解：由题意得，，∵，∴当x=5时，w有最大值，最大值为6550．答：当降价5元时，每月获得的利润最大，最大利润是6550元．22．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵点D，F是，的三等分点，∴，，∴====60°，在和中，∴≌（SAS），∴（全等三角形对应角相等）又BC是的切线，∴，∴，∴，是的半径，∴DC是的切线．（2）解：（已证），，在中，，又，，在中，，在中，由勾股定理得：，，，．23．【答案】（1）解：将A（-5，0），B（1，0）代入抛物线，得：解得∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图，∵点为抛物线上一点，∴，∵轴，交抛物线的对称轴于点F，对称轴为：直线，∴，∴，∵轴于点H，∴，∴当时，矩形的周长取最大值，最大值为，∴矩形EHDF周长的最大值为：；（3）解：如图，设，则，，，当时，则，即：解得：，∴；当时，则，即：解得：，∴，；当时，则，即：解得：，（舍去）∴；综上所述，存在点P，使以点A、C、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为：，，，．。

官渡区2018～2019学年上学期期末学业水平检测九年级数学参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）（1）随机事件（2）120（3）1k <（4）8（5）1（6）π3434-二、选择题（每小题4分，共32分）题号7891011121314答案A A D B C C B B三、解答题：（共9题，满分70分）15.(本小题8分)解：（1）a=1b=-2c=-212)2(14)2(2=-⨯⨯--=∆.......................1分2322±=x ......................3分31,3121-=+=∴x x ......................4分（2）0)2()2(3=---x x x .......................1分0)13)(2(=--x x ......................2分013,02=-=-x x .31221==∴x x ，......................4分（其它解法参照给分）16．（本小题8分）（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△111C B A ........2分1B (1，-2)..................3分（2）画出△ABC 绕着点O 逆时针旋转90°后得到△222C B A ，.........6分∴OC=345322=+..............7分∴C 点旋转到C 2点所经过的路径长2341803490ππ=⨯=l ...........8分17．（本小题8分）（1）列表如下：………………4分共有9种结果，且每种结果发生的可能性相同………………5分能中奖有6种情况，分别为4,4,4,5,5,6………………6分∵4263P ==（能中奖），………………8分（其它解法参照给分）18．（本小题6分）解：（1）设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2﹣8，......................1分.把（﹣2，10）代入得a•（﹣2﹣1）2﹣8=10，解得：a=2，......................2分所以抛物线解析式为y=2（x ﹣1）2﹣8（或2246y x x =--）；......................3分（2）当x=0时，y=2（x ﹣1）2﹣8=﹣6，则C （0，﹣6）.............4分当y=0时，2（x ﹣1）2﹣8=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，则A （﹣1，0），B （3，0），......................5分所以△ABC 的面积=×（3+1）×6=12．......................6分第一次第二次123123423453456（其它解法参照给分）19．（本小题6分）解：设人行道的宽度为x米，根据题意得......................1分，（20﹣3x）（8﹣2x）=56，......................3分解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．......................5分答：人行道的宽为2米．......................6分（其它解法参照给分）20．（本小题6分）（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，......................1分，∵OD⊥BC，∴∠OEB=∠C=90°，......................2分，∴OD∥AC；......................3分，（2）解：设⊙O的半径为r，∵OD⊥BC，∴BE=CE=BC=4，......................4分，在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：r2=42+（r﹣3）2，......................5分，解得：r=，所以⊙O的直径为．......................6分，（其它解法参照给分）21．（本小题8分）（1）由题意得出：w=（x﹣20）∙y=（x﹣20）（﹣2x+80）w=﹣2x2+120x﹣1600，故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600.............2分，（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，......................3分，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200..................5分，答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150.................6分，解得x1=25，x2=35．......................7分，∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．..........8分，（其它解法参照给分）22．（本小题8分）（1）连接OC......................1分∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE=CF，∴∠1=∠2．......................2分∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴OC∥AE．......................3分∴∠E=∠OCD=90°∴OC⊥CD．......................4分又∵OC是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线..............5分（2）∵AB=6，∴OB=OC=AB=3．.................6分在Rt△OCD中，OD=OB+BD=6，OB=BD=3，BC=DO=OB=OC,∠CBO=60°∴∠D=30°，......................7分在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，∴AE=AD=．......................8分23．（本小题12分）（1）∵B（1，0），BO=1，OC=2BO=2，∴C（﹣2，0），......................1分∵AC=6，∴A（﹣2，6），......................2分（2）把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，..............3分解得：，......................4分∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4......................5分（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+2，......................6分设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2）∵PE=DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2）.....................7分x=1（舍）或﹣1，∴P（﹣1，6）......................8分②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），过点A作AN⊥PD,垂足为N,在Rt△ANM中∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，在Rt△BMD中BM2=（1+1）2+y2=4+y2，在Rt△ABCAB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=3，∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，y=，∴M（﹣1，）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．..........12分。

2020-2021学年云南省昆明市官渡区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 赵爽弦图B. 科克曲线C. 笛卡尔心形线D. 斐波那契螺旋线2.关于x的方程x2−mx−3=0的一个根是3，则它的另一个根是()A. −1B. 0C. 1D. 23.下列说法不正确的是()A. “三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件B. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件C. 某种彩票的中奖率是1，说明每买100张彩票，一定有1张中奖100D. “在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件4.下列一元二次方程没有实数根的是()A. x2−1=0B. x(x+5)=0C. x2−3x+2=0D. x2−2x+3=05.抛物线y=−3x2经过平移得到抛物线y=−3(x+1)2−2，平移的方法是()A. 向左平移1个，再向下平移2个单位B. 向右平移1个，再向下平移2个单位C. 向左平移1个，再向上平移2个单位D. 向右平移1个，再向上平移2个单位6.《生物多样性公约》第十五次缔约方大会(COP15)将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD(如图所示)上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为x m，则x满足的方程为()A. (32−x)(20−x)=95B. (32−2x)(20−x)=95C. (32−x)(20−x)=95×6D. (32−2x)(20−x)=95×67.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①abc>0；②2a+b>0；③b2−4ac>0；④a−b+c<0，其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4x2−4与x轴交于A，B两点，P是以8.如图，抛物线y=14点C(0,3)为圆心，√3为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ、则线段OQ的最大值是()A. 5−√32B. 3C. 5+√32D. 5+2√32二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.若方程ax2+2x−1=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是______．10.若点(−1,m)在二次函数y=x2+3的图象上，则m=______．11.为了解今年从西伯利亚飞到昆明过冬的红嘴鸥的数量，某研究团队给200只红嘴鸥做上标记，经过一段时间，当带有标记的红嘴鸥和其它不带标记的红嘴鸥完全混合后，再次观察发现416只红嘴鸥中有2只带有标记，那么由此可以估计今年飞到昆明过冬的红嘴鸥大约有______只．12.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=3cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为______cm．13.如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的边长是2，则它的外接圆圆心P的坐标是______．14.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，点B，∠P=58°，C是⊙O上异于A，B的点，则∠ACB的度数为______．三、解答题（本大题共9小题，共70.0分）15.用适当的方法解方程：(1)x2−2x=1；(2)(2x+1)2=3(2x+1)．16.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(3,4)，B(1,2)，C(4,1)．(1)请画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；(2)请画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的图形△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标；(3)求在(2)的旋转过程中，点A旋转到A2所经过的路径长(结果保留π)．17.2020年9月29日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎(假设每轮传染的人数相同)．(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？(2)如果这169位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？18.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ADB绕点B顺时针方向旋转90°后，得到△CEB．(1)求∠DCE的度数；CD，求DE的长．(2)若AB=8，AD=1319.如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O上的一点，连接AD，BD，AD=BC．(1)求证：AC=BD；(2)若AB=2，∠D=60°，求⊙O的半径．20.为了让广大学子通过身边的故事，深刻感受伟大祖国“十三五”时期的发展建设成就，畅想未来美好蓝图，由教育部组织的“我和我的学校”网络微视频接力活动于近期启动，活动分为两个阶段，第一阶段以“记住这些年”为主题，第二阶段以“追梦2035”为主题．昆明某校学生准备从4个不同的素材A，B，C，D中选取一个参加第一阶段的主题活动，从3个不同的素材E，F，G中选取一个参加第二阶段的主题活动．现将这两个阶段的7个素材分别写在形状大小质地都相同的卡片上．(1)如果把所有卡片混在一起，张月同学一次抽中第二阶段活动素材的概率是______．(2)李华同学对第一阶段的素材A，B和第二阶段的素材E，F准备得较好，如果第一次抽签确定第一阶段活动内容，第二次抽签确定第二阶段活动内容．请用列表或画树状图的方法，求他抽到的两个素材都准备得较好的概率．21.昆明斗南花卉市场是全国鲜花市场的心脏，也是亚洲最大的鲜花交易市场之一．斗南某兰花专卖店专门销售某种品牌的兰花，已知这种兰花的成本价为60元/盆．市场管理部门规定：每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．经过市场调查发现，该店某天的销售数量y(盆)与销售单价x(元/盆)之间的函数关系如图所示：(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)在销售过程中，该店每天还要支付其他费用200元，求这一天销售兰花获得的利润w(元)的最大值．22.如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上的两点，连接CB，CD，BD，过点C作射线交AB的延长线于点E，使∠BCE=∠BDC．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若BC=BE=2，求阴影部分的面积．23.如图①，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线y=ax2+bx−3的解析式；(2)如图②，连接BC，点E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG//y轴交BC于点G，求△EFG面积的最大值及此时点E的坐标；(3)如图③，若抛物线的顶点坐标为点D，点P是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使得以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：设方程的另一个根是a，由根与系数的关系可知：3a=−3，解得a=−1，所以，它的另一个根是−1．故选：A．根据根与系数的关系即可求出答案．此题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．3.【答案】C【解析】解：A、“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；B、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，本选项说法正确，不符合题意；C、某种彩票的中奖率是1100，说明每买100张彩票，不一定有1张中奖，本选项说法不正确，符合题意；D、“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件，本选项说法正确，不符合题意；故选：C．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.【答案】D【解析】解：A、方程的实数根为x=±1，所以A选项不符合题意；B、方程的实数根为x=0或x=−5，所以B选项不符合题意；C、Δ=(−3)2−4×2=1>0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D、Δ=(−2)2−4×3=−8<0，则方程无实数根，所以D选项符合题意．故选：D．先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．本题考查了一元二次方程的实数根的情况，明确一元二次方程实数根的情况与判别式△的关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：抛物线y=−3x2的顶点坐标为(0,0)，抛物线y=−3(x+1)2−2的顶点坐标为(−1,−2)，而点(0,0)向左平移1个，再向下平移2个单位可得到(−1,−2)，所以抛物线y=−3x2向左平移1个，再向下平移2个单位得到抛物线y=−3(x+1)2−2．故选：A．先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．6.【答案】D【解析】解：设道路的宽度为x m，则六块草坪可合成长(32−2x)m，宽(20−x)m的矩形，依题意得：(32−2x)(20−x)=95×6．故选：D．设道路的宽度为xm，则六块草坪可合成长(32−2x)m，宽(20−x)m的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合每一块草坪的面积为95m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵函数图象开口向下，对称轴为x=1，与y轴的交点在y轴正半轴上，=1，∴a<0，b>0，c>0，−b2a∴abc<0，2a+b=0，故①②错误，不符合题意；由图象可知：函数图象与x轴有两个交点，当x=−1时，y<0，∴b2−4ac>0，a−b+c<0，故③④正确，符合题意．故选：B．由开口方向、对称轴、与y轴的交点判定①②，由图象与x轴的交点判定③；将x=−1代入解析式结合图象判定④．本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，理解函数与方程之间的关系是解决③④的关键．8.【答案】C【解析】解：连接BP，如图，x2−4=0，解得x1=4，x2=−4，则A(−4,0)，当y=0时，14B(4,0)，∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ=1BP，2当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，∵BC=√32+42=5，∴BP的最大值=5+√3，∴线段OQ的最大值是5+√3．2故选：C．x2−4=0得A(−4,0)，B(4,0)，再判断OQ为△ABP的中位连接BP，如图，先解方程14BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，然后计算出BP 线得到OQ=12的最大值即可得到线段OQ的最大值．本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．9.【答案】a≠0【解析】解：∵方程ax2+2x−1=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0，故答案为：a≠0．根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．10.【答案】4【解析】解：将点(−1,m)代入y=x2+3得：m=(−1)2+3=4．故答案为：4．代入x=−1，即可求出m的值．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．11.【答案】41600【解析】解：200÷2416=200×4162=41600(只)，即估计今年飞到昆明过冬的红嘴鸥大约有41600只，故答案为：41600．根据发现416只红嘴鸥中有2只带有标记，可以计算出今年飞到昆明过冬的红嘴鸥大约有多少只．本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，计算出今年飞到昆明过冬的红嘴鸥大约有多少只．12.【答案】9【解析】解：圆锥的底面周长=2π×3=6πcm，=6π，设圆锥的母线长为R，则：120π⋅R180解得R=9．故答案为：9．易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧．长公式为：nπr18013.【答案】(1,√3)【解析】解：连接PA，PO，∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，∴∠OPA=360°=60°，PO=PA，6∴△POA是等边三角形，∴PO=PA=OA=6，过P作PH⊥OA于H，则∠OPH=12∠OPA=30°，OH=12OA=1，∴PH=√PO2−OH2=√22−12=√3，∴P的坐标是(1,√3)，故答案为：(1,√3).连接PA，PA，过P作PH⊥OA于H，则△POA是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到OH=3，根据勾股定理得到PH=√3，即得到P的坐标．本题考查了正多边形和圆，坐标与图形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识；正确作出辅助线，证得△POA是等边三角形是解决问题的关键．14.【答案】61°或119°【解析】解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°；在四边形APBO中，∠P=58°，∴∠AOB=360°−∠OAP−∠P−∠OBP=360°−58°−90°−90°=122°①当点C在优弧AB上时，∠ACB=12∠AOB(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∴∠ACB=61°；当点C在劣弧AB上时，记作C′，由①知，∠ACB=61°，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B=180°−∠ACB=180°−61°=119°，故答案为：61°或119°．由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB=122°，再分两种情况：当C在劣弧AB上，当C在劣弧AB上，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可得出结论．本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠AOB是解本题的关键．15.【答案】解：(1)∵x2−2x=1，∴x2−2x+1=2，即(x−1)2=2，则x−1=±√2，∴x=1±√2，则x1=1+√2，x2=1−√2；(2)∵(2x+1)2−3(2x+1)=0，∴(2x+1)[(2x+1)−3]=0，则2x+1=0或2x−2=0，解得x1=−12，x2=1．【解析】(1)利用配方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为(−3,−4)．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(−4,3)．(3)根据题意可知，∠AOA2=90°，OA=√32+42=5∴点A旋转到A2所经过的路径长为：90⋅π⋅5180=52π.【解析】(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．(2)分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．(3)利用弧长公式计算即可．本题考查作图−旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意得：(1+x)2=169，解得：x1=12，x2=−14(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．(2)169×(1+12)=2197(人)．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．【解析】(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)利用第三轮传染后患病人数=第二轮传染后患病人数×(1+平均每个人传染的人数)，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.【答案】解：(1)在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，由旋转的性质可知∠BCE=∠BAC=45°，∴∠DCE=∠BCA+∠BCE=∠BCA+∠BAC=45°+45°=90°．(2)∵BC=AB=8，∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=8√2，CD，∵AD=13∴AD=2√2，CD=6√2．由旋转的性质可知：CE=AD=2√2．在Rt△DCE中，∠DCE=90°，∴DE=√CE2+CD2=4√5．【解析】(1)根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE的度数；(2)根据勾股定理求出AC的长，根据CD=3AD，可得CD和AD的长，根据旋转的性质可得AD=EC，再根据勾股定理即可得DE的长．本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．19.【答案】(1)证明：∵AD=BC，∴AD⏜=BC⏜，∴AD⏜+DC⏜=BC⏜+DC⏜∴AC⏜=BD⏜，∴AC=BD；(2)如图：连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E，∴AE=1AB=1，2∵∠D=60°，∴∠AOB=2∠D=120°，∵OA=OB，OE⊥AB，∴∠AOE=∠AOB=60°，∴∠OAE=30°，∴OE=1OA．2设OE为x，则OA为2x，∴AE2+OE2=AO2，∴12+x2=4x2，，解得x=√33∴OA=2x=2√3，3∴⊙O的半径为2√3．3【解析】(1)根据AD=BC，可得AD⏜=BC⏜，进而可得AC=BD；(2)连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可得AE=1，根据∠D=60°，可得∠AOB=2∠D=120°，∠OAE=30°，设OE为x，则OA为2x，根据勾股定理即可求⊙O的半径．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．20.【答案】37【解析】解：(1)∵共有7个素材，第一阶段有4个不同的素材，第二阶段有3个不同素材，∴张月同学一次抽中第二阶段活动素材的概率是3．7故答案为：3．7(2)根据题意列表如下：共有12种结果，且每种结果发生的可能性相同，其中李华抽到的两个素材都准备得较好的结果有4种，即(A,E)，(A,F)，(B,E)，(B,F)，则他抽到的两个素材都准备得较好的概率是412=13．(1)直接根据概率公式求解即可；(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b(k ≠0)，∵该函数图象过点(80,60)，(110,30)，∴{80k +b =60110k +b =30， 解得{k =−1b =140， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =−x +140，∵每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．∴60≤x ≤120，由上可得，y 与x 之间的函数关系式为y =−x +140(60≤x ≤120)；(2)根据题意，得w =(x −60)(−x +140)−200=−x 2+200x −8600=−(x −100)2+1400，∵−1<0，∴当x =100时，w 有最大值，此时w =1400．答：这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元．【解析】(1)根据函数图象和图象中的数据，可知该函数为一次函数，过点(80,60)，(110,30)，然后代入函数解析式，即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．即可得到x 的取值范围；(2)根据题意，可以得到w 与x 的函数关系式，将函数关系式化为顶点式，即可得到这一天销售兰花获得的利润w(元)的最大值．本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出一次函数解析式，利用二次函数的性质求出w 的最大值．22.【答案】(1)证明：如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，则∠OFC=90°，∴∠BCO+∠COF=90°，∵OB=OC，OF⊥BC，∴∠COF=1∠BOC，2∠BOC，又∵∠BDC=12∴∠COF=∠BDC，∵∠BCE=∠BDC，∴∠COF=∠BCE，∵∠BCO+∠COF=90°，∴∠BCO+∠BCE=∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∵点C在⊙O上，即OC是⊙O半径，∴CE是⊙O的切线；(2)解：∵BC=BE=2，∴∠E=∠BCE，∵∠OBC=∠E+∠BCE，∴∠OBC=2∠BCE，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=2∠BCE，又∵∠OCB+∠BCE=90°，∴∠BCE=30°，∠OCB=60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，∠BOC=60°，∴CF=1BC=1，2在Rt △BOC 中，由勾股定理得：OF =√OC 2−CF 2=√22−12=√3，∴S 扇形OBC =60π×22360=2π3，S △BOC =12×2×√3=√3，∴S 阴影=S 扇形BOC −S △BOC =2π3−√3．【解析】(1)连接OC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，由等腰三角形的性质及圆周角定理得出∠COF =∠BDC ，证得OC ⊥CE ，则可得出结论；(2)证明△BOC 是等边三角形，由等边三角形的性质得出OB =OC =BC =2，∠BOC =60°，由勾股定理求出OF 的长，由扇形的面积公式及三角形面积公式可得出答案． 本题考查了扇形的面积，切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法．23.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =ax 2+bx −3，得{a −b −3=09a +3b −3=0， 解得{a =1b =−2， ∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3；(2)令x =0，则y =−3，∴C(0,−3)，设直线BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，将B(3,0)，C(0,−3)代入，得{3k +b =0b =−3， 解得{k =1b =−3， ∴直线BC 的解析式为y =x −3，设G(m,m −3)，E(m,m 2−2m −3)，∴EG =(m −3)−(m 2−2m −3)=−m 2+3m ，∵OB =OC =3，∠BOC =90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠BCO =45°，∵EG//y 轴，∴∠EGF =∠BCO =45°，∵EF ⊥BC ，∴∠GEF=∠EGF=45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EF=GF，在Rt△EFG中，EF2+GF2=EG2，∴EF2=12EG2，∴S△EFG=12EF⋅GF=12EF2=14EG2，∴当EG最大时，△EFG的面积最大，∵EG=−m2+3m=−(m−32)2+94，∴当m=32时，EG的最大值为94，∴△EFG的最大面积S=14×(94)2=8164，此时，E(32,−154)；(3)存在，理由如下：∵抛物线y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴顶点D的坐标为(1,−4)，∵B(3,0)，∴BD=√(3−1)2+(0+4)2=2√5，设P(1,n)，则BP2=(3−1)2+(0−n)2，DP2=(n+4)2，以B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，有以下三种情况：①当BD=PD时，则PD=BD=2√5，∴P(1,−4+2√5)或P(1,−4−2√5)；②当BP=DP时，则(3−1)2+(0−n)2=(n+4)2，解得n=−32，∴P(1,−32)；③当BD=BP时，则(3−1)2+(0−n)2=(2√5)2，解得n1=4，n2=−4(舍)，∴P(1,4)；综上所述，满足条件的点P有4个，坐标分别为(1,−4+2√5)或(1,−4−2√5)或(1,−32)或(1,4)；【解析】(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =ax 2+bx −3，即可求函数解析式；(2)求出直线BC 的解析式为y =x −3，设G(m,m −3)，E(m,m 2−2m −3)，可判断△EFG 是等腰直角三角形，在Rt △EFG 中，S △EFG =12EF ⋅GF =12EF 2=14EG 2，当EG 最大时，△EFG 的面积最大，因为EG =−m 2+3m =−(m −32)2+94，所以当m =32时，EG 的最大值为94即可求解； (3)分三种情况讨论：①当BD =PD 时，P 1(1,−4+2√5)，P 2(1,−4−2√5)；②当BP =DP 时，P 3(1,−32)；③当BD =BP 时，P 4(1,4)．本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、掌握菱形的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．。

云南省昆明市官渡区2016届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题：每小题3分，共27分，每小题得四个选项中，只有一项是正确的，每小题选出答案后，请将答案选项的代号填在相应的答题卷的表格内．1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天我市下雨B．抛一枚硬币，正面朝下C．购买一张福利彩票中奖了D．掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零3．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣35．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，则⊙O的半径为（）A．2cm B．3cm C．5cm D．10cm6．一元二次方程x2﹣x+7=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．无法判断7．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162 C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=2008．对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象性质，下列说法不正确的是（）A．开口向上 B．对称轴为直线x=1C．顶点坐标为（1，﹣3） D．最小值为39．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．二、填空题：每小题3分，共18分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卷相应题号后的横线上．10．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n= ．11．为了估计一袋黄豆的粒数，小明从这袋黄豆中取出50粒染色后放入袋中，使这些黄豆充分混匀后，随机抓出1000粒黄豆，其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆有粒．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是1，则m= ．13．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除颜色不同外其他均相同．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为．14．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．15．如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．三、解答题：共9题，满分75分．请考生用黑色碳素笔在答题卷相应的题号后答题区内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．16．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1=0（2）x2+x﹣12=0．17．如图，在⊙O中， =，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．19．如图，⊙O的直径为8cm，∠B=30°，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD．（1）求BC的长；（2）求∠CAD的度数．20．小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字﹣1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之积为负数的概率．21．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）、D（﹣1，1）是否在该函数图象上，并说明理由．22．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定降价销售，经调查，每件衬衫降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）设每件衬衫降价x元，商场服装部每天盈利y元，试求出y与x之间的函数关系式；（2）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）当每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？最大盈利是多少元？23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．24．如图，已知一次函数y=的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点：抛物线y=的图象余一次函数y=的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D的坐标为（1，0）．（1）求点B的坐标；（2）求该抛物线的解析式；（3）求四边形BDEC的面积S；（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年云南省昆明市官渡区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共27分，每小题得四个选项中，只有一项是正确的，每小题选出答案后，请将答案选项的代号填在相应的答题卷的表格内．1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．明天我市下雨B．抛一枚硬币，正面朝下C．购买一张福利彩票中奖了D．掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零【考点】随机事件．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：∵A，B，C选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．∴一定发生的事件只有D，掷一枚骰子，向上一面的数字一定大于零，是必然事件，符合题意．故选D．【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】圆周角定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°，故选C【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．4．将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，则⊙O的半径为（）A．2cm B．3cm C．5cm D．10cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】由在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，根据垂径定理的即可求得AE的长，然后由勾股定理求得答案．【解答】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，∴AE=AB=4cm，∴OA==5cm．故选C．【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握垂直弦的直径平分这条弦定理的应用是解此题的关键．6．一元二次方程x2﹣x+7=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．无法判断【考点】根的判别式．【分析】因为△=1﹣4×7=﹣27＜0，所以这个一元二次方程没有实数根即可得出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+7=0，∴△=1﹣4×7=﹣27＜0，∴这个一元二次方程无实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（）A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162 C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=200 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．【解答】解：由题意可列方程是：200×（1﹣x）2=168．故选A．【点评】此题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）=现在的价格．8．对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的图象性质，下列说法不正确的是（）A．开口向上 B．对称轴为直线x=1C．顶点坐标为（1，﹣3） D．最小值为3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质即可直接判断．【解答】解：A、a=2＞0，则函数开口向上，故命题正确；B、对称轴是x=1，故命题正确；C、顶点坐标是（1，﹣3），命题正确；D、最小值是﹣3，命题错误．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，正确记忆函数的性质是解决本题的关键．9．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】令y=0，则﹣x2+x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．【解答】解：令y=0，则﹣x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD==．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．二、填空题：每小题3分，共18分．请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卷相应题号后的横线上．10．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n= 1 ．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而求出答案．【解答】解：∵点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，∴n=3，m=﹣2，则m+n=3﹣2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．11．为了估计一袋黄豆的粒数，小明从这袋黄豆中取出50粒染色后放入袋中，使这些黄豆充分混匀后，随机抓出1000粒黄豆，其中有10粒黄豆被染色，则这袋黄豆有5000 粒．【考点】用样本估计总体．【分析】1000粒黄豆中有10粒黄豆被染色，说明在样本中有色的占到1%．而在总体中，有色的共有50粒，据此比例可求出有色、无色的总数．【解答】解：50=5000（粒），故答案为：5000．【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．12．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是1，则m= ﹣1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是1，∴2×12﹣3m﹣5=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．13．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除颜色不同外其他均相同．从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为．【考点】概率公式．【分析】先求出球的总数，再由概率公式求解即可．【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，∴球的总数=3+2+1=6．∵有2个黄球，∴从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率==．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．14．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．【考点】弧长的计算．【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．【解答】解：，解得r=．故答案为：．【点评】解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．15．如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是3．【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】压轴题．【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．三、解答题：共9题，满分75分．请考生用黑色碳素笔在答题卷相应的题号后答题区内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．16．解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1=0（2）x2+x﹣12=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】方程与不等式．【分析】（1）根据配方法进行解答即可；（2）根据因式分解法进行解答即可．【解答】解：（1）x2﹣4x﹣1=0x2﹣4x=1x2﹣4x+22=1+22（x﹣2）2=5∴x﹣2=，∴x﹣2=，x﹣2=，解得；（2）x2+x﹣12=0（x﹣3）（x+4）=0∴x﹣3=0，或x+4=0，解得x1=3，x2=﹣4．【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法和因式分解法，解题的关键是明确怎么应用配方法和因式分解法解答方程．17．如图，在⊙O中， =，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明AB=AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．【解答】证明：∵ =，∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形∵∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠COA．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及等边三角形的判定，正确理解圆心角、弧、弦的关系是关键．18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；（2）利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标；（3）利用弧长公式进行计算即可．【解答】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．（2）如图：（3）由两点间的距离公式可知：BC=，∴点C旋转到C2点的路径长=．【点评】本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．19．如图，⊙O的直径为8cm，∠B=30°，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD．（1）求BC的长；（2）求∠CAD的度数．【考点】圆周角定理．【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，又由⊙O的直径为8cm，∠B=30°，即可求得答案；（2）首先连接OD，由CD是∠ACB的角平分线，可求得∠BAD的度数，继而求得答案．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=8cm，∠B=30°，∴AC=AB=4cm，∴BC==4cm；（2）连接OD，∵CD是∠ACB的角平分线，∴=，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴∠BAD=∠BOD=45°，∵∠BAC=90°﹣∠B=60°，∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=105°．【点评】此题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．20．小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成3个相等的扇形，并分别标有数字﹣1，3，4（如图所示），小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止）．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之积为负数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意列出图表，然后由图表求得所有可能的结果；（2）由（1）列出的图表可得出所有出现的结果，再根据概率公式即可求出答案．【解答】解：（1）列表如下：﹣1 3 41 1，﹣1 1，3 1，42 2，﹣1 2，3 2，4（2）∵两数之积为负数的情况共有2种可能：（1，﹣1），（2，﹣1），∴P（两数之积为负数）==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）、D（﹣1，1）是否在该函数图象上，并说明理由．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设二次函数的解析式是y=a（x﹣h）2+k，先代入顶点A的坐标，再把B的坐标代入，即可求出a，即可得出解析式；（2）把C、D的坐标分别代入，看看两边是否相等即可．【解答】解：（1）设二次函数的解析式是y=a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y=a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0=a（3﹣1）2﹣4，解得：a=1，∴y=（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，点D（﹣1，1）不在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y=x2﹣2x﹣3得：左边=﹣3，右边=4﹣4﹣3=﹣3，即左边=右边，所以点C在该函数的图象上；把D（﹣1，1）代入y=x2﹣2x﹣3得：左边=1，右边=1+2﹣3=0，即左边≠右边，所以点D不在该函数的图象上．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键．22．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场决定降价销售，经调查，每件衬衫降价1元时，平均每天可多卖出2件．（1）设每件衬衫降价x元，商场服装部每天盈利y元，试求出y与x之间的函数关系式；（2）若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）当每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？最大盈利是多少元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）设每套降价x元，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后根据每天的盈利等于每套的盈利乘以套数，得出y与x的函数关系即可，（2）令y=1200，根据（1）的函数关系求出自变量的取值即可；（3）根据配方法求出二次函数的最值，进而得出答案．【解答】解：（1）设每套降价x元，商场平均每天赢利y元，则y=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x 2+60x+800，（2）当y=1200，1200=﹣2（x﹣15）2+1250，解得x1=10，x2=20，因为为了扩大销售，所以，应降价20元；若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价20元；（3）y=﹣2x 2+60x+800，=﹣2（x﹣15）2+1250，当x=15时，y有最大值为1250元，当每件降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点评】本题考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，表示出降价后的盈利与销售的套数，然后得到平均每天的盈利与降价之间的函数关系式是解题的关键．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）有切点，需连半径，证明垂直，即可；（2）求阴影部分的面积要把它转化成S梯形ANMO﹣S扇形OAM，再分别求的这两部分的面积求解．【解答】（1）证明：连接OM．∵OM=OB，∴∠B=∠OMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠OMB=∠C．∴OM∥AC．∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．（2）解：连接AM．∵AB为直径，点M在⊙O上，∴∠AMB=90°．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．∴∠AOM=60°．又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，∴∠AMN=30°．∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=．∴S梯形ANMO=，S扇形OAM=，∴S阴影==﹣．【点评】本题考查的是切线的判定即利用图形分割法求不规则图形面积的思路．24．如图，已知一次函数y=的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点：抛物线y=的图象余一次函数y=的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D的坐标为（1，0）．（1）求点B的坐标；（2）求该抛物线的解析式；（3）求四边形BDEC的面积S；（4）在x轴上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）在一次函数y=中，令x=0，即可求出点B的坐标；（2）将点B、D的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值，即可求出二次函数的解析式；（3）两解析式联立方程求得B、C的坐标，令y=x2﹣x+1=0，求得D、E的坐标，然后根据梯形和三角形的面积公式求得即可；（4）设P（x，0），求得PB2=x2+1，PC2=（x﹣4）2+9，BC2=42+（3﹣1）2=20，然后分三种情况分别讨论求得即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=与y轴的交点为B，令x=0，可得y=1，∴B（0，1）；（2）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x2+bx+c得，，解得：，∴解析式为：y=x2﹣x+1；（3）∵二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，∴，解得：，，∴C（4，3），解x2﹣x+1=0，得x=1和x=2，∴D（1，0），E（2，0），∴S=（1+3）×4﹣×1×1﹣（4﹣2）×3=4.5；（4）设P（x，0），∵B（0，1），C（4，3），∴PB2=x2+1，PC2=（x﹣4）2+9，BC2=42+（3﹣1）2=20，①当∠PBC=90°时，则PB2+BC2=PC2，即x2+1+20=（x﹣4）2+9，解得x=，∴P1（，0）；②当∠PCB=90°时，则PC2+BC2=PB2，即x2+1=（x﹣4）2+9+20，解得x=，∴P2（，0）；③当∠BPC=90°时，则PB2+PC2=BC2，即x2+1+（x﹣4）2+9=20，解得x=1或x=3，∴P3（1，0），P4（3，0）；∴在x轴上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，涉及了利用待定系数法求二次函数的解析式、函数图象交点坐标、四边形的面积以及勾股定理的应用等知识，难度适中．。

2018-2019学年云南省昆明市官渡区九年级上期末数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分18分.请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）1．（3分）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是事件（填“必然”、“不可能“、“随机”）2．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A1B∁l的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于度．3．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．4．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是米．5．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为cm．6．（3分）如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．二、选择题：（每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑）7．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．（4分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝69．（4分）如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在阴影区域的概率是（）A．B．C．D．10．（4分）若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．911．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°12．（4分）我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.5万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6（1+x）＝8.5B．6（1+2x）＝8.5C．6（1+x）2＝8.5D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.513．（4分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（）A．70°B．110°C．120°D．130°14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表给出了以下结论：①二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；②当﹣＜x＜2时，y＜0；③二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴的两侧；④当x＜1时，y随x的增大而减小．则其中正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：（共9题，满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效，特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）15．（8分）解下列方程．（1）x2﹣2x﹣2＝0（2）3x（x﹣2）＝x﹣216．（8分）在如图所示的方格纸（每个小方格都是边长为1个单位的正方形）中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）17．（8分）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3的3个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为6，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为4，则可获得15元代金券一张；其它情况都不中奖．（1）请用列表或树状图的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来．（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率．18．（6分）已知一个二次函数的对称轴是x＝1，图象最低点P的纵坐标是﹣8，图象过（﹣2，10）且与x轴交于A，B与y轴交于C．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）△ABC的面积．19．（6分）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．（1）求证：OD∥AC；（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．21．（8分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？22．（8分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2BO，AC＝6，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB 于点E，使PE＝DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年云南省昆明市官渡区九年级上期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分18分.请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卡相应题号后的横线上）1．（3分）“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是随机事件（填“必然”、“不可能“、“随机”）【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解答】解：“经过某交通信号灯的路口，遇到红灯“是随机事件，故答案为：随机．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）如图，将三角尺ABC（其中∠ABC＝60°，∠C＝90°）绕点B按顺时针转动一个角度到A1B∁l的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于120度．【分析】利用旋转的性质计算．【解答】解：三角板中∠ABC＝60°，旋转角是∠CBC1，则∠CBC1＝180﹣60＝120°．这个旋转角度等于120度．故填120．【点评】正确记忆三角板的角的度数，理解旋转角的概念，是解决本题的关键．3．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜1．【分析】直接利用根的判别式得出△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0进而求出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出△符号是解题关键．4．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是8米．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【解答】解：s＝8t﹣2t2＝﹣2（t2﹣4t）＝﹣2（t﹣2）2+8，故当t＝2时，s最大为8m．故答案为：8．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确应用配方法是解题关键．5．（3分）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为1cm．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr＝，解得r＝1cm．故答案为：1．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．6．（3分）如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是4﹣π（结果保留π）．【分析】连结AD．根据图中阴影部分的面积＝三角形ABC的面积﹣三角形ACD的面积﹣扇形ADE的面积，列出算式即可求解．【解答】解：连结AD．∵直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，∴∠C＝60°，AB＝4，∵AD＝AC，∴三角形ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∴图中阴影部分的面积＝4×4÷2﹣4×2÷2﹣＝4﹣π．故答案为：4﹣π．【点评】考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．二、选择题：（每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号的小框涂黑）7．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形．是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．（4分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．（4分）如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据几何概率的求法：球落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：由图可知阴影区域与白色区域的面积相等，故球落在阴影区域的概率是，故选：D．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．10．（4分）若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．9【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键．11．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠ACB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠B＝∠D＝40°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°．故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．12．（4分）我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为6万件和8.5万件，设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6（1+x）＝8.5B．6（1+2x）＝8.5C．6（1+x）2＝8.5D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.5【分析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据今年8月份与10月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：6（1+x）2＝8.5．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（4分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（）A．70°B．110°C．120°D．130°【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO＝∠BEO＝90°，从而得出∠DOE．【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠ACB＝60°，∴∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵E，F是切点，∴∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE＝180°﹣∠B，∴∠DOE＝∠A+∠C＝50°+60°＝110°．故选：B．【点评】此题考查了三角形的内切圆和切线长定理，是基础知识要熟练掌握，根据已知得出∠DOE＝180°﹣∠B是解题关键．14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表给出了以下结论：①二次函数y＝ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；②当﹣＜x＜2时，y＜0；③二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴的两侧；④当x＜1时，y随x的增大而减小．则其中正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】利用x＝﹣1和x＝3时函数值都为0可判断抛物线与x轴有两个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可对③进行判断；利用表中数据得到当﹣1＜x＜3时，y＜0，则可对②进行判断；利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，则可对①进行判断；根据二次函数的性质可对④进行判断．【解答】解：∵x＝﹣1和x＝3时，y＝0，∴抛物线与x轴有两个交点坐标为（﹣1，0），（3，0），所以③正确；∴当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以②错误；∵点（﹣1，0）与（3，0）为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4，所以①错误；∵抛物线开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，所以④正确．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．三、解答题：（共9题，满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效，特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）15．（8分）解下列方程．（1）x2﹣2x﹣2＝0（2）3x（x﹣2）＝x﹣2【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x＝2，∴x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，则x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵3x（x﹣2）＝x﹣2，∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（3x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或3x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．（8分）在如图所示的方格纸（每个小方格都是边长为1个单位的正方形）中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；（2）计算线段OC的长，然后利用弧长公式求解．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）OC＝＝，所以C点旋转到C2点所经过的路径长＝＝π．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称．17．（8分）某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3的3个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为6，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为4，则可获得15元代金券一张；其它情况都不中奖．（1）请用列表或树状图的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来．（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率．【分析】（1）列表可得其可能出现的结果；（2）从表格中得出能中奖的结果数，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）列表如下：（2）由表可知，共有9种等可能结果，其中能中奖的有6种结果，∴能中奖的概率为＝．【点评】此题考查了用列表法或树状图法求概率，读懂题意，根据题意求出总人数是解题的关键；概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（6分）已知一个二次函数的对称轴是x＝1，图象最低点P的纵坐标是﹣8，图象过（﹣2，10）且与x轴交于A，B与y轴交于C．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）△ABC的面积．【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣8，然后把（﹣2，10）代入求出a即可；（2）根据坐标轴上点的坐标特征求出A、B、C三点坐标，然后利用三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣8，把（﹣2，10）代入得a•（﹣2﹣1）2﹣8＝10，解得：a＝2，所以抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2﹣8；（2）当x＝0时，y＝2（x﹣1）2﹣8＝﹣6，则C（0，﹣6），当y＝0时，2（x﹣1）2﹣8＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），所以△ABC的面积＝×（3+1）×6＝12．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．（6分）某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）＝56，解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为56m2得出等式是解题关键．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，OD⊥BC于E．（1）求证：OD∥AC；（2）若BC＝8，DE＝3，求⊙O的直径．【分析】（1）由圆周角定理得出∠C＝90°，再由垂径定理得出∠OEB＝∠C＝90°，即可得出结论；（2）令⊙O的半径为r，由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵OD⊥BC，∴∠OEB＝∠C＝90°，∴OD∥AC；（2）解：令⊙O的半径为r，根据垂径定理可得：BE＝CE＝BC＝4，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣3）2，解得：r＝，所以⊙O的直径为．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．21．（8分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”得出函数解析式并配方成顶点式，即可得函数最值；（2）根据题意得出关于x的方程，解之可得x的值，根据“销售价不高于每千克28元”取舍即可．【解答】解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x ﹣30）2+200，∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，解得：x＝35或x＝25，∵这种产品的销售价不高于每千克28元，∴x＝25，答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．【点评】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据利润的相等关系得出函数解析式或方程是解题的关键．22．（8分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．【分析】要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO＝90°即可．【解答】证明：（1）连接OC；∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE＝CF，∴∠1＝∠2．∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠3．∴OC∥AE．∴OC⊥CD．∴DE是⊙O的切线．（2）∵AB＝6，∴OB＝OC＝AB＝3．在Rt△OCD中，OD＝OB+BD＝6，OC＝3，∴∠D＝30°，∠COD＝60°．在Rt△ADE中，AD＝AB+BD＝9，∴AE＝AD＝．在△OBC中，∵∠COD＝60°，OB＝OC，∴BC＝OB＝3．【点评】本题考查了切线的判定，和解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2BO，AC＝6，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB 于点E，使PE＝DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由OC＝2BO及点B的坐标可得出OC的长度，结合AC的长度及∠ACB＝90°可得出点A的坐标；（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（3）①根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣3x+4）（﹣2＜x＜1），则点D的坐标为（x，0），点E的坐标为（x，﹣2x+2），进而可得出PE，DE的长度，结合PE＝DE可得出关于x的一元二次方程，解之取其大于﹣2小于1的值即可得出结论；②由①可知：直线PD的解析式为x＝﹣1，设点M的坐标为（﹣1，m），结合点A，B 的坐标利用两点间的距离公式（勾股定理）可得出AM2，BM2，AB2的值，分∠BAM＝90°，∠ABM＝90°及∠AMB＝90°三种情况考虑，利用勾股定理可得出关于m的一元一次（二次）方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵OC＝2BO，点B的坐标为（1，0），∴OC＝2．∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴AC⊥x轴，∴点A的坐标为（﹣2，6）．（2）将A（﹣2，6），B（1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．（3）①设直线AB的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（﹣2，6），B（1，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣3x+4）（﹣2＜x＜1），则点D的坐标为（x，0），点E的坐标为（x，﹣2x+2），∴PE＝﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）＝﹣x2﹣x+2，DE＝﹣2x+2，∵PE＝DE，∴﹣x2﹣x+2＝（﹣2x+2），即x2﹣1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝1（舍去），∴点P的坐标为（﹣1，6）．②由①可知：直线PD的解析式为x＝﹣1．设点M的坐标为（﹣1，m）．∵点A的坐标为（﹣2，6），点B的坐标为（1，0），∴AM2＝[﹣1﹣（﹣2）]2+（m﹣6）2＝m2﹣12m+37，BM2＝（﹣1﹣1）2+（m﹣0）2＝m2+4，AB2＝[1﹣（﹣2）]2+（0﹣6）2＝45．当∠BAM＝90°时，BM2＝AB2+AM2，即m2+4＝45+m2﹣12m+37，解得：m ＝，∴此时点M的坐标为（﹣1，）；当∠ABM＝90°时，AM2＝AB2+BM2，即m2﹣12m+37＝45+m2+4，解得：m＝﹣1，∴此时点M的坐标为（﹣1，﹣1）；当∠AMB＝90°时，AB2＝AM2+BM2，即45＝m2﹣12m+37+m2+4，解得：m1＝3+，m2＝3﹣，∴此时点M的坐标为（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．综上所述：在直线PD上存在点M，使△ABM为直角三角形，点M的坐标为（﹣1，），（﹣1，﹣1），（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）由OC，OB的关系及AC的长度找出点A的坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（3）①由PE ＝DE，找出关于x的一元二次方程；②分三个角分别为直角，利用勾股定理找出关于m的方程．第21 页共21 页。