高一数学必修4同步练习：1-6三角函数模型的简单应用

必修四第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用1．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 与过B 点的水平线间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中]60,0[t ∈．2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈)2||,0,0()sin()(f πϕϕ<>>++=w A B wt A x 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.3.(2012·菏泽高一检测)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈)2||,0,0()sin()(f πϕϕ<>>++=w A B wt A x 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的[解析]式为________．4．已知方程23x sin m =+）（π在[0，π]上有两个解，求实数m 的取值范围． 5. 大风车叶轮最高顶点离地面14.5 m ，风车轮直径为14 m ，车轮每分钟匀速转动2周，风叶轮顶点从离地面最低点经16 s 后到达最高点，假设风叶轮离地面高度y (m)与风叶轮离地面最低点开始转的时间t (s)建立一个数学模型，用函数c b t w a +-=)](sin[y 来表示，试求出其中四个参数a ，b ，c ，ω的值．6 摩天轮中的数学问题．游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O 距地面40.5m ，半径40m 。

若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5min 后到达最高点．在你登上摩天轮时开始计时，请解答下列问题：(1)能求出你与地面的距离y 与时间t 的函数[解析]式吗?(2)当你登上摩天轮8min 后，你与地的距离是多少?(3)当你第1次距地面30.5m 时，用了多少时间?(4)当你第4次距地面30.5m 时，用了多少时间?7．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求出函数b wt A +=cos y 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[答案]：1[答案]：5230t sin 5+-）（ππ 2.[答案]：64x 4sin 2+-）（ππ 3.[答案] ）（N x x x ∈≤≤+-=,12x 17)44sin(2)(f ππ 4.解：3≤m <2. 5解：∴函数为5.7)]5.8(15sin[7y +-=t π 6(1) 5.40)25sin(40y +-=ππt(2)8min (3)第一次距地面30.5m 时，用了约2.1min ，第二次距地面30.5m 时用了约10－2.1＝7.9(min)．(4)第4次距地面30.5m 时用了10＋7.9＝17.9(min)．7.解：(116cos 21y +=t π. (2)在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9∶00至下午15∶00.。

1.6 三角函数模型的简单应用练习1．在△ABC 中，sin A A ＝( ) A ．6π B ．3πC ．23π D ．3π或23π2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos 3π⎫+⎪⎪⎭，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A ．gπB ．2g πC ．2gπ D ．24g π3．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮自点A 开始1 min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝215π，A ＝3 B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝215π，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝54．电流I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图象如图所示，则t 为7120(秒)时的电流强度为( )A ．0B ．-C ．D ．-5．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (m)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口经长期观测，函数y ＝f (x )的图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k 的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin6t π，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin 6t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，t ∈[0,24] C ．y ＝12＋3sin12t π，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin 122t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，t ∈[0,24]6．已知x ∈(0,2π)，cos x ＝x ＝__________. 7．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过半个周期后，乙点的位置将移至__________．8．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(1)这一天的最大用电量为__________万度，最小用电量为__________万度； (2)这段曲线的函数解析式为__________．9．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋0,0,.2b A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭(1)求这一天最大的温差； (2)求这段曲线的函数解析式．10．(能力拔高题)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧，修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,，赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．参考答案1. 答案：D2. 答案：D 3．答案：A 4. 答案：A 5. 答案：A 6. 答案：34π或54π 7. 答案：丁点8. 答案：(1)50 30 (2)y ＝10sin 66x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＋40，x ∈[8,14]9. 解：(1)由图象得这一天的最高温度是－2 ℃，最低温度是－12 ℃， 则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)． (2)由(1)得2,12,A b A b +=-⎧⎨-+=-⎩解得A ＝5，b ＝－7.由图象得函数的周期T ＝2(14－6)＝16， 则216πω=，解得ω＝8π. 所以y ＝55sin 4πϕ⎛⎫+⎪⎝⎭－7. 由图象知点(10，－7)在函数的图象上， 则－7＝5sin 1078πϕ⎛⎫⨯+-⎪⎝⎭， 整理得5sin 4πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0， 又|φ|＜2π，则φ＝4π-.则这段曲线的函数解析式是y ＝5sin 784x ππ⎛⎫--⎪⎝⎭(6≤x ≤14)．10. 解：依题意，有A ＝4T ＝3，又T ＝2πω，∴ω＝6π.∴y ＝6x π.当x ＝4时，y ＝23π＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴|MP |5(km)=．。

基 础 巩 固一、选择题1．电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A[答案] B[解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 得I ＝2.5 A.2．(安徽高考)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12] [答案] D[解析] 由已知可得该函数的周期为T ＝12， ω＝2πT ＝π6，又当t ＝0时，A (12，32)，∴y ＝sin(π6t ＋π3)，t ∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．3．(新课标全国卷)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[答案] C[解析] P 从P 0出发，逆时针运动，t ＝0时，d ＝2，t 与d 满足关系式d ＝2sin(t －π4)(t ≥0)．所以选择C.4．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B5．在△ABC 中，sin A ＝32，则∠A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] D6．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙点的位置将处于图中的( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] D 二、填空题7．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ<0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是________．[答案] 3πx －π[解析] 由题φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π ∴ω＝3π∴y ＝3sin(3πx －π)．相位是3πx －π.8．(山东临沂12－13高一)某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y ＝a ＋A cos[π6(x －6)](x ＝1,2,3，……12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.[答案] 20.5 三、解答题9．单摆从某点开始左右摆动，它离开平衡位置的位移s (厘米)和时间t (秒)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫πt ＋π6.求：(1)单摆开始振动(t ＝0)时离开平衡位置的位移； (2)单摆离开平衡位置的最大位移． [解析] (1)当t ＝0秒时，s ＝6sin π6＝3 cm.(2)当t ＝13秒时，位移最大，s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝6 cm.10．如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t 分时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?[解析] (1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t 分时P 距地面高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6， ∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3， ∴3k ＋1<t <3k ＋2.令k ＝0得1<t <2.因此，共有1 min距地面超过70 m.。

1．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90 解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3 B ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫50πt －π3 C ．I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3 D ．I ＝300sin(100πt －π3) 解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT＝100π，A ＝300， ∴I ＝300sin(100πt ＋φ)．∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． 答案：C3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x)＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧ A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6. 答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6 5.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m?解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50. (2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z)，∴2k π＋2π3<2π3t<2k π＋4π3(k ∈Z)， ∴3k ＋1<t<3k ＋2(k ∈Z)．令k ＝0得1<t<2.因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.。