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临界问题

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高三物理第二轮复习专题8、临界问题的研究一、”达到最大速度”的临界条件：【例1】如图所示,一个质量为m 的物体固定在劲度系数为k 的轻弹簧的右端,轻弹簧在左端固定在墙上,水平向左的外力推物体把弹簧压缩,使弹簧长度被压缩了b,具有弹性势能为E,在下述两种情况下,求在撤去外力后物体能够达到的最大速度? （1）地面光滑。

（2）物体与地面的动摩擦因数为μ。

【训练1】如图所示,一个弹簧的两端分别固定着质量为m 的物体A 和质量为2m 的物体B,置于光滑水平面上。

水平向左的力F 把它们挤在竖直墙边。

撤去F ，物体B 首先开始运动，后来物体A 也开始运动。

此后，当A 的运动速度达到最大值时， （A ）弹簧的弹性势能是零。

（B ）物体A 和B 的速度相等（C ）物体B 的速度最小。

（D ）处在弹簧的长度正在缩短的过程中【训练2】图中abcd 是一个固定在U 形金属框架，ab 和cd 边都很长，bc 边长为L ，框架的电阻可不计。

ef 是放置在框架上与bc 平行的导体杆，它可在框架上自由滑动（摩擦可忽略），它的电阻为R 。

现沿垂直于框架颊的方向加一恒定的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里。

当以恒力F 向右拉导体杆ef 时，导体杆运动的最大加速度和最大速度各是多少？【训练3】一竖直绝缘杆MN 上套有一带正电q ，质量为m 的小铜环，环与杆之间的动摩擦因数为μ，杆处于水平匀强电场和水平匀强磁场共存的空间，如图所拉，电场强度为E ，磁感应强度为B,电场和磁场方向垂直。

当自由释放小铜环后，它就从静止开始运动，设场ad【例2】如图所示，在水平面的左端立着一堵竖直的墙A ，把一根掘劲系数是k 的弹簧的左端固定在墙上，在弹簧右端系一个质量为m 的物体1。

紧靠着1放置一个质量也是m 的物体2，两个物体在水平地面的动摩擦因数都是μ，用水平外力F 推物体2压缩弹簧（在弹性限度内），使弹簧从原长（端点在O ）压缩了s ，这时弹簧的弹性势能为E P ，弹簧1和2都处于静止状态。

然后撤去外力F ，由于弹簧的作用，物体开始向右滑动。

当物体2与1分离时，物体2的速率是多大？物体2与1分离后滑行多大距离？设弹簧的质量以及1和2的宽度都可忽略不计。

【训练4】物体的质量为25㎏，放在静止的升降机的底板上，物体的上端与一根轻弹簧相连，弹簧的另一端吊在一个支架上，如图所示。

测得物体对升降机底板的压力是200N 。

当升降机在竖直方向上如何运动时，物体可能离开升降机的底板？（g 取10m/s 2）【训练5】如图所示，一个劲度系数为k=4.0×104 N/m 的轻弹簧竖直的固定在水平地面上，质量M=1㎏的木板B 固定在弹簧的上端，处于水平状态，质量m=1㎏的物体A 放在木板B 上。

竖直向下的力F 作用在A 上，将弹簧压缩（在弹性限度内）至比原长短4.0cm ，弹簧的弹性势能（表达式为 221kx E p =）为32J 。

当突然撤F 时，物体A 和B 分离后上升的最大高度。

【训练6】质量为m 的小物体，用轻弹簧固定在光滑的斜面体上，斜面的倾角为θ ，如图所示。

使斜面体由静止开始向右做加速度缓慢增大的变加速运动，已知轻弹簧的劲度系数为k【例3】一旅客列车正以速度v 1沿平直轨道行驶，司机看到在前方有一列货车以较小的速度v 2在同一轨道上同方向匀速前进。

当客车车头与货车车尾相距为d 时，客车司机开始刹车，客车做匀速减速运动。

问刹车后车的加速度的大小满足什么条件，客车才不致与货车相撞？【训练7】如图所示，甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。

甲和他的冰车的质量共为M=30㎏，乙和他的冰车的质量也为M=30㎏。

游戏时，甲推着一个质量为m=15㎏的箱子，和他一起以大小为v 0 =2.0m/s 的速度向右滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。

为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。

若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。

【训练8】在光滑水平轨道上有两个半径都是r 和小球A 和B ，质量分别为m 和2m 。

当两球心间距离大于L （L 比2r 大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L 时，两球间存在相互作用的恒定斥力F 。

设A 从远离B 球处以速度V 0 沿两球连心线向原来静止的B 球运动，如图所示。

欲使两球不发生接触，V 0 必需满足什么条件？四、刚好运动到某一位置的临界条件【例4】如图所示，一质量为M 、长为L 的长方形木板B 放在光滑水平地面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m<M 。

现以地面为参照系给A 、B 以大小相等、方向相反的初速度，使A 开始向左运动、B 开始向右运动，最后A 刚好没有滑离B 板。

以地为参照系。

（1）若已知A 和B 的初速度大小v 0 ，求它们最后的速度的大小和方向。

（2）若初速度大小未知，求小木块A 向左运动到达的最远处（从地面上看）离出发点的距离V 0【训练9】如图所示，两平行金属板间的距离为d ，板长为L ，在平行板间垂直纸面向外的匀强磁场，现有一带电量为q ，质量为m 的粒子（重力不计）以速度v 0 沿两平行板的中线进入磁场，要使带电粒子打在金属板上，匀强磁场的磁感应强度B 的大小为多少？五、“刚好不动”的临界条件【例5】如图所示，物体A 质量为m ，物体与竖直墙面的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦f m =μN ）,用一个与水平成θ 角的力F 作用在物体A 上，要使物体A 静止于墙上，求作用力F 的取值范围。

【训练10】将一个物体放在斜面上，沿斜面方向向上施加一个拉力T ，才能使物体在斜面上静止。

为了使物体在斜面上保持静止，所加拉力T 的最小值为T 1 ，最大值为T 2 ，如图所示。

则物体受到斜面的最大静摩擦力的大小是【训练11】如图所示，质量为3m 的物体A 和2m 物体B 叠放在光滑水平地面上，在水平力作用下一同加速运动。

若水平拉力作用在物体B 上，当拉力增大到F 1 时，两个物体刚好开始相对滑动。

若拉力作用在物体A 上，当拉力增大到F 2 时，两物体开始相对滑动，则F 1 ：F 2 =__________。

【训练12】如图所示，总长为L 的轻绳两端各系一个重G 的小圆环，两环均套在同一水平直杆上，在轻绳的中点挂一重为2G 的物体。

已知圆环与杆间的最大静摩擦力可达两者之间正压力的0.5 倍，求两环在杆上静止时它们的最大距离多大？ 六、“某物理量达到极值”的临界条件【例6】如图所示，一个弹簧的两端分别固定一个质量为2m 的物体A 和一个质量为m 的物体B ，置于光滑水平面上。

水平向左的力F 把它们挤在竖直墙边时弹簧的弹性势能为E 。

撤去F 后，物体B 首先开始运动，后来物体A 也开始运动，求从A 开始运动以后，弹簧的最大弹性势能。

【训练13】如图所示电路，已知电源电动势E=6.3v ,内电阻r=0.50 Ω , 固定电阻R 1=2.0 Ω、 R 2 =3.0Ω, R 3 是阻值为5.0Ω的滑动变阻器,按下电键K 调节滑动变阻器的触点,求通过电源的电流范围。

【训练14】如图所示，一带电质点质量为m 、电量为q ，以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

R 1V V xy O ba【训练15】在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。

这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。

两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态；在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板p ，右边有一小球C 沿轨道以速度V 0 射向B 球，如图所示。

C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D ，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。

然后，A 球与挡板p 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动，A 与P 接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。

已知A 、B 、C 三球的质量均为m 。

（1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度。

（2）求在A 球离开挡板p 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

【训练16】如图所示图（a ）中A 、B 是真空中相距为d 的两平行金属于板，在t=0时加上图（b ）所示的交变电压，使开始时A 板电势高于B 板，这时在紧靠B 板处有初速为零的电子（质量为m,电量为e ）在电场力作用下开始运动，欲使电子A 板时具有最大的动能，则所加交变电压频率的最大值是多少？【训练17】一自行车以10m/s 的速度向前行驶，它前方有一辆汽车停着。

当它行驶到离汽车还有60m 时，汽车以1m/s 2 的加速度匀加速行驶，试问：（1）自行车能否追上汽车？（2）什么时候自行车和汽车相距最近？最近距离多大？a七、与绳相关的临界条件：【例7】如图所示，一个质量为m 的小球，用两根等长的细绳1、2连接车厢的A ，C 两点，已知两绳拉直时，与车厢前壁的夹角均为450 ，试求当车厢以加速度a=g 22向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力。

【训练18】如图所示，两根绳的一端分别固定的墙上的A 点和B 点，另一端连结在C 点，AC 长40㎝，BC 长20㎝。

在C 点悬挂一个重20N 的物体，并在C 点作用一个与AC 垂直和力F ，使两根绳都处于直的状态，求F 的大小。

【训练19】如图所示，一轻绳上端系在车的左上角的A 点，另一轻绳一端系在车左端B 点，B 点在A 点正下方，A 、B 距离为b ，两绳另一端在C 点相结并系一质量为m 的小球，绳AC 长度2b ，绳BC 长度b 。

两绳能够承受的最大拉力为2mg 。

求：（1）绳BC 刚好被拉直时，车的加速度是多大？（2）为不拉断轻绳，车向左运动的最大加速度是多大？A F。

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第五讲：圆周运动临界问题

第五讲：圆周运动临界问题

第五讲：圆周运动临界问题物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态.1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F m＝m v2 r，静摩擦力的方向一定指向圆心．(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．例、如图所示，质量相等的A、B物体置于粗糙的圆盘上，圆盘的摩擦因数为μ，A、B通过轻绳相连，随圆盘一起做圆周运动且转动的角速度ω由0逐渐增大，A的转动半径为r，B的转动半径为2r，重力加速度为g，分析：①A、B滑动的临界角速度大小；①此时若A、B间轻绳被拉断，分析A、B的运动情况.【解析】①方法一：整体法：2μmg=mrω2+m·2r·ω2方法二：等效质点法：质心在AB的中点处【例题】如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑最大静摩擦力提供向心力：2μmg =2m·32r·ω2，故临界角速度：ω=μg 3r. ①绳断瞬间：A 的向心力小于最大静摩擦力，故仍做圆周运动；B 的向心力大于最大静摩擦力，B 做离心运动.2．与弹力有关的临界极值问题(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零． (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．例、如图所示，用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T ，重力加速度为g ，分析：F T 随ω2变化的图像.【解析】情况一：a ≤g tan θ，小球与锥面接触，对小球受力分析，将向心加速度分解到沿绳方向和垂直绳方向.则有：T =m g cos θ+ml sin 2θω2，N =mg sin θ－12ml sin2θω2情况二：a >g tan θ，小球离开锥面，绳力T =mlω2 故T 与ω2的函数图像如图所示.【例题】一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B ，绳长AB ＝l >h ，小球可随转动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是(重力加速度为g )( )A.12πg hB.πghC.12πg l针对训练题型1：摩擦力有关的临界问题1．如图，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g 取10m/s2）（多选）2．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A．当ω＜时，绳子没有弹力B．当ω＞时，A、B仍相对于转盘静止C．ω在＜ω＜范围内时，B所受摩擦力大小不变D．ω在0＜ω＜范围内增大时，A所受摩擦力大小先不变后增大（多选）3．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（）A．此时绳子张力为3μmgB．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外C．此时圆盘的角速度为D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动4．如图所示，表面粗糙的水平圆盘上叠放着质量相等的两物块A、B，两物块到圆心O的距离r＝0.2m，圆盘绕圆心旋转的角速度ω缓慢增加，两物块相对圆盘静止可看成质点．已知物块A与B间的动摩擦因数μ1＝0.2，物块B与圆盘间的动摩擦因数μ2＝0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（）A．根据f＝μF N可知，B对A的摩擦力大小始终等于圆盘对B的摩擦力大小B．圆盘对B的摩擦力大小始终等于B对A的摩擦力大小的2倍C．圆盘旋转的角速度最大值ωmax＝rad/sD．如果增加物体A、B的质量，圆盘旋转的角速度最大值增大（多选）5．如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的A、B两个物块，B物块用长为0.25m的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。

圆周运动——临界问题

圆周运动——临界问题

当v>v0，杆对球有向下的拉力。
mg
F1
此时最低点的速度为：
问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？
F支=mg
此时最低点的速度为：
结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。
四、圆周运动的周期性 利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ） A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求： （1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力什么时候内外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
常见动量守恒中的临界问题

常见动量守恒中的临界问题

常见动量守恒中的临界问题
1.滑块与小车的临界
如图所示，滑块冲上小车后，滑块做减速运动，小车做加速运动，滑
块刚好不滑出小车的临界条件是滑块运达小车的右端时，滑块与小车
的速度相等。

2.涉及弹簧的临界问题
对于如图所示的由弹簧组成的系统，当物体A与弹簧作用后，物体A做减速运动，物体B 做加速运动，二者的间距逐渐减小，弹簧的压缩量逐渐增大，在二者
发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，两个物体的速度相
等。

3.涉及弧形槽的临界问题
如图所示在小球滑上带弧面的小车（小车放在光滑的水平面上）的过程中，
由于弹力的作用，小车在水平方向将做加速运动，小球做减速运动。

小球
在弧面上滑到的最高点的临界条件是小球与小车沿水平方向具有共同速度，
小球在竖直方向分速度等于零。

4.相向运动的两物体不相撞的临界问题
如图所示甲乙两人各乘一辆冰车在光滑水平冰面上滑冰。

两人迎面滑
来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙
迅速抓住。

两冰车恰好不相撞的条件是乙接到箱子后两冰车的速度相
等。

临界问题

临界问题

临界问题在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。

这类问题称为临界问题。

在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。

1．如图所示，在倾角为θ的粗糙斜面上，有一个质量为m 的物体被水平力F推着静止于斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan θ，若物体恰好不滑动，则推力F 为多少？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力) 2如图所示，m A =1kg ，m B =2kg ，A 、B 间静摩擦力的最大值是5N ，水平面光滑。

用水平力F 拉B ，当拉力大小分别是F =10N 和F =20N 时，A 、B 的加速度各多大？解析：先确定临界值，即刚好使A 、B 发生相对滑动的F 值。

当A 、B 间的静摩擦力达到5N 时，既可以认为它们仍然保持相对静止，有共同的加速度，又可以认为它们间已经发生了相对滑动，A 在滑动摩擦力作用下加速运动。

这时以A 为对象得到a =5m/s 2；再以A 、B 系统为对象得到 F =（m A +m B ）a =15N（1）当F =10N<15N 时， A 、B 一定仍相对静止，所以2BA B A 3.3m/s =+==m m F a a （2）当F =20N>15N 时，A 、B 间一定发生了相对滑动，用质点组牛顿第二定律列方程：B B A A a m a m F +=，而a A =5m/s 2，于是可以得到a B =7.5m/s 23.一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s 2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.命题意图：考查对牛顿第二定律的理解应用能力、分析推理能力及临界条件的挖掘能力。

错解分析：对物理过程缺乏清醒认识，无法用极限分析法挖掘题目隐含的临界状态及条件，使问题难以切入.解题方法与技巧：当加速度a 较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度a 足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a =10 m/s 2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a 0.（此时，小球所受斜面支持力恰好为零）由mg cot θ=ma 0所以a 0=g cot θ=7.5 m/s 2因为a =10 m/s 2＞a 0所以小球离开斜面N =0，小球受力情况如图，则Tc os α=ma ， T sin α=mg所以T =22)()(mg ma +=2.83 N ，N =0.4.如图1—1所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求：（1）物体在水平面上运动时力F 的值；（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。