极限存在准则.两个重要极限33页PPT

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第六节两个重要极限 PPT资料共30页

称数列 y n 为单调增加数列；若对如何正整数 n ，恒有
单单调调减增少加数数列列
y n f ( n ) y n 1 f ( n 1 )
称数列 y n 为单调减少数列。
数单列调
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第二章极限与连续
【定义】有界数列
若存在两个常数 m 和 M(mM) ，使对任
x
2
limcosx1, limsinx 1
x 0
x0 x
证毕。
例4 计算 lim ta n x
x0 x
sin x
解
limtanxlimsinx
lim
x 0
x
1
x 0 x x 0xcosx l i m c o s x
x 0
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第二章极限与连续
例5
计算
sinkx lim
a0,
求
lim
n
xn
解利用极限存在的准则
xn1

1 2(xn

a )
xn

xn
a xn

a
x n1 xn
1 (1 2
a
x
2 n
)

1 (1 2
a) a
1
所以数列单调递减有下界，故极限存在。
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第二章极限与连续
设 lni mxn A,
A 1( A a ) 2A
备用题
第二章极限与连续
1.填空题
1) limsinx__0___; 2) limxsin1__1__;
x x
x
xห้องสมุดไป่ตู้
3) limxsin1__0__; 4) lim(11)n_e__1_;

极限存在准则与两个重要极限.ppt

a,
lim
n
zn

a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
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当n
N
时恒有
1
yn
a
,
当n

N
时恒有
2
zn

a

,
取 N max{N1 , N2 }, 上两式同时成立,
4、1 ； 3
8、1 ； e
4、e 1 ；
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lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn

2
.
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二、函数极限与数列极限的关系
定理2
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三、柯西收敛准则
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn

1
1
1 2!

1 n!

1

1

1 2

1 2n1

3

1 2n1

3,
x 是有界的; n
1! n 2! n2

0106极限存在准则与两个重要极限-PPT精选文档

第六节极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则
1. 夹逼准则准则1 若数xn列 ,yn,zn满足下列 : 条件
(1 )y nx n zn ;(nN0); (2 )n l i y m n n l i z m n A ; 则n l i m xnA.
yn A xn zn
x
证 y n A , z n A ,
lim(11)e
令t 1,
lim (1x)1 xlim (11)t e.
x
x 0
t t
1∞
1
lim(1x)x e
x0
例5 求lim(11)x. x x
1∞
lim(11)e
解原式 lim [1 (1)x]1
x x
lim x (1
则 lim f(x)A. x a
yA
yA
yA
yh(x) yf(x) yg(x)
x0 x 0 x0
准则 1和准则1 ′称为夹逼准则.
例1 求 li(m 1 1 1).
n n 2 1 n 2 2
n 2 n
解
n2 nnxn
n ,
n21
sin x
lim ( x 0
x 2 )2
1.
2
2
2
例4 求 alitm ax,n blitm a 2x n .
x 0 x
x 0si3x n
解 alim sinx 1 1, x0 x coxs
blim 1si2 x n 3 x2 x11122. x 0co 2 xs2 x si3 x n3 x 1 3 3
x 0
x 0
limsinx1. x0 x
limsin1 0