13.14用图乘法计算刚架的位移

§4.5 图乘法
(Graphic Multiplication Method)
刚架与梁的位移计算公式为： 刚架与梁的位移计算公式为：
∆ iP = ∑ ∫ MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便 下面介绍 在杆件数量多的情况下 不方便. 不方便 计算位移的图乘法. 计算位移的图乘法
一、图乘法 MM P ds ∫ EI 1 对于等 = ∫ M M P ds (对于等 截面杆) 截面杆 EI
ωyc
五、应用举例
图示梁EI 为常数， 点竖向位移。 例 3(a). 图示梁 为常数，求C点竖向位移。 点竖向位移
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
∆c = ∑
ωyc
l/2 C
1
C
l/2
B
1 1 ql 2 1 l = ⋅l ⋅ ⋅ ⋅ EI EI 3 2 2 2
l/2
Mi
1 ql 3 = ⋅ (↓) 24 EI
EI
试求图示结构B点竖向位移 点竖向位移. 例. 试求图示结构 点竖向位移
Pl EI l EI
MP
P B
l
Mi
=1
l
解: ∆ By = ∑
=∑
MM P ∫ EI ds
ωy c
EI 1 1 2 ( ⋅ Pl ⋅ l ⋅ l + Pl ⋅ l ⋅ l ) = EI 2 3 4 Pl 3 = ⋅ (↓) 3 EI
=1 1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 ϕB = − ( ⋅ l ⋅ ⋅ ) = − ( EI 2 4 2 16EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 须是直线 不能是曲 线或折线. 线或折线

1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l ∆C = ∑ = ⋅ × ⋅ + ⋅ ⋅ ) ( ⋅ EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5 ql 3 = ( ↓) 128 EI
ωyc
三、应用举例
为常数， 例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 点竖向位移
ql 2 / 2
MP
三、应用举例
为常数，求铰C两侧截面相对转角 例 2. 已知 EI 为常数，求铰 两侧截面相对转角 ϕ C 。 l q
A C =1 =1
B
Mi
1
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l 0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
ql / 4
1 2 ql 2 1 ∆ CD = ∑ =− × × × 8 2 EI EI 3 ql 3 ql / 4 =− ( ) 24 EI
ωyc
注意:各杆刚度 注意 各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 ∆B = ∑ = ⋅ ⋅ Pl ⋅ l ⋅ ⋅ l × 2 + ⋅ Pl ⋅ l ⋅ l 3 4 EI EI EI 2 5 Pl 3 = (→ ) 8 EI
为常数， 并画出变形图。 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 ∆CD,并画出变形图。 、 两点相对水平位移 并画出变形图
=1
1 1 2 × ( ×10 × 60 × − 3 EI 2 1 100 20 ×10 × ) = ( ) 2 EI
40
Mi
1 1 2 ϕB = ⋅ ×10 ×1× (60 × − 20) EI 2 3 100 = ( ) EI
20
ϕB =
1 1 2 × ( ×10 × 60 × − EI 2 3 1 100 20 ×10 × ) = ( ) 2 EI

工程力学
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
1.1
图乘法的计算公式
建筑结构多为梁和刚架,从上述例题中可以看到,直 接应用位移公式
进行积分运算是很麻烦的,但如果结构和荷载满足 以下条件,则此积分运算可以变得相对简单些：①EI沿 杆长度不变,即EI为常数；②杆件为直杆；③M图和MP 图中至少有一个为直线图形。
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
1.2
图乘法公式的应用
应用图乘法公式计算时应注意以下几点。 (1)必须满足前述的三个条件,若EI为分段常 数,应分段计算。 (2)面积ω与yC在杆的同侧时,ωyC的乘积取 正号；反之,ωyC的乘积取负号。 (3)yC必须取自直线图中,而ω则为另一图形 面积。 (4)如果某一个图形是由几段直线组成的折 线,则应分段计算。例如,对图14-9所示的情形, 计算式应为
图14-10
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
若直线图形具有正、负号两部分,如图14-11所示,则 可将MP图分解为两个三角形,采用上述方法可得
图14-11
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
（6）对于图14-12所示的均 布荷载作用的部分,其MP图可视为 同一简支梁两端受力偶作用下的 弯矩图(图中梯形ABDC部分)与均 布荷载作用下的弯矩图(图中虚线 与抛物线间部分)的叠加结果。计 算时可将 M 图分别与上述两部分 图乘,再求出其代数和。
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
在图14-8中,AB为直 杆,M图为一段直线,而MP 图为任意形状。现取AB杆 轴线为x轴,M图直线段的延 长线与x轴的交点为坐标原 点,建立坐标系,设杆截面的 抗弯刚度EI为常数,则
图14-8
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法
静定梁与静定刚架位移计算的图乘法

1
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP

M M P ds EI


F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy

yc
EI

[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc

yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。