方差分析的基本假定与数据转换

方差分析的基本假定与数据转换
• 方差分析的基本假定 • 数据转换
方差分析的前提
• 随机误差：独立、正态、等方差 • ①独立性：每组或水平组合内的个体之间 相互独立，可通过试验设计来保证; • ②正态性：每组或水平组合所代表的总体 服从正态分布，需要进行检验; • ③等方差性（方差同质）：每个正态总体 的方差相等，也需要进行检验。
转换前，均数大，标准差也大
总体方差与平均数成正比
转 换 后
1 1 23.2 2 20.5 3 19.4 4 17.7 合计 80.8 平均 20.2 标准差 2.31
区组 除 2 20.9 21.0 17.9 19.5 79.3 19.83 1.45
平方根转换
草 剂 合计 3 4 5 8.8 10.7 4.2 67.8 7.8 7.5 5.1 61.9 12.5 10.0 8.8 63.6 7.2 6.7 4.5 55.2 36.3 34.9 22.6 253.9 9.08 8.73 5.65 12.70 2.38 1.93 2.13
方差的稳定性转换 方法1：平方根转换
6.7.2
适用于总体方差与平均数成正比的情形， 例如总体服从普哇松分布。
设Y X 或Y X 1 或Y X X 1
转 换 前
区组 1 2 3 4 合计 平均 标准差
平方根转换
合计 1185 1013 1040 808 4052 202. 6
转换后，标准差的变化不大
6.7.2
方差的稳定性转换
方法2：对数转换 适用于总体标准差与平均数成正比的情形， 各样本方差的差异较大，而变异系数相近。
设 Y log X 或 Y log(X 1)
转 换 前
人员 1 2 3 4 平均 标准差 变异系数

方差分析方差分析是比较多个总体的均值是否相等，但本质上它所研究的是变量之间的关系。

在研究一个（或多个）分类型自变量与一个数值型因变量之间的关系时，方差分析就是其中的只要方法之一。

一、方差分析引论假设需要检验4个总体的均值分别为4321,,,μμμμ，如果用一般假设检验方法，如t 检验，一次只能研究两个样本，要检验4个总体的均值是否相等，需要做6次检验，如果在0.05的置信水平下检验，每次检验犯第Ⅰ类错误的概率都是0.05，检验完成时，犯第Ⅰ类错误的概率会大于0.05，即连续作6次检验第Ⅰ类错误的概率为6)1(1α--=0.265,而置信水平则会降低到0.735（即695.0）。

随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加（并非均值真的存在差别）。

而方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累计的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设。

1、方差分析及其有关术语方差分析：就是通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。

例1：为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在零售业、旅游业、航空公司、家电制造业分别抽取了不同的企业作为样本。

其中零售业7家，旅游业抽取6家，航空公司抽取5家，家电制造业抽取5家。

最后统计出最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数。

如下表所示。

消费者对四个行业的投诉次数行业零售业 旅游业 航空业 家电制造业57 68 31 44 66 39 49 51 49 29 21 65 40 45 34 77 34 56 40 58 53 51 44要分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，实际上就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响，做出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等。

在方差分析中，要检验的对象称为因素或因子。

因素不同的表现称为水平或处理。

每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。

在例1中，“行业”是要检验的对象，称为“因素”或“因子”；零售业，旅游业，航空公司，家电制造业是行业这一因素的具体表现，称为“水平”或“处理”；在每个行业下得到的样本数据（被投诉次数）称为观测值。

这是一个服从二项分布的发芽率资料， 且有低于30%和高于70%的，应先对发芽率
资料作反正弦转换，例如， sin1 0.943 =76.19， sin1 0.641 =53.19，转换结果
见表5-47。
对转换后的数据进行方差分析，得方差 分析表。
多重比较
用SSR法进行多重比较，见表5-49。
Sx
数据转换
如果试验资料不满足方差分析的三个 基本假定，不能直接进行方差分析，需先 进行数据转换再作方差分析。
数据转换的方法：平方根转换 、对数 转换和反正弦转换 。
平方根转换适用于各组方差与其平 均数之间有某种比例关系的资料，尤其 适用于总体呈普阿松分布的资料。
x或者 x 1
对数转换适用于各组数据的标准差或全 距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘 性而非相加性的资料。
lg x,ln x或者lg( x 1), ln( x 1)
反正弦转换适用于二项分布的资料。
sin 1 p
【例5-8 】 有3个玉米自交系48-2、S37 和ES40在相同条件下保存了两年。为了了解 其种子的生活力，每个自交系随机选取100粒 种子在培养箱内作发芽试验，重7次， 3 个 玉米自交系种子发芽率资料列于表5-46 ，试 对资料进行方差分析。
87.7500 7
3.54, dfe
18
SSR值LSR值，见表5-50。
对结论作解释时，应将各组平均数还原 为发芽率。
如表5-47 中平均数 53.27 根据 P=sin2x， 还原为64.2%；均数 32.58还原为29.0%；均 数28.56还原为22.8%。
从变换过的数据所算出的方差或标准差 不宜再换回原来的数据。
检验结果表明，48-2的种子发芽 率极显著高于 ES40 和 S37，S37与 ES40的发芽率差异不显著。

第四节 方差分析的基本假定和数据转换一、方差分析的基本假定所有进行方差分析的数据都可以分解成几个分量。

P131,例5-6这是一个样本，采用三种种植密度和五种施肥水平，这组资料具有三类原因或效应：（1）种植密度的原因或效应；（2）施肥水平的原因或效应；（3）试验误差的原因和效应（处理内和环境内的其它非可控因素的变异）。

在进行方差分析时有三个假定：1、可加性 处理效应与环境效应等具有可加性。

SS T =SS t +SS R + SS eDF T =DF t +DF R +DF e正是由于这一“可加性”，才有了样本平方和的“可加性”，亦即有了试验观测值总平方和的“可分解性”。

如果试验资料不具备这一性质，变量的总变异依据变异原因的分解将失去根据，方差分析不能正确进行。

2、正态性 是指所有试验误差是随机的，彼此独立的、具有平均数为0且作正态分布。

因为从一个总体中抽样，如果总体是正态分布总体，因此构成的新总体也是正态总体，也作正态分布。

只有在这样的条件下才能进行F 检验。

3、同质性 所有的试验处理必须有共同的误差方差，Se 。

方差分析中误差项的方差是将各处理的误差合并而获得的一个共同的误差方差，只有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验各处理差异显著性的共同的误差均方。

在进行施肥水平之间的F 检验时怎么假设？（例5-6）（1）假设H 0：σB 2=0对H A ：σB 2≠0（2））假设H 0：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5，H A ：μ1、μ2、μ3、μ4、μ5不全相等。

F=MS B /Mse=SS B /SSe=S 2B /S 2eSe 2=SSe/Dfe=（SS 1+SS 2+…+SS 5）/（V 1+V 2+…+V 5）同质性其实是全部都一样，全部都来自同一个总体，同质就是没有差异。

二、数据转换上述三点是进行方差分析的基本前提。

如果在进行分差分析前发现有某些异常的观测值、处理或区组，只要不属于研究对象本身的原因，在不影响分析正确性的条件下应予以删除。