学而思初一数学暑假班第7讲.一元一次方程的解法及应用.学生版

第12讲一元一次方程的应用（行程等）知识定位讲解用时：5分钟通过对一元一次方程应用的学习，学生将对利用方程思想解决应用问题有一定的认识和理解，进一步体会教学建模思想：由实际问题抽象为方程模型这一过程蕴涵的模型化的思维，同时也为后续学习二元一次方程组、分式方程，一元二次方程解决实际问题奠定基础。

知识梳理讲解用时：20分钟Part1行程类问题1、行程类应用题基本关系：路程=速度×时间2、相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。

3、追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。

甲、乙同向同地不同时，则：追者走的路程＝前者走的路程4、环形跑道问题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快的必须多跑一圈才能追上慢的。

②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度。

5、飞行（航行）问题、基本等量关系：①顺风（顺水）速度＝无风（静水）速度＋风速（水速）②逆风（逆水）速度＝无风（静水）速度－风速（水速）顺风（水）速度－逆风（水）速度＝2×风（水）速6、在行程问题中，按照题意画出行程图，可以使问题的分析过程更直观，更容易理解。

特别是问题中运动状态复杂，涉及的量较多的时候，画行程图就成了理解题意的关键。

所以画行程图是我们必须学会的一种分析手段。

另外，由于行程问题中的基本量只有“路程”、“速度”和“时间”三项，所以，列表分析也是解决行程问题的一种重要方法。

Part2其他类型一元一次方程的应用核心是通过题意列出等量关系，建立方程，具体步骤如下：1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．课堂精讲精练【例题1】甲、乙两人从A地出发前往B地，甲出发2小时后，乙开始出发，已知甲的速度是15km/h，乙的速度是60km/h，A，B两地相距100km，乙追上甲的地方离B地多远？【答案】见解析【解析】解：设乙出发xh后追上甲，则此时甲出发了（x+2）h，根据题意得：60x=15（x+2），解得：x=，∴100﹣60x=100﹣60×=60．答：乙追上甲的地方离B地60km．讲解用时：10分钟解题思路：设乙出发xh后追上甲，则此时甲出发了（x+2）h，根据路程=速度×时间结合乙追上甲时二者路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x值，将其代入100﹣60x中即可求出结论．教学建议：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习1.1】甲、乙两地相距200km，快车速度为120km/h，慢车速度为80km/h，慢车从甲地出发，快车从乙地出发．（1）如果两车同时出发，相向而行，出发后几时两车相遇？相遇时离甲地多远？（2）如果两车同时出发，同向（从乙开始向甲方向）而行，出发后几时两车相遇？【答案】见解析【解析】解：（1）设出发后x小时两车相遇，由题意得：120x+80x=200，解得：x=1，80×1=80（千米），答：两车同时出发，相向而行，出发后1小时两车相遇；相遇时离甲地80千米．（2）设出发后y时两车相遇，由题意得：120y=200+80y，解得：y=5，答：出发后5小时两车相遇．讲解用时：10分钟解题思路：（1）设出发后x小时两车相遇，由题意得等量关系：快车x小时的路程+慢车x小时的路程=200km，根据等量关系列出方程，可得x的值，然后可求出相遇时离甲地多远；（2）设出发后y时两车相遇，根据题意可得等量关系：甲车y小时的路程+200km=快车y小时的路程，根据等量关系可得方程，然后再解即可．教学建议：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【例题2】甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方同时出发，8分钟后甲第一次追上乙．（1）求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？（2）若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？【答案】见解析【解析】解：（1）设乙的速度为x米/分钟，则甲的速度为1.5x米/分钟，根据题意得：8×（1.5x﹣x）=400，解得：x=100，∴1.5x=150．答：乙的速度为100米/分钟，甲的速度为150米/分钟．（2）设经过t分钟两人恰好第五次相遇，根据题意得：（150+100）t=400×5，解得：t=8．答：经过8分钟两人恰好第五次相遇．讲解用时：10分钟解题思路：（1）设乙的速度为x米/分钟，则甲的速度为1.5x米/分钟，根据二者速度之差×时间=环形跑道的长度，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设经过t分钟两人恰好第五次相遇，根据二者速度之和×时间=环形跑道长度的5倍，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．教学建议：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习2.1】甲、乙两人在400米环形跑道上练习长跑，两人速度分别是200米/分和160米/分．（1）若两人从同一地点同时向相反方向跑，多少分钟后两人第一次相遇？（2）若两人从同一地点同时同向起跑，多少分钟后两人第一次相遇？【答案】见解析【解析】解：（1）设两人从同一地点同时向相反方向跑，x分钟后两人第一次相遇，根据题意得出：200x+160x=400，解得：x=．答：设两人从同一地点同时向相反方向跑，分钟后两人第一次相遇；（2）设两人从同一地点同时同向起跑，经过y分钟两人第一次相遇，根据题意得：200y﹣160y=400，解得：y=10．答：两人从同一地点同时同向起跑，10分钟后两人第一次相遇．讲解用时：10分钟解题思路：（1）根据两人长跑的过程中当第一次两人相遇时路程的和为400米列出方程求解即可；（2）根据两人长跑的过程中当第一次两人相遇时路程的差为400米列出方程求解即可．教学建议：本题考查了一元一次方程的应用，记住有关追击问题中的等量关系是解决本题的关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【例题3】在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程是多少？【答案】见解析【解析】解：（1）设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8×（x+24）=3×（x﹣24），解得：x=696．答：无风时飞机的航速是696千米/时．（2）由（1）知，无风时飞机的航速是696千米/时，则3×（696﹣24）=2016（千米）．答：两机场之间的航程是2016千米．讲解用时：10分钟解题思路：（1）设无风时飞机的航速是x千米/时，根据顺风速度×顺风时间=逆风速度×逆风时间，列出方程求出x的值即可．（2）由“航程=速度×时间”进行计算．教学建议：此题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是顺风速度=无风时的速度+风速，逆风速度=无风时的速度﹣风速，关键是根据顺风飞行的路程等于逆风飞行的路程列出方程．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习3.1】18．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/小时，求：（1）船在静水中的速度．（2）两码头间的距离提示：顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度﹣水流速度．【答案】见解析【解析】解：（1）设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：（x+3）×2=（x﹣3）×2.5，解得：x=27，答：船在静水中的速度是27千米/小时；（2）根据（1）得：（27+3）×2=60（千米）；答：两码头间的距离是60千米．讲解用时：8分钟解题思路：（1）设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；（2）根据（1）求出的船在静水中的速度，再根据路程=顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．教学建议：此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度﹣水流速度，列出方程求解．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【例题4】已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M 从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？【答案】见解析【解析】解：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位．依题意可列方程为：2x+6x+14=54，解方程，得x=5．答：经过5秒点M与点N相距54个单位．（算术方法对应给分）（2）设经过t秒点P到点M，N的距离相等．（2t+6）﹣t=（6t﹣8）﹣t或（2t+6）﹣t=t﹣（6t﹣8），t+6=5t﹣8或t+6=8﹣5tt=或t=，答：经过或秒点P到点M，N的距离相等．讲解用时：15分钟解题思路：（1）设经过x秒点M与点N相距54个单位，由点M从A点出发速度为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，得出2x+6x+14=54求出即可；（2）首先设经过t秒点P到点M，N的距离相等，得出（2t+6）﹣t=（6t﹣8）﹣t 或（2t+6）﹣t=t﹣（6t﹣8），进而求出即可．教学建议：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知点运动速度得出以及距离之间的关系得出等式是解题关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习4.1】如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14．动点P从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．【答案】见解析【解析】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=14，∴点B表示的数是8﹣14=﹣6，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，∴点P表示的数是8﹣5t．故答案为：﹣6，8﹣5t；（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，∵AC﹣BC=AB，∴5x﹣3x=14，解得：x=7，∴点P运动7秒时追上点Q．（3）线段MN的长度不发生变化，都等于7；理由如下：∵①当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=×14=7，②当点P运动到点B的左侧时：MN=MP﹣NP=AP﹣BP=（AP﹣BP）=AB=7，∴线段MN的长度不发生变化，其值为7．讲解用时：15分钟解题思路：（1）根据AB=14，点A表示的数为8，即可得出B表示的数；再根据动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点P 表示的数；（2）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据AC﹣BC=AB，列出方程求解即可；（3）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出MN的长即可．教学建议：本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【例题5】如果甲、乙、丙三个村合修一段水渠，计划出工60人，甲村出工人数是乙村出工人数的，丙村出工人数是乙村的2倍，求乙村出工的人数．【答案】见解析【解析】解：设乙村出工的人数为x人，则甲村出工人数为x人，丙村出工人数为2x人，由题意，得．x+x+2x=60解得：x=18．答：乙村出工的人数为18人．讲解用时：10分钟解题思路：设乙村出工的人数为x人，则甲村出工人数为x人，丙村出工人数为2x人，根据三个村共出工人数为60建立方程求出其解即可．教学建议：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据三个村共出工人数为60建立方程是关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习5.1】一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现由甲独做4小时，剩下的甲、乙合做，还需几小时？【答案】见解析【解析】解：设还需要x小时，根据题意得：+（+）x=1，解得：x=6．答：还需要6小时才能做完．讲解用时：10分钟解题思路：设还需要x小时，根据总工作量=乙单独完成部分+甲、乙合作完成部分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．教学建议：本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元一次方程是解题的关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【例题6】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的，求这个两位数．【答案】见解析【解析】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由题意得：x+（x+3）=[10x+（x+3）]×，解得x=3，故十位数字为3，个位数字为6，这个两位数字是36，答：这个两位数是36．讲解用时：10分钟解题思路：首先设十位数字为x，则个位数字为（x+3），根据题意可得十位上的数字与个位上的数字之和为x+（x+3），这个两位数是10x+（x+3），再根据十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的可得方程x+（x+3）=[10x+（x+3）]×，解方程可得x的值，进而得到答案．教学建议：此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习6.1】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2，如果个位数字与十位数字交换，比原数小18，求这个两位数．【答案】见解析【解析】解：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+2），依题意有：10x+（x+2）=10（x+2）+x﹣18，整理，得11x+2=11x+2，即该等式恒成立，当x=1时，x+2=3，则原来的两位数是32，新两位数是23，32﹣23=9，不合题意，舍去；当x=2时，x+2=4，则原来的两位数是42，新两位数是24，42﹣24=18，符合题意；当x=3时，x+2=5，则原来的两位数是52，新两位数是25，52﹣25=27，不合题意，舍去；同理，当x=4、5、6、7、8、9时，均不合题意．综上所述，该两位数是42．讲解用时：10分钟解题思路：设原两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+2），原来的两位数是：10（x+2）+x，把十位上的数字与个位上的数字交换后，十位上数字是x，个位上数字是（x+2），交换位置后这个数是：10x+（x+2），然后根据新数=原数﹣18，列方程解答即可．教学建议：本题考查了一元一次方程的应用．根据数位知识及所给条件列出等量关系式解决问题的方法在数字问题中经常用到．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无课后作业【作业1】A、B两地相距450千米，甲，乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过多少小时两车相距50千米？【答案】见解析【解析】解：设第一次相距50千米时，经过了x小时．（120+80）x=450﹣50x=2．设第二次相距50千米时，经过了y小时．（120+80）y=450+50y=2.5经过2小时或2.5小时相距50千米．讲解用时：8分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业2】一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习跑步，甲平均每秒跑8米，乙平均每秒跑6米，甲在乙前面20米，两人同时、同向出发，经过多长时间两人首次相遇？【答案】见解析【解析】解：设x秒后两人首次相遇．由题意得，8x﹣6x=400﹣20，解得：x=190．答：经过190秒两人首次相遇．讲解用时：8分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业3】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）（1）数轴上点B对应的数是．（2）经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（3）当点M运动到什么位置时，恰好使AM=2BN？【答案】见解析【解析】解：（1）OB=3OA=30．故B对应的数是30；（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等①点M、点N在点O两侧，则10﹣3x=2x，解得x=2；②点M、点N重合，则3x﹣10=2x，解得x=10．所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等；（3）设经过y秒，恰好使AM=2BN．①点N在点B左侧，则3y=2（30﹣2y），解得y=，3×﹣10=；②点N在点B右侧，则3y=2（2y﹣30），解得y=60，3×60﹣10=170；即点M运动到或170位置时，恰好使AM=2BN．故答案为：30．讲解用时：8分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业3】汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5h．已知船在静水中的速度为18km/h，水流速度为2km/h，求甲、乙两地之间的距离．【答案】见解析【解析】解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，根据题意，得（18+2）（x﹣1.5）=（18﹣2）x，解得：x=7.5，（18﹣2）×7.5=120．答：甲、乙两地之间的距离为120km．【作业4】一批零件按计划生产需15天完成．实行承包制后，调动了工人的生产积极性，每天可多生产30个零件，因此提前3天完成任务，求原计划每天生产多少个零件．【答案】见解析【解析】解：设原计划每天生产x个零件，则实际每天生产（x+30）个，根据题意得：（15﹣3）（x+30）=15x；解得：x=120，答：原计划每天生产120个零件．讲解用时：8分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业5】向阳中学七年级（1）班学生打扫教室，如果小强一个人做，需要15分钟完成；如果小颖一个人做，需要20分钟完成．现小强单独干了8分钟后，小颖跑来帮忙把教室打扫干净，请问小强共打扫了多长时间？【答案】见解析【解析】解：设两人合作了x分钟，根据题意得出：8×+x（+）=1，解得：x=4，故4+8=12（分钟）．答：小强共打扫了12分钟．讲解用时：8分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业6】三个连续的偶数，它们的和为276，求这三个数．【答案】见解析【解析】解：设中间的数，那么前面的一个就x﹣2，后面的一个就是x+2，根据题意得：（x﹣2）+x+（x+2）=276，x﹣2+x+x+2=276，3x=276，x=92；92﹣2=90，92+2=94；答：这三个数分别是90，92，94．讲解用时：8分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业7】丽园开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可以加工16件产品，乙工厂每天可以加工24件产品，公司需付甲工厂每天加工费80元，乙工厂加工费用每天为120元．（1）求丽园开发公司要生产多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成．在加工过程中，丽园公司需派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并支付每天5元的午餐补助费．如果你是丽园开发公司的负责人，你会选择哪种方案？为什么？【答案】见解析【解析】解：（1）设这个公司要加工x件新产品，由题意得：﹣=20，解得：x=960（件），答：这个公司要加工960件新产品．（2）①由甲厂单独加工：需要耗时为=60天，需要费用为：60×（5+80）=5100元；②由乙厂单独加工：需要耗时为=40天，需要费用为：40×（120+5）=5000元；③由两场厂共同加工：需要耗时为=24天，需要费用为：24×（80+120+5）=4920元．所以，由两厂合作同时完成时，即省钱，又省时间．。

专题09 一元一次方程解法及应用知识网络重难突破知识点一解一元一次方程解法步骤具体方法变形根据考前须知去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质2①不能漏乘不含分母的项②分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，那么要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法那么①分配律应满足分配到每一项②注意符号，特别是去掉括号移项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质1①移项要变号②一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“ax b=〞的形式(0a≠)合并同类项法那么合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变2．同解方程的概念：如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解，那么这两个方程是同解方程．3.方程解的讨论含字母系数的一元一次方程总可以化为ax b =的形式，方程的解由a 、b 的取值范围确定．(1)当0a ≠时，b x a =，原方程有唯一解； (2)当0a =且0b =时，原方程有无数解； (3)当0a =且0b ≠时，原方程无解．典例1(2019秋•简阳市 期末)以下各题中正确的选项是( )A ．由743x x =-移项得743x x -=B ．由213132x x --=+去分母得2(21)13(3)x x -=+- C ．由2(21)3(3)1x x ---=去括号得42391x x ---=D ．由2(1)7x x +=+ 移项、合并同类项得5x =典例2(2019秋•成华区期末)解方程：(1)218332x x -=-； (2)12225x x -+=-．典例3(2019秋•金牛区期末)如果方程11237x m +=与方程1123233x -=的解相同，那么m = ．典例4(2019秋•罗湖区校级期末)阅读：关于x 方程ax b =在不同的条件下解的情况如下：(1)当0a ≠时，有唯一解b x a=；(2)当0a =，0b =时有无数解；(3)当0a =，0b ≠时无解．请你根据以上知识作答：关于x 的方程1(6)326x x a x =--无解，那么a 的值是()A ．1B ．1-C ．1±D ．1a ≠知识点二 一元一次方程应用题1．用方程思想解决实际问题的一般步骤①审：审题，分析题中什么，求什么，②找：找到各数量之间的关系；③设：设未知数，表示出有关的含字母的式子；④列：根据题目的意思列方程；⑤解：解出所列方程，求出未知数的值；⑥检：检验方程的解是否符合方程，是否符合题意；⑦答：直接答复以下问题(单位要注明)．2．行程问题 (1)行程问题的根本数量关系：①s vt =；②s t v =；③s v t =．(2)行程问题的根本类型： ①相遇问题(相向而行)：S = S 甲 + S 乙乙甲②追及问题(同向而行)：甲乙S 甲S 乙S 甲 乙③环形跑道上的相遇和追及问题： 同地反向而行的等量关系是：两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是：两人所走的路程差等于一圈的路程；④流水行船：v v v =+顺船水；v v v =-逆船水；()12v v v =+顺船逆；()12v v v =-顺水逆． 3．工程问题的相关公式=⨯工作总量工作效率工作时间；=工作总量工作效率工作时间； =工作总量工作时间工作效率．4．利润问题常用等量关系：=-利润售价进价100%=⨯利润进价利润率利润问题解题大招：()==1⎧⎪⎨⨯+⎪⎩①利润售价-进价单件商品②售价进价利润率 ()==1⨯⎧⎪⎨⨯+⎪⎩总利润单件利润销售量多件商品总销售收入总成本利润率 典例1(2019秋•宝安区期末)“喜茶〞店中的A 种奶茶比B 种奶茶每杯贵5元，小颖买了3杯A 种奶茶、5杯B 种奶茶，一共花了135元，问A 种奶茶、B 种奶茶每杯分别的多少元？假设设A 种奶茶x 元，那么以下方程中正确的选项是( )A ．53(5)135x x +-=B ．5(5)3135x x -+=C ．53(5)135x x ++=D ．5(5)3135x x ++=典例2(2019秋•福田区校级期末)一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．假设甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作的34．假设设甲一共做了x天，那么所列方程为()A．13584x x++=B．13584x x-+=C．13584x x+-=D．13584x x--=典例3(2019秋•福田区校级期末)小明每天早晨要在7:40之前赶到距家1100m的学校上学，小明以60/m min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以180/m min的速度去追小明，并且在途中追上了他．(1)爸爸追上小明用了多长时间？(2)追上小明时，距离学校还有多远？典例4(2019秋•龙岗区期末)2018年电影?我不是药神?反映了进口药用药贵的事实，从而引起了社会的广泛关注．国家针对局部药品进行改革，看病贵将成为历史．某药厂对售价为m元的药品进行了降价，现在有三种方案．三种方案哪种降价最多()方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．A．方案一B．方案二C．方案三D．不能确定稳固训练一、单项选择题(共6小题)1．(2019秋•承德县期末)在解方程123123x x -+-=时，去分母正确的选项是( ) A ．3(1)2(23)1x x --+=B ．3(1)2(23)1x x -++=C ．3(1)2(23)6x x -++=D ．3(1)2(23)6x x --+=2．(2018•城中区模拟)以下变形中：①由方程1225x -=去分母，得1210x -=； ②由方程2992x =两边同除以29，得1x =； ③由方程644x x -=+移项，得70x =；④由方程53262x x -+-=两边同乘以6，得1253(3)x x --=+． 错误变形的个数是( )个．A ．4B ．3C ．2D ．13．(2018秋•汇川区期末)如果关于x 的方程353x m -=与方程2102x +=的解相同，那么(m = )A ．2-B ．3-C ．3D ．14．(2019秋•锦江区校级期末)成都市某电影共有4个大厅和5个小厅其中1个大厅，2个小厅，可同时容纳1680人观影；2个大厅、1个小厅，可同时容纳2280人观影．设1个小厅可同时容纳x 人观影，由题意得以下方程正确是( )A ．2(1680)2280x x +-=B ．2(16802)2280x x +-=C ．2(2280)1680x x +-=D ．1(2280)16802x x +-= 5．(2019秋•成都期末)一家商店将某种服装按照本钱价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的本钱是多少元？设这种服装每件的本钱是x 元，那么根据题意列出方程正确的选项是( )A ．0.8(140%)15x ⨯+=B ．0.8(140%)15x x ⨯+-=C ．0.840%15x ⨯=D ．0.840%15x x ⨯-=6．(2019秋•龙华区期末)天虹商场将某品牌的羽绒服在进价的根底上提高60%定价销售，发现销量不好，于是在“元旦〞期间将该品牌的羽绒服打六折出售，那么，在“元旦〞期间天虹商场每售出一件这样的羽绒服，将会( )A ．不亏不赚B ．赚了4%C ．亏了4%D ．赚了36%二、填空题(共5小题)7．(2020•成都模拟)假设代数式18x -与94x -的值互为相反数，那么x = ．8．(2019秋•济南期末)小马虎在解关于x 的方程2521a x -=时，误将“5x -〞看成了“5x +〞，得方程的解为3x =，那么原方程的解为 ．9．(2019秋•邛崃市期末)关于x 的方程44166ax x x -+-=-的解是正整数，那么符合条件的所有整数a 的积是 ．10．(2018秋•成华区期末)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7 为例进行说明：设0.7x =，由0.70.7777=⋯可知，107.7777x =⋯，所以107x x =+，解方程，得79x =，于是得70.79=．将0.216 写成分数的形式是 ． 11．(2019秋•福田区期末)某商场把进价为160元的商品按照8折出售，仍可获利10%，那么该商品的标价为 元．三、解答题(共2小题)12．(2019秋•宝安区期末)解方程(1)6226x x -+=-(2)13(12)(31)24x x -=+13．(2019秋•东湖区期末)某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的1倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：(注：获利=售价-进价)(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？(3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？。

第十讲一元一次方程的认识和解法知识定位讲解用时：5分钟对于方程模型七年级学生并不陌生，在小学时已学过简易的方程.与初中要求相比规范性、严谨性还不够，理解还比较浅显。

加之算术解法的熟悉，大部分学生还没有真正体会到方程在解决实际问题的优越性和重要性。

本章开始系统学习方程的知识，一元一次方程是今后学习其他方程、不等式及函数的重要基础.同时也是学习物理化学等学科不可缺少的数学工具。

知识梳理讲解用时：20分钟Part1一元一次方程的定义1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．Part2等式的性质（1）等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的Part3解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．Part4方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．课堂精讲精练【例题1】下列各方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．【答案】C【解析】解：各方程中，是一元一次方程的是3y﹣1=4，故选：C．讲解用时：4分钟解题思路：利用一元一次方程的定义判断即可．教学建议：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习1.1】下列方程是一元一次方程的是（）A．x2=25 B．x﹣5=6 C．x﹣y=6 D．=2【答案】B【解析】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意；B、是一元一次方程，故B符合题意；C、是二元一次方程，故C不符合题意；D、是分式方程，故D不符合题意；故选：B．讲解用时：4分钟解题思路：根据一元一次方程的定义求解即可．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题2】若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1994的值．【答案】见解析【解析】解：∵（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，∴m﹣4≠0且2|m|﹣7=1，解得：m=﹣4，∴原式=16+8+1994=2018．讲解用时：4分钟解题思路：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．教学建议：本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习2.1】已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【答案】见解析【解析】解：（1）由题意，得|m+4|=1且m+3≠0，解得m=﹣5．（2）当m=﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）=2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）=﹣26+63=37．讲解用时：4分钟解题思路：（1）根据一元一次方程的定义求解即可；（2）根据代数式求值，可得答案．教学建议：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题3】下列等式变形正确的是（）A．若﹣3x=5，则x=﹣B．若，则2x+3（x﹣1）=1C．若5x﹣6=2x+8，则5x+2x=8+6 D．若3（x+1）﹣2x=1，则3x+3﹣2x=1【答案】见解析【解析】解：A、若﹣3x=5，则x=﹣，错误；B、若，则2x+3（x﹣1）=6，错误；C、若5x﹣6=2x+8，则5x﹣2x=8+6，错误；D、若3（x+1）﹣2x=1，则3x+3﹣2x=1，正确；故选：D．讲解用时：4分钟解题思路：根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．教学建议：此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习3.1】下列结论不成立的是（）A．若x=y，则m﹣x=m﹣y B．若x=y，则mx=myC．若mx=my，则x=y D．若，则nx=ny【答案】C【解析】解：A、若x=y，则m﹣x=m﹣y成立；B、若x=y，则mx=my成立；C、若mx=my，则x=y不一定成立，应说明m≠0；D、若，则mx=my成立；故选：C．讲解用时：4分钟解题思路：根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式进行分析即可．教学建议：此题主要考查了等式的性质，关键是掌握等式的性质定理，注意式两边同时除以一个不为零的数，结果仍得等式．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题4】解方程：2（x﹣1）+1=x．【答案】见解析【解析】解：2（x﹣1）+1=x，2x﹣2+1=x，2x﹣x=2﹣1，x=1．讲解用时：4分钟解题思路：去括号、移项、合并同类项即可求解．教学建议：考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习4.1】解方程：4（x﹣2）﹣1=3（x﹣1）【答案】见解析【解析】解：去括号，得4x﹣8﹣1=3x﹣3，移项，得4x﹣3x=﹣3+8+1，合并同类项，得x=6．讲解用时：4分钟解题思路：根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．教学建议：本题考查了解一元一次方程，移项是解题关键，注意移项要变号．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题5】﹣=1【答案】见解析【解析】解：3x﹣（x﹣1）=63x﹣x+1=62x=5x=讲解用时：4分钟解题思路：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．教学建议：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习5.1】解方程：﹣=【答案】见解析【解析】解：去分母，得3（x﹣4）﹣（1﹣x）=2x，去括号，得3x﹣12﹣1+x=2x，移项，得3x+x﹣2x=12+1，合并同类项，得2x=13，系数化为1，得x=．讲解用时：4分钟解题思路：根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案．教学建议：本题考查了解一元一次方程，去分母是解题关键，分子要加括号．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题6】若y=4是方程﹣m=5（y﹣m）的解，则关于x的方程（3m﹣2）x+m﹣5=0的解是多少？【答案】见解析【解析】解：将y=4代入方程﹣m=5（y﹣m）得：m=4再将m=4代入方程入（3m﹣2）x+m﹣5=0得：x=．讲解用时：6分钟解题思路：先把y=4代入方程﹣m=5（y﹣m）求出m的值，再将m的值代入（3m﹣2）x+m﹣5=0，得到关于m的方程，解方程即可．教学建议：本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．同时考查了一元一次方程的解法．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习6.1】如果y=3是方程2+（m﹣y）=2y的解，那么关于x的方程2mx=（m+1）（3x﹣5）的解是多少？【答案】见解析【解析】解：当y=3时，2+m﹣3=6，解得：m=7，将m=7代入方程2mx=（m+1）（3x﹣5）得：14x=8（3x﹣5）即14x=24x﹣40，解得：x=4．讲解用时：6分钟解题思路：将y的值代入方程2+（m﹣y）=2y，即可求得m的值；再将m的值代入方程2m（x﹣1）=（m+1）（3x﹣5）即可求得方程的解．教学建议：本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无课后作业【作业1】下列方程中，是一元一次方程的是（）A．3x+2y=0 B．=1 C．=1 D．3x﹣5=3x+2【答案】B【解析】解：A、3x+2y=0，含两个未知数，故不是一元一次方程，故错误；B、=1，是一元一次方程，故此选项正确；C、不是整式方程，故错误；D、3x﹣5=3x+2，左右不相等，故错误；故选：B．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：大安市期末年份：2017【作业2】已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．【答案】见解析【解析】解：（1）依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0，解之得m=5，故m=5；（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，当m=5时，原式=6×5﹣7=23．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：上杭县期中年份：2017【作业3】设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【解析】解：根据图示可得，2×○=△+□（1），○+□=△（2），由（1），（2）可得，○=2□，△=3□，∴○+△=2□+3□=5□，故选：B．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：太原期末年份：2017【作业4】下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（）A．如果a=b，那么a+5=b+5 B．如果a=b，那么a﹣=b﹣C．如果ac=bc，那么a=b D．如果=，那么a=b【答案】C【解析】解：（C）若c=0时，此时a不一定等于b，故选：C．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：长垣县期末年份：2017【作业5】解方程：7x﹣5=3x﹣1．【答案】见解析【解析】解：（1）移项得7x﹣3x=5﹣1，合并同类项得4x=4，系数化为1得x=1．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：武汉模拟年份：2018【作业6】解方程：（1）3（2x﹣1）=15；（2）．【答案】见解析【解析】解：（1）去括号得，6x﹣3=15，移项得，6x=15+3，合并同类项得，6x=18，系数化为1得，x=3；（2）去分母得，2（x﹣7）﹣3（1+x）=6，去括号得，2x﹣14﹣3﹣3x=6，移项得，2x﹣3x=6+14+3，合并同类项得，﹣x=23，系数化为1得，x=﹣23．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业7】解方程：﹣=1．【答案】见解析【解析】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，移项得：﹣x=17，系数化为1得：x=﹣17．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业8】若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．【答案】见解析【解析】解：把x=﹣2代入方程2x+a=x﹣1中，得：2×（﹣2）+a=﹣2﹣1，解得：a=1，所以a2018=12018=1，答：a2018的值为1．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业9】当m为何值时，关于x的方程5m+12x=6+x的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2．【答案】见解析【解析】解：解关于x的方程5m+12x=6+x，得：x=，解关于x的方程x（m+1）=m（1+x），得：x=m，根据题意得﹣m=2，解得：m=﹣1．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业10】用◎定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a◎b=ab2+2ab+a，如：1◎2=1×22+2×1×2+l=9．（1）求（﹣4）◎3；（2）若（◎3）=8，求a的值．【答案】见解析【解析】解：（1）（﹣4）◎3=﹣4×32+2×（﹣4）×3+（﹣4）=﹣64；（2）∵a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2，∴◎3=×（3+1）2=8，解得：a=0．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业11】聪聪在对方程①去分母时，错误的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1=3（5﹣x）②，因而求得的解是x=，试求m的值，并求方程的正确解．【答案】见解析【解析】解：把x=代入方程②得：2（+3）﹣m﹣1=3（5﹣），解得：m=1，把m=1代入方程①得：﹣=，去分母得：2（x+3）﹣x+1=3（5﹣x），去括号得：2x+6﹣x+1=15﹣3x，移项合并得：4x=8，解得：x=2，则方程的正确解为x=2．。

初一数学暑假尖端预备课（教师版）最新教案2第7讲·尖端预备班·教师版定 义示例剖析等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式．123+=，15x +=，s ab =，a b c mxy n ++=+等式的类型恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．33x x ==，方程56x +=需要1x =才成立．如32=，125+=，11x x +=-． 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子．．），所得结果仍是等式． 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是．．．．．0．），结果仍是等式． 若a b =，则a c b c ±=±．若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ≠，则a bc c=．在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a b =，那么b a =；②等式具有传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =.【例1】 下列各式中，哪些是等式？是等式的请指出类型．43x -、15713++=、1722y -=、231x x =+、64y -、5x y +=、π 3.14≈，20a b +>，22x x =，7171x x +=-.夯实基础模块一 等式的概念及性质7一元一次方程的解法及应用【解析】 等式有：15713++=，1722y -=，231x x =+，5x y +=，22x x =，7171x x +=-；恒等式：15713++=，22x x =；条件等式：1722y -=，231x x =+，5x y +=；矛盾等式：7171x x +=-.【例2】 ⑴ 根据等式的性质填空：① 4a b =-，则a b +=______； ② 359x +=，则39x =- ；③ 683x y =+，则x =________； ④ 122x y =+，则x = ．⑵ 已知等式325a b =+，则下列等式中不一定成立的是（ ）A ．352a b -=B ．3126a b +=+C ．325ac bc =+D ．2533a b =+（北京二中期中）⑶ 下列变形中，根据等式的性质变形正确的是（ ）A ．由1233x -=，得2x = B ．由3222x x -=+，得4x =C ．由233x x -=，得3x =D ．由357x -=，得375x =-（海淀区期末）【解析】 ⑴ ①4，在等式两端同时加上b ； ② 5，在等式两端同时加上5-；③ 836y +，在等式的两端同时乘以16； ④ 24y +，在等式的两端同时乘以2．⑵ C ；⑶ B定 义示例剖析方程：含有未知数的等式．．．即： ①方程中必须含有未知数；②方程是等式，但等式不一定是方程．例如123+=是等式不是方程． 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解方程：求方程的解的过程．．．例如3x =是方程36x +=的解方程中的已知数：一般是具体的数值．方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常例如50x +=中, 5和0是已知数，例如关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、能力提升模块二 方程的相关概念4第7讲·尖端预备班·教师版用x 、y 、z 等字母表示．2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数．一元一次方程：只含有一个．．未知数，并且未知数的最高次数．．．．是1，系数不等于．．．0．的整式．．方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．235x +=，10y -=，3x =最简形式：方程ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数）的形式叫一元一次方程的最简形式．例如35x =，27x =等． 标准形式：方程0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．例如21040x x +=+=，易错点1：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 易错点2：任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．【例3】 ⑴ 下列式子：①3251x x +=-；②213124⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；③235x +≤；④212y y -=，其中方程的个数为（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4⑵ ① 44x x +=+；② 12x=；③ 44x x -=-；④ 23x =；⑤ 2(2)3x x x x +=++．其中是一元一次方程的有 . ⑶ 下列方程中解是2x =的一共有（ ）480x -=① 480x +=② 840x -=③ 240x -=④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（北大附中期中）【解析】 ⑴ B ； ⑵ ③ ⑤； ⑶ B.【例4】 ⑴ 若3223kkx k -+=是关于x 的一元一次方程，则k = .⑵ 若23(2)5m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是 .⑶ 若(1)5aa x a -+=是关于x 的一元一次方程，则a 的值是 .⑷ 已知2(23)(23)1m x m x ---=是关于x 的一元一次方程，则m = .（北京师范大学附属实验中学期中）⑸ 方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是它的解，则n m -=（ ）．能力提升夯实基础A ．14 B ．54 C ．34 D ．54- （人大附中期中）【解析】 ⑴ 1；⑵ 由一元一次方程的定义，可知231m -=，且20m -≠，解得2m =-； ⑶ 由一元一次方程的定义，可知1a =，且10a -≠，解得1a =-； ⑷32；⑸ B.解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸未知数的系数化为1．这五个步骤在解一元一次方程中，有时可能用不到，有时可能重复用，也不一定按从上到下的顺序进行，要根据方程的特点灵活运用．易错点1：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号． 易错点2：去分母：漏乘不含分母的项. 易错点3：移项忘记变符号．【例5】 ⑴ 方程(32)2(21)0x x +--=去括号正确的是（ ）A ．32210x x +-+=B ．32410x x +-+=C ．32420x x +--=D ．32420x x +-+=⑵ 方程31252x x x -+-=-去分母正确的是（ ） A ．2(3)25(1)x x x --=-+ B ．23201051x x x --=-+ C ．2(3)20105(1)x x x --=-+ D ．(3)2010(1)x x x --=-+⑶ 当x 的值为 时，代数式45x -和316x -的值互为相反数．⑷ 若方程15122b x x -=-的解是12x =，则b = ．【解析】 ⑴ D; ⑵ C; ⑶ 3; ⑷ 1b =-.【例6】 ⑴ 解方程1111122x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（人大附中期中）⑵ 解方程12223y y y -+-=-（北京五中期中）夯实基础模块三 一元一次方程的解法及应用⑶解方程3221211245x x x+-+-=-（北京师范大学附属实验中学期中）⑷解方程7110.251 0.0240.0180.012 x x x--+=-【解析】⑴10x=；⑵1y=；⑶928x=-.⑷原方程可化为7110.251864x x x--+=-，解得5259x=【例7】解下列方程：⑴1113331 2242y⎧⎫⎛⎫---=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭⑵1112{[(4)6]8}1 9753x++++=【解析】⑴解法一：从内向外去括号去小括号，得1113331 2242y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 2842y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去大括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法二：从外向内去括号去大括号，得1113331 4222y⎡⎤⎛⎫---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得113331 8242y⎛⎫---=⎪⎝⎭，去小括号，得13331 16842y---=，移项、合并同类项，得129 168y=，系数化为1，得58y=．解法三：多次去分母能力提升6 第7讲·尖端预备班·教师版两边同乘以2，得1113332222y ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，两边同乘以2，得11336422y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，两边同乘以2，得1361282y ---=，移项合并同类项，得1292y =，系数化为1，得58y =．点评：解题时要善于观察题目特点选择合理得理解途径． ⑵ 解得1x =【巩固】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解析】解得117x =-【例8】 解下列方程：⑴ 1123(23)(32)11191313x x x -+-+=⑵ 11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】⑴ 原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即：111()(23)0111319x +--=，又1110111319+-≠， 所以230x -=，即32x =．⑵ 这一方程在变换过程中，宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6，得3323(7)32(7)55x x --=--，333(7)2(7)3255x x --+-=-， 333(7)2(7)155x x ----=， 35(7)15x --=， 探索创新8第7讲·尖端预备班·教师版343x =．【例9】 解下列方程：⑴ 2009122320092010x x x +++=⨯⨯⨯⑵ ...200613352003200520052007x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯【解析】⑴ 111()2009122320092010x +++=⨯⨯⨯，1(1)20092010x -=，即：200920092010x =，故2010x =．⑵ 原方程变形为：1111(...)200613352003200520052007x ++++=⨯⨯⨯⨯，即：2006200620072x ⋅=，4014x =．【例10】解下列方程：⑴ 20181614125357911x x x x x -----++++=⑵ 20101309720092007x x x ---++=【解析】 ⑴ 如果发现203185167149121123+=+=+=+=+=，那么离成功就不远了．201816141250357911x x x x x -----++++-=，2018161412(1)(1)(1)(1)(1)0357911x x x x x ------+-+-+-+-=，23232323230357911x x x x x -----++++=，11111()(23)0357911x ++++-=，因为111110357911++++≠，所以23x =．⑵ 原方程可化为201013(1)(1)0972*******x x x---+-++=，2010201020100972*******x x x ---+-=，111(2010)()0972*******x -+-=，显然1110972*******+-≠，故20100x -=，2010x =．。