离散数学总复习

离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。

例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。

例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。

例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。

例 求()r q p →→的主析取范式。

判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。

(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。

该结论是否有效？请说明原因。

在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。

或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。

小张守第一垒。

A 队没有成为联赛的第一名。

因此小李没有向B 队投球。

解：先将简单命题符号化。

P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。

前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。

根据以上事实，推断谁是盗窃犯。

（在命题逻辑中构造推理证明。

《离散数学》期末复习题一．选择题：1.下列句子为真命题的是（） A(a)能整除7 的正整数只有1 和7 本身。

(b) 胡戈由于导演了“无极”而于2005年获得奥斯卡金像奖。

(c) 买两张星期五去“大剧院”音乐会的票。

(d) 地球是宇宙中惟一存在生命的星球。

2．下列语句中是真命题的是（） DA．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） B A．⎤ P∧⎤ QB．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） BA．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．在公式（）F（x，y）→（y）G（x，y）中变元x是（） BA．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元6、下列语句不是命题的是（） AA.∀xP(x,y)B. ∀xP(x)C. （）F（x，y）→（y）G（x，y）D. ∀x (x2 - 1 > 0)7.集合X = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} 是（） DA) 自反的、 B) 传递的、 C) 等价的 D) 对称的8、设R 是X = {1, 2, 3, 4}上的关系，x, y ∈X，如果x ≤ y，则(x, y)∈R。

下列关于关系R的说法错误的是：（） AA)关系R是等价关系，B) 关系R 是自反的C) 关系R 是传递的 D) 以上都不是。

9、集合X = {a, b, c}上的关系 R = {(a, a), (b, b), (c, c)}是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的；D) 自反的、对称的和传递的10、令X={1,2,…,10}。

定义xRy的意义是3整除x-y。

则关系R是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的D) 自反的、对称的和传递的11、下列S不是集合X＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的一个划分的是（） DA)S＝{{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}B)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3,5}, {7, 8}}C)S＝{{1, 4, 5}, {2,3, 6}, {7, 8}}D)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}12、从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c, d}的函数 f = {(1, b), (3, a), (2,c)} 是( ) AA) 一对一的B) 映上的C) 双射D) 都不是13、设R是X＝{1, 2, 3, 4}上的关系，x, y∈X，如果x≤y，则(x,y)∈R。

离散数学综合复习资料一、判断题1.（）命题联结词{⌝，∧，∨}是最小联结词组。

2.（）（P∧Q）∧⌝P为矛盾式。

3.（）（（⌝P∨Q）∧（Q→R））→（P→R）为重言式。

4.（）A、B、C是任意命题公式，如果A∨C⇔B∨C，一定有A⇔B。

5.（）若集合A上的二元关系R是对称的，R C一定是对称的。

6.（）R是A上的二元关系，R是自反的，当且仅当r(R)=R。

7.（）集合A上的等价关系确定了A的一个划分。

8.（）有理数集是可数的。

9.（）若函数f，g为入射则其复合函数也为入射。

10.（）R是集合A上的关系，R有传递性的充要条件是RoR⊆R。

11.（）设<A，*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。

如果该代数系统中存在幺元e和零元θ，则e≠θ。

12.（）交换群必是循环群。

13.（）一个群可以有多个等幂元。

14.（）模格一定是分配格。

15.（）每个有向图中，结点入度数总和等于结点出度总和。

16.（）图G的邻接矩阵A，A l中的i行j列表示结点v i到v j长度为l路的数目。

17.（）任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。

18.（）有向图中，它的每一个结点位于且只位于一个单侧分图中。

19.（）任意平面图最多是四色的。

20.（）不存在既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。

二、填空题1．设P：“天下雨”，Q：“他骑自行车上班”，R：“他乘公共汽车上班”。

则命题“除非下雨，否则他就骑自行车上班”可符号化为。

“他或者骑自行车，或者乘公共汽车上班”可符号化为2．设N(x)：x是自然数；J(x)：x是奇数；Q(x)：x是偶数，用谓词公式符号化命题“任何自然数不是偶数就是奇数”。

3．设P(x)：x是运动员，Q(x)：x是教练。

则命题“不是所有运动员都是教练”可符号化为。

4．设D={a,b}；P(a,a)=P(b,b)=T；P(a,b)=P(b,a)=F。

则公式(∀x)(∃y)(P(x,y)→P(y,x))的真值是。

离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。

[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。

[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。

2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。

实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。

[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。

解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。

解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

1.证明永真公式Q14,Q15,Q16,Q17和Q18。

2.证明P(x)∧任意xQ(x)==>存在x(P(x)∧Q(x))3.设论述域是{a1,a2,a3,…an},试证明下列关系式。

(a) 任意xA(x)∧P<==>任意x(A(x)∧P)(b) 任意x(A(x)∧B(x))<==>任意xA(x)∧任意xB(x)(c) 存在x(A(x)∧B(x))<==>存在xA(x)∧存在xB(x)4.证明下列关系式(a) 任意x任意y(P(x)∨P(y))<==>任意xP(x)∨任意yP(y)(b) 存在x存在y(P(x)∧Q(y))==>存在xP(x)(c) 任意x任意y(P(x)∧Q(y))<==>任意xP(x)∧任意yQ(y)(d) 存在x存在y(P(x)－＞P(y)) <==>任意xP(x)－＞存在yP(y)(e) 任意x任意y(P(x) －＞Q(y)) <==>(存在xP(x)－＞任意yQ(y))5.写出limf(x)=k的定义的符号形式，并用形成定理两边的否定的方法，找出limf(x)不等x->c x->c于k的条件。

6.给定自然数集合N的下列子集：A={1,2,7,8}B={i|i平方<50}C={i|i可被30整除}D={i|i=2的k次方∧k∈I∧0≤k≤6}求下列集合(a)A∪(B∪(C∪D))(b)A∩(B∩(C∩D))(c)B-(A∪C)(d)(非A∩B) ∪D7.假定A≠空集和A∪B=A∪C，证明这不能得出B=C，假设中增加A∩B=A∩C，你能得出B=C吗？8．(a)证明“相对补”不是一个可交换运算，即证明存在一个论述域包含集合A和B，使A-B≠B-A。

(b)A-B=B-A可能吗？刻划上式出现的全部条件。

(c)“相对补”是一个可结合的运算马？证明你的断言。

9.证明下列恒等式(a)A∪(A∩B)=A(b)A∩(A∪B)=A(c)A-B=A∩非B(d)A∪(非A∩B)=A∪B(e)A∩(非A∪B)=A∩B10.设Sn={a0,a1,…,an}和Sn+1={a0,a1, …,an,an+1},试用p(Sn)和an+1表达出p(Sn+1)。

总复习题（一）一．单选题1 (C)。

一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。

、4 、5 、6 、72、 (A)。

如果一个简单图，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。

、1 、2 、3 、43、 (D)。

为无环有向图，为的关联矩阵，则（）。

、是的终点、与不关联、与关联、是的始点4、 (B)。

一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。

、9 、10 、11 、125、 (D)。

如果一个简单图，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中自补图有个。

、1 、2 、3 、46、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。

、13 、12 、11 、107、 (D)。

有向图的通路包括。

、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路8、 (D)。

一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。

、9 、10 、11 、129、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。

、13 、12 、11 、1010、 (D)。

有向图的通路包括。

、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路11、 (D)。

一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。

、9 、10 、11 、1212、 (B)。

为有向图，为的邻接矩阵，则。

、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５A B C D GG ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v je B i v j e C i v j e D i v j e A B C D GG ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５13、 (C)。

在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。

百度文库离散数学复习整理离散数学复习整理离散数学复习整理函数***重点掌握：单射、满射、双射函数的概念一、函数的概念（和数学里面函数的概念差不多）A为函数f的定义域，记为domf=A；f(A)为函数f的值域，记为ranf。

|f|=|A|f(x)表示一个变值，f代表一个集合，因此f≠f(x)。

⨯|A||B||A|从A到B的不同的关系有2个；但从A到B的不同的函数却仅有|B|个。

(个数差别) 每一个函数的基数都为|A|个(|f|=|A|)，但关系的基数却为从零一直到|A|×|B|。

二、特殊函数单射：对任意x,x∈A，如果x≠x，有f(x)≠f(x)，则称f为从A到B的单射（不同的x对应121212不同的y)；满射：如果ranf＝B，则称f为从A到B的满射；（B的定义域都能通过函数f(x)求到）双射：若f是满射且是单射，则称f为从A到B的双射。

若A＝B，则称f为A上的函数；当A上的函数f是双射时，称f为一个变换。

定理：8.2.1设A，B是有限集合，且|A|=|B|，f是A到B的函数，则f是单射当且仅当f是满射。

典型(自然)映射：设R是集合A上的一个等价关系，g：A→A/R称为A对商集A/R的典型(自然) 映射，其定义为g(a)＝[a]，a∈A.R恒等函数：如果A=B，且对任意x∈A，都有f(x)=x，则称f为A上的恒等函数，记为I。

A常值函数：如果∃b∈B，且对任意x∈A，都有f(x)=b，则称f为常值函数。

上取整函数：对有理数x，f(x)为大于等于x的最小的整数，则称f(x)为上取整函数(强取整函数)，记为f(x)= ；下取整函数：对有理数x，f(x)为小于等于x的最大的整数，则称f(x)为下取整函数(弱取整函数)，记为f(x)= ；三、函数的复合运算不满足交换律，但满足结合律1.函数f和g可以复合⇔ranf⊆domg；2.dom(fog)=domf，ran(fog)⊆rang；3.对任意x∈A，有fog(x)=g(f(x))。

总复习题1. 设︱A ︱=5, ︱P(B)︱=512, ︱P(A ∩B)︱=8, 则︱A ⊕B ︱＝ , ︱A ∪B ︱＝ 。

2. 设p :选小王当班长，q ：选小李当班长，则选小王或小李中的一人当班长可符号化为____。

3. 命题公式根据赋值可分为________________、________________和______________三类。

4. 含N 个个命题变项的命题公式有______________组赋值，有_____________个真值。

5. ()A A B ∨∧=______________，()A A B ∧∨=__________________。

6. 设{|3,,14}A x x k k N k ==∈≤≤，则用列举法表示A =________________________。

7. 集合A ={1，2}的幂集P (A )与A 的笛卡尔积()P A A ⨯=________________________________________________________________________________________________________。

8. 某无向图G 中，共有边15条，该图中共有5度顶点2个，4度顶点3个，剩下的均为2度顶点，则该图中共有顶点 个。

9. 一个结点为n 的无向完全图，其边的数目为 。

10．已知<Z 6, ⊕>是一个群，则这个群的幺元是 ，这个群当中，逆元和自身相等的元素有 。

11. 已知关系R 1＝{<a,a>,<a,c>,<b,d>,<c,b>},R 2={<c,a>,<b,c><a,d><d,b>}，写出下列关系 R 2◦R 1= ,R 13= 。

12、设Φ是一个空集，则下列之一哪一个不成立（①、Φ∈Φ②、Φ⊆Φ③、Φ∈{Φ}④、Φ⊆{Φ}13、如果命题公式G=P ∧Q ，则下列之一哪一个成立（①、G=⌝(P →Q) ②、G=⌝(P →⌝Q)③、G=⌝(⌝P →Q)④、G=⌝(⌝P →⌝Q)14、设X 、Y 是两个集合，|X|＝n ，|Y|＝m ，则从X 到Y 可产生（①、mn②、nm③、n m ⨯④、2m n⨯15、若复合映射τσ⋅是满射，则 ( )。