沪科版九年级数学下册 视图与投影知识点梳理

投影与视图知识点总结在我们的日常生活和学习中，投影与视图是一个重要的数学概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，在工程、建筑、设计等实际领域也发挥着关键作用。

接下来，让我们一起深入了解投影与视图的相关知识点。

一、投影投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。

1、中心投影由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。

比如，夜晚路灯下的人影就是中心投影的例子。

其特点是：等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近的物体的影子越短，离点光源越远的物体的影子越长。

2、平行投影由平行光线（太阳光线）形成的投影称为平行投影。

平行投影又分为正投影和斜投影。

正投影是指投射线垂直于投影面的平行投影。

在平行投影中，同一时刻，不同物体的物高和影长成比例。

二、视图视图是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。

1、三视图三视图包括主视图、俯视图和左视图。

主视图：从物体的前面向后面投射所得的视图。

俯视图：从物体的上面向下面投射所得的视图。

左视图：从物体的左面向右面投射所得的视图。

三视图的位置关系：主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。

三视图的大小关系：长对正、高平齐、宽相等。

即主视图与俯视图的长相等，主视图与左视图的高相等，俯视图与左视图的宽相等。

2、常见几何体的三视图（1）正方体：三视图都是正方形。

（2）长方体：主视图、左视图是长方形，俯视图是长方形。

（3）圆柱：主视图、左视图是长方形，俯视图是圆。

（4）圆锥：主视图、左视图是三角形，俯视图是圆及圆心。

（5）球：三视图都是圆。

三、根据视图还原几何体根据三视图还原几何体时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状，然后综合起来考虑整体形状。

四、投影与视图的应用1、在建筑设计中，设计师需要通过绘制三视图来准确表达建筑物的形状和尺寸，以便施工人员能够按照设计进行施工。

2、在机械制造中，工程师需要根据零件的三视图来制造零件，确保零件的精度和质量。

第25章 投影与视图本章知识框图慢羊羊村长把《投影与视图》知识框图在投影仪上展示后，开始了今天的讲课：在上节课结束的时候，我给大家布置了一定的任务，这些任务完成的怎样，就体现在今天的交流互动上.本节课我们的流程是：结合知识框图对本章重要知识点进行回顾；结合自己作业、平时练习以及同他人的互动学习对本章易错点进行剖析；结合2013年全国各地区中考题对本章考点进行分析说明；最后由我对本节课进行小结，并给大家提出一定的复习建议.下面我们就按流程进行，希望大家积极踊跃的发言，充分展示自己，让大家共同进步.重要知识回顾作为班长的暖羊羊身先士卒：知识一：一个物体放在阳光下或者灯光前，就会在地面上或者墙壁上留下它的影子，这个影子称为物体的投影.它包括平行投影和中心投影，但这二者有一定的区别：平行投影是在平行光线下所形成的投影，同一时刻，同一地点的物体与物体若平行，则它们的影子互相平行或在同一条直线上，且物体的长与影子长成正比例；中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，同一光源下，物体的影子所在直线相交于一点，过影子顶端与物体顶端的直线相交于光源处，影子与物体的高度不一定成比例.知识二：线段正投影的规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点；平面图形正投影的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段；一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形.知识三：三视图的画法必须符合以下规律：长对正，高平齐，宽相等.另外，三视图中看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡，而看不见的轮廓线画成虚线.易错点剖析缺乏自信的沸羊羊也不甘落后：易错点1 当物体的影子在同侧时，难以分辨是平行投影还是中心投影例1 如图，哪一幅是太阳光下树的投影？哪一幅是路灯下树的投影？投影平行投影 中心投影正投影及其性质主视图 左视图 俯视图【错解】图（1）中的投影是太阳光下树的投影，图（2）中的投影是路灯下树的投影.【剖析】分辨是平行投影还是中心投影，关键是把握平行投影与中心投影的图形特征.分别过两棵树的顶端和影子的顶端作直线，若两直线平行，则树影是在太阳光下形成的；若两直线相交，则树影是在路灯下形成的.【正解】图（1）中的投影是路灯下树的投影，图（2）中的投影是太阳光下树的投影.易错点2 考虑问题不全面，平面图形的投影判断错误例2 小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影可能是（）A．①③④B．②③C．③④D．②③④【错解】B【剖析】根据矩形不同的放置位置，可以得到不同的投影，竖直放置时，投影为②；水平放置且阳光垂直照射时，投影为③；当水平或倾斜放置，且阳光斜射时，投影为④. 我们在解决投影时，要注意物体所放的位置以及投射线的照射情形，这样才不会出错或漏掉一些情况.【正解】D易错点3 凭生活经验，感觉“长者影长，短者影短”例3 如图，有一棵大树和一棵小树，在大树的左边还有一盏比大树高的路灯，灯杆、大树、小树的底部在一条直线上，无论是在阳光还是在这盏路灯的照射下，大树的影子长，还是小树的影子长？【错解】无论是在阳光还是在这盏路灯的照射下，均是大树的影子长.【剖析】解答本题常出现的错误是凭主观判断，认为大树高，影子必然长；有的虽然判断正确，但是不能正确地画出图形予以说明. 解答的思路是依据平行投影和中心投影的特性画图，但是，已知图中未画出路灯的具体位置，解答时务必注意到这一点. 【正解】如图1，在阳光下，设BE是大树AB的影长，DF是小树CD的影长.因为△ABE ∽△CDF，所以两树影长与树高成比例.因为大树高，所以大树的影子长.在灯光下，两树影子的长短与路灯的位置有关.如果路灯在如图2所示的点P1处，两树影子长相等；如果路灯在点P1右面的适当位置（如图3所示的点P2处），那么大树的影长较短；如果路灯在点P1的左面，那么大树的影长较长.易错点4 不能正确画出物体的三视图例4 画出如图所示物体的三视图.【错解】如图所示【剖析】画立体图形的视图时，无论哪种视图都要求正对物体，因此两侧的平面在视图上变成线，因此主视图正确，而左视图错误，俯视图中将棱和顶点都漏画了，画三视图时，要把能看得见的边缘、棱、顶点都体现出来，看不到的轮廓线要画虚线.【正解】如图所示.易错点5 不能正确理解视图与几何体之间的关系例5 由相同的小正方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．11【错解】D【剖析】已知由小正方体搭成的几何体中的三视图，判断该几何体小正方体的个数时，应该通过“长对正，高平齐，宽相等”来想象几何体的形状，易知该几何体由5个小正方体构成，其形状如图所示.千万不要误以为是图中正方形个数的叠加而误选D.【正解】B.考点分析聪明机智的喜羊羊把大家的智慧集中分类总结：考点一平行投影例1 （2013•达州）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（）A．（3）（1）（4）（2）B．（3）（2）（1）（4）C．（3）（4）（1）（2）D．（2）（4）（1）（3）分析：太阳由东升起的过程中，物体的影子投向西侧，且由长到短；太阳偏西，物体的影子也转投向东侧，且由短到长.西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2），所以将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）．解：C.评注：因为一天之中，太阳东升西落，所以早晨物体的影子朝西，傍晚物体的影子朝东，但因为我国地处北半球，即使是夏天的正午，也由于太阳直射点的关系，物体的影子略微向北微移.故一天之中影子方向的变化顺序为：正西→北偏西→正北→北偏东→正东；一天之中影子的长度的变化规律为：长→短→长.考点二中心投影例2 （2013•太仓市二模）如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）（1）求影子EB的长；（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．分析：（1）根据已知得出CH=HE=2m，进而得出HB的长，即可得出BE的长；（2）作CD ⊥SA于点D，首先求出CD的长进而得出∠DSC=45°，利用锐角三角函数关系得出SC的，评注：此题主要考查了解直角三角形的应用以及中心投影的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．考点三三视图例3 （2013•梧州）如图，由四个正方体组成的图形，观察这个图形，不能得到的平面图形是（）A．B．C．D．分析：分别找出这个图形的主视图、俯视图、左视图，然后结合选项选出正确答案即可．该图形的主视图为：，俯视图为：，左视图为：，A、该图形为原图形的主视图，本选项正确；B、该图形为原图形的俯视图，本选项正确；C、该图形为原图形的左视图，本选项正确；D、观察原图形，不能得到此平面图形，故本选项错误.故选D．解：D.评注：本题考查了简单组合体的三视图，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．考点四由三视图判断几何体的形状例4 （2013•遵义）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．B．C．D．分析：观察几何体的主视图和左视图，可知该几何体是柱体，而俯视图又是三角形，所以这个几何体为三棱柱，故选D.解：D.评注：本题考查了由三视图判断几何体的知识，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．结合图形，使用排除法来解答．考点五根据三视图计算几何体的侧面积或体积例5 （2013•宁夏）如图是某几何体的三视图，其侧面积（）A．6 B．4πC．6πD．12π分析：根据三视图判断，该几何体为圆柱，其高为3cm，底面直径为2cm，所以这个几何体的侧面积为πdh=2π×3=6π．故选C．解：C.评注：本题考查了由三视图判断几何体及圆柱侧面积的计算，解题的关键是首先判断出该几何体，然后利用其侧面积公式计算即可．考点六根据视图判断组成几何体的小正方形的个数例6 （2013•益阳）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A．2个B．3个C．5个D．10个分析：本题是由组合几何体的主视图、左视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数.结合主视图来看俯视图可以得到俯视图从左到右小正方体的个数依次为2，1，2，而这也正符合左视图的要求，所以组成这个物体的小正方体的个数为2+1+2=5个.解：C.评注：考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．复习建议慢羊羊村长的忠告：1．重视本章内容与实际的联系，不要刻意追求对抽象概念的理解，多选择实例，借助实物模型，直观地、感性地认识，了解这些空间位置关系并把这种认识迁移到类似情形中. 2．注重立体图形与平面图形的相互转化问题，即“由物画图”（从长、宽、高三个维度画一个几何体的三视图）和“由图想物”（依据主视图、左视图和俯视图想象出对应的几何体）.。

初三数学：投影与视图知识点归纳一、知识要点1、投影(1)投影:用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影(projection)，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影:有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影是平行投影(parallel projection).(3)中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(center projection)。

(4)正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

注:物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。

2、三视图(1)三视图:是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。

一个物体有六个视图:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图--能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图--能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图--能反映物体的左面形三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。

(2)特点:一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。

三视图是从加速度学习网我的学习也要加速三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。

二、经验之谈:多读两遍吧!有兴趣的同学可以多画图观察。