2019年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷(文科)

陕西省西安市高新一中2019届高三一模考试数学试题文科（解析版）一、选择题（本大题共12小题）1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：解法一：由题意得，故选A.解法二：设，则，由复数相等得，解得，因此，故选A.【考点定位】本题考查复数的四则运算，属于容易题.2.已知全集，，则集合( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合并集的定义求出，再由补集的定义求得，从而可得结果．【详解】，，或故，所以，故，故选D．【点睛】本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，属于基础题．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.3.在等差数列中，前项和为，，则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由根据等差数列的前项和公式得到，代入即可求出结果．【详解】设首项为，公差为，，，即，则，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握情况，属于基础题．4.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则( )A. 0B. 1C.D.【答案】D【解析】试题分析：因为是周期为3的周期函数，所以故选D.考点：函数周期性的概念和分段函数的概念.5.命题p：若，，则，命题q：若，，则在命题且或非非q中，真命题是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：命题中，，则指数函数单调递增，。

为假。

命题中，，则幂函数单调递减，则。

为真。

详解：命题中，，则指数函数单调递增，。

为假。

命题中，，则幂函数单调递减，则。

为真。

非为真，②或为真。

点睛：（1）指数函数的单调性，只与有关，，单调递减；单调递增。

幂函数的单调性与有关，，单调递减；，单调递增。

（2）关于复合命题的真假性，利用真值表即可判断。

6.如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，该程序框图所表示的算法功能为：，故选D.考点：程序框图.7.下列说法正确的是（）A. 存在，使得B. 函数的最小正周期为C. 函数的一个对称中心为D. 角的终边经过点，则角是第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据，判断；根据函数的最小正周期为判断；根据函数的对称中心为判断；根据，判断．【详解】在中，，所以，，，不存在，使得，故错误；在中，函数的最小正周期为，故错误；在中，由，，得，，函数的对称中心为，，故错误；在中，，，角的终边经过点，则角是第三象限角，正确．故选D．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的对称性、周期性、特称命题的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.8.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）A. 13，12B. 13，13C. 12，13D. 13，14【答案】B【解析】试题分析：设公差为d，由=8，且成等比数列，可得64=（8-2d）（8+4d）=64+16d-8d2，即，0=16d-8d2，又公差不为0，解得d=2此数列的各项分别为4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，故样本的中位数是13，平均数是13考点：等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数9.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图所示，该几何体为长宽高为的长方体中的三棱锥，结合三棱锥的几何特征可知，取的中点，则球心位置为的中点，半径为：，此三棱锥的外接球的体积为 .本题选择C选项.点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．10.若满足，且的最小值为，则的值为（）A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数，从而可得结果.【详解】由得，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小值为，即，则，当时，，即，同时也在直线上，代入可得，解得，故选D．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=A. B. 8 C. D. 16【答案】B【解析】设A（-2，t），∴，∴∴812.设，，若对于任意，总存在，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出在的值域与在的值域，利用在的值域是在的值域的子集列不等式组，从而可求出的取值范围．【详解】，当时，，当时，，由，．故又因为，且，．故．因为对于任意，总存在，使得成立，所以在的值域是在的值域的子集，所以须满足，，的取值范围是，故选C．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词的应用，以及函数值域的求解方法，属于中档题．求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，；②换元法：常用代数或三角代换法；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求函数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.二、填空题（本大题共4小题）13.已知向量，，若，则代数式的值是______．【答案】5【解析】依题意得意得.14.若直线和直线垂直，则____．【答案】0或【解析】【分析】由，解得或，验证两条直线是否垂直由，得，解得即可得出．【详解】若，解得或．经过验证只有时，两条直线相互垂直．若，因为直线和直线垂直，则，解得（验证分母不等于）综上可得或0,故答案为0或．【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，属于中档题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）（）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.15.已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数的值为______．【答案】16【解析】【分析】由已知中数列的通项公式，根据对数的运算性质，可以求出前项和的表达式，解对数不等式可得的值.【详解】 ,,若，则 ,即 ,则使成立的最小自然数的值为16，故答案为16.【点睛】本题考查的知识点是数列求和，对数的运算性质，对数不等式的解法，其中根据对数的运算性质求出的表达式是解答的关键．16.设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，，则a的取值范围是______．【答案】.【解析】【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得，结合函数为奇函数，得由此结合建立关于的不等式，解之可得的取值范围．【详解】∵函数以5为周期，∴，又∵函数是奇函数，∴，因此，解得或，故答案为．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，熟练运用函数的性质是关键，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题）17.在中，角的对边分别是，已知．Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求边的值．【答案】(I)；(II)或【解析】【分析】Ⅰ由利用正弦定理得，从而，由此能求出的值；Ⅱ求出，由利用降幂公式以及两角和的正弦公式可得从而可得，或 ,进而可得角的值，再利用正弦定理可得结果．【详解】Ⅰ由已知及正弦定理得，即，又，所以有，即而，所以．Ⅱ由及，得，因此．由条件得，即，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在中，，解得；若，在中，，解得．因此或．【点睛】本题考查角的正弦定理、降幂公式的应用，属于中档题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如图所示：Ⅰ请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；Ⅱ求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．【答案】(I)见解析；(II).【解析】【分析】Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量和方差，再求出乙种棉花的平均亩产量和方差，则方差较小的亩产量稳定；Ⅱ利用列举法，从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有10种，而满足条件的选法有3种，由此利用古典概型概率公式求得所求事件的概率.【详解】Ⅰ由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：，方差为．乙种棉花的平均亩产量为：，方差为．因为，所以乙种棉花的平均亩产量更稳定Ⅱ从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有，，，，，，，，，共10种，设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A，包括的基本事件为，，共3种．所以故两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为．【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，以及茎叶图的应用，属于基础题．利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.19.等腰的底边，高，点E是线段BD上异于点B，D的动点点F在BC边上，且现沿EF将折起到的位置，使．Ⅰ证明平面PAE；Ⅱ记，表示四棱锥的体积，求的最值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)利用直线垂直于平面内两条相交直线证得直线垂直于平面即可；(2)利用题意求得体积的函数，对体积函数进行求导，讨论函数的单调性即可求得体积的最大值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，故，而，所以平面．　（Ⅱ）解：∵，，∴平面，即为四棱锥的高.由高线及得，∴，由题意知，∴，∴．而，∴（），所以当时，．20.已知圆的方程为，点是圆上任意一动点，过点作轴的垂线，垂足为，且，动点的轨迹为轨迹与轴、轴的正半轴分别交于点和点；直线与直线相交于点，与轨迹相交于两点．Ⅰ求轨迹的方程；Ⅱ求四边形面积的最大值．【答案】(I)；(II) .【解析】【分析】（I）设，利用向量的运算可得，再把代入圆的方程可求得轨迹方程；（II）设，，直线与椭圆方程联立，可求得值，可得的长，利用点到直线的距离公式可得到的距离，四边形面积为，利用基本不等式可求四边形面积的最大值．【详解】（I），设，则在上，所以，即；（II）设，，直线与椭圆方程联立可得解得，可得到的距离分别为，四边形面积为．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，训练了代入法求曲线的轨迹方程，考查基本不等式求最值，是中档题．解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21.设函数Ⅰ求的单调区间；Ⅱ若存在区间，使在上的值域是，求的取值范围．【答案】(I)的单调递增区间为；(II) .【解析】【分析】Ⅰ求出，对再求导，可得函数增区间与减区间，的最小值为，从而可得的单调递增区间为；Ⅱ根据的单调性求出在的值域，问题转化为在上至少有两个不同的正根，令，两次求导，根据函数的单调性求出的范围即可．【详解】Ⅰ令g(x)= ,，令，解得：，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为．所以，所以的单调递增区间为 .Ⅱ由Ⅰ得在区间递增，在上的值域是所以．则在上至少有两个不同的正根，，令求导，得，令则．所以在递增，．当时，G(x)，当时，G(x)所以在上递减，在上递增，故．【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，且取相同的长度单位曲线：，和：为参数)．写出的直角坐标方程和的普通方程；已知点，为上的动点，求中点到曲线距离的最小值．【答案】(I)曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程为；(II) .【解析】【分析】根据，，可得的直角坐标方程，利用进行代换可得的普通方程；设出点的坐标，根据中点坐标公式求出，利用点到直线的距离，由辅助角公式化简，结合三角函数的有界性可得中点到曲线距离的最小值．【详解】曲线：，根据，，曲线：，曲线：消去参数，即，，曲线：，故得曲线的直角坐标方程，曲线的普通方程为．设曲线上的点，则PQ中点为，M到直线的距离为，当时，d的最小值为．【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题属于基础题. 利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，极坐标问题一般我们可以先把曲线极坐标方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知不等式，其中当时，求不等式的解集；若不等式的解集不是空集，求的取值范围．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】不等式可化为，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；等价于,利用，即可求的取值范围．【详解】当时，不等式可化为，时，恒成立；时，不成立；时，2，可得，综上可得解集为 .，等价于,因为不等式的解集不是空集，.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与性质，属于中档题．绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

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注：资料封面，下载即可删除2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{1A =，2，3，6，9}，{3|}B x x A =∈，{|3}C x N x A =∈∈，则(BC =)A ．{1，2，3}B ．{1，6，9}C ．{1，6}D ．{3}2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A ．,x x σσ><乙乙甲甲B ．,x x σσ>>乙乙甲甲C ．,x x σσ乙乙甲甲D ．,x x σσ<<乙乙甲甲3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ix e x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（5分）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =+ 5．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18B ．20C ．21D ．256．（5分）设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r ，y 关于x 的回归直线方程为ˆykx b =+，则( ) A ．k 与r 的符号相同 B ．b 与r 的符号相同C ．k 与r 的符号相反D ．b 与r 的符号相反7．（5分）如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相邻的实数1x ，2x ，所有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( ) A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．3()3f x x x =-D ．()||f x x x =8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点1A ，则该蚂蚁走过的最短路径为( )A 193B ．25C ．2193D ．319．（5分）将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象．若12()()4g x g x =，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则122x x -的最大值为( ) A ．92πB ．72π C ．52π D ．32π 10．（5分）已知圆22:2430C x y x y +--+=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则||PC 的最大值为( ) ABC．D．11．（5分）抛物线212x y =在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于( ) A ．64B ．42C ．32D ．2112．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( ) AB ．2CD ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．（5分）已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(,)P x y 在抛物线C 上，且1x =，则||PF = ．14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则5z x y =-+的最大值为 ．15．（5分）设函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，则函数2(log 10)f = ．16．（5分）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，1A ，1B ，1C ，1D 四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,23a b c a =，且(23)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E ，F 分别为PC ，PA 的中点，底面是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，2AB AD PD ===，4CD =． （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）求三棱锥P EFB -的体积．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值x 及方差2s ；（3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20．（12分）已知椭圆C 过点(26,2)A ，两个焦点(26,0),(26,0)-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．21．（12分）已知函数()()x f x e ax a R =-∈有两个零点． （1）求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程] 22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； （Ⅱ）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长． [选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数()|1||3|f x x x m =++--R ． （Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合{1A =，2，3，6，9}，{3|}B x x A =∈，{|3}C x N x A =∈∈，则(BC =)A ．{1，2，3}B ．{1，6，9}C ．{1，6}D ．{3}【解答】解：集合{1A =，2，3，6，9}， {3|}{3B x x A =∈=，6，9，18，27}， {|3}{1C x N x A =∈∈=，2，3}， {3}BC ∴=．故选：D ．2．（5分）右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲，标准差分别为σ甲，σ乙，则( )A ．,x x σσ><乙乙甲甲B ．,x x σσ>>乙乙甲甲C ．,x x σσ乙乙甲甲D ．,x x σσ<<乙乙甲甲【解答】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为,x x 乙甲， 标准差分别为σ甲，σ乙， 则x x >乙甲，σσ<乙甲． 故选：A ．3．（5分）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ix e x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由题意可得，2cos2sin 2i e i =+，22ππ<<，cos20∴<，sin 20>，则2i e 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 故选：B ．4．（5分）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =+ 【解答】解：3BC CD =；∴3()AC AB AD AC -=-； ∴1433AD AB AC =-+． 故选：A ．5．（5分）《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？( ) A ．18B ．20C ．21D ．25【解答】解：设公差为d ，由题意可得：前30项和3030293903052S d ⨯==⨯+，解得1629d =． ∴最后一天织的布的尺数等于165295292129d +=+⨯=． 故选：C ．6．（5分）设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r ，y 关于x 的回归直线方程为ˆykx b =+，则( ) A ．k 与r 的符号相同 B ．b 与r 的符号相同C ．k 与r 的符号相反D ．b 与r 的符号相反【解答】解：相关系数r 为正，表示正相关，回归直线方程上升， r 为负，表示负相关，回归直线方程下降，k ∴与r 的符号相同．故选：A ．7．（5分）如果对定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相邻的实数1x ，2x ，所有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( ) A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．3()3f x x x =-D ．()||f x x x =【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数1x ，2x ，则11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，则有1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数， 则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数， 据此依次分析选项：对于A ，()sin f x x =，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B ，()x f x e =，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，3()3f x x x =-，为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意； 对于D ，22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩，为奇函数且在R 上为增函数，符合题意；故选：D ．8．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点1A ，则该蚂蚁走过的最短路径为( )A ．193B ．25C ．2193D ．31【解答】解：将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．2343=，所以矩形的长等于4624⨯=，宽等于7， 由勾股定理求得2224725d +=． 故选：B ．9．（5分）将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象．若12()()4g x g x =，且1x ，2[2x π∈-，2]π，则122x x -的最大值为( ) A ．92πB ．72π C ．52π D ．32π 【解答】解：将函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位，再向上平移一个单位，得到2()sin(2)1cos2136g x x x ππ=-++=-+ 的图象， 故()g x 的最大值为2，最小值为0，若12()()4g x g x =，则12()()2g x g x ==，或12()()2g x g x ==-（舍去）． 故有12()()2g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，2[2x π∈-，2]π，则12x π=，22x π=- 则122x x -取得最大值为322πππ+=． 故选：D ．10．（5分）已知圆22:2430C x y x y +--+=，若等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，则||PC 的最大值为( )AB C ．D ．【解答】解：由圆22:2430C x y x y +--+=，得：22(1)(2)2x y -+-=，∴圆心坐标(1,2)C ，半径r =等边PAB ∆的一边AB 为圆C 的一条弦，圆中最长弦即为直径，||AB ∴的最大值为直径又PAB ∆为等边三角形，||PC ∴的最大值也为故选：C ．11．（5分）抛物线212x y =在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若232a =，则246a a a ++等于( ) A ．64 B ．42C ．32D ．21【解答】解：22(0)y x x =>，4y x ∴'=， 212x y ∴=在第一象限内图象上一点(i a ，22)i a 处的切线方程是：224()i i i y a a x a -=-， 整理，得2420i i a x y a --=， 切线与x 轴交点的横坐标为1i a +， 112i i a a +∴=，2{}k a ∴是首项为232a =，公比14q =的等比数列， 246328242a a a ∴++=++=．故选：B ．12．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为( )A B ．2CD ．5【解答】解：2(,0)F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为2||F P b ==，即有||OP a ==，OP 为△12MF F 的中位线，可得1||2||2MF OP a ==， 2||2MF b =，可得21||||2MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得c e a ===故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（5分）已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(,)P x y 在抛物线C 上，且1x =，则||PF = 178． 【解答】解：由22y x =，得212x y =，则14p =；由1x =得2y =，由抛物线的性质可得117||22288p PF =+=+=， 故答案为：178． 14．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩，则5z x y =-+的最大值为 10 ．【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件42047020x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪-+⎩的可行域如图所示：作直线0:50l x y -+=，再作一组平行于0l 的直线:5l x y z -+=， 当直线l 经过点A 时，5z x y =-+取得最大值， 由42020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，得点A 的坐标为(2,0)-，所以5(2)010max z =-⨯-+=． 5z x y =-+的最大值为：10．故答案为：10．15．（5分）设函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，则函数2(log 10)f = 14 ．【解答】解：函数21,1()(1),1x x f x f x x ⎧-<=⎨-⎩，∴函数210322223101(log 10)(log 101)(log 102)(log 103)21124log f f f f -=-=-=-=-=-=． 故答案为：14． 16．（5分）如图，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -和半径为3的半球O ，底面ABCD 在半球O 底面所在平面上，1A ，1B ，1C ，1D 四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为 4 ．【解答】解：设正四棱柱1111ABCD A B C D -的高为h ，底面棱长为a ，则正四棱柱的底面外接圆直径为22r a ，所以，2r =． 由勾股定理得222(3)h r +=，即2232a h +=，得2262a h =-，其中03h <<，所以，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为223(62)26V a h h h h h ==-=-+，其中03h <<，构造函数3()26f h h h =-+，其中0h <2()66f h h '=-+，令()0f h '=，得1h =．当01h <<时，()0f h '>；当1h <<()0f h '<．所以，函数()V f h =在1h =处取得极大值，亦即最大值，则max V f =（1）4=． 因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c a =，且)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值．【解答】解：（1）在ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c a =，且)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-．整理得：()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 利用正弦定理得：222a b c bc -=-，即：2221cos 22b c a A bc +-==，由于：0A π<<， 解得：3A π=．（2）由于3a A π==，所以：2222cos a b c bc A =+-，整理得：22122b c bc bc bc bc =+--=， 所以：113sin 1233222ABC S bc A ∆==．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E ，F 分别为PC ，PA 的中点，底面是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，2AB AD PD ===，4CD =． （1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）求三棱锥P EFB -的体积．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，过点B 作BH CD ⊥于H ， 在BCH ∆中，有2BH CH ==，45BCH ∴∠=︒． 又在DAB ∆中，有2AD AB ==，45ADB ∴∠=︒． 45BDC ∴∠=︒，90DBC ∴∠=︒．BC BD ∴⊥．PD CD ⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，PD ⊂平面PCD ，PD ∴⊥平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BDPD D =，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，BC ∴⊥平面PBD ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）解：//AB CD ，且AB ⊂平面PAB ，CD ⊂/平面PAB ，则//CD 平面PAB ，在Rt PDA ∆中，由2AD PD ==，可得D 到PA 的距离为2，即D 到平面PAB 的距离为2． 又E 为PC 的中点，可得E 到平面PAB 的距离为22． 在Rt PAB ∆中，由2AB =，22PA =，且F 为PA 的中点， 可得122PBF PAB S S ∆∆==．1212323P EFB E PBF V V --∴==⨯⨯=．19．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值x及方差2s；（3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：-+++⨯=，[95，105)内的频率为：1(0.0060.0260.0220.008)100.38由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．质量指标值的样本方差为22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104S =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）当质量指标值位于(80,122.5)时，认为该产品为合格品， 质量指标值位于(80,122.5)的频率为：0.006310(0.0260.0380.022)100.008100.9524⨯+++⨯+⨯⨯=． ∴该产品为合格品的概率为0.95．20．（12分）已知椭圆C 过点A ，两个焦点(-． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为3，求AOB ∆面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距c ．则c =2221b+=，222a b c =+．联立解得：c =，6a =，212b =．∴椭圆C 的标准方程为：2213612x y +=．（2）直线l 与x 轴平行时，把3y =±代入椭圆方程可得：2913612x +=，解得3x =±，可得AOB∆面积16392S =⨯⨯=．直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x ty m =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 原点到直线AB 的距离3d ==，化为：229(1)m t =+．联立22336x ty m x y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(3)2360t y tmy m +++-=， △222244(3)(36)0t m t m =-+->，12223tmy y t +=-+，2122363m y y t -=+．则22(1)(||6(3)t t AB t +===+，令233t n+=，则AOB∆面积2222 11(1)(9)||3622(3)t tS d ABt++==⨯⨯+44933=⨯=当且仅当6n=，t=AOB∆面积取得最大值．21．（12分）已知函数()()xf x e ax a R=-∈有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数()f x的两个零点分别为1x，2x，求证：122x x+>．【解答】解：（1）由()xf x e ax=-，得()xf x e a'=-，当0a<时，()f x在R上为增函数，函数()f x最多有一个零点，不符合题意，所以0a>．当0a>时，()x x lnaf x e a e e'=-=-()0f x x lna'<⇔<；()0f x x lna'>⇔>；所以()f x在(,)lna-∞上为减函数，在(,)lna+∞上为增函数；所以()()minf x f lna a alna==-；若函数()f x有两个零点，则()0f lna a e<⇒>；当a e>时，(0)10f=>，f（1）0e a=-<；32(3)()30af a e a=->；由零点存在定理，函数()f x在(0,1)和(1,3)a上各有一个零点．结合函数()f x的单调性，当a e>时，函数()f x有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为(,)e+∞．（2）证明：由（1）得a e>，120x x<<；由11ex ax=，22ex ax=得11x lna lnx=+，22x lna lnx=+；所以221211xx x lnx lnx lnx-=-=；设21xtx=(1)t>，则2121x txx x lnt=⎧⎨-=⎩，解得11lnt x t =-，21tlnt x t =-； 所以12(1)1t lnt x x t ++=-， 当1t >时，12(1)221t lnt x x t ++>⇔>- 2(1)01t lnt t -⇔->+； 设2(1)()1t h t lnt t -=-+，则22(1)()(1)t h t t t -'=+，当1t >时，()0h t '>； 于是()h t 在(1,)+∞上为增函数；所以，当1t >时，()h t h >（1）0=，即2(1)01t lnt t -->+； 所以122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程为24cos sin θρθ=，直线l 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，0)απ<．（Ⅰ）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；（Ⅱ）若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程24cos sin θρθ=化为22sin 4cos ρθρθ=， 得到曲线C 的直角坐标方程为24y x =，故曲线C 是顶点为(0,0)O ，焦点为(1,0)F 的抛物线；（2）直线l 的参数方程为cos (1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩ t 为参数，0)απ<． 故l 经过点(0,1)；若直线l 经过点(1,0)，则34πα=， ∴直线l的参数方程为3cos 4(31sin 142x t t y t ππ⎧==⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩为参数）．代入24y x =，得220t ++=设A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-，122t t =．12||||8AB t t =-=．[选修4-：5：不等式选讲]23．已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值． 【解答】解：（1）函数定义域为R ，|1||3|0x x m ∴++--恒成立， 设函数()|1||3|g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又|1||3||(1)(3)|4x x x x ++-+--=，即()g x 的最小值为4，4m ∴．（2）由（1）知4n =，12112(3)2(2)12974(622)()(5)(52)432423434a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b +++∴+=++++=+++⨯=+++++，当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时取等号． 74a b ∴+的最小值为94．。

陕西省2019届高三第一次大检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．与k的取值有关6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．68．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b =（）A．64 B．32 C．256 D．40969．函数f （x ）=lnx +e x 的零点所在的区间是（ ） A ．（） B ．（）C ．（1，e ）D ．（e ，∞）10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．212．定义在[0，+∞）的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），对于任意的x ≥0，恒有f ′（x ）＞f （x ），a=，b=，则a ，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．无法确定第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2019年陕西师大附中、西安高中、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校高考数学模拟试卷（文科）（3月份）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. 2，B. 6，C.D.2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为甲，乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. 甲乙甲乙B. 甲乙甲乙C. 甲乙甲乙D. 甲乙甲乙3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix=cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. B.C. D.5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r，y关于x的回归直线方程为=kx+b，则（）A. k与r的符号相同B. b与r的符号相同C. k与r的符号相反D. b与r的符号相反7.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. B. C. D.8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 319.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.10.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. D.11.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2112.已知双曲线：＞，＞的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=-5x+y的最大值为______．15.设函数，则函数f（log210）=______．16.如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，A1，B1，C1，D1四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，PA的中点，底面是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P-EFB的体积．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均值及方差s2；（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，求该产品为合格品的概率．20.已知椭圆C过点，，两个焦点，，，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求△AOB 面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-ax（a∈R）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个零点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a、b满足+=n时，求7a+4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}， B={3x|x ∈A}={3，6，9，18，27}， C={x ∈N|3x ∈A}={1，2，3}， ∴B∩C={3}． 故选：D ．先分别求出集合A ，B ，C ，由此能求出B∩C ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙， 则＞，σ甲＜σ乙．故选：A ．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】B【解析】解：由题意可得，e 2i=cos2+isin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵相关系数r为正，表示正相关，回归直线方程上升，r为负，表示负相关，回归直线方程下降，∴k与r的符号相同．故选：A．根据相关系数知相关系数的性质：|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；且|r|越接近0，相关程度越小．r为正，表示正相关，回归直线方程上升，选出正确结果．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系的方法，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，当相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．7.【答案】D【解析】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sinx，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f （x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．9.【答案】A【解析】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为等边三角形的高，．故选：B．化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．11.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．12.【答案】C【解析】解：F2（c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，可得|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】10【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．z=-5x+y的最大值为：10．故答案为：10．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】【解析】解：∵函数，∴函数f（log10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1==．故答案为：．10）=f（log210-1）=f（log210-2）=f（log210-3）=-1，由此推导出函数f（log能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】4【解析】解：设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得a2=6-2h2，其中，所以，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V=a2h=（6-2h2）h=-2h3+6h，其中，构造函数f（h）=-2h3+6h，其中，则f′（h）=-6h2+6，令f′（h）=0，得h=1．当0＜h＜1时，f′（h）＞0；当时，f′（h）＜0．所以，函数V=f（h）在h=1处取得极大值，亦即最大值，则V max=f（1）=4．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．设该正四棱柱的高为h，底面边长为a，计算出底面外接圆的半径，利用勾股定理h2+r2=3，得出a2=6-2h2，利用柱体体积公式得出柱体体积V关于h的函数关系式，然后利用导数可求出V的最大值．本题考查球体内接几何体的相关计算，解决本题的关键在于找出相应几何量所满足的关系式，考查计算能力，属于中等题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：△ =3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH=CH=2，∴∠BCH=45°．又在△DAB中，有AD=AB=2，∴∠ADB=45°．∴∠BDC=45°，∴∠DBC=90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，则CD∥平面PAB，在Rt△PDA中，由AD=PD=2，可得D到PA的距离为，即D到平面PAB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面PAB的距离为．在Rt△PAB中，由AB=2，PA=，且F为PA的中点，可得△ △ =．∴V P-EFB=V E-PBF=．【解析】（1）过点B作BH⊥CD于H，证明BC⊥BD．PD⊥BC，通过直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PBD；（2）求出E到平面PAB的距离及三角形PBF的面积，利用等积法求三棱锥P-EFB的体积．本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）内的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.38，由此能补全频率分布直方图如下：（2）质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）当质量指标值位于（80，122.5）时，认为该产品为合格品，质量指标值位于（80，122.5）的频率为：+=0.95．∴该产品为合格品的概率为0.95．【解析】（1）由频率分布直方图求出[95，105）内的频率为0.38，由此能补全频率分布直方图．（2）由频率分布直方图求出质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差．（3）求出质量指标值位于（80，122.5）的频率，由此能求出该产品为合格品的概率．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．则c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解得：c=2，a=6，b2=12．∴椭圆C的标准方程为：=1．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x=±3，可得△AOB 面积S==9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．联立，化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，△=4t2m2-4（t2+3）（m2-36）＞0，y1+y2=-，y1y2=．则|AB|===6•，令t2+3=n≥3，则△AOB面积S=d•|AB|=×3×6•=9=9≤9×=6，当且仅当n=6，t=时，△AOB面积取得最大值6．【解析】（1）由题意可设椭圆方程为：+=1（a＞b＞0），半焦距c．可得c=2，+=1，a2=b2+c2．联立解出即可得出．（2）直线l与x轴平行时，把y=±3代入椭圆方程可得：+=1，解得x，可得△AOB面积S=9．直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）．原点到直线AB的距离d==3，化为：m2=9（1+t2）．直线方程与椭圆方程联立化为：（t2+3）y2+2tmy+m2-36=0，利用根与系数的关系可得|AB|=，令t2+3=n≥3，可得△AOB面积S=d•|AB|．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）由f（x）=e x-ax，得f'（x）=e x-a，当a＜0时，f（x）在R上为增函数，函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，所以a＞0．当a＞0时，f'（x）=e x-a=e x-e ln af'（x）＜0⇔x＜ln a；f'（x）＞0⇔x＞ln a；所以f（x）在（-∞，ln a）上为减函数，在（ln a，+∞）上为增函数；所以f（x）min=f（ln a）=a-a lna；若函数f（x）有两个零点，则f（ln a）＜0⇒a＞e；当a＞e时，f（0）=1＞0，f（1）=e-a＜0；f（3a）=（e a）3-3a2＞0；由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）和（1，3a）上各有一个零点．结合函数f（x）的单调性，当a＞e时，函数f（x）有且仅有两个零点，所以，a的取值范围为（e，+∞）．（2）证明：由（1）得a＞e，0＜x1＜x2；由ex1=ax1，ex2=ax2得x1=ln a+ln x1，x2=ln a+ln x2；所以x2-x1=ln x2-ln x1=ln；设=t（t＞1），则，解得x1=，x2=；所以x1+x2=，当t＞1时，x1+x2＞2⇔＞2⇔ln t-＞0；设h（t）=ln t-，则h'（t）=，当t＞1时，h'（t）＞0；于是h（t）在（1，+∞）上为增函数；所以，当t＞1时，h（t）＞h（1）=0，即ln t-＞0；所以x1+x2＞2．【解析】（1）利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a的范围；（2）由e x1=ax1，e x2=ax2得x1=lna+lnx1，x2=lna+lnx2；得到所以x1+x2=；构造函数h（t）=lnt-，求证即可．本题主要考查了利用导函数判断函数的单调性，以及零点定理应用与构造函数等知识点，属较难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2018届第一次模拟考试数学〔文〕试题审题学校：师大附中本卷须知〔1〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，总分150分，考试时间150分钟、〔2〕答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上、 〔3〕选择题的每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上、〔4〕非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答、超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效、〔5〕考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回、第I 卷〔选择题共50分〕【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕、 1、复数13z i =+，21z i =-，那么复数121z z +的虚部为〔〕 A 、2B 、2i C 、32D 、32i2、集合{|(1)(2)0}M x R x x =∈+->和2{|0}N x R x x =∈+<，那么集合M 是集合N 的〔〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为〔〕A 、0B 、1C 、2D 、34、过点P 〔1,2〕的直线l 平分圆C ：224610x y x y ++++=的周长，那么直线l 的斜率为〔〕 A 、53B 、1C 、85D 、435、如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，其正〔主〕视图是边长为2的正方形，那么此三棱柱侧〔左〕视图的面积为〔〕正（主）视图 ABCA 1C 1A、、4C、6、角α的终边通过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x=-的准线上，那么sin α=〔〕A 、12-B 、12C、2-D、27、数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为a ，且21()n n n S a a n N +=-+∈、假设实数x y ，满足100x y x y x a ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤那么2z x y =+的最小值是〔〕A 、-1B 、12C 、5D 、18、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n A 和n B ，且213nn A n B n +=+，那么99a b 等于〔〕 A 、2B 、74C 、1912D 、13219、设函数()sin()sin()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕπ=++-><<的最小正周期为π，那么〔〕 A 、()f x 在(0,)2π单调递减B 、()f x 在(0,)4π单调递增 C 、()f x 在(0,)2π单调递增D 、()f x 在(0,)4π单调递减10、椭圆2221(1)x y a a +=>上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 张角122F PF π∠=，那么该椭圆的离心率的取值范围是〔〕A、(0,2 B、,1)2C 、1(0,]2D 、1[,1)2第II 卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：把答案填在相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕、 11、如图，有一个算法流程图、在集合{|1010}A x R x =∈-≤≤中随机地取一个数值做为x 输入，那么输出的y 值落在区间(5,3)-内的概率值为、12、某校为了解高一学生寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图〔如图〕、那么这100名同学中学习时间在6至8小时之间的人数为_______、13、设a ，b ，c 为单位向量，a ，b 的夹角为600，那么〔a +b +c 〕·c 的最大值为、 14、给定集合A n ={1,2,3,…,n }(n N +∈)，映射:n nf A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，假设2m ≥，那么有{(1),(2),,()}m f f f m ∈、那么称映射:n n f A A →是一个“优映射”、例如：用表1表示的映射:33f A A →是一个“优映射”、〔1〕表2表示的映射:44f A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整、〔2〕假设映射:66f A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有3个，那么如此的“优映射”的个数是、15.〔考生注意：请在以下三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题评分〕A 、〔几何证明选讲选做题〕如图，Rt ABC ∆的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，那么BD 的长为=；B 、〔不等式选讲选做题〕关于x 的不等式2|1||2|1x x a a -+-≤++的解集为空集，那么实数a 的取值范围是；C 、〔坐标系与参数方程选做题〕极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，:3y x +:5y x -A极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{3cos sin x y θθ==〔θ为参数〕，直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=、点P 在曲线C 上，那么点P 到直线l的距离的最小值为、【三】解答题：解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕、 16、〔本小题总分值12分〕三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量(,),(,)m c a b a n ab c →→=--=+，假设m →//n →、〔I 〕求角B 的大小；〔II 〕求sin sin A C +的取值范围、 17、〔本小题总分值12分〕如图，FD 垂直于矩形ABCD 所在平面，CE//DF ，090DEF ∠=、 〔Ⅰ〕求证：BE//平面ADF ；〔Ⅱ〕假设矩形ABCD 的一个边EF=BC 的长为何值时，三棱锥F-BDE18、〔本小题总分值12分〕设点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程为0Ax By C ++=、请写出点P 到直线l 的距离，并加以证明、19、〔本小题总分值12分〕一工厂生产甲,乙,丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml 和700ml 两种型号,某天的产量如右表(单位:个): 按样式进行分层抽样，在该天生产的杯子中抽取100个,其中有甲样式杯子25个.〔I 〕求z 的值；〔II 〕用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从那个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率、 20、〔本小题总分值13分〕圆C 1的方程为22(2)1x y +-=，定直线l 的方程为1y =-、动圆C 与圆C 1外切，且与直线l 相切、〔Ⅰ〕求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；〔II 〕斜率为k 的直线l 与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l 的垂线恰好通过点A 〔0，6〕，并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为∆POQ 〔O 为坐标原点〕的面积，求S 的值、 21、〔本小题总分值14分〕函数f (x )=21x 2－ax +(a －1)ln x ，1a >、(Ⅰ)假设2a >，讨论函数()f x 的单调性；〔II 〕a =1，3()2()g x f x x =+，假设数列{a n }的前n 项和为()nS g n =，证明：231111(2,)3n n n N a a a ++++<≥∈、 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2018届第一次模拟考试数学〔文〕答案第I 卷〔选择题共50分〕【一】选择题：CDCADBABDB第II 卷〔非选择题共100分〕【二】填空题：11、0.8；12、30；1314、〔1〕2，4，1，〔2〕10； 15.A 、165；B 、(1,0)-；C【三】解答题： 16、〔本小题总分值12分〕解〔I 〕由m →//n →知c a b a a b c--=+，即得222b a c ac =+-，据余弦定理知1cos 2B =，得3B π=——————6分〔II 〕sin sin sin sin()A C A A B+=++sin sin()3A A π=++13sin sin cos sin cos 2222A A A A A=++=+)6A π=+————————9分因为3B π=，因此23A C π+=，得2(0,)3A π∈————10分因此5(,)666A πππ+∈，得1sin()(,1]62A π+∈，即得sin sin A C +的取值范围为2、————————12分 17、〔本小题总分值12分〕解〔Ⅰ〕过点E 作CD 的平行线交DF 于点M ，连接AM 、因为CE//DF ，因此四边形CEMD 是平行四边形、可得EM=CD 且EM//CD ，因此四边形BEMA 也是平行四边形，因此有BE//AM ，而直线BE 在平面ADF 外，因此BE//平面ADF 、——————6分〔Ⅱ〕由EF=FM=3且030MFE ∠=、 由090DEF ∠=可得FD=4，从而得DE=2、————8分 因为BC CD ⊥，BC FD ⊥，因此BC ⊥平面CDFE 、 因此，13F BDE B DEF DEF V V S BC--∆==⨯、————10分因为12DEFS DE EF ∆=⨯=，F BDE V -=32BC =、 综上，当32BC =时，三棱锥F-BDE、————12分 18、〔本小题总分值12分〕解：点P 到直线l的距离公式为d =、————3分证法1：过点P 作直线l 的垂线，垂足为H 、假设A=0，那么直线l 的方程为C y B=-，如今点P 到直线l 的距离为0||C y B+，而00||||||By C C y B B+==+，可知结论是成立的、————5分假设0A ≠，那么直线PH 的斜率为B A，方程为00()By y x x A-=-，与直线l 的方程联立可得200()0B Ax By x xC A ++-+= 解得2000002222B x ABy AC Ax By C x x A A B A B--++==-++，00022Ax By C y y B A B ++=-+ ————9分据两点间距离公式得d ==、————12分证法2：假设B=0，那么直线l 的方程为C x A=-，如今点P 到直线l 的距离为0||Cd x A =--==； 假设0A =，那么直线l 的方程为C y B=-，如今点P 到直线l 的距离为0||Cd y B =--==； 假设0B ≠，0A ≠，过点P 作y 轴的垂线，交直线l 于点Q ，过点P 作直线l 于y 轴的垂线，交直线l 于点Q ，设直线l 的倾斜角为θ，那么||sin d PQ θ=、因为00000||||||||Q Ax By C B CPQ x x y x A A A++=-=---=，||sin Aθ====，因此，d =、综上，d =、证法３：过点P作直线l的垂线，垂足为H、那么直线PH的一个方向向量对应于直线l的一个法向量，而直线l的一个法向量为(,)A B，又线段PH的长为d，因此,)||PHPH d A BPH→→→==或,)PH A B→=设点H的坐标为(,)x y，那么00(,)PH x x y y→=--，可得00x x y y=±=±把点H的坐标代入直线l的方程得00((0A xB y C±+±+=整理得00Ax By C±++=，解得|d=、证法４：过点P作直线l的垂线，垂足为H、在直线l上任取一点Q(,)x y，直线PH的一个方向向量为(,)v A B→=，据向量知识，向量PQ→在向量v→上的投影的绝对值恰好是线段PH的长，因此||||PQ vdv→→→∙===因为000()()()x x A y y B A x B y A x B y-+-=+-+，而点(,)x y满足0A xB y C++=，因此0000()()A xB y A x B y A x B y C+-+=-++、因此|d=、19、〔本小题总分值12分〕解:〔I〕设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得,2550008000x=,因此x=40.-----------2分那么100－40－25＝35，因此，,35500025n=n=7000，故z＝2500----------6分〔II 〕设所抽样本中有m 个500ml 杯子,因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本, 因此,550002000m =,解得m=2-----------9分 也确实是抽取了2个500ml 杯子,3个700ml 杯子,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,那么从中任取2个的所有差不多事件为(S 1,B 1),(S 1,B 2),(S 1,B 3)(S 2,B 1),(S 2,B 2),(S 2,B 3),((S 1,S 2),(B 1,B 2),(B 2,B 3),(B 1,B 3)共10个,其中至少有1个500ml 杯子的差不多事件有7个差不多事件:(S 1,B 1),(S 1,B 2),(S 1,B 3)(S 2,B 1),(S 2,B 2),(S 2,B 3),((S 1,S 2),因此从中任取2个, 至少有1个500ml 杯子的概率为710.-----------12分20、〔本小题总分值13分〕解〔Ⅰ〕设动圆圆心C 的坐标为(,)x y ，动圆半径为R ，那么1||1CC R ==+，且|1|y R +=————2分|1|1y =++、由于圆C 1在直线l 的上方，因此动圆C 的圆心C 应该在直线l 的上方，因此有10y +>2y =+，整理得28x y =，即为动圆圆心C 的轨迹M 的方程、————5分〔II 〕如图示，设点P 的坐标为200(,)8x x ，那么切线的斜率为04x ，可得直线PQ 的斜率为4x -，因此直线PQ 的方程为20004()8x y x x x -=--、由于该直线通过点A 〔0,6〕，因此有20648x -=，得2016x =、因为点P 在第一象限，因此04x =，点P 坐标为〔4,2〕，直线PQ 的方程为60x y +-=、—————9分把直线PQ 的方程与轨迹M 的方程联立得28480x x +-=，解得12x =-或4，可得点Q 的坐标为(12,18)-、因此1||||482P Q S OA x x =-=——————13分21、〔本小题总分值14分〕解(Ⅰ)可知()f x 的定义域为(0,)+∞、有2/11(1)[(1)]()a x ax a x x a f x x a x x x--+----=-+==————2分因为2a >，因此11a ->、故当11x a <<-时/()0f x <；当01x <<或1x a >-时/()0f x >、 综上，函数()f x 在区间(1,1)a -上单调递减，在区间(0,1)和(1,)a -+∞上单调增加.——————6分〔II 〕由1a =，知32()2g x x x x =+-，因此322nS n n n =+-、可得2232, (2)320 , (1)n n n n a n n n ⎧--≥==--⎨=⎩、——————８分 因此11(2)(32)(1)n n a n n =≥+-、 因为11111()(32)(1)3(1)31n n n n n n <=-+---——————11分因此23111111111[(1)()()]32231n a a a n n +++<-+-++--11111(1)3333n n =-=-< 综上，不等式得证、——————14分。

陕西西安高新一中2019高三大练习题-数学文本卷须知1.本试题卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，考试时间150分钟。

2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定位置上。

3.选择题的每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。

超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。

第一卷【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，那么()UC A B =〔〕A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤ 2.复数i i +1在复平面中所对应的点到原点的距离为〔〕A 、21B 、1C 、22D 、23.圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为〔〕B.2114.一个几何体的三视图及尺寸如下图，那么该几何体的体积为〔〕 A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+5.如图为函数)2,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像，那么函数解析式为〔〕142214A.3sin(2)6y x π=+ B.3sin(2)6y x π=- C.3sin(2)3y x π=+ D.3sin(2)3y x π=-6.从某商场十一月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录〔单位：万元〕，用茎叶图表示如图，那么由此可能该商场十一月份销售总额约为〔〕 A.240万元B.540万元 C.720万元D.900万元7.函数)(x f y =满足(2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，那么()f x 在[]0,2010上零点值的个数为〔〕A.1004B.1005C.2017D.20178.执行如下图的算法程序，那么输出结果为〔〕 A.15B.42C.120D.1806 9.数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，那么21321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为A.32B.23C.61-D.6-10.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，那么21,l l 的交点的纵坐标为〔〕A.1-B.4-C.14-D.116-第二卷【二】填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.实数y x ,满足220101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么z y x =-的最小值为、12.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 2=，N M ,分别是AB CD ,的中点，设,AB a AD b ==.假设,MN ma nb =+那么=mn _________.13.在半径为3米的圆形屋顶下装一盏灯，这盏灯距周围墙壁的距离都不小于1米的概率为_________.14.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，那么k 的取值范围是__________.15、〔考生注意：只能从A ，B ，C 中选择一题作答，并将答案填写在相应字母后的横线上，假设多做，那么按所做的第一题评阅给分.〕 A.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B A ,两点，割线PCD 通过圆心交⊙O 于,C D 两点，假设2,4,5PA AB PO ===，那么⊙O 的半径长为________.B.选修4-4：坐标系与参数方程参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t tt e e y e e x 中当t 为参数时，化为一般方程为_______________. C.选修4-5：不等式选讲不等式a x x ≤+--12关于任意R x ∈恒成立，那么实数a 的集合为____________.【三】解答题：解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕16.〔本小题总分值12分〕某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为012345,,,,,A A A A A A ,现有甲乙两人同时从0A 站点上车,且他们中的每个人在站点(1,2,3,4,5)i A i =下车是等可能的.(Ⅰ)求甲在2A 站点下车的概率；〔Ⅱ〕甲,乙两人不在同一站点下车的概率.17.〔本小题总分值12分〕如图，在某港口A 处获悉，NMDCBA其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，如今救援船在港口的南偏西030据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令马上从C 处沿直线前往B 处营救渔船.(Ⅰ)求接到救援命令时救援船据渔船的距离；〔Ⅱ〕试问救援船在C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？〔72149cos 0=〕.18.〔本小题总分值12分〕等腰A B C ∆的底边66=AB ，高3=CD ，点E 是线段BD 上异于点D B ,的动点.点F 在BC 边上，且AB EF ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使AE PE ⊥. (Ⅰ)证明⊥EF 平面PAE ；〔Ⅱ〕记x BE =，)(x V 表示四棱锥ACFE P -的体积,求)(x V 的表达式. 19.〔本小题总分值12分〕函数32()93()f x x px qx p q x R =+++++∈的图像关于原点对称，其中,p q 是常实数。

陕西西安高新一中2019高三大练习题-数学文本卷须知1.本试题卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，考试时间150分钟。

2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定位置上。

3.选择题的每题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。

超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。

第一卷【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 1.全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，那么()UC A B =〔〕A.{}1-B.{}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤ 2.复数i i +1在复平面中所对应的点到原点的距离为〔〕A 、21B 、1C 、22D 、23.圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为〔〕B.2114.一个几何体的三视图及尺寸如下图，那么该几何体的体积为〔〕 A.24π+ B.28π+ C.44π+ D.48π+5.如图为函数)2,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像，那么函数解析式为〔〕142214A.3sin(2)6y x π=+ B.3sin(2)6y x π=- C.3sin(2)3y x π=+ D.3sin(2)3y x π=-6.从某商场十一月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录〔单位：万元〕，用茎叶图表示如图，那么由此可能该商场十一月份销售总额约为〔〕 A.240万元B.540万元 C.720万元D.900万元7.函数)(x f y =满足(2)()f x f x +=-，当(]2,2x ∈-时，2()1f x x =-，那么()f x 在[]0,2010上零点值的个数为〔〕A.1004B.1005C.2017D.20178.执行如下图的算法程序，那么输出结果为〔〕 A.15B.42C.120D.1806 9.数列{}n a 满足)(11,211++∈-+==N n a a a a nnn ，那么21321...a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为A.32B.23C.61-D.6-10.B A ,是过抛物线y x 42=的焦点的动弦，直线21,l l 是抛物线两条分别切于B A ,的切线，那么21,l l 的交点的纵坐标为〔〕A.1-B.4-C.14-D.116-第二卷【二】填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.实数y x ,满足220101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么z y x =-的最小值为、12.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD AB 2=，N M ,分别是AB CD ,的中点，设,AB a AD b ==.假设,MN ma nb =+那么=mn _________.13.在半径为3米的圆形屋顶下装一盏灯，这盏灯距周围墙壁的距离都不小于1米的概率为_________.14.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，那么k 的取值范围是__________.15、〔考生注意：只能从A ，B ，C 中选择一题作答，并将答案填写在相应字母后的横线上，假设多做，那么按所做的第一题评阅给分.〕 A.选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B A ,两点，割线PCD 通过圆心交⊙O 于,C D 两点，假设2,4,5PA AB PO ===，那么⊙O 的半径长为________.B.选修4-4：坐标系与参数方程参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--)(21)(21t t tt e e y e e x 中当t 为参数时，化为一般方程为_______________. C.选修4-5：不等式选讲不等式a x x ≤+--12关于任意R x ∈恒成立，那么实数a 的集合为____________.【三】解答题：解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕16.〔本小题总分值12分〕某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为012345,,,,,A A A A A A ,现有甲乙两人同时从0A 站点上车,且他们中的每个人在站点(1,2,3,4,5)i A i =下车是等可能的.(Ⅰ)求甲在2A 站点下车的概率；〔Ⅱ〕甲,乙两人不在同一站点下车的概率.17.〔本小题总分值12分〕如图，在某港口A 处获悉，NMDCBA其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，如今救援船在港口的南偏西030据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令马上从C 处沿直线前往B 处营救渔船.(Ⅰ)求接到救援命令时救援船据渔船的距离；〔Ⅱ〕试问救援船在C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？〔72149cos 0=〕.18.〔本小题总分值12分〕等腰A B C ∆的底边66=AB ，高3=CD ，点E 是线段BD 上异于点D B ,的动点.点F 在BC 边上，且AB EF ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使AE PE ⊥. (Ⅰ)证明⊥EF 平面PAE ；〔Ⅱ〕记x BE =，)(x V 表示四棱锥ACFE P -的体积,求)(x V 的表达式. 19.〔本小题总分值12分〕函数32()93()f x x px qx p q x R =+++++∈的图像关于原点对称，其中,p q 是常实数。

陕西省2019届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,根据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

陕西省2019届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，直接运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,根据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简单的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中判断几何体的形状与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

○…………外……○…………内……陕西省西安市高新一中、交大附中、师大附中 2019-2020学年高三上学期1月联考数学(文)试题 第I 卷（选择题) 一、单选题 1．已知集合1|1,A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭1{|2B x x =<或}2x >，则()R A B =I ð（ ） A ．(0,2) B ．[0,2] C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2．如果复数3()2bi b R i -∈+的实部与虚部相等，那么b =（ ） A ．1 B ．6- C ．9- D ．3 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，391,18a S ==，则1a =（ ） A ．0 B ．1- C ．2- D ．3- 4．设,a b r r 为两个非零向量，则||||b a a b ⋅=⋅r r r r 的一个充分条件为（ ） A ．||||a b =r r B ．//a b r r C ．a b =-r r D ．3a b =r r 5．设,a b 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面，下列推理正确的是（ ） A ．,////a b a b αβαβ⊂⊂⎫⇒⎬⎭ B ．,a b a b αβαβ⊂⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭ C ．////b a a b αα⊂⎫⇒⎬⎭ D ．//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 6．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm ），将样本数据制作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析不正确的是（ ） A ．纤维长度在[250,300)的棉花的数量为9根 B ．从这60根棉花中随机选取1根，其纤维长度在[0,200)的概率为0.335 C ．有超过一半的棉花纤维长度能达到250mm 以上 D ．这批棉花的纤维长度的中位数的估计值为258.5mm . 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n n S a =-，则10a =（ ） A ．12048 B ．20472048 C ．11024 D ．102310248．已知正三棱锥的高是1，底面边长是 ）A 1B 1C 1D 19．若函数()(cos )x f x e x a =+存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(B ．[C ．(1,1)-D ．[1,1]-10．已知()f x 是定义在R 的函数，若(1)y f x =+为偶函数，且(2)(2)f x f x +=--，则()f x 是（ ）A ．周期为2的奇函数B ．周期为4的奇函数C ．周期为2的偶函数D ．周期为4的偶函数11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右两个焦点分别为12F F 、，A B 、为其左右顶点,以线段12F F 、为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且30MAB ∠=o ,则双曲线的离心率为( ）A ．2B ．3C D12．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为23,34.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（ ）A ．12 B ．23 C ．56 D ．112第II 卷（非选择题)二、填空题 13．已知函数2,1()1log ,12a x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______. 14．若函数1()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，则下列结论中正确的序号是_______. ①由3sin 2y x=的图象上的点纵坐标不变，先将其上的点的横坐标伸长为原来的4倍，再向左平移6π个单位长度可以得到图象C ； ②图象C 关于点5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 ③函数()f x 的最小正周期为4π； ④函数()f x 在区间(,2)ππ上单调递减． 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1221212221,2,21,1n n n n a a a a a a +-+===+=+，则20S =_______． 16．设点O 是抛物线的顶点，F 是焦点，PQ 是过焦点的弦，已知||1,||5OF PQ ==，则OPQ △的面积是________． 三、解答题 17．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的，tan 3tan A B =． （1）证明：()2222c a b =-； （2）若tan 2,C a ==ABC ∆的面积． 18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.线…………○……线…………○……（Ⅰ）证明：CD⊥平面1A OC；（Ⅱ）当平面1A BE⊥平面BCDE时，四棱锥1A BCDE-的体积为a的值.19．2019年9月1日，《西安市生活垃圾分类管理办法》正式实施．根据规定，生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾和其他垃圾，个人和单位如果不按规定进行垃圾分类将面临罚款，并纳入征信系统．为调查市民对垃圾分类的了解程度，某调查小组随机抽取了某小区的100位市民，请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”．调查结果如下：（1）完成如下22⨯列联表并判断是否有99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关？（2）从对垃圾分类比较了解的市民中用分层抽样的方式抽取8位，现从这8位市民中随机选取两位，求至多有一位男市民的概率．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++20．已知函数()ln f x x x =-． （1）求()f x 的最大值； （2）求证：不存在过点4,05⎛⎫ ⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线． 21．离心率为2的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(2,1)M ，O 是坐标原点． （1）求椭圆E 的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r ？若存在，求出该圆的方程，并求||AB 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为53x t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 是参数）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （1）求圆C 的普通方程和的直线l 直角坐标方程； （2）设直线l 与,x y 轴交点分别是,A B ，点P 是圆C 上的动点，求PAB △的面积的最小值． 23．设函数()|2||3|f x x x x =-+--，若1,4()x R m f x m ∀∈+-≥恒成立． （1）求实数m 的取值范围； （2）求证：(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+．参考答案1．B【解析】【分析】先化简集合A ，再求出A B I ，从而可得()R A B ⋂ð.【详解】 因为11x<，所以10x x -<，即1x >或0x <， 又1{|2B x x =<或}2x >，所以{2A B x x ⋂=>或0}x <， 所以()[0,2]R A B =I ð.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，把集合化简到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2．C【解析】【分析】先把复数化简，结合实部与虚部相等可求结果.【详解】()()()()3236(23)2225bi i bi b b i i i i -----+==++-， 由题意得6(23)55b b --+=，解得9b =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的运算及相关概念，分母实数化是处理复数除法的良方，侧重考查数学运算的核心素养.3．A【解析】【分析】先由918S =求出5a ，结合35,a a 的关系可得.【详解】 因为199599182a a S a +=⨯==，所以52a =； 因为135,,a a a 也成等差数列，所以13520a a a =-=.故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的运算，利用等差数列的性质能简化解题过程，侧重考查数学运算的核心素养.4．D【解析】【分析】先分析向量,a b r r 间的关系，结合选项可得.【详解】因为,a b r r 为两个非零向量，所以0,0a b >>r r ，因为||||b a a b ⋅=⋅r r r r ，所以//a b r r ，且同向；所以||||b a a b ⋅=⋅r r r r 的一个充分条件可以是3a b =r r .故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件的识别，综合了平面向量的知识，把已知条件进行化简是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.5．D【解析】【分析】根据选项，结合相关定理及反例进行逐项验证即可得出答案.【详解】选项A 中，两个平面还可能相交，故不正确；选项B 中，两个平面垂直，这两个平面内的直线可以平行，相交，垂直，异面，故不正确；选项C 中，直线a 可能在平面α内，故不正确；选项D 中，垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确.故选：D.【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，借助相关定理及实物模型能快速求解，侧重考查直观想象的核心素养.6．D【解析】【分析】根据频率分布直方图可以得出每个区间内的频率，频数等，结合选项可得.【详解】由图可知纤维长度在[250,300)内的频数为：0.00350609⨯⨯=，所以A 正确；纤维长度在[0,200)内的频率为：()0.00130.00270.00170.0010500.335+++⨯=，所以B 正确；棉花纤维长度能达到250mm 以上的频率为：()0.00300.00530.0033500.58++⨯=，所以C 正确； 这批棉花的纤维长度的中位数的估计值为：0.0825050276.70.15+⨯=，所以D 不正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的识别，准确从频率分布直方图提取信息是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.7．C【解析】【分析】根据1n n S a =-及1n n n a S S -=-可求n a ，然后可得10a .【详解】当1n =时，1111a S a ==-，所以112a =；当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，112n n a a -=，所以1()2n n a =； 所以101011()21024a ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查数列通项的求解，由n S 求n a 时，通常利用公式1n n n a S S -=-，侧重考查数学运算的核心素养.8．D【解析】【分析】利用等体积法，以内切球的球心为顶点，把正三棱锥分割成四个小棱锥，利用棱锥的体积和等于正三棱锥的体积可求内切球的半径.【详解】如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE ，因为ABC ∆是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为ABC ∆的中心.因为AB =1,ABC S DE PE ∆==所以正三棱锥的表面积为：132S =⨯⨯=因为1PD =，所以三棱锥的体积113V =⨯=. 设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面把三棱锥分割为四个小棱锥，则1r ==. 故选：D.【点睛】本题主要考查三棱锥的内切球，三棱锥的内切球一般是利用等体积法进行求解，侧重考查直观想象的核心素养. 9．A 【解析】 【分析】函数()(cos )xf x e x a =+存在极值点，转化为导数存在存在变号零点，分离参数可求. 【详解】()e (cos sin )x f x x a x '=+-，因为函数()(cos )x f x e x a =+存在极值点，所以()f x '存在变号零点，即sin cos )4a x x x π=-=-，)[4x π-∈，所以(a ∈. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求解函数的极值问题，函数的极值问题转化为导数的零点问题，侧重考查数学抽象的核心素养. 10．B 【解析】 【分析】利用(1)y f x =+为偶函数，可得(+2)=()f x f x -，结合(2)(2)f x f x +=--可得周期，然后利用周期及(2)(2)f x f x +=--可得奇偶性. 【详解】因为(1)y f x =+为偶函数，所以(+1)=(+1)f x f x -，(+2)=()f x f x -，因为(2)(2)f x f x +=--，所以(4)()f x f x +=--， 所以(4)(2)f x f x +=-+，即周期为4；由(2)(2)f x f x +=--，(24)(2)f x f x +-=+得(2)(2)f x f x -=--，即有()=()f x f x --，所以为奇函数.故选：B. 【点睛】本题主要考查函数性质，综合了周期性和奇偶性，转化为周期的常见形式是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 11．B 【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M ，再由两点的斜率公式，得到,a b 的关系，再由离心率公式即可得到所求值．详解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，以12F F 为by x a，=代入圆的方程，可得，x a ==（负的舍去），y b = ，即有M a b （，）， 又0A a -（，） ，由于30MAB ∠=o ，则直线AM 的斜率为k = 又2bk a=，则2222343b a c a ==-（） ， 即有2237c a = ，则离心率c e a = ．故选：B ．点睛：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，直线的斜率公式，考查离心率的求法，属于基础题．12．C 【解析】 【分析】把能进入第三关的事件，分为四种情况：前两关都是一次通过，前两关仅有一关是两次通过，前两关都是两次通过，然后分别求解概率即可. 【详解】设=i A “第i 次通过第一关”，i B =“第i 次通过第二关”，其中1,2i =； 由题意选手能进入第三关的事件为：111211121212A B A A B A B B A A B B +++, 所以概率为()111211121212P A B A A B A B B A A B B +++23123213121353433434433446=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查独立事件的概率，一般是把复杂事件拆分为独立事件的积，或互斥事件的和，侧重考查数学建模的核心素养. 13．1[,1)2【解析】 【分析】先求1x <时的值域，结合值域为R ，可以得出01a <<，且1log 12a ≥，从而可求答案. 【详解】当1x <时，()21f x x =->；当1x ≥，1122x -≥，若1a >，则11log log 22a a x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，此时不符合题意； 若01a <<，则11log log 22a a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，由题意可得1log 12a ≥，解得12a ≥； 所以实数a 的取值范围是1[,1)2.故答案为：1[,1)2.【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，分段函数的值域一般是分段求解，注意分类讨论思想的应用，侧重考查数学抽象的核心素养. 14．②③④ 【解析】 【分析】逐项验证可得正确答案，①通过变换知所得解析式为13sin()212y x π=+，②可以得到5()03f π=，③通过周期公式可求周期，④通过验证可知成立. 【详解】对于①，由3sin 2y x =的图象上的点纵坐标不变，先将其上的点的横坐标伸长为原来的4倍，可以得到13sin2y x =的图象，再向左平移6π个单位长度可以得到113sin ()3sin()26212y x x ππ=+=+的图象，所以①不正确；对于②，当53x π=时，515()3sin 03236f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，所以②正确； 对于③，()f x 的最小正周期为2412ππ=，所以③正确；对于④，当(,2)x ππ∈时，127(,)2636x πππ+∈，由于27(,)[,]3622πππ3π⊆，所以④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，性质求解时一般是利用整体代换意识，进行处理，侧重考查数学抽象的核心素养. 15．2101 【解析】 【分析】根据2221n n a a +-=可得偶数项成等差数列，根据212121n n a a +-=+可知奇数项加上1之后成等比数列，然后根据分组求和的方法可得. 【详解】因为212121n n a a +-=+，所以()2121121n n a a +-+=+，即2121121n n a a +-+=+；又2221n n a a +=+，所以2221n n a a +-=；()()()()2012201319242011110S a a a a a a a a a =+++=++++++++++-L L L2102222311102101=+++++++-=L L .故答案为：2101. 【点睛】本题主要考查数列的分组求和，根据条件明确数列中项的特点是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 16【解析】 【分析】设出抛物线和直线的方程，联立方程结合韦达定理及弦长可得直线的斜率，然后利用面积公式可得OPQ △的面积. 【详解】由题意不妨设抛物线的方程为24y x =，因为直线PQ 斜率比存在，所以设:(1)PQ y k x =-，()()1122,,,P x y Q x y .联立24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得204k y y k --=，12124,4y y y y k +==-，()22212121221628y y y y y y k +=+-=+，， 因为21221211254y y P x x Q +=+++=+=，所以24k =，所以12y y -=== 所以OPQ △的面积为1212S y y =-=.本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理是这类题目的常规解题方向，侧重考查数学运算的核心素养. 17．（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）利用条件tan 3tan A B =化正切为弦函数，结合正弦定理和余弦定理把角化为边可证； （2）先根据tan C 求出cos ,sin C C ,结合余弦定理可求b ，然后利用面积公式可得. 【详解】（1）证明：因为tan 3tan A B =，所以sin cos 3cos sin A B A B =， 所以sin cos cos sin 4cos sin A B A B A B +=，即sin 4cos sin C A B =,由正弦定理及余弦定理可得22242cb c c b b a +-=⋅，即有()2222c a b =-.（2）因为tan 2C =，所以cos 5C =，sin C =由余弦定理及（1）可得222223cos 22a a b c C b a b ab +--===，又因为a =，所以20--=，解得b =所以ABC ∆的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，边角之间的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q 所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC （2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥ 所以1A O ⊥平面BCDE21116332BCDEAO S a a a ∴⋅=⋅== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．19．（1）列联表见解析，没有99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关； （2）2528. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表完成列联表，计算卡方，比较临界值可得结论； （2）先求出抽取的8人中男女市民的人数，结合古典概型求解. 【详解】（1）由题意可得列联表如下：计算()22210024152140() 4.040()()()()64364555n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯-==≈++++⨯⨯⨯;由于4.040 6.635<，所以没有99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关.（2）由（1）知比较了解的市民共有64人，用分层抽样的方式抽取8位市民中，男性市民3人，女性市民5人；从这8位市民中随机选取两位，至多有一位男市民的概率为：21155322881015252828C C C P C C +=+==.【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，独立性检验根据提供的公式准确求解观测值是求解的关键，古典概型问题要分清事件包含的基本事件数，侧重考查数据分析和数学建模的核心素养.20．（1）最大值为1e；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求解导数，再判断单调性，然后可得最大值； （2）先假设存在，设出切线，证明点4,05⎛⎫⎪⎝⎭不在切线上. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()(ln 1)f x x '=-+，令()0f x '=可得1x e=； 当1(0,)x e∈时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当1(,)x e∈+∞时，()0f x '<，()f x 为减函数； 所以()f x 有最大值1111()lne e e ef =-=. （2）证明：假设存在过点4,05⎛⎫⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线，设切点为()00,x y ， 00()(ln 1)f x x '=-+，则切线方程为()()000ln 1y y x x x -=-+-，所以()0004ln 15y x x ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，由000ln y x x =-整理可得001ln 54x x +=， 设1ln ()xg x x +=，则2ln ()x g x x'=-， 当(0,1)x ∈时，()0,()g x g x '>为增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<为减函数；所以()(1)g x g ≤，而5(1)14g =<，所以001ln 54x x +=不成立，即不存在过点4,05⎛⎫ ⎪⎝⎭与曲线()y f x =相切的直线． 【点睛】本题主要考查利用导数求解函数的最值问题和切线问题，最值问题一般是先求解极值，结合单调性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.21．（1）22163x y +=；（2）存在，理由见解析；圆的方程为222x y +=；AB ∈.【解析】 【分析】（1）利用离心率和椭圆所过点联立方程组可求椭圆的方程；（2）先假设存在符合要求的圆，利用OA OB ⊥u u u r u u u r求出圆的切线，结合弦长公式表示出||AB ，利用基本不等式求解范围. 【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(2,1)M ，所以22411a b +=；又离心率为2，所以2c a =，结合222a b c =+可得2226,3,3a b c ===，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r，设圆的切线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y .联立22163x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124260k x kmx m +++-=， ()()()22222216412268630k m k m k m ∆=-+-=-+>即22630k m -+>.12221224122612km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()()()()222222222121212122222646121212k m k mm k y y kx m k m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++因为OA OB ⊥u u u r u u u r ，所以12120x x y y +=，即2222226601212m m k k k--+=++， 所以22220m k --=，即2222m k =+；因为圆的切线方程为y kx m =+，所以圆的半径为r =，2222222,211m k r r k k=++===+222x y +=. 由22630k m -+>及22022m k =-≥可得22m ≥，即m ≥m ≤当圆的切线斜率不存在时，切线方程为x =,或者((,，均满足OA OB ⊥u u u r u u u r.综上可知，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥u u u r u u u r .因为()()()()222222121212222286342644121212k m km m x x x x x x k k k-+-⎛⎫-=+-=--⨯= ⎪++⎝⎭+ 所以||AB =====当0k ≠时，由于2422211(0,]4418414k k k k k=∈++++，所以AB ∈，当且仅当212k =时，取到最大值3； 当0k =时，AB =；当斜率不存在时，直线AB与椭圆交于,或者((,此时AB =综上可知，AB ∈.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，综合了圆的切线问题及弦长的范围问题，综合性强，难度稍大，存在性问题一般是先假设存在，由题设看能否得出矛盾，弦长范围问题一般是先表示出目标式，结合目标式的特点，使用恰当的方法求解最值，常用工具有：二次函数和基本不等式等，侧重考查数学运算的核心素养.22．（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4. 【解析】【分析】（1）移项平方可以消去参数，得到普通方程，极坐标方程利用转化公式cos ,sin x y ρθρθ==可得直角坐标方程；（2）先求圆心到直线的距离，利用圆的对称性可得圆上一点到直线的距离最小值，从而可得面积的最小值.【详解】（1）由53x t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得53x t y t⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=，所以圆C 的普通方程为.由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 22ρθρθ-=， 即cos sin 2ρθρθ-=-，化成直角坐标为20x y -+=，所以直线l 直角坐标方程为20x y -+=.（2）由（1）知(2,0),(0,2)A B -，||AB =，圆心()5,3-到直线l的距离为d == 所以点P 到直线l的距离的最小值为=所以PAB △的面积的最小值为142S =⨯=. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程及求解三角形面积的最小值，明确消参的方法和极坐标与直角坐标的转化公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.23．（1）0m >;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论求解()|2||3|4g x x x x =-+--+的最大值，然后解不等式可得；（2）利用换底公式转化为证明2lg(1)lg(3)lg (2)m m m +⋅+<+，结合基本不等式可证. 【详解】（1）因为1,4()x R m f x m ∀∈+-≥恒成立， 所以1|2||3|4m x x x m+-+--+…恒成立， 令33,2()2341,235,3x x g x x x x x x x x +<-⎧⎪=-+--+=--≤≤⎨⎪-+>⎩所以函数()g x 在(),3-∞为增函数，在()3,+∞为减函数，所以max ()(3)2g x g ==，所以max 1()2m g x m+=…， 即22121(1)200m m m m m m m-+-+-≥⇒=…，所以0m >.（2）证明：由0m >，知3211m m m +>+>+>，所以要证(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+ 只需证lg(2)lg(3)lg(1)lg(2)m m m m ++>++ 即证2lg(1)lg(3)lg (2)m m m +⋅+<+， 而22lg(1)lg(3)[lg(1)(3)]lg(1)lg(3)24m m m m m m +++++⎡⎤+⋅+<=⎢⎥⎣⎦()222lg 44lg (2)4m m m ⎡⎤++⎣⎦<=+. 所以(1)(2)log (2)log (3)m m m m +++>+.【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及不等式的证明，含有绝对值的不等式一般是利用零点分段讨论的方法去掉绝对值，不等式的证明，等价转化是证明的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.。

2019年陕西省西安市高新一中高2016级数学一模试卷文科数学试题及详细解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.(5分)已知复数z 满足(34)25i z +=,则(z = ) A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+2.(5分)已知全集U R =,{}112,0,22A x x B x x C x x ⎧⎫⎧⎫=-<<==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭剠,则集合(C = )A.A BB.()U AB ð C.()U AB ð D.()U AB ð3.(5分)在等差数列{}n a 中,前n 项和为n S ,2413S S =,则48SS 等于( ) A.310B.18C.19 D.134.(5分)设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数,当[2x ∈-,1)时,242,20(),01x x f x x x ⎧--=⎨<<⎩剟,则5()(2f = ) A.0 B.1C.12D.1-5.(5分)命题p ：若1y x <<,01a <<,则11yxa a <,命题q ：若1y x <<,0a <,则a a x y <.在命题①p 且q ②p 或q ③非p ④非q 中,真命题是( ) A.①③B.①④C.②③D.②④6.(5分)如果执行如图所示的框图,输入5N =,则输出的S 等于( )A.54B.45C.65D.567.(5分)下列说法正确的是( ) A.存在0x R ∈,使得30211cos log 10x -= B.函数sin 2cos2y x x =的最小正周期为π C.函数cos2()3y x π=+的一个对称中心为(,0)3π-D.角α的终边经过点(cos(3)-,sin(3))-,则角α是第三象限角8.(5分)一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ,若38a =,且1a ,3a ,7a 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( ) A.13,12B.13,13C.12,13D.13,149.(5分)如图所示是一个三棱锥的三视图,则此三棱锥的外接球的体积为( )A.43π10.(5分)若x 、y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩………,且z y x =-的最小值为6-,则k 的值为( ) A.3 B.3-C.13D.13-11.(5分)设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA l ⊥,A 为垂足.如果直线AF的斜率为那么||(PF = )A.B.8C. D.1612.(5分)设22()1x f x x =+,()52(0)g x ax a a =+->,若对于任意1[0x ∈,1],总存在0[0x ∈,1],使得01()()g x f x =成立,则a 的取值范围是( )A.[4,)+∞B.(0,5]2C.5[2,4]D.5[2,)+∞ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在对应题号后的横线上. 13.(5分)已知向量(cos ,sin )a θθ=,(1,2)b =-,若//a b ,则代数式2sin cos sin cos θθθθ-+的值是 .14.(5分)若直线260ax y ++=和直线2(1)10x a a y a +++-=垂直,则a = . 15.(5分)已知数列{}n a 的通项公式*2log ()1n na n N n =∈+,设其前n 项和为n S ,则使4n S <-成立的最小自然数n 的值为 .16.(5分)设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数,若f (2)1>,f (3)233a a a ++=-,则a的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知2cos cos cos a A c B b C =+. (Ⅰ)求cos A 的值； (Ⅱ)若1a =,22cos cos 122B C +=求边c 的值. 18.(12分)某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种,在该地区选择了5块土地,每块土地平均分成面积相等的两部分,分别种植甲、乙两个品种的棉花,收获时测得棉花的亩产量如图所示：(Ⅰ)请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定,并说明理由；(Ⅱ)求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地,这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率.19.(12分)等腰ABC ∆的底边AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于点B ,D 的动点.点F 在BC 边上,且EF AB ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置,使PE AE ⊥.(Ⅰ)证明EF ⊥平面PAE ；(Ⅱ)记BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积,求()V x 的最值.20.(12分)已知圆C 的方程为224x y +=,点P 是圆C 上任意一动点,过点P 作x 轴的垂线,垂足为H ,且1()2OQ OP OH =+,动点Q 的轨迹为E .轨迹E 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 和点B ；直线(0)y kx k =>与直线AB 相交于点D ,与轨迹E 相交于M 、N 两点. (Ⅰ)求轨迹E 的方程；(Ⅱ)求四边形AMBN 面积的最大值. 21.(12分)设函数2()2f x x xlnx =-+ (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若存在区间[a ,1][2b ⊆,)+∞,使()f x 在[a ,]b 上的值域是[(2)k a +,(2)]k b +,求k 的取值范围.请考生从第22、23二题中任选一题作答,多选、多答,按所选的首题进行评分.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)22.(10分)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x 轴非负半轴重合,且取相同的长度单位.曲线1:cos 2sin 70C ρθρθ--=,和()28:3x cos C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数.(1)写出1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；(2)已知点(4,4)P -,Q 为2C 上的动点,求PQ 中点M 到曲线1C 距离的最小值. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分0分) 23.已知不等式|1|||x x a -<+,其中a R ∈ (1)当1a =时,求不等式|1|||x x a -<+的解集；(2)若不等式|1|||x x a -<+的解集不是空集,求a 的取值范围.2019年陕西省西安市高新一中高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分. 【解答】解：复数z 满足(34)25i z +=,则2525(34)25(34)3434(34)(34)25i i z i i i i --====-++-, 故选：A .【解答】解：{}112,0,22A x x B x x C x x ⎧⎫⎧⎫=-<<==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭剠,故1{|}2AB x x =<,故()U C A B =ð,故选：D .【解答】解：设首项为1a ,公差为d , 2413S S =, ∴1121463a d a d +=+,即132a d =, 则418146663828122810S a d d d S a d d d ++===++, 故选：A .【解答】解：()f x 是定义在R 上的周期为3的函数,25511()(3)()4()212222f f f ∴=-=-=--=-故选：D .【解答】解：1y x <<,∴11x y<, 而01a <<,则11yxa a > 故命题p 是假命题； 若1y x <<,0a <,则a a x y <. 故命题q 是真命题,故①p 且q 是假命题, ②p 或q 是真命题； ③非p 是真命题, ④非q 是假命题, 故选：C .【解答】解：5n =时,1k =,0S =, 第一次运行：110122S =+=⨯,15k =<, 第二次运行：112k =+=,1122233S =+=⨯,25k =<, 第三次运行：213k =+=,2133344S =+=⨯,35k =<, 第四次运行：314k =+=,3144455S =+=⨯,45k =<, 第五次运行：415k =+=,4155566S =+=⨯,5k =, 结束运行,输出56S =. 故选：D .【解答】解：在A 中,0cos [1x ∈-,1],3200001cos (1cos )(1cos cos )0x x x x ∴-=-++…,221log log 1010<=, ∴不存在0x R ∈,使得30211cos log 10x -=,故A 错误； 在B 中,函数1sin 2cos2sin 42y x x x ==的最小正周期为2π,故B 错误；在C 中,由2()32x k πππ+=+,k Z ∈,得12x k ππ=-+,k Z ∈,∴函数cos2()3y x π=+的对称中心为(12k ππ-+,0),k Z ∈,故C 错误；在D 中,cos(3)cos30-=<,sin(3)sin 30-=-<,∴角α的终边经过点(cos(3)-,sin(3))-,则角α是第三象限角,故D 正确.故选：D .【解答】解：设公差为d ,由38a =,且1a ,3a ,7a 成等比数列,可得264(82)(84)64168d d d d =-+=+-,即,20168d d =-,又公差不为0,解得2d =此数列的各项分别为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,故样本的中位数是13,平均数是13故选：B.【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥,且一条侧棱与底面垂直,高为1,三棱锥的底面为等腰直角三角形,将其扩充为长方体,对角线长为,三棱锥的外接球的半径体积为4555 3π=,故选：C.【解答】解：由z y x=-得y x z=+,作出不等式组2020x ykx yy+-⎧⎪-+⎨⎪⎩………对应的平面区域如图：平移直线y x z=+由图象可知当直线y x z=+经过点A时,直线y x z=+的截距最小,此时最小值为6-,即6y x-=-,则60x y--=,当0y=时,6x=,即(2,0)A,同时A也在直线20kx y-+=上,代入解得13k=-,故选：D.【解答】解：抛物线的焦点(2,0)F,准线方程为2x=-,直线AF的方程为2)y x=-,所以点(A -、P ,从而||628PF =+= 故选：B . 【解答】解：22()1x f x x =+, 当0x =时,()0f x =, 当0x ≠时,22()111()24f x x =+-,由01x <…,0()1f x ∴<…. 故0()1f x 剟又因为()52(0)g x ax a a =+->,且(0)52g a =-,g (1)5a =-. 故52()5a g x a --剟. 所以须满足52051a a -⎧⎨-⎩……,∴542a 剟, 故选：C .二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在对应题号后的横线上. 【解答】解：//a b ,sin 2cos 0θ∴+=,解得tan 2θ=-. ∴代数式2sin cos 2tan 1415sin cos tan 121θθθθθθ----===++-+.故答案为：5.【解答】解：由(1)0a a +=,解得0a =或1-. 经过验证只有0a =时,两条直线相互垂直.由(1)0a a +≠,由1()12(1)a a a -⨯-=-+,解得32a =-(验证分母不等于0). 综上可得：32a =-或0.故答案为：0或32-.【解答】解：2log 1n n a n =+2222221231231log log log log log ()log 234123411n n n S n n n ∴=+++⋯=⋯=+++ 若4n S <-,则11116n <+ 即15n >则使4n S <-成立的最小自然数n 的值为16 故答案为：16【解答】解：函数()f x 以5为周期,f ∴(2)(3)f =-,又f (3)233a a a ++=-,函数是奇函数(3)f f ∴-=-(3)233a a a ++=--,因此,f (2)2313a a a ++=->-,解之得03a <<或2a <-故答案为：(-∞,2)(0-⋃,3).三、解答题：本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【解答】(本题满分12分)解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+ 即2sin cos sin()A A B C =+又B C A π+=-,所以有2sin cos sin()A A A π=-, 即2sin cos sin A A A =.而sin 0A ≠, 所以1cos 2A =.(Ⅱ)由1cos 2A =及0A π<<,得3A π=,因此23B C A ππ+=-=.由条件得1cos 1cos 122B C +++=+,即cos cos B C +=得2cos cos()3B B π+-=得sin()6B π+=由3A π=,知5(,)666B πππ+∈. 于是63B ππ+=,或263B ππ+=.所以6B π=,或2B π=. 若6B π=,则2C π=.在直角ABC ∆中,1sin 3cπ=,解得c =； 若2B π=,在直角ABC ∆中,1tan 3c π=,解得c =.因此c =或c = 【解答】解：(Ⅰ)由茎叶图可知甲种棉花的平均亩产量为：951021051071111045++++=, 方差为(2222221[(95104)(102104)(105104)(107104)111104)28.85S ⎤=-+-+-+-+-=⎦甲. 乙种棉花的平均亩产量为：981031041051101045++++=, 方差为(2222221[(98104)(103104)(104104)(105104)110104)14.85S ⎤=-+-+-+-+-=⎦乙. 因为22S S >乙甲,所以乙种棉花的平均亩产量更稳定. ⋯(8分) (Ⅱ)从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有(95,102),(95,105),(95,107), (95,111),(102,105),(102,107),(102,111),(105,107),(105,111),(107,111)共10种,设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A ,包括的基本事件为(105,107),(105,111),(107,111)共3种. 所以3()10P A =. ⋯(13分) 故两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为310. 【解答】(Ⅰ)证明：EF AB ⊥,90BEF PEF ∴∠=∠=︒,故EF PE ⊥,而AB PE E =,所以EF ⊥平面PAE .(Ⅱ)解：PE AE ⊥,PE EF ⊥,PE ∴⊥平面ABC ,即PE 为四棱锥P ACFE -的高.由高线CD 及EF AB ⊥得//EF CD ,∴BE EF BD CD =,3EF EF =∴=∴2211322ACFE ABC BEF S S S ∆∆=-=⨯-=.而PE EB x ==,∴31()363ACFE V x S PE x ==,(0x <<∴当6x =时(6)()max V x V ==【解答】解：(Ⅰ)1()2OQ OP OH =+,∴设(,)Q x y ,则(,2)P x y (,2)P x y 在224x y +=上,∴2222(2)4,1:4x x y y +=+=即(Ⅱ)0S x =令02cos ()22x ππθθ=-剟,∴2cos 2sin )4S πθθθ=+=+…∴max S = 【解答】解：(Ⅰ)令()()21(0)g x f x x lnx x '==-->,1()2g x x'=-, 令()0g x '>,解得：12x >,令()0g x '<,解得：102x <<, 所以()g x 在1(0,)2单调递减,在1(,)2+∞单调递增, 则()g x 的最小值为1()202g ln =>. 所以1()()()02f xg x g '=>…, 所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞(Ⅱ)由(Ⅰ)得()f x 在区间1[,][,)2a b ⊆+∞递增, ()f x 在[a ,]b 上的值域是[(2)k a +,(2)]k b +所以1()(2),()(2),2f a k a f b k b a b =+=+<…. 则()(2)f x k x =+在1[,)2+∞上至少有两个不同的正根, ()2f x k x =+,令2()21()()222f x x xlnx F x x x x -+==++…求导,得223241()()(2)2x x lnx F x x x +--'=+…, 令21()324()2G x x x lnx x =+--… 则2(21)(2)()230x x G x x x x-+'=+-=…. 所以()G x 在1[,)2+∞递增, 1()0,(1)02G G <=. 当1[,1)2x ∈时,()0()0G x F x '<∴<, 当(1,)x ∈+∞时,()0()0G x F x '>∴>所以()F x 在1[,1)2上递减,在(1,)+∞上递增, 故1922(1)()(1,]210ln F k F k +<∴∈…. 请考生从第22、23二题中任选一题作答,多选、多答,按所选的首题进行评分.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)【解答】解(1)曲线1:cos 2sin 70C ρθρθ--=,根据cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线1:270C x y --=,曲线()28:3x cos C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数.消去参数,即cos 8sin 3x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 22sin cos 1θθ+=,∴曲线222:1649x y C +=, 故得曲线1C 的直角坐标方程270x y --=,曲线2C 的普通方程为221649x y +=. (2)设曲线2C 上的点(8cos ,3sin )Q θθ,则PQ 中点为3sin 4(4cos 2,)2M θθ+-, M 到直线270x y --=的距离为d == ∴当sin()1θα+=时,d. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分0分)【解答】解：(1)当1a =时,不等式|1|||x x a -<+可化为|1|||1x x --<,由几何含义知,解集为+∞；(0,)(2)1|1|||1x x a-<+的解集不是空集,1 ---剟,不等式|1|||x x∴>-a。