动量定理解变力问题

变力求位移动量定理
位移动量定理是物理学中的一个基本定理，描述了物体在力的作用下所发生的位移动量的关系。

位移动量定理可以表述为：物体在力的作用下所发生的位移动量等于作用在物体上的力乘以物体的位移。

数学表达式为：Δx = F * d，其中Δx表示位移的变化量，F表示作用在物体上的力，d表示物体的位移。

该定理是基于牛顿第二定律推导出来的。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。

将牛顿第二定律的等式 F = ma 代入位移的定义 x = vt，将加速度 a = F/m 代入位移的定义 x = ½at²，可以得到位移动量定理。

位移动量定理可以用于解决物体在受力作用下的运动问题。

通过已知物体的质量、力的大小和方向，可以求解物体的位移。

同时，可以通过已知物体的位移和力的大小，求解作用在物体上的总力。

需要注意的是，位移动量定理仅适用于恒力的作用下。

如果力随时间变化，或者物体受到多个力的作用，就需要运用其他的物理原理来分析了。

动量定理的六种妙用江西省新干中学曾菊宝动量定理的内容是物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化，即I=△p。

动量定理表明冲量是物体动量发生变化的原因，冲量是物体动量变化的量度。

这里所说的冲量必须是物体所受的合外力的冲量。

动量定理可以用牛顿第二定律导出，但适用范围比牛顿第二定律要广。

在不涉及加速度和位移的情况下，研究运动和力的关系时，用动量定理求解一般较为方便，而且能得到迅速解答，达到事半功倍的效果。

一、用动量定理求变力的冲量问题例1以角速度ω沿半径为R的圆周做匀速圆周运动的质点m，它的周期为T，则此质点经过时间T/2的过程中所受合外力冲量大小为（）A．0 B．2mωR C．Tmω2R/2 D．mωR解析质点经过半个周期末速度与初速度方向相反,大小相等。

由动量定理得I=△p=m v－（－mv）=2mv=2mwR。

故答案为选项B。

评析用I=Ft求的是恒力的冲量，而本题质点在运动的过程中，所受的合外力是变力（方向在不断变化），因此不能用I=Ft来求解。

变力的冲量可用动量定理来计算。

二、用动量定理求解平均力问题例2质量是60kg的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中。

已知弹性安全带缓冲时间为1.2s，安全带原长5m，求安全带所受的平均作用力。

（g=10m/s2）解析人开始下落为自由落体运动，下落到弹性安全带原长时的速度为V02=2gh,则v0=2gh=10m/s取人为研究对象，在人和安全带相互作用的过程中，人受到重力mg和安全带的平均冲力F，取力F方向为正方向，由动量定理得（F－mg）t=0－(－mv0),F=mg+mv0/t=1 100N(方向竖直向上)。

安全带所受的平均作用力F´=1 100N（方向竖直向下）。

评析动量定理既适用于恒力作用下的问题，也适用于变力作用下的问题，如果是在变力作用下的问题，由动量定理求出的力是在时间t内的平均值。

三、用动量定理巧解连续作用问题例3一个迎面截面积为50m2、初速度为10km/s的宇宙飞船在飞行中进入宇宙尘埃区域，该区域的尘埃密度ρ=2.0×10-4kg/m3，为了使飞船的速度不改变，推力F应增加多少？（飞船与尘埃的碰撞是完全非弹性碰撞，空气阻力不计）解析本题中飞船速度不变，但附着在船前沿的尘埃质量不断增加。

实验研究教•学参考第50卷第1期2021年1月变力作用下动量定理的实验验证金伟(兰州市第六十三中学甘肃兰州 730060)文章编号：l〇〇2-218X ( 2021)01-0062-01动量定理在解决冲击、碰撞等问题时要比牛顿第 二定律方便得多，但由于这类问题中力的作用时间极 短且作用力随时间发生着显著的变化，因而研究者很 少从实验角度验证动量定理。

借助苏威尔数字化实 验系统（力传感器、数据采集器、计算机），可以巧妙地 测量冲击问题中力的作用时间及对应力的大小，以验 证动量定理。

一、动量定理的实验验证1. 实验原理物体所受合外力的冲量等于物体在这个过程中 动量的改变，即动量定理。

2. 实验器材力传感器、数据采集器、钩码、计算机、托盘天平、 细绳、直尺、铁架台。

3. 运动过程的选取与分析用一条细绳悬挂一个钩码，把钩码拿到〇处，无初速度释放，钩码下落后会上下往复运动几次，最终静止。

研究细绳首次被拉直到钩码速度第一次减小为零的过程，如图1所示。

/////////"/，/////////////初态:细绳首次拉直瞬间<,F人…卜末态:钩码速度第一►次减小为零瞬间m g从初态至末态经历的时间为/图1以竖直向上为正方向，若从细绳首次被拉直到钩 码速度第一次减小为零（此时细绳中的拉力最大）经 历的时间为f，该过程钩码受到拉力F 和重力m g 的 作用，则钩码所受合外力的冲量=在这一过程中，钩码动量的改变量为Ap = 0 —m i — v ') = m v =m为钩码做自由落体运动的位移，即绳长。

若钩码所受合外力的冲量近似等于钩码动量 的改变量A /)，则动量定理成立。

需要测量的物理量及测量工具:拉力F 由力传感 器测得，拉力作用时间？由苏威尔数字化实验系统采 集并通过分析筛选得到.钩码和挂钩的总质量w 由 托盘天平测得，绳长i 由直尺测得，g 为当地的重力 加速度。

中图分类号：G 632.42 文献标识码：B4. 实验过程(1) 参考图2安装实验器材，之后将力传感器校 准，并把苏威尔数字化实验 系统的工作时间设置为5 s、采集数据的时间间隔设置 为 1. 25 m s 。

教学信息新教师教学功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功问题进行归纳总结如下：1.等效法等效法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。

例：如图，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。

T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F 的作用点的位移大小为：2.微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

例：如图所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为：A 、0JB 、20πJC 、10JD 、20J 分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ ，故B 正确。

3.平均力法若参与做功的变力，其仅力的大小改变，而方向不变，且大小随位移线性变化，则可通过求出变力的平均值等效代入公式W 求解。

动量定理的适用条件朱欣（鄂南高级中学 湖北 成宁 437100）动量定理有着广泛的应用，下面结合例题着重分析动量定理所适用的条件。

一、动量定理既适用于恒力，又适用于变力对于变力的情况，动量定理中的合外力应当理解为变力在作用时间内的平均值。

例1 一根弹簧上端固定，下端系着一个质量为m 的物体A ，物体A 静止时的位置为P 点，再用细绳将质量也为m 的物体B 挂在A 的下面，如图1所示，平衡后将细绳剪断。

如果物体A 回到P 点的速度为V ，此时物体B 下落的速度大小为μ，不计弹簧的质量和空气阻力，则这段时间里弹簧的弹力对物体A 的冲量的大小为（ ）A ．)(μ+v mB ．)(μ-v mC ． mvD ．μm解析 设弹簧的弹力对物体A 的冲量的大小为I ，物体A 回到P 点所用时间为t ，分别对A 和B 应用动量定理，有μm mgt mv mgt I ==-， 故 )(μ+=+=v m mv mgt I所以，选项A 正确。

二、动量定理既适用于一个过程，又适用于全过程物体在整个过程中所有力的冲量的矢量和等于物体在运动开始和结束时的动量改变量。

例2 以质量为100g 的小球从0.80m 高处自由下落，落到一厚软垫上，若从小球接触软垫到小球陷到最低点经过0.20s,则这段时间内软垫对小球的冲量大小为 。

（不计空气阻力，g 取10m/s 2）解析 设小球从开始下落到刚接触软垫所用时间为t ，从小球接触软垫到小球陷至最低点所用时间为t`，则221gt h = 解得：s gh t 4.02== 设软垫对小球的冲量大小为I ，根据动量定理，对小球从开始下落到陷至软垫最低点全过程，有：0`)(=-+I t t mg 则：s N t t mg I ⋅=+=6.0`)(三、动量定理既适用于一个物体，又适用于系统当研究对象为系统时，组成系统的物体的总动量的变化量等于相应时间内组成系统的物体所受合外力的冲量。

例3 质量为M 的金属球与质量为m 的木球用细线相连，没入水中，细线竖直绷紧，两球都从静止开始以加速度a 在水中下沉，经过时间t 1，细线断了，两球分开，再经过时间t 2，木球停止下沉。

t2 1 222中学物理 Vol ． 31 No ． 21 11 月巧用动量定理解决几种典型问题冯小明( 启东市东南中学 江苏 启东 226200)动量定理的表述为: 物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化． 其表达式为: Ft = p 2 － p 1 或Ft = m v 2 － m v ． 它反映了外力的冲量与物体动量变化的因果关系，在涉及力、时间、 物体的速度发生变化的问题中，应优先考虑选用动量定理求 解． 下面我们用动量定理解决几种典型应用问题． 1变力冲量的计算动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于变力． 问题中 “碰撞”，最终获得共同速度．选两个木块为一系统，应用整体法，取竖直向下为正方向，设最终木块速度为 v ，则对系统应用动量定理得:( M + m) gt = ( M + m) v － ( m － M) v 0( 1) 又由相对运动规律可得L = 2v 0 t( 2)联立以上二式可解得若只计算变力的冲量，可对整个过程用动量定理，根据初、末 v = gL +( m － M) v 0 = 3m － M ．动量做出计算; 问题中若计算变力的大小，定理中的 F 可理 2v 0 m + MM + m解为变力在作用时间内的平均值．例 1 蹦床是运动在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并作各种空中动作的体育器材． 一个质量为 60 kg 的运动员，从离水平网面 3． 2 m 高处自由落下，着网后沿竖直方向回到离水平网面 1． 8 m 高处． 已知运动员与网接触时间为 1． 4 s ． 试求网对运动员的平均作用力．解析 将运动员看成是质量为 m 的质点，从高为 h 1 处下落，刚接触网时的速度大小为v 1 = 槡2gh 1 ( 方向向下)( 1) 弹跳后上升的高度设为 h 2 ，则刚离网时的速度为v 2 = 槡2gh 2 ( 方向向上)( 2)讨论: ( 1) 当 M = 3 m 时，v = 0，两木块瞬时静止; ( 2) 当 M ＞ 3m 时，v 为负，表示 v 的方向竖直向上; ( 3) 当 M ＜ 3m 时，v 为正，表示 v 的方向竖直向下． 点评( 1) 在对系统应用动量定理时，I = Ft 应为系统所受的合外力的冲量，Δp 应为系统总动量的增量;( 2) 在计算系统总动量时，必须注意动量的矢量性和相对性，系统内各物体应选取同一参照系;( 3) 在对系统运用动量定理之前，也必须明确正方向， 以便用正负号表示冲量与动量的方向． 3用动量定理解决连续流体问题在日常的生活和生产中，常涉及流体的连续相互作用问 ，与网接触过程中，运动员受到向下的重力 mg 和网对其向上的弹力 F ． 选择竖直向上方向为正方向，由动量定理得( F － mg) Δt = mv － ( － mv ) ，题 用常规的方法，很难解决，若构建柱体微元模型，然后用动量定理分析求解，则可曲径通幽，迎刃而解．例 3 一艘帆船在静水中由于风力的推动作用做匀速2 1直线运动，帆面的面积 S = 10 m 2 ，风速 v = 10 m / s ，帆速 解以上三式得F = mg + m 槡2gh 2 + 槡2gh 1 ， v = 4 m / s ，空气密度 ρ = 1． 29 k g / m 3 ． 帆船在匀速前进时帆 代入数值可解得 F = 1． 2 × 103 N ． 2 动量定理在物体系中的应用动量定理的应用范围较广，它既适用于单个物体，也适 用于物体系． 如果系统受到的合外力恒定，但系统内各物体的动量发生变化，就可以对整体用动量定理求解．例 2 质量分别为 M 和 m 的两个木块之间用长为 L = 0． 4 m 的轻绳相连，开始时，两木块叠在一起，如图 2 所示，在 空中以初速度v 0 = 2 m / s 将它们分别竖直向上与竖直向下抛 面受到的平均风力大小为多少?解析 以帆面为底，( v 1 － v 2 ) t 为高的空气柱为研究对象，这些空气在帆面的作用下在时间 t 内速度由 v 1 变为 v 2 ，如图 2 所示，根据动量定理有－ Ft = mv 2 － mv 1 ，将 m = ρS( v 1 － v 2 ) t 代入上式可得F = ρS ( v 1 － v ) = 1． 29 × 10 × ( 10 － 4) N = 464 N ． 出，一段时间后绳被拉直，最后两木块获得共同速度，试求这个速度，并讨论这个共同速度的方向与M / m 的关系( 设空气阻力可忽略不计，绳子绷直过程的时间不计，g 取 10 m / s 2 ) ．解析 两个木块的运动过程有两个阶段组成: 第一阶段，两木块分别做竖直上抛运动和竖直下抛运动，到它们的 相对位移为 L 时结束; 第二阶段，两木块通过绳子作用发生由牛顿第三定律知，空气对帆面的平均作用力大小为 464 N ，方向与 v 2 方向一致．点评若遇流体或类似流体( 如粒子流) 的研究对象，选择的原则是: 一般是选择一段时间内作用在某物体上的流体为研究对象，然后确定出流体柱的体积、质量、状态变化及受力情况，再确定与其对应的物理规律． 4用动量定理解决曲线运动问题动量定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动． 只要选择合适的始末状态，用动量定理解决一些曲线运动问•85•2槡r v2a － Ｒ )( ， 槡2013 年 11 月 V o l ． 31 N o ． 21 中学物理五种方法求解地球的第一宇宙速度徐 慧( 南京师范大学附属中学 江苏 南京 210003)在讲解《万有引力定律》时，计算第一宇宙速度是一个 重点，第一宇宙速度是指人造卫星恰好贴地球表面做匀速圆 周运动的速度，是人造卫星绕地球旋转的最大环绕速度，也 是其再也不落回地球的最小发射速度． 本文以地球为例，分 因为 h Ｒ 且 ACＲ，故 C D ≈ 2Ｒ，分别将 B C 、AC 、C D 代入 ( 1) 式 ，有v 2 Δt 2 = 1g Δt 2 •2Ｒ，别用五种不同的思路和方法求解第一宇宙速度．解得 v = 槡g Ｒ ≈ 7． 9 k m / s ．方法一 物体不再落回地面恰好“贴着”地球表面做匀速圆周运动，假设地球为一半径为 Ｒ 的球体，此时物体与地球间的万有引力提供向心力，有GMm v 2方法四 类比汽车过凸形桥，在最高点需要限制速度． 如果把地球看成一个巨大的拱形桥，桥面半径即为地球半径Ｒ． 在最高点当重力完全提供向心力时，物体恰好即将与地球v 2r2= m r ，脱离，又不会落回地面，有 m g = m Ｒ，解得 v = 槡g Ｒ ≈ 7． 9 得v = GM， 由于绕地球表面飞行， r ≈ Ｒ， GMk m / s ． 而在其环绕过程中的每个瞬间，物体都处于拱形桥的最高点．方法五 根据开普勒第二定律及人造卫星绕地球旋转 时机械能守恒． 发射卫星时，卫星绕地球旋转的轨道一般为 故第一宇宙速度槡Ｒ ≈ 7． 9 k m / s ．椭圆轨道( 令椭圆半长轴为 a) ，地 方法二近地附近卫星的重力与万有引力相等，故也可认为重力提供匀速圆周运动的向心力，有2 mg = m Ｒ ，球位于其中一个焦点上( 图 2) ． 近地点 A 到地心的距离为 Ｒ，远地点 B 到地心的距离为( 2a － Ｒ) ． 当人GMm得v = 槡g Ｒ ≈ 7． 9 k m / s ．造卫星位于 A 时，势能为 －Ｒ; 方法三 根据牛顿的最初设想，物体抛出后不再落回地面，假设地球为一半径为 Ｒ 的球体如图 1，在距地面高 h 处 ( hＲ) ，以 v 0 平抛一物体，再也不落回地面． 即要求物体运 位于 B 时势能为 － GMm． 由于卫星绕地旋转时，满足机械 能守恒有动轨迹的弯曲程度等于或小于地球表面弯 1 mv 2 + ( － GMm ) = 1 mv 2 + ( － GMm ) ( 2)2 A Ｒ 2 B 2a － Ｒ曲程度． 取一非常短时间 Δt ，Δt 内可认为物体的万有引力( 与重力近似相等) 大小方向均不变，物体做平抛运动由A 运动到B ，恰好 根据开普勒第二定律，取一段非常小的时间 Δt ，在 A 、B 两个位置的速度有如下关系:v •Ｒ•Δt = v ·( 2a － Ｒ) ·Δt ( 3) 不落回地面，即 B 与 A 到地心的距离相等，A BAC 为Δt 内平抛运动在竖直方向上的分位移根据( 2) 、( 3) 两式解得人造卫星的总机械能为 GMm AC = 1g Δt 2 h Ｒ2B C 为Δt 内平抛运动在水平方向上的分位移: B C = v Δt ．在 A 位置有E = － 1 mv 2+ － 2 2a ， GMm = － Ｒ GMm2a( 4)O 为地心，延长A O 到D ，A 和D 都位于以地心为圆心，( h + Ｒ) 为半径的圆周上． 连接 BD ，△A B C 与 △A DB 相似，有B C 2 = AC •C D( 1)1若使其不再落回地面，所需发射速度最小即为a = Ｒ 时，代入( 4) 式有v = G M≈ 7． 9 k m / s ．其中CD = 2( Ｒ + h) － AC = 2( Ｒ + h) －g Δt 2Ｒ2檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵题也是十分方便的． 请看例子:例 4 摆长为 L 的单摆在做小角度的振 速度:v 0 = 0，v t =槡2gL( 1 － cos θ) ， 动，如图 3 所示，摆球质量为 m ，最大偏角为 θ，当摆球从最大偏角位置运动到平衡位置的过程中，合力的冲量为多大?解析 单摆从最大偏角运动到平衡位置的过程中，所受合力是变力，但是，由机械能守恒，我们很容易确定其始、末状态的•86•故由动量定理可得合力的冲量大小为I 合 = mv t = m 槡2gL( 1 － cos θ) ．点评 用动量定理解题应注意的几个问题: ( 1) 注意动量定理的矢量性，选取正方向; ( 2) 选择合适的始末状态，对所选研究对象进行正确的受力分析，注意各力的方向与正方 向的关系; ( 3) 正确列出方程．，A。

一、“解题快手”动量定理的应用题点(一) 应用动量定理解释生活中的现象[例1] 如图所示，篮球运动员接传来的篮球时，通常要先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球迅速引至胸前，这样做可以( )A ．减小球的动量的变化量B ．减小球对手作用力的冲量C ．减小球的动量变化率D ．延长接球过程的时间来减小动量的变化量[解析] 选C 篮球运动员接传来的篮球时，不能改变动量的变化量，A 、D 错误；根据动量定理，也不能改变冲量，B 错误；由于延长了作用时间，动量的变化慢了，C 正确。

题点(二) 应用动量定理求作用力和冲量[例2] (2015·重庆高考)高空作业须系安全带，如果质量为m 的高空作业人员不慎跌落，从开始跌落到安全带对人刚产生作用力前人下落的距离为h (可视为自由落体运动)，此后经历时间t 安全带达到最大伸长，若在此过程中该作用力始终竖直向上，则该段时间安全带对人的平均作用力大小为( ) A.m 2gh t＋mg B.m 2gh t －mg C.m gh t ＋mg D.m gh t －mg[解析] 选A 方法一：设高空作业人员自由下落h 时的速度为v ，则v 2＝2gh ，得v ＝2gh ，设安全带对人的平均作用力为F ，由牛顿第二定律得F －mg ＝ma又v ＝at ，解得F ＝m 2ght ＋mg 。

方法二：由动量定理得(mg －F )t ＝0－m v ，得F ＝m 2gh t＋mg 。

选项A 正确。

题点(三) 动量定理和F -t 图像的综合[例3] [多选](2017·全国卷Ⅲ)一质量为2 kg 的物块在合外力F 的作用下从静止开始沿直线运动。

F 随时间t 变化的图线如图所示，则( )A ．t ＝1 s 时物块的速率为1 m/sB ．t ＝2 s 时物块的动量大小为4 kg·m/sC ．t ＝3 s 时物块的动量大小为5 kg·m/sD ．t ＝4 s 时物块的速度为零[解析] 选AB 法一：根据F -t 图线与时间轴围成的面积的物理意义为合外力F 的冲量，可知在0～1 s 、0～2 s 、0～3 s 、0～4 s 内合外力冲量分别为2 N·s 、4 N·s 、3 N·s 、2 N·s ，应用动量定理I ＝m Δv 可知物块在1 s 、2 s 、3 s 、4 s 末的速率分别为1 m/s 、2 m/s 、1.5 m/s 、1 m/s ，物块在这些时刻的动量大小分别为2 kg·m/s 、4 kg·m/s 、3 kg·m/s 、2 kg·m/s ，则A 、B 项正确，C 、D 项错误。