圆中的计算与证明进阶篇

圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2 (该结论为欧拉公式)所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、B;C、D, 则有PA ·PB=PC ·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2,L1 与圆交于A、B(可重合，即切线),L2 与圆交于C、D(可重合),则有PA ·PB=PC ·PD。

相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)相交弦说明几何语言：若弦AB 、CD 交于点P则PA ·PB=PC ·PD (相交弦定理)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P, 则PC^2=PA ·PB (相交弦定理推论)相交弦定理CADPo°B⊙O中，AB、CD 为弦，交于PPA ·PB=PC·PD连结AC、BD,证：△APC△DPB切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

几何语言：∵PT 切⊙O于点T,PBA 是⊙O的割线∴PT 的平方=PA ·PB (切割线定理)推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，P BA,PDC 是⊙O的割线∴PD·PC=PA ·PB (切割线定理推论)(割线定理)由上可知：PTA2 (平方)=PA ·PB=PC ·PD证明切割线定理证明：设ABP 是⊙O的一条割线，PT 是⊙O的一条切线，切点为T, 则PT^2=PA ·PB证明：连接AT,BT∵∠PTB=∠PAT (弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBTO△PTA (两角对应相等，两三角形相似)则PB:PT=PT:AP即：PT^2=PB ·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径. （1） 求证：OD ⊥CE ；（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．2、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，D 是⊙O 的切线CN 上一点，BD 交AC 于点E ，且BA= BD ．（1）求证：∠ACD=45°；（2）若OB=2，求DC 的长．3、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是OB 中点，过点D 作AB 的垂线交AC 的延长线于点F ．过点C 作⊙O 的切线交FD 于点E ． （1）求证：CE EF =；（2）如果3sin 5F =，25=EF ，求AB 的长．4、如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线EF ，交AB 和AC 的延长线于E 、F ．（1）求证：FE ⊥AB ；（2）当AE =6，sin ∠CFD =35时，求EB 的长．5、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线，与AB ，AC 的延长线分别交于点E ，F ，连结AD ． （1）求证：AF ⊥EF ； （2）若1tan 2CAD ∠=，AB =5，求线段BE 的长．6、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC ，交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF .（1）求证：AF 是⊙O 的切线； （2）已知⊙O 的半径为4，AF=3，求线段AC 的长E A O FP E CA B7、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC于点E ．（1）求证：∠CDE ＝90°；（2）若AB ＝13，sin ∠C ＝135，求CE 的长．8、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ,点D 在AB 边上且DE ⊥BE. (1)判断直线AC 与△DBE 外接圆的位置关系,并说明理由; (2)若,求BC 的长.9、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,以AC 为直径的☉O 与AB 边交于点D ,过点D 作☉O 的切线,交BC 于E.(1)求证:点E 是边BC 的中点; (2)求证:BC 2=BD ·BA ;10、如图，AB 是⊙O 直径，D 为⊙O 上一点，AT 平分∠BAD 交⊙O 于点T ，过T 作AD 的垂线交AD 的延长线于点C ．（1）求证：CT 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，3CT ，求AD 的长E CBOAD1、（1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB ．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在⊙O 上，∴∠EFC =90°． CE ⊥AB ，∴∠BEC =90°．∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠． ∴BF EF EF FC=．又DF =1，BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴22EF =．………………………………………………… 3分∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．由勾股定理，得2223BE BF EF =+=．……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==． ∴3AE =．……………………………………………………5分2、证明：∵C 是弧AB 的中点，∴弧AC=弧BC,∴AC=BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°,∴∠BAC=∠CBA =45°, 连接OC, ∵OC=OA, ∴∠AC0=45°. ∵CN 是⊙O 切线，∴∠OCD=90°,∴∠ACD=45°. ………………………………2分.(2) 解：作BH ⊥DC 于H 点，…………………………3分. ∵∠ACD=45°,∴∠DCB=135°, ∴∠BCH=45°, ∵OB=2，∴BA= BD=4,AC= BC=22．A EDCFO54123GEC FDA OB∵BC=22,∴BH= CH=2， 设DC=x,在Rt △DBH 中，利用勾股定理：2222)24x ++=（，………4分. 解得：x=223-±（舍负的），∴x=223-+， ∴DC 的长为：223-+……………………………5分. 3、（1）证明：连结OC ．∵CE 为切线，∴OC ⊥CE . ∴2390∠+∠=°.∵FD AB ⊥，∴190F ∠+∠=°．又∵OC =OA ，∴12∠=∠.∴3F ∠=∠.∴CE EF =.………………………………………..2分 （2）∵FD AB ⊥，3sin 5F =， 设3AD k =，5AF k =，可得4FD k =． ∵D 为OB 中点，∴DB k =．连结CB 交FD 于点G ．∵AB 为⊙O 直径，∴90ACB FCB ∠=∠=°． ∴F B ∠=∠．∵DB k =， ∴34GD k =，可得134FG k =．………………...3分 ∵90FCB ∠=°，∴534F ∠+∠=∠+∠． ∵3F ∠=∠，∴45∠=∠．∴CE EF EG ==． …… ……..……………………………. …..4分∵25=EF ，∴5=FG ．∴5413=K ，1320=k ．∴1380=AB ．……………………. …….5分 4、（1）证明：连接OD . （如图） ∵ OC =OD ，∴ ∠OCD =∠ODC . ∵ AB =AC ， ∴∠ACB =∠B . ∴ ∠ODC =∠B .∴ O D ∥A B . ………………………………………………………………1分 ∴ ∠ODF =∠AEF . ∵ EF 与⊙O 相切.∴ OD ⊥EF ，∴ ∠ODF =90°. ∴∠AEF =∠ODF =90°.HOABCDE∴ E F ⊥A B . ……………………………………………………………2分（2）解：由（1）知：OD ∥AB ，OD ⊥EF .在Rt △AEF 中，sin ∠CFD =AE AF = 35，AE =6. ∴ A F =10. …………………………………………………………………3分 ∵ OD ∥AB ，∴ △ODF ∽△AEF . ∴ AEODAF OF =. ∴10106r r-= . 解得r =154. ………………………………………………………………4分 ∴ AB = AC =2r =152. ∴ E B =A B －A E =152 －6= 32. ……………………………………………5分 5、（1）证明：连结OD ．∵直线EF 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥EF ．∵OA = OD ，∴∠1=∠3．………………………….. 1分 ∵点D 为BC 的中点， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD ∥AF ，∴AF ⊥EF ． ………………..………… 2分 （2）解：连结BD ． ∵1tan 2CAD ∠=， ∴1tan 12∠=，……………….………………..…… 3分 在Rt △ADB 中，AB =5， ∴BDAD=在Rt △AFD 中，可得DF =2，AF =4，∵OD ∥AF ，∴△EDO ∽△EF A ，….……………… 4分 ∴OD OEAF AE =， 又∵OD =2.5，设BE=x ， ∴2.5 2.545xx+=+，321OCBADFEEF DABCO123∴53x =，即BE =53．…………………….….……. 5分 6、（1）证明：连接 O C ， …………………..(1分)∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA =90°∵OF ∥BC ∴∠AEO =90°， ∴OF ⊥AC ，∵OC =OA ，∴∠COF =∠AOF ，∴△OCF ≌△OAF ∴∠OAF =∠OCF∵PC 是切线∴∠OCF =90°， ……………………..(2分) ∴FA ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线 ……………………..(3分)（2）∵⊙O 的半径为4，AF =3，FA ⊥OA ，∴OF =22OF OA =2234=5∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，∴AF ·OA = OF ·EA ， ………………………..(4分) ∴3×4= 5×EA ，解得AE =125， AC =2AE =245………………………..(5分)7、（1）证明：如图，连接OD ，∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，∴∠E DO ＝90°． ………………………1分∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 8、（2）如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ，∴BD CE ＝ABCD， ∴ABCDBD CE ⋅＝． ………………………4分∵AB ＝AC ＝13，AD ⊥BC ， ∴sin ∠ABC ＝AB AD ＝sin ∠C ＝135，9、(1)直线AC 与△DBE 外接圆相切.∵ DE ⊥BE ,∴ BD 为△DBE 外接圆的直径.取BD 的中点O (即△DBE 外接圆的圆心),连接OE.∴ OE=OB.E C OAD E C BOAD∴∠OEB=∠OBE.∵BE平分∠ABC,∴∠OBE=∠CBE.∴∠OEB=∠CBE.∵∠CBE+∠CEB=90°,∴∠OEB+∠CEB=90°,即OE⊥AC.∴直线AC与△DBE外接圆相切.。

01
总结词
利用切线的性质，即切线与半径垂直， 可以证明直线是圆的切线。
03
总结词
利用圆的性质，即圆心到圆上任一点的距离 相等，可以证明直线是圆的切线。
05
02
详细描述
切线的定义是直线与圆只有一个交点，因此， 如果直线与圆心的距离等于圆的半径，则该 直线是圆的切线。
04
详细描述
如果一条直线与半径垂直，那么这条 直线一定是圆的切线。
详细描述
这个公式是圆的周长计算的基础 ，它告诉我们如何通过已知的半 径来计算圆的周长。在数学和物 理中，这个公式被广泛应用。
圆的面积计算
总结词
面积是圆所占平面的大小，其计算公 式为A=πr²，其中r是圆的半径。
详细描述
这个公式是圆的面积计算的基石，它 告诉我们如何通过已知的半径来计算 圆的面积。这个公式在几何学和统计 学中被广泛应用。
• 总结词：通过证明一个点到两个圆的圆心的距离之和等于两个圆的半径之和或 之差，可以确定该点在两个圆的位置关系。
• 详细描述：如果一个点到两个圆的圆心的距离之和等于两个圆的半径之和，则 该点在两个圆内；如果一个点到两个圆的圆心的距离之和等于两个圆的半径之 差，则该点在两个圆外。
圆与直线的位置关系证明
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，相等的弧所对的圆心角相 等。
圆的定理
01
02
03
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条 弦，并且平分弦所对的两 条弧。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切 线，切线长相等。
切线定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
圆与圆的位置关系
外离
两圆没有公共点，且每一圆上 的点都在另一圆的外部。

圆的证明与计算范文圆是几何中的基本图形之一，它是平面上所有点与固定点之间距离保持不变的集合。

下面将从不同的角度对圆的性质进行证明，并介绍一些常见的圆的计算方法。

一、圆的性质及证明1.圆的定义证明对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合。

我们要证明E是一个圆。

证明：（1）任意取平面上的一点A，若A∈E，证明OA=r。

假设A∈E，则OA的长度等于A与O的距离，即OA=r。

因此，E是以O为圆心，长度为r的圆。

（2）任意取平面上的一点B，若OB=r，证明B∈E。

假设OB=r，则OB的长度等于B与O的距离，即OB=BO=r。

因此，B∈E。

由（1）和（2）可得，对于平面上的一个点O以及一个长度r，定义集合E为与O的距离为r的点的集合是一个圆。

2.圆心角的证明圆心角是指圆上两条射线所夹的角，它的度数等于弧所对的圆周角的度数。

我们要证明圆心角的度数等于所对弧的度数。

证明：任意取圆上两点A和B，以圆心O为顶点，连接OA和OB两条射线。

延长AO和OB分别与圆交于点C和D，则∠AOB是圆心角，∠ACB是所对弧所对的圆周角。

（1）∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。

由于AD是圆上的弧，所以∠ACO是所对弧AD的圆周角。

根据圆周角的性质，∠ACO的度数等于所对弧AD的度数。

（2）∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。

同样根据圆周角的性质，∠ACB的度数等于所对弧AD的度数。

由（1）和（2）可得，圆心角∠AOB的度数等于所对弧AD的度数。

通过证明，我们可以得出圆心角的度数等于所对弧的度数这一结论。

二、圆的计算在实际应用中，我们有时需要计算圆的周长、面积以及部分圆的面积。

以下是圆的计算公式：1.周长的计算2.面积的计算3.部分圆的面积的计算对于已知圆的半径r和所对的圆心角θ，部分圆的面积计算公式为：A=(πr²×θ)/360，其中A表示部分圆的面积，r表示半径，θ表示圆心角。