第01讲+必修1高中数学模块综合检测题

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)， 则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11． 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减， 得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4， 所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |， 得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2， 即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)， 所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3． 所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ． 又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)． 设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量， 则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)． 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又因为a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下： 设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2． 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数． 所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0． 从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意． 综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜ ，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞ ，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞ 或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（） ，∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（） ，即U U U U A C A B ⊇ （）（） ，∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分） （2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分） （3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）18.【答案】（1）{=|1U A x x - ＜ 或1x ≥，{=|12U A B x x ∴（）≤≤ .（6分） （2）{}=|01A B x x ＜＜，{=|0U A Bx x ∴ （）≤ 或}1x ≥.（12分） 19.【答案】①若=A ∅，则2=240p ∆+-（）＜，解得40p -＜＜.（4分）②若方程的两个根均为非正实数，则12120=200.10.=x x p p x x ∆⎧⎪+-+⎨⎪⎩≥，（）≤，解得≥＞（10分） 综上所述，p 的取值范围是{}|4p p -＞.（12分） 20.【答案】证明：①充分性：若存在0x ∈R ，使00ay ＜，则2220004=4b ab b a y ax bx ----（） 222000=444b abx a x ay ++-200=240b ax ay +-（）＞，∴方程=0y 有两个不等实数根.（6分）②必要性：若方程=0y 有两个不等实数根. 则240b ab -＞，设0=2bx a-， 则20=22b b ay a a b c a a ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（）（） 2224==0424b b ac b ac --+＜（10分） 由①②知，“方程=0y 有两个不等实根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.（12分） 21.【答案】（1）当=2a 时，{}=|17A x x ≤≤，{}=|27AUB x x -≤≤，（3分）{R =|1A x x ＜ 或}7x ＞，{}R =|21A B x x - （）≤＜ .（6分）（2）=A B A ，A B ∴⊆.①若=A ∅，则123a a -+＞，解得4a -＜；（8分）②若A ∅≠，则12311212234.a a a a a -+⎧⎪⎪---⎨⎪+⎪⎩≤，≥，解得≤≤≤，（10分）综上可知，a 的取值范围是1|412a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＜或≤≤.（12分）22.【答案】设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示.（2分）选甲、乙而不选丙的有2924=5-（人）， 选甲、丙而不选乙的有2824=4-（人）， 选乙、丙而不选甲的有2624=2-（人），（6分） 仅选甲的有382454=5---（人）， 仅选乙的有352452=4---（人）， 仅选丙的有312442=1---（人），（8分）所以至少选一门的人数为24542541=45++++++，（10分） 所以三门均未选的人数为5045=5-.（12分）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（ ） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（ ）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（ ） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（ ） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（ ） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（ ）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（） 等于（ ）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（ ）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（ ）①U U A C A B ⊆ （）（） ； ②U U U U A C A B ⊇ （）（） ；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （） ；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （） ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？。

模块综合检测(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(新课标全国卷Ⅱ)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0}D．{－3，－2，－1}2．函数f(x)＝x－4lg x－1的定义域是()A．[4，＋∞)B．(10，＋∞)C．(4,10)∪(10，＋∞)D．[4,10)∪(10，＋∞)3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表，则f(x)的奇偶性是A.奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数4．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1} D．{∅}5．下列大小关系正确的是()A．0.43＜30.4＜log40.3B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4D．log40.3＜30.4＜0.436．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 2e x －1，x ＜32，log 3(x 2－1)，x ≥32，则f (f (2))的值是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．37．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)8．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图像中与这一过程吻合得最好的是( )9．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点x ＝2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图像可能是( )10．若函数y ＝f (x )定义域为R ，且满足f (－x )＝－f (x )，当a ，b ∈(－∞，0]时总有f (a )－f (b )a －b＞0(a ≠b )，若f (m ＋1)＞f (2)，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤1B ．m ＞1C ．－3＜m ＜1D ．m ＜－3或m ＞1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 12．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________.13．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫12x (x ≤0)，x 12(x ＞0)，若f (x 0)＞2，则x 0的取值范围是________．14．下列叙述：①存在m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数；②函数y ＝1x ＋1在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数； ③函数y ＝log 2x ＋x 2－2在(1,2)内只有一个零点；④定义域内任意两个变量x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则f (x )在定义域内是增函数． 其中正确的结论序号是________．三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)当函数f (x )的图像过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；(3)若F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， x ＞0，－f (x )，x ＜0，当mn ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且函数f (x )为偶函数时，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?17．(本小题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a ＞2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，指出这个函数的定义域；(2)当AE 为何值时，绿地面积最大？18．(本小题满分14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋a 2x ＋1是奇函数． (1)求a 值；(2)判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围．答案1．解析：选C 由交集的意义可知M ∩N ＝{－2，－1,0}．2．解析：选D 要使函数有意义须⎩⎪⎨⎪⎧ x －4≥0，lg x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ≠10， 解得：4≤x ＜10或x ＞10.3．解析：选C 由2＝4α知α＝12，∴f (x )＝x 12为非奇非偶函数． 4．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 一定是( )A ．∅B ．∅或{1}C ．{1}D ．{∅}解析：选B 令x 2＝1，得x ＝±1；令x 2＝2，得x ＝±2.由映射的定义知，集合A 可能含元素1，可能不含元素1，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}；若1∉A ，则A ∩B ＝∅，∴A ∩B ＝{1}或∅.5．解析：选C ∵log 40.3＜log 41＝0,0＜0.43＜0.40＝1，30．4＞30＝1，∴log 40.3＜0.43＜30.4.6．解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.7．解析：选C 令y 1＝ln x ，y 2＝4－x ，在同一坐标系中画出它们的图像如图所示．由图像观察可知x 0∈(2,3)．8．解析：选D 根据实际情况较吻合的应为D.9．解析：选C 由题意知2a ＋b ＝0，∴a ＝－b 2， ∴g (x )＝bx 2＋b 2x ＝b ⎝⎛⎭⎫x 2＋12x ＝b ⎝⎛⎭⎫x ＋142－b 16， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝－0.5，故选C.10．解析：选B ∵当a ，b ∈(－∞，0]时总有f (a )－f (b )a －b＞0(a ≠b )，∴当a ，b ∈(－∞，0]，a －b 与f (a )－f (b )同号，∴f (x )在(－∞，0]上单调递增，又∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (x )在R 上为增函数，∴由f (m ＋1)＞f (2)得，m ＋1＞2，∴m ＞1.11．解析：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝lg 12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13. 答案：1312．解析：f (－2)＝f (2)＝22－3＝1.答案：113．解析：当x 0≤0时，f (x 0)＝(12)x 0＞2，得x 0＜－1； 当x 0＞0时，f (x 0)＝x 120＞2，得x 0＞4. ∴x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)14．解析：①使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，则m －1＝1，得m ＝2，此时f (x )＝x －1，故①正确；②减区间应为(－∞，－1)和(－1，＋∞)不能合并，故②错误；③∵f (1)＝log 21＋1－2＝－1＜0，f (2)＝lg 22＋22－2＝3＞0∴f (1)f (2)＜0，且f (x )在(1,2)单调递增．故③正确；④由已知得x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)同号，∴f (x )在定义域上为增函数．综上知①③④正确．答案：①③④15．解：(1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x ＞1}＝{x |x ＞2}，A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a ＞1时，C ⊆A ，则1＜a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．16．解：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0.所以b 2－4(b －1)＝0.即b ＝2，a ＝1.所以f (x )＝(x ＋1)2.(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－(k －2)24. 所以当k －22≥2或k －22≤－2时， 即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数；(3)f (x )为偶函数，所以b ＝0.所以f (x )＝ax 2＋1.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1， x ＞0，－ax 2－1， x ＜0. 因为mn ＜0，不妨设m ＞0，则n ＜0.又因为m ＋n ＞0，所以m ＞－n ＞0.所以|m |＞|－n |.此时F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋1－an 2－1＝a (m 2－n 2)＞0.所以F (m )＋F (n )＞0.17．解：(1)S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2， S △BEF ＝S △DGH ＝12(a －x )(2－x )． ∴y ＝S △ABCD －2S △AEH －2S △BEF＝2a －x 2－(a －x )(2－x )＝－2x 2＋(a ＋2)x .由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，a －x ＞0，2－x ≥0，a ＞2，得0＜x ≤2，∴y ＝－2x 2＋(a ＋2)x,0＜x ≤2；(2)当a ＋24＜2，即2＜a ＜6时， 则x ＝a ＋24时，y 取最大值(a ＋2)28； 当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，在(0,2]上是增函数，则x ＝2时，y 取最大值2a －4综上所述：当2＜a ＜6时，AE ＝a ＋24时，绿地面积取最大值(a ＋2)28； 当a ≥6时，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.18．解：(1)由题设，需f (0)＝－1＋a 2＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＝1－2x1＋2x， 经验证，f (x )为奇函数，∴a ＝1.(2)f (x )在定义域R 上是减函数．证明：任取 x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝1－2x 21＋2x 2－1－2x 11＋2x 1＝2(2x 1－2x 2)(1＋2x 1)(1＋2x 2). ∵x 1＜x 2，∴0<2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0，又(1＋2x 1)(1＋2x 2)>0，∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴该函数在定义域R上是减函数．(3)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)，由(2)知，f(x)是减函数，∴原问题转化为t2－2t＞k－2t2，即3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立，∴Δ＝4＋12k＜0，解得k<－13，所以实数k的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13.。

模块综合测评(一) 必修1(北师大版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B. 答案：B2．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋3>0，得x >－3且x ≠0，所以函数定义域为(－3,0)∪(0，＋∞)，故选D. 答案：D3．若幂函数f (x )＝x a 在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ＝0D ．不能确定解析：当a >0时，f (x )＝x a 在(0，＋∞)上递增，故选A. 答案：A4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{2}B ．{x |x ≤1}C ．{－12}D ．{x |x ≤1或x ＝2}解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，故选C.答案：C5．下列各式错误的是( ) A ．30.8>30.7 B ．log 0.50.4>log 0.50.6 C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.4解析：∵y ＝0.75x 为减函数，∴0.75－0.1>0.750.1，故选C. 答案：C6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数的图像为( )A. B.C. D.解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的反函数为y ＝log 12x ，故选D.答案：D7．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图像可能是( )A. B.C. D.解析：由题意知，2a＋b＝0，所以a＝－b2.因此g(x)＝bx2＋b2x＝b(x2＋12x)＝b⎝⎛⎭⎪⎫x＋142－b16.易知函数g(x)图像的对称轴为x＝－14，排除A，D.又令g(x)＝0，得x＝0，－0.5，故选C.答案：C8．已知偶函数f(x)在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)＜f (4)B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (4)C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72D ．f (4)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72<f (－3)，故选D.答案：D9．函数y ＝x 2的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝x 2和y ＝|lg x |的图像，如图，可得交点个数为1，故选B.答案：B10．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：f (1)＝ln(1＋1)－21＝ln2－2＝ln2－lne 2<0，f (2)＝ln(2＋1)－22＝ln3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．解析：答案：－91012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (0≤x ≤2)，2x (x ＞2)，则f (2)＝__________；若f (x 0)＝8，则x 0＝__________.解析：f (2)＝22－4＝0，当x 0>2时，2x 0＝8， ∴x 0＝4，当0≤x 0≤2时，x 20－4＝8，∴x 0＝±23(舍)， ∴x 0＝4. 答案：0 413．已知f (x )＝x 3＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝__________. 解析：∵f (a )＝a 3＋1＝11，∴a 3＝10，f (－a )＝(－a )3＋1＝－a 3＋1＝－10＋1＝－9.答案：－914．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x ＜1)，－x ＋1 (x ≥1)是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是__________．解析：令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，h (x )＝－x ＋1，要满足f (x )在R 上是减函数，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，g (1)≥h (1)，解之得17≤a ＜13.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R .(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)求A ∩C .解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(2分)(∁R A )∩B ＝{x |x <1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(6分) (2)当a ≤1时，A ∩C ＝∅.(8分) 当1<a <7时，A ∩C ＝{x |1≤x <a }．(10分) 当a ≥7时，A ∩C ＝{x |1≤x <7}．(12分)16．(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，其中k1k2≠0.∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k1×1＝1，k21＝2，∴k1＝1，k2＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝2x.(6分)(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝x＋2 x ，∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(8分)∵h(－x)＝－x＋2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x＋2x＝－h(x)，(10分)∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)＋g(x)是奇函数．(12分)17．(12分)已知f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数，g(x)＝λf(x)．(1)求实数a的值；(2)若g(x)≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立，求λ的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数．(2分) 所以f(0)＝0，即ln(1＋a)＝0，得a＝0.(4分)对于函数f(x)＝lne x＝x，显然有f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝x是奇函数，所以实数a的值为0.(6分)(2)由(1)知f(x)＝x, g(x)＝λx，则λx≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立．即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立．(8分)∵函数y ＝log 2x 在x ∈[2,3]时的最小值为log 22＝1，(10分) ∴λ≤1.(12分)18．(14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x(x ≥0)．(6分)(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元． 依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．(8分)& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 令t ＝20－x (0≤t ≤25)．(10分)则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．(14分)。

模块综合测评(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若向量a ＝(1，0，z )与向量b ＝(2，1，2)的夹角的余弦值为23，则z ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 A 〖由题意可知cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝2＋2z 1＋z 2×4＋1＋4＝23，解得z ＝0，故选A ．〗 2．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E ，F 分别是AD ，DC 的中点，则EF →·BA →＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3 B 〖如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·BA →＝12AC →·(－AB →)＝－12×2×2×cos 60°＝－1，故选B ．〗3．若A (－2，3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点共线，则m 的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．－2 D ．2A 〖由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，解得m ＝12．〗4．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0D 〖圆心C (1，0)，k PC ＝0－(－1)1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D ．〗5．双曲线x 2m －y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83A 〖抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)， 故双曲线的一个焦点是(1，0)， 所以m ＋n ＝1，且1m＝2，解得m ＝14，n ＝34，故mn ＝316．〗6．阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积为8π，直线l 过椭圆C 的两个顶点，且椭圆的中心到直线l 的距离为43417，则椭圆C 的方程为( )A ．x 216＋y 24＝1B ．x 220＋y 214＝1C ．x 264＋y 2＝1D ．x 232＋y 22＝1D 〖依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8． ① 不妨设直线l ：x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则椭圆的中心到直线l 的距离为ab a 2＋b2＝43417，解得a 2＋b 2＝34， ②联立①②，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 232＋y 22＝1．故选D ．〗7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A ．64 B ．63 C ．26D ．23A 〖∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴∠BCB 1是B 1C 与底面所成角， ∴∠BCB 1＝60°． ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴∠CDC 1是C 1D 与底面所成的角， ∴∠CDC 1＝45°．连接A 1D ，A 1C 1(图略)，则A 1D ∥B 1C ．∴∠A 1DC 1或其补角为异面直线B 1C 与C 1D 所成的角． 不妨设BC ＝1，则CB 1＝DA 1＝2， BB 1＝CC 1＝3＝CD ， ∴C 1D ＝6，A 1C 1＝2．在等腰△A 1C 1D 中，cos ∠A 1DC 1＝12C 1D A 1D ＝64．〗8．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是 ( )A ．6a 6 B ．3a 6 C ．3a 4 D ．6a3A 〖建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎫a ，0，a2， B (a ，a ，0)，A 1(a ，0，a )，∴DM →＝⎝⎛⎭⎫a ，0，a2， DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )． 设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋a 2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)． ∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a ．〗二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( ) A ．若l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3 B ．若l 1∥l 2，则m ＝3 C ．若l 1⊥l 2，则m ＝－12D ．若l 1⊥l 2，则m ＝12BD 〖直线l 1∥l 2，则3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错，B 正确；l 1⊥l 2，则m －2＋3m ＝0，m ＝12，C 错，D 正确．故选BD ．〗10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0．若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4AB 〖圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，则圆心为C (2，0)，半径r ＝2．设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形P ACB 为正方形，故有PC ＝2r ＝22， ∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ， 即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22，∴结合选项，实数k 的取值可以是1，2．〗11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ，则下列结论正确的是( ) A ．AC ⊥BDB ．△ACD 是等边三角形C ．AB 与平面BCD 所成的角为90° D ．AB 与CD 所成的角为60°ABD 〖如图，取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，AC ，则AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，又AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，∴AC ⊥BD ，A 正确；∵AC ＝2AO ＝AD ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，B 正确；易知AO ⊥平面BCD ，∴∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角，为45°，C 错误；∵AC →＝AB →＋BD →＋DC →，不妨设AB ＝1，则AC 2→＝(AB →＋BD →＋DC →)2＝AB 2→＋BD 2→＋DC 2→＋2AB →·BD →＋2BD →·DC →＋2AB →·DC →，∴1＝1＋2＋1＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋22×⎝⎛⎭⎫－22＋2cos 〈AB →，DC →〉，∴cos 〈AB →，DC →〉＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°，D 正确．故选ABD ．〗12．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6xBCD 〖因为|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以F A ＝FB ，若∠ABD ＝90°，可得F A ＝AB ，所以可得△ABF 为等边三角形，所以B 正确；过F 作FC ⊥AB 交AB 于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为p 2，B 的横坐标为－p 2，所以A 的横坐标为3p2，代入抛物线可得y 2＝3p 2，|y A |＝3p ，△ABF 的面积为93，即12(x A －x B )·|y A |＝12×⎝⎛⎭⎫3p 2＋p 2×3p ＝93，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，所以D 正确；焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，所以焦点到准线的距离为32×2＝3，所以C 正确； 此时A 点的横坐标为92，所以BF ＝AF ＝AB ＝92＋32＝6，所以A 不正确．〗三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．2x ＋3y －2＝0 〖由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0．〗14．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．2π 〖(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0，6)，半径为3． 在Rt △OBC 中可得∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π．〗15．已知三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 的中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为________，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为________________________________________________________________________________． (本题第一空2分，第二空3分)63 223 〖连接BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连接OD ，则∠ADO 是直线PE 与平面BCD 所成角(图略)，因三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，设棱长为2， 则DO ＝BO ＝23BE ＝234－1＝233，AO ＝4－⎝⎛⎭⎫2332＝263，∴sin ∠ADO ＝AO AD ＝2632＝63．∴直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为63． 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE ＝4－1＝3，∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为sin ∠AEO ＝AO AE ＝2633＝223．〗16．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，点Q (2，2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，则PQ →·PF 1→的最大值为________．92 〖由题意可得c ＝2，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，可得F 1(－2，0)，设P (x ，y )，由x 28＋y 24＝1，可得x 2＝8－2y 2，则PQ →·PF 1→＝(2－x ，2－y )(－2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2－2y ＝－y 2－2y ＋4＝－⎝⎛⎭⎫y ＋222＋12＋4，当且仅当y ＝－22∈〖－2，2〗时， PQ →·PF 1→取得最大值为92．〗四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)如图，已知点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．〖解〗 (1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4，3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2．18．(本小题满分12分)如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2，3)，C (2，1)．(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 〖解〗 (1)AC 的中点E (0，2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋(－2)2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5．(2)直线BC 的斜率k ＝1－(－2)2－(－2)＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0．点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2．19．(本小题满分12分)在①(DE →＋CF →)⊥(DE →－CF →)，②|DE →|＝172，③0<cos 〈EF →，DB →〉<1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz ．已知点D 1的坐标为(0，0，2)，E 为棱D 1C 1上的动点，F 为棱B 1C 1上的动点，________，试问是否存在点E ，F 满足EF →·A 1C →＝0？若存在，求AE →·BF →的值；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 〖解〗 由题意，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2．则A (2，0，0)，B (2，2，0)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，C (0，2，0)， 设E (0，a ，2)(0≤a ≤2)，F (b ，2，2)(0≤b ≤2)，则EF →＝(b ，2－a ，0)，A 1C →＝(－2，2，－2)，AE →＝(－2，a ，2)，BF →＝(b －2，0，2)， 所以EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )，AE →·BF →＝8－2b ．选择①，因为(DE →＋CF →)⊥(DE →－CF →)，所以(DE →＋CF →)·(DE →－CF →)＝DE →2－CF →2＝0，即DE →2＝CF →2，即0＋(a －0)2＋(2－0)2＝(b －0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，所以a ＝b ． 因为EF →·A 1C →＝4－2×(a ＋b )＝0，所以a ＝b ＝1，故存在点E (0，1，2)，F (1，2，2)，满足EF →·A 1C →＝0，且AE →·BF →＝8－2b ＝6．选择②，|DE →|＝172，即a 2＋22＝172，a ＝12， 因为EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )＝0，所以b ＝32，故存在点E ⎝⎛⎭⎫0，12，2，F ⎝⎛⎭⎫32，2，2， 满足EF →·A 1C →＝0，且AE →·BF →＝8－2b ＝5． 选择③，EF →＝(b ，2－a ，0)，DB →＝(2，2，0)， 因为0＜cos 〈EF →，DB →〉<1，所以EF →与DB →不共线， 所以b ≠2－a ，即a ＋b ≠2，则EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )≠0， 故不存在点E ，F 满足EF →·A 1C →＝0．20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标． 〖解〗 (1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1．(2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±3(1－t 2)，所以圆P 的半径为3(1－t 2)．当圆P 与x 轴相切时， |t |＝3(1－t 2)，解得t ＝±32．所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，±32．21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 的中点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3．(1)求证：PQ ⊥AB ；(2)求二面角P -QB -M 的余弦值．〖解〗 (1)证明：在△P AD 中，P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD ．因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PQ ⊥底面ABCD ． 又AB ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥AB ．(2)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，所以四边形BCDQ 为平行四边形．因为AD ⊥DC ，所以AD ⊥QB ．由(1)，可知PQ ⊥平面ABCD ，故以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz 如图所示，则Q (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，3)，C (－1，3，0)，B (0，3，0)，QB →＝(0，3，0)．因为AQ ⊥PQ ，AQ ⊥BQ ，所以AQ ⊥平面PQB ，即QA →为平面PQB 的一个法向量，且QA →＝(1，0，0)．因为M 是棱PC 的中点，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，32，所以QM →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，32． 设平面MQB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ m ·QB →＝0，m ·QM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3y ＝0，－12x ＋32y ＋32z ＝0，令z ＝1，得x ＝3，y ＝0，所以m ＝(3，0，1)，所以cos 〈QA →，m 〉＝QA →·m |QA →||m |＝32． 由题意知，二面角P -QB -M 为锐角，所以二面角P -QB -M 的余弦值为32． 22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17．(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ．①求证：直线l 过定点；②设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程． 〖解〗 (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，可得圆心C (－1，1)，半径r ＝1，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17， 即有⎝⎛⎭⎫－1－p 22＋12＝17， 解得p ＝6，即抛物线方程为y 2＝12x ．(2)①证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，x ＝my ＋t ， 整理得：y 2－12my －12t ＝0，所以y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ．由于OA ⊥OB ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0．即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0．整理得t2－12t＝0，由于t≠0，解得t＝12．故直线的方程为x＝my＋12，直线经过定点P(12，0)．②当CP⊥l且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值．k MP＝k CP＝－113，则m＝113．此时直线l的方程为x＝113y＋12，即13x－y－156＝0．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.]3．函数f (x )＝2x ＋x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝12xD ．f (x )＝x 2－2x ＋1B [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，故选B.] 6．若10m ＝2，10n ＝6，则n －2m ＝( ) A ．－lg 2 B ．lg 2C ．－lg 3D ．lg 3D [∵10m ＝2，10n ＝6，∴m ＝lg 2，n ＝lg 6，∴n －2m ＝lg 6－2lg 2＝lg 6－lg 2＝lg 62＝lg 3，故选D.]7．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在[1＋a,2]上的偶函数，则(－3)b ＋3－1－a的值为( )A.109B.19C ．10D ．不能确定A [由偶函数的定义知，1＋a ＝－2，即a ＝－3.由f (x )＝f (－x )恒成立，得b ＝0.所以(－3)b ＋3－1－a＝(－3)0＋3－1－(－3)＝109.故选A.]8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( ) A ．x －a >y －a B ．ax <ay C ．a x <a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a 为减函数，所以由x >y >1得到x －a <y －a ，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x 以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y 及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.]9．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C [∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.]10．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的零点时，其参考数据如表所示．A ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0， f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x －x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上， 故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x ，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(5－1，3)C ．[3－3，2)D ．(1,3－3)C [若函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x ，x ≤2log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则 ⎩⎨⎧3－a >1，a >1，(3－a )2≤log a (2－1)＋3，解得3－3≤a <2.故选C.]12．若函数f (x )＝a x －x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象的交点的个数，如图，a >1时，两函数图象有两个交点；0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设A ∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A 共有________个． 4 [∵A ∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A ⊆{－1,1}，满足条件的集合A 为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．] 14．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 13 [lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13.]15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增函数，则实数m 的最小值等于________．1 [由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，∴f (x )＝2|x －1|， 又∵f (x )在[1，＋∞)上是单调递增的，∴m ≥1.]16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．(－2,2) [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，则f (x )<0的x 的取值范围是(－2,2)．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}． A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1. 令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0， 解得2x ＝1或2x ＝－12(舍去)．所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为x ＝0. (2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解， 于是2a ＝2x ＋14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋122－14. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0，所以2a >14－14＝0，即a >0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x . (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明． [解] (1)由已知得g (x )＝1－a －2x ，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1.(2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数． 20．(本小题满分12分)已知函数y ＝2－x2＋x＋2x －2的定义域为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求函数f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x 的最大值．[解](1)由题意知⎩⎨⎧(2－x )(x ＋2)≥0，2x －2≥0，x ≠－2.解得1≤x ≤2，故M ＝{x |1≤x ≤2}．(2)f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x ，令t ＝log 2x ，t ∈[0,1]， 可得g (t )＝2t 2＋at ，t ∈[0,1]，其对称轴为直线t ＝－a4，当－a 4≤12，即a ≥－2时，g (t )max ＝g (1)＝2＋a ， 当－a 4>12，即a <－2时，g (t )max ＝g (0)＝0. 综上可知，f (x )max ＝⎩⎨⎧2＋a ，a ≥－2，0，a <－2.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0. [解] (1)要使函数有意义，则有 ⎩⎨⎧2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12. ∴函数F (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数． (3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0， 即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ， ∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0， ∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0.22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数解析式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大利益是多少万元？[解] (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18，得k 1＝18，g (1)＝12，得k 2＝12，即f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝x8＋1220－x(0≤x≤20)．令t＝20－x(0≤t≤25)，则y＝20－t28＋12t＝－18(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，y max＝3万元．则投资债券类产品16万元，股票类产品4万元，能使投资获得最大利益，其最大收益是3万元．由Ruize收集整理。

第一章综合测试一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合{}{}31A x x x Z B x x x Z =Î=Î＜，，＞，，则A B =I （ ）A .ÆB .){3223--，，，C .{}202-，，D .{}22-，2.命题“()01x x e x "Î+¥+，，≥”的否定是（ ）A .()01x x e x $Î+¥+，，≥B .()01x x e x "Î+¥+，，＜C .()01x x e x $Î+¥+，，＜D .()01x x e x "Î-¥+，，≥3.若集合{}0A x x =＜，且B A Í，则集合B 可能是（ ）A .{}1x x -＞B .RC .{}23--，D .{}3101--，，，4.若a b c R Î，，且a b ＞，则下列不等式成立的是（ ）A .22a b ＞B .11a b＜C .a c b c＞D .2211a b c c ++＞5.已知a b R Î，，则“20a b +=”是“2ab=-”成立的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.某市原来居民用电价为0.52元/kW h g ，换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价为0.55元/kW h g ，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kW h g .对于一个平均每月用电量为200kW h g 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为（ ）A .110kW hg B .114kW hg C .118kW hg D .120kW hg 7.已知210a +＜，则关于x 的不等式22450x ax a --＞的解集是（ ）A .{5x x a ＜或}x a -＞B .{5x x a ＞或}x a -＜C .{}5x a x a -＜＜D .{}5x a x a -＜＜8.若102x ＜＜，则函数y = ）A .1B .12C .14D .18二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知集合[)()25A B a ==+¥，，，.若A B Í，则实数a 的值可能是（ ）A .3-B .1C .2D .510.下列不等式不一定正确的是（ ）A .12x x +≥B .222x y xy +≥C .222x y xy+＞11.已知2323x y ＜＜，＜＜，则（ ）A .2x y +的取值范围为()69，B .2x y -的取值范围为()23，C .x y -的取值范围为()11-，D .xy 的取值范围为()49，12.23520x x +-＞的充分不必要条件是（ ）A .132x -＜＜B .12x -＜＜C .12x ＜＜D .16x -＜＜三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知集合{}2114M m m =++，，，如果5M Î，那么m =________.14.二次函数()2y ax bx c x R =++Î的部分对应值如表:x3-2-1-01234y64-6-6-4-06则a =________；不等式20ax bx c ++＞的解集为________.15.已知{}{}2212210A x x B x x ax a ==-+-＜＜，＜，若A B Í，则a 的取值范围是________.16.若正数a b ，满足1a b +=，则113232a b +++的最小值为________.四、解答题（共70分）17.（10分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；（3）()210x R x "Î+，≥；（4）22x R x $Î，＜.18.（12分）已知集合{3512A x x B x x ìü=-=íýîþ＜≤，＜或}2x U R =＞，.（1）求()U A B A B U I ，ð；（2）若{}2131C x m x m =-+＜≤，且B C U =U ，求m 的取值范围.19.（12分）（1）已知集合{}{2124A a B ==，，，，，且A B B =I ，求实数a 的取值范围；（2）已知:20:40P x q ax --＞，＞，其中a R Î，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.20.（12分）“绿水青山就是金山银山”.随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）.假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x 元、y 元（单位：kg ）；甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买3kg 鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.（1）若810x y ==，，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格.（2）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.21.（12分）解关于x 的不等式()22340x ax a a R +-Î＜.22.（12分）为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（km /h ）值的2倍.（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用.（2）为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围.（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？第一章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】选D .因为{}{}321012A x x x Z =Î=--＜，，，，，，{}{11B x x x Z x x =Î=＞，＞或}1x x Z -Î＜，，所以{}22A B =-I ，.2.【答案】C【解析】选C .命题为全称量词命题，则命题“()01x x e x "Î+¥+，，≥”的否定是“()01x x e x $Î+¥+，，＜”.3.【答案】C【解析】选C .因为23A A -Î-Î，，所以{}23A --Í，.4.【答案】D【解析】选D .选项A ：01a b ==-，，符合a b ＞，但不等式22a b ＞不成立，故本选项是错误的；选项B ：当01a b ==-，符合已知条件，但零没有倒数，故11a b＜不成立，故本选项是错误的；选项C ：当0c =时，a c b c ＞不成立，故本选项是错误的；选项D ：因为210c +＞，所以根据不等式的性质，由a b ＞能推出2211a bc c ++＞.5.【答案】B【解析】选B .220aa b b=-Þ+=，反之不成立.所以“20a b +=”是“2ab=-”成立的必要不充分条件.6.【答案】C【解析】选C .设每月峰时段的平均用电量为kW h x g ，则谷时段的用电量为()200kW h x -g ；根据题意，得：()()()0.520.550.520.352002000.5210%x x -+--´´≥，解得118x ≤.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kW h g .7.【答案】A【解析】选A .方程22450x ax a --=的两根为5a a -，.因为210a +＜，所以12a -＜，所以5a a -＞.结合二次函数2245y x ax a =--的图象，得原不等式的解集为{5x x a ＜或}x a -＞，故选A .8.【答案】C【解析】选C .因为102x ＜＜，所以2140x -＞，所以2211414122224x x +-=´´=，当且仅当2x =x =时等号成立.二、9.【答案】AB【解析】选AB .因为A B Í，所以2a ＜，结合选项可知，实数a 的值可能是3-和1.10.【答案】BCD【解析】选BCD .因为x 与1x同号，所以112x x x x+=+≥，A 正确；当x y ，异号时，B 不正确；当x y =时，222x y xy +=，C 不正确；当11x y ==-，时，D 不正确.11.【答案】ACD【解析】选ACD .因为2323x y ＜＜，＜＜，所以49426xy x ＜＜，＜＜，所以629x y +＜＜，而32y ---＜＜，所以12411x y x y ---＜＜，＜＜.12.【答案】BC【解析】选BC .由不等式23520x x +-＞，可得22530x x --＜，解得132x -＜＜，由此可得：选项A ，132x -＜＜是不等式23520x x +-＞成立的充要条件；选项B ，102x -＜是不等式23520x x +-＞成立的充分不必要条件；选项C ，12x ＜＜是不等式23520x x +-＞成立的充分不必要条件；选项D ，16x -＜＜是不等式23520x x +-＞成立的必要不充分条件.三、13.【答案】4或1或1-【解析】①当15m +=时，4m =，此时集合{}1520M =，，，符合题意，②当245m +=时，1m =或1-，若1m =，集合{}125M =，，，符合题意，若1m =-，集合{}105M =，，，符合题意，综上所求，m 的值为4或1或1-.14.【答案】1{2x x -＜或}3x ＞【解析】由表知2x =-时03y x ==，时，0y =，所以二次函数2y ax bx c =++可化为()()23y a x x =+-.又因为1x =时，6y =-，所以1a =，图象开口向上，结合二次函数的图象可得不等式20ax bx c ++＞的解集为{2x x -＜或}3x ＞.15.【答案】12a ≤≤【解析】方程22210x ax a -+-=的两根为11a a +-，，且11a a +-＞，所以{}11B x a x a =-+＜＜.因为A B Í，所以1112a a -ìí+î≤≥，解得12a ≤≤.16.【答案】47【解析】由1a b +=，知()()113232732323232910b a a b a b ab ++++==+++++，又2124a b ab +öæ=ç÷èø≤（当且仅当12a b ==时等号成立），所以499104ab +≤，所以749107ab +≥.四、17.【答案】（1）命题中含有全称量词“任何一个”，故是全称量词命题.（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.（3）命题中含有全称量词“"”，是全称量词命题.（4）命题中含有存在量词“$”，是存在量词命题.18.【答案】（1）因为集合{3512A x x B x x ìü=-=íýîþ＜≤，＜或}2x ＞，所以32A B x x ìü=íýîþU ≤或}2x ＞，因为{1U R B x x ==，＜或}2x ＞，所以{}U 12B x x =≤≤ð.所以()U 312A B x x ìü=íýîþI ≤≤ð.（2）依题意得：2131211312m m m m -+ìï-íï+î＜，＜，≥，即2113m m m ìï-ïíïïî＞，＜，≥所以113m ＜.19.【答案】（1）由题知B A Í.2=时，4a =，检验当4a =时，{}{}1241612A B ==，，，，，符合题意.4=时，16a =，检验当16a =时，{}{}12425614A B ==，，，，，符合题意.2a =时，0a =或1，检验当0a =时，{}{}124010A B ==，，，，，符合题意.当1a =时，{}1241A =，，，，由于元素的互异性，所以舍去.综上：4a =或16a =或0a =.（2）设{}{}240A x x B x ax ==-＞，＞，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A Þ.①当0a ＞时，42a＞，所以02a ＜＜.②当0a ＜时，不满足题意.③当0a =时，:40q -＞，即B ¹Æ，符合题意.综上：02a ≤＜.20.【答案】（1）因为810x y ==，，所以甲两周购买鸡蛋的平均价格为()3831096´+´=元，乙两周购买鸡蛋的平均价格为()208010109810=+元.（2）甲两周购买鸡蛋的平均价格为3362x y x y++=，乙两周购买鸡蛋的平均价格为2021010xyx y x y=++，由（1）知，当810x y ==，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠.证法一（比较法）：依题意0x y ，＞，且x y ¹，因为()()()()22420222x y xy x y x y xy x y x y x y +--+-==+++＞，所以22x y xyx y++＞，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.证法二（分析法）：依题意0x y ，＞，且x y ¹，要证：22x y xyx y++＞，只需证：()24x y xy +＞只需证：222x y xy +＞，只需证：x y ¹（已知）.所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠.21.【答案】由于()22340x ax a a R +-Î＜可化为()()40x a x a -+g ＜，且方程()()40x a x a -+=的两个根分别是a 和4a -.当4a a =-，即0a =时，不等式的解集为Æ；当4a a -＞，即0a ＞时，解不等式得4a x a -＜＜；当4a a -＜，即0a ＜时，解不等式得4a x a -＜＜.综上所述，当0a =时，不等式的解集为Æ；当0a ＞时，不等式的解集为{}4x a x a -＜＜；当0a ＜时，不等式的解集为{}4x a x a -＜＜.22.【答案】（1）当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：()120601000250124450´++´=元.（2）设汽车行驶的速度为km /h x ，由题意可得：12060100021260x x´++≤，化简得213036000x x -+≤，解得4090x ≤≤，故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于40km /h 时，不高于90km /h .（3）设汽车行驶的速度为km /h x ，则运输的总费用为12072006010002100010001240x x x ´++++=≥，当72002x x=，即60x =时取得等号，故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶.。

模块综合测评(时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}B [由题意知A ∪B ＝{1，2，4，6}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．] 2．函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增函数D.先递增再递减函数C [作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知图象开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.]3．函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的定义域为( )A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]A [由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，lg （x ＋1）≠0，x ＋1>0，得－1<x <0或0<x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1]，故选A.]4．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧X 问题，已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )A ．40B ．30C ．20D ．36A [由题意，每个个体抽到的概率为90360＋270＋180＝19，其中甲社区有360户低收入家庭，所应从甲社区抽取低收入家庭的户数为360×19＝40户．]5．2019年10月1日在庆祝中华人民某某国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为( )A ．13 B ．512 C ．712D ．23C [由题知三名同学都没有被选上的概率为23×34×56＝512，所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为1－512＝712.]6．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的大致图象是( )A B C DB [当x <0时，函数的图象是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x的图象在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.]7．“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [记集合A ＝{x |x >2}，由x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，记集合B ＝{x |x <－4，或x >2}．因为A B ，所以“x >2”是“x 2＋2x －8>0”成立的充分不必要条件．故选B.]8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)B [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，所以f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，所以f (2log 3a )>f (2).因为2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.故选B.]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应不同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差ABC [只有标准差不变，众数、平均数和中位数都加2.]10．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系不可能为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <bABD [由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c <b <a .]11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，0＜a ＜b ＜c ，f (a )f (b )f (c )＜0，实数d 是函数f (x )的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是( )A ．0＜d ＜aB ．c ＞d ＞bC ．d ＞cD ．b ＜d ＜cABD [由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，可得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，当0＜a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (b )＞f (c )，又因为f (a )f (b )f (c )＜0，f (d )＝0，所以①f (a )，f (b )，f (c )都为负值，则a ，b ，c 都大于d ，②f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，则a ，b 都小于d ，c 大于d .综合①②可得d ＞c 不可能成立．]12．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是( )A ．等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立B ．函数f (x )的值域为(－1，1)C ．若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)D ．函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点ABC [易知函数的定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，故函数为奇函数，故A 正确；当x＞0时，f (x )＝x 1＋x ＝11＋1x，该函数在(0，＋∞)上递增，且当x →0时，f (x )→0；当x →＋∞时，f (x )→1.结合奇偶性，作出f (x )的图象如图所示：易知函数的值域是(－1，1)，故B 正确；结合函数f (x )为定义域内的增函数，所以C 正确；当x ≥0时，g (x )＝f (x )－x ＝x1＋x －x ＝－x 21＋x ，令g (x )＝0得x ＝0，故此时g (x )只有一个零点0，g (x )显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以D 错误．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．命题“∃x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是________． ∀x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 [特称命题的否定为全称命题．]14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________．12 [依题意得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f (x )是奇函数，得f (2)＝－f (－2)＝12.]15．计算：(0.027)－13－log 32·log 83＝________．3 [ (0.027)－13－log 32·log 83＝(0.3)－13×3－log 32·1log 38＝103－log32·13log32＝103－13＝3.]16．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．0．1[这组数据的平均数x＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s2＝（4.7－5.1）2＋（4.8－5.1）2＋（5.1－5.1）2＋（5.4－5.1）2＋（5.5－5.1）25＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.]四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？[解](1)因为x2 000＝0.19，所以x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482 000×500＝12(名).18．(本小题满分12分)某市为鼓励企业发展“低碳经济”，真正实现“低消耗、高产出”，实行奖惩制度．通过制定评分标准，每年对本市50%的企业抽查评估，评出优秀、良好、合格和不合格四个等级，并根据等级给予相应的奖惩(如下表).某企业投入100万元改造，由于自身技术原因，能达到以上四个等级的概率分别为12，13，18，124，且由此增加的产值分别为60万元、40万元、20万元、－5万元．(1)在抽查评估中，该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率是多少？ (2)求该企业当年因改造而增加的利润为0的概率．[解](1)设该企业能被抽到且被评为合格及其以上等级的概率为P ，则P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋18×12＝2348.(2)依题意，该企业当年因改造而增加的利润为0的概率为13×12＝16.19．(本小题满分12分)某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．[解] 设“中三等奖”为事件A ，“中奖”为事件B ，从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P (A )＝716.(2)由(1)知两个小球相加之和等于3或4的取法有7种； 两个小球相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2). 两个小球相加之和等于6的取法有1种：(3，3). 则中奖概率为P (B )＝7＋2＋116＝58.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围． [解](1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示 )知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1，3].21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值X 围是(－∞，1).22．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．[解](1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4≤x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在[4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |2x 2－x ≥0}，B ＝{y |y ＞－1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，0] B ．(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B [A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥12，∴A ∩B ＝(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.]2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式¬p 为( ) A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2 B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2 C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2D [全称量词命题的否定是存在量词命题，不等号要改变，故选D.]3．已知p ：x －a ＞0，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)D [已知p ：x －a ＞0，x ＞a ，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，根据小X 围推出大X 围得到a ≥1.故选D.]4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14B ．14C ．32D ．－32A [令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14.故选A.]5．函数f (x )＝x ＋1＋1x －3的定义域为( ) A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．[－1，3)∪(3，＋∞)D ．[－1，3)C [由条件知⎩⎨⎧x ＋1≥0x －3≠0，∴x ≥－1且x ≠3，故选C.]6．函数f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1在区间(－∞，1]上为减函数，则m 的取值X 围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C [当m ＝0时，f (x )＝1－x ，满足在区间(－∞，1]上为减函数，当m ≠0时，因为f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝1－m2m ，且函数在区间(－∞，1]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m 2m ≥1，解得0＜m ≤13.综上，0≤m ≤13.故选C.]7．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱( )A ．8元B ．16元C ．24元D ．32元D [设方形巧克力每块x 元，圆形巧克力每块y 元，小明带了a 元钱， ⎩⎨⎧3x ＋5y ＝a ＋8，①5x ＋3y ＝a －8，②①＋②，得8x ＋8y ＝2a ，∴x ＋y ＝14a ， ∵5x ＋3y ＝a －8，∴2x ＋(3x ＋3y )＝a －8， ∴2x ＋3×14a ＝a －8，∴2x ＝14a －8，∴8x ＝a －32， 即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D.]8．已知函数f (x )＝mx ＋1的零点在区间(1，2)内，则m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．()－∞，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B [根据题意，函数f (x )＝mx ＋1，当m ＝0时，f (x )＝1，没有零点， 当m ≠0时，f (x )为单调函数，若其在区间(1，2)内存在零点， 必有f (1)f (2)＜0，即(m ＋1)(2m ＋1)＜0，解得－1＜m ＜－12，即m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题中是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4＞0 B ．∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1＞0 C ．∃x ∈N ，使x ≤xD ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 ACD [对于A ，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x 2－3x ＋4＞0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称量词命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1＞0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是存在量词命题，当x ＝0时，有x ≤x 成立，故C 为真命题； 对于D ，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以D 为真命题．]10．有以下说法，其中正确的为( ) A ．“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件 B ．“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的必要条件 C ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件 D ．“x ＞3”是“x 2＞4”的充分条件ACD[A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确．因为“x∈A”“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确．由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x ＝3”的必要条件；D正确．由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．]11．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可为()A．－3 B．－1C．1 D．3BC[∵f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，①当a＞0时，f(a)·f(－a)＝[f(－a)]2＝(－a－1)2＝4，解得，a＝1或a＝－3(舍)；②当a＜0时，f(a)·f(－a)＝[f(a)]2＝(a－1)2＝4，解可得，a＝－1或a＝3(舍)，综上可得，a＝－1或1，故选BC.]12．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是()A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．1f（x）在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)CD[A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数1f（x）在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a ，b ]上有最小值cf (a )，D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．不等式－2x 2＋x ＋3＜0的解集为________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞[化－2x 2＋x ＋3＜0为2x 2－x －3＞0，解方程2x 2－x－3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3＞0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.]14．已知函数f (x )＝5－xx ，则f (1)＝________，函数y ＝f (x )的定义域为________．(本题第一空2分，第二空3分)2 (－∞，0)∪(0，5][函数f (x )＝5－x x ，则f (1)＝5－11＝2，令⎩⎨⎧5－x ≥0，x ≠0，解得x ≤5且x ≠0， ∴函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，5].]15．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54[y ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0， 作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.]16．设函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题： ①f (x )一定是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图像一定关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |.其中正确命题的序号是________．③[若a ＝1，b ＝1，则f (x )＝|x 2－2x ＋1|＝x 2－2x ＋1，显然f (x )不是偶函数，所以①错误；若a ＝－1，b ＝－4，则f (x )＝|x 2＋2x －4|，满足f (0)＝f (2)，但显然f (x )的图像不关于直线x ＝1对称，所以②错误；若a 2－b ≤0，则f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝x 2－2ax ＋b ，此时函数f (x )的图像是开口向上的抛物线，且抛物线的对称轴是直线x ＝a ，所以f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以③正确；显然函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )没有最大值，所以④错误．故填③.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－2x x －7＞0，B ＝{x |x 2－4x ＋4－m 2≤0，m ＞0}．(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝B ，某某数m 的取值X 围．[解](1)若m ＝3，解得：A ＝(2，7)，B ＝[－1，5]， 所以A ∩B ＝(2，5]；(2)由题意得：B ＝[2－m ，2＋m ]， 又因为A ∪B ＝B ，有A ⊆B ，则有：2－m ≤2①；2＋m ≥7②；m ＞0③；同时成立． ∴m ≥5.18．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值X 围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值． [解](1)依题意，得Δ＝b 2－4ac ≥0， 即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为k≤1 2，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1).解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.综合①②可知k＝－3.法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1).由(1)可知k≤12，所以2(k－1)<0，即x1＋x2<0.所以－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋1x＋1，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0).(1)判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；(2)若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)＝f(m)成立，某某数a 的取值X围．[解](1)函数f(x)在[0，1]上单调递增，证明如下：设0≤x1＜x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1＋1－x2－1x2＋1＝(x1－x2)＋x2－x1（x1＋1）（x2＋1）＝（x1－x2）（x1x2＋x1＋x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增． (2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增， 所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]. 依题意，只需⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆[5－2a ，5－a ]所以⎩⎪⎨⎪⎧5－2a ≤1，5－a ≥32，解得2≤a ≤72， 即实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值X 围． [解](1)因为m ＝1，所以f (x )＝x 2－x －2. 所以x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0， 解得x ≤－1或x ≥2.故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}．(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立等价于m ≤x 2－3x －2在(2，＋∞)上恒成立．因为x ＞2，所以x －2＞0，则x 2－3x －2＝（x －2）2＋4（x －2）＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋4≥2（x －2）·1x －2＋4＝6.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 故m 的取值X 围为(－∞，6].21．(本小题满分12分)某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值X 围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？[解](1)根据题意，得y ＝(2400－2000－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4×x 50，即y ＝－225x 2＋24x ＋3 200.(2)由题意，得－225x 2＋24x ＋3 200＝4 800， 整理得x 2－300x ＋20 000＝0， 解得x ＝100或x ＝200，又因为要使消费者得到实惠，所以应取x ＝200， 所以每台冰箱应降价200元．(3)y ＝－225x 2＋24x ＋3 200＝－225(x －150)2＋5 000， 由函数图像可知，当x ＝150时，y max ＝5 000，所以每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5 000元．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件：①f (x )在D 上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ].那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由；(2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，某某数k 的取值X 围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)[解](1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎨⎧－a 3＝b ，－b 3＝a ，解得a ＝－1，b＝1，所以存在区间[－1，1]满足②， 所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足② 即：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋a ＋2＝a ，k ＋b ＋2＝b .即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根， a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根． 且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f （k ）≥0，Δ>0，2k ＋12>k ，解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值X 围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.。