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两点间的距离与点到直线的距离

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北师大版高中数学教材（必修2）同步练习
第二章解析几何初步
§1直线与直线的方程（三）
（两点间的距离与点到直线的距离）
一．选择题：
1．已知两定点A(－3，5)，B(3，13)，则 ||AB =
A ．10
B ．8
C ．18
D ．
2．点P (,)m n m --到直线n
y m x +=1的距离等于( ) A ．22n m + B ． 22n m - C ． 22n m +- D ．22n m ±
3． 设A 、B 两点是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则PB 的方程为
A ．05=-+y x
B ．012=--y x
C ．042=--x y
D ．072=-+y x
4．已知点(3，m)到直线x+3y －4=0的距离等于1，则m 等于
A ． 3
B ．－3
C ．－33
D ．3或－
3
3 5．直线l 过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是 A ．4+60x y -= B ．460x y +-=
C ．3270x y +-=或460x y +-=
D ．2370x y +-=或460x y +-=
6．点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足的是
A ．3256650x y -+=或740x y +=
B ．440x y -+=或4890x y -+=
C ．740x y +=
D ．440x y -+=
7．若点),4(a 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则a 的取值范围为
A ．)10,0(
B ．]10,0[
C ．]331,31[
D ．),(+∞-∞
8．已知两定点A(－3，5)，B(2，15)，动点P 在直线3440x y -+=上，当PA ＋PB 取 最小值时，这个最小值为
A ．513
B ．362
C ．155
D ．5＋102
二．填空题：
9．动点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则||PO 的最小值为
10．已知△ABC 顶点坐标为A(－3，0)，B （0，4），C （1，1）则△ABC 的面积为
11．与直线210x y ++=平行且距离为5
5的直线方程为 12．过点)2,1(-A ，且与原点距离等于2
2的直线方程为 ． 三．解答题：
13．在直线30x y +=上求一点P ，使它到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等。

14．已知两直线12:40,:(1)0l ax by l a x y b -+=-++=,若直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到1l 、2l 的距离相等，求a 、b 的值．
15．已知直线l 1：x y =，l 2：x y 3
3-=，在两直线上方有一点P ，已知P 到l 1，l 2的距离分别为22与32，再过P 分别作l 1、l 2的垂线，垂足为A 、B ， 求：
（1）P 点的坐标；（2）|AB|的值．
16．正方形的中心在C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x+3y －5=0，求其它三边所在的直线方程．
17．一动点(,)P x y ，以0(2,1)P -为起点，以v ＝2米/秒的速度沿着与直线0
33512=-+y x 垂直的方向作匀速直线运动，求P 点运动路线的方程，并求点P 到达已知直线时所需的时间．
18．在直角坐标中，设矩形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次排列，且O 、P 、Q 三点 的坐标分别是O(0,0)、(1,)P t 、 (12,2)Q t t -+，其中(0,)t ∈+∞．
（1）求顶点R 的坐标；
（2）求矩形OPQR 在第一象限部分的面积()S t ．。

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极坐标下两点间的距离公式、点到直线间的距离公式及其应用

极坐标下两点间的距离公式、点到直线间的距离公式及其应用

极坐标下两点间的距离公式、点到直线间的距离公式及其应用人教A 版选修4-4中极坐标部分内容有好多求极坐标下两点间的距离和点到直线的距离的问题，我们一般都是把点极坐标与直线的极坐标方程化为直角坐标和方程，然后利用直角坐标下的公式来解决的。

那么，能不能直接利用极坐标来解决这两个问题呢？答案是肯定的。

下面我们分别来说明。

一.极坐标下两点间的距离公式及其应用1.结论一：设两点的极坐标分别是A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2），则221212212cos -AB ρρρρθθ=+-（）证明：如图，设两点的极坐标分别是A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2），且ρ1>0,ρ2>0在△AOB 中，由余弦定理，得222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠221212212cos -ρρρρθθ=+-（）说明：也可以把点的极坐标化为直角坐标，用直角坐标下两点间的距离公式得证。

2.应用例1.在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解：|AB |＝12＋22－2×1×2co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ 5. 例2.求圆心在C ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为1的圆的极坐标方程． 解：设圆C 上任意一点的极坐标为M (ρ，θ)，如图，在△OCM 中，得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos∠COM ＝|CM |2，即ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0. 当O ，C ，M 三点共线时，点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2±1，π4也适合上式， 所以圆的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1＝0. 二.极坐标下点到直线的距离公式及其应用1.结论二:在极坐标系中，设()11,p ρθ ，直线l 方程为22sin()a ρθϕ=+ 则点P 到直线l 的距离为112sin()-d a ρθθ=-证明:将()11,p ρθ化成直角坐标为1111(cos ,sin )ρθρθ 由直线l 方程222(sin cos cos sin )a ρθϕθϕ+=即2222sin cos cos sin a ρθϕρθϕ+=化成直角坐标系由点到直线的距离公式，可得sin cos 0x y a ϕϕ+-= 111122cos sin sin cos cos sin ad ρθϕρθϕϕϕ+-=+11sin()a ρθϕ=+- 2.应用:例1.已知直线的极坐标方程为2sin()4ρθ+=π 7(2,)4A π到这条直线的距离。

两点间直线距离公式

两点间直线距离公式

两点间直线距离公式在我们的日常生活中，我们经常需要计算两点之间的距离，这是因为我们需要了解两个地点之间的距离才能规划工作及生活安排。

当我们分析地图或规划旅行路线时，计算两点之间的距离就变得尤其重要。

要计算两点之间的距离，我们可以使用直线距离公式。

这个公式通过两点的坐标计算它们之间的距离。

直线距离公式是数学和物理学中最基本的公式之一，它是由勾股定理推导而来的。

具体而言，假设我们需要计算两点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 之间的距离。

公式如下：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]在这个公式中，“√”代表开方符号，“x1”和“y1”代表第一个点的坐标，而“x2”和“y2”则代表第二个点的坐标。

通过将这些值代入直线距离公式中，我们可以计算出两点间的距离。

例如，如果我们需要计算点 P(3, 4) 和 Q(6, 8) 之间的距离，我们可以使用上述公式：d = √[(6 - 3)² + (8 - 4)²] = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点 P 和点 Q 之间的距离是 5。

需要注意的是，直线距离公式只适用于两点之间的直线距离。

在现实生活中，这种情况并不总是适用。

例如，如果我们需要计算一个人从一座大楼到达另一座大楼的距离，该楼房之间的距离和建筑物本身的形状就可能需要考虑。

不过，即便如此，直线距离公式对于计算最短路径和总体距离等问题仍然具有十分重要的作用。

在实践中，许多地图和路线规划工具都使用这种公式来计算两点之间的距离。

总的来说，直线距离公式对我们计算两点之间的距离具有极大的帮助。

如果你需要计算任何两个地点之间的距离，无论是为了计划出行路线还是规划别的事物，都可以使用该公式。

好好利用这项工具，它会为你提供有用的数值和信息。

高中数学两点间的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册

高中数学两点间的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册


证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
证明 如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设
A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
或 c=-9(舍),
-3
则
=
-3-3
=-2.故选
3
A.
|3+|
32 +32
= √2,解得 c=3
规律方法 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3
已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 √2 ,求l1的方程.
第二章
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
1.掌握平面上两点间的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
规律方法 两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问
题,体现了数形结合思想的应用.
变式训练1
已知点A(-3,4),B(2, √3 ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版(五四学制)

三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版(五四学制)

教案标题：三年级下册数学教案-7 两点之间的距离及点到直线的距离-青岛版（五四学制）一、教学目标1. 让学生理解并掌握两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。

2. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 两点之间的距离2. 点到直线的距离三、教学重点与难点1. 教学重点：两点之间的距离及点到直线的距离的计算方法。

2. 教学难点：如何引导学生理解并运用这些计算方法。

四、教学过程1. 导入在黑板上画出两个点A和B，让学生思考如何计算点A和点B之间的距离。

引导学生回顾已学的长度单位，如厘米、米等，并提示学生可以使用直尺来测量两点之间的距离。

2. 新课导入介绍两点之间的距离的概念，并给出计算公式：两点之间的距离等于两点间的直线距离。

用具体的例子进行演示，如点A(2,3)和点B(5,7)，计算它们之间的距离。

3. 活动一：计算两点之间的距离让学生分组，每组发一张坐标纸和几个点，让学生自己在坐标纸上画出几个点，并用直尺测量它们之间的距离。

然后，让学生计算这些距离，并核对自己的测量结果。

4. 活动二：点到直线的距离引导学生思考如何计算一个点到一条直线的距离。

首先，让学生画出一条直线和一点，然后用直尺测量这个点到直线的最短距离。

接着，给出点到直线的距离的计算公式：点到直线的距离等于点到直线的垂线的长度。

5. 活动三：应用出示一些实际问题，如计算点到直线的距离、计算两点之间的距离等，让学生运用所学的知识来解决这些问题。

6. 总结对本节课所学的内容进行总结，强调两点之间的距离和点到直线的距离的计算方法，并提醒学生在解决实际问题时要注意单位的转换。

五、作业布置1. 让学生完成课后练习题。

2. 让学生回家后，观察身边的物体，尝试计算两个物体之间的距离。

六、教学反思1. 在教学过程中，要注意引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的实际操作能力。

2. 在讲解点到直线的距离的计算方法时，可以结合具体的例子进行讲解，帮助学生理解。