2021年中考数学专题突破导学练第4讲二次函数的应用试题

2021年华师大版数学中考专题演练—— 二次函数的应用一、单选题1．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（ ）A ．10.35mB ．8.375mC ．8.725mD ．9.375m2．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ） A ．35元B ．36元C ．37元D ．36或37元3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，若第二个月的增长率是x ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y 与x 的函数关系是 （ ） A ．()()112y a x x =++ B ．()21y a x =+ C ．()221y a x =+D ．22y x a =+4．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m >5．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.42y x x =-+-，则最佳加工时间为（ ）min ．6．抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ．若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A 、C 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E 有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知二次函数2232y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．下列说法正确的是（ ）①线段AC 的长度为2；①抛物线的对称轴为直线34x =；①P 是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P 点坐标为321,44⎛⎫⎪⎝⎭时，PA PC -的值最大；①若M 是x 轴上的一个动点，N 是此抛物线上的一个动点，如果以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M 点有4个．A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①8．已知当10x <<－时，二次函数243y x kx =-+的值恒大于1，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥34-B ．－34≤k≤－12C ．－12＜k ＜0 D ．－34≤k ＜0 9．如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a ，b ，c 为常数）与二次函数212y x ex f =++（e ，f 为常数）的图象的顶点分别为A ，B ，且相交于(,)C m n 和(8,)D m n +．若90ACB ∠=︒，则a 的值为（ ）A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-10．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y 亿元人民币，设每年投资的增长率为x ，则可得（ ） A ．5(12)y x =+ B ．25y x =C ．()251y x =+D ．()251y x=+二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线()224y x =-+上运动，过点A 作AB①x 轴于点B ，以AB 为斜边作Rt①ABC ，则AB 边上的中线CD 的最小值为_________．12．如图，在①ABC 中，①C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为_____cm 213．用一根长为20cm 的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________2cm ． 14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线224y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_____米；15．如图，正方形OABC 的一个顶点与原点O 重合，OC 与y 轴的正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线213y x =的图象上，则OA 的长为______．16．如图，一段抛物线：(6)(06)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，过抛物线1C ，3C 顶点的直线与1C 、2C 、3C 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为___________．三、解答题17．某公司最新研制出一种新型环保节能产品，成本每件40元，公司在销售过程中发现每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似看作一次函数y ＝﹣（1）该公司销售过程中，当销售单价x 为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？（2）由于要把产品及时送达客户，公司每天需支付的物流费用是350元，为了保证每天支付物流费用后剩余的利润不少于1400元，则该产品的销售单价x （元）的取值范围是 ．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象经过M(1，0)和N(3，0)，且与y 轴交于D(0，3)，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式；（2）若过点A(-1，0)的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求点B 的坐标，并求直线AB 的解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上，①P 与射线AB 和x 轴都相切，求点P 坐标． 19．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C （0，3），作直线BC ．动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM ①x 轴，交抛物线于点M ，交直线BC 于点N ，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，求线段MN 的最大值；（3）当点P 在线段OB 上运动时，若①CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；20．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(1,0)A -，点(3,0)B ，点(0,3)C ，连接AC ．（1）求二次函数的表达式；（2）点P 是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像上位于第一象限内的一点，过点P作//PQ AC ，交直线BC 于点Q ，若12PQ AC =，求点P 的坐标．参考答案1．D2．C3．A4．D5．D6．D7．C8．A9．C10．C11．212．1513．2514．21516．10817．（1）当销售单价x为4000元时，每天获得的利润最大，最大利润是4000元；（2）45≤x≤75．【详解】解：（1）设每天获得的利润为w，由题意得：w＝（−10x＋800）（x−40）＝−10x2＋1200x−32000，①对称轴为直线x＝120060 22(10)ba-=-=⨯-，①当x＝60时，w＝−10×602＋1200×60−32000＝4000．①当销售单价x为4000元时，每天获得的利润最大，最大利润是4000元；（2）由（1）知w＝−10x2＋1200x−32000，①支付350元物流费用后剩余的利润不少于1400元，①当−10x2＋1200x−32000−350＝1400时，整理得：x2−60x＋3375＝0，解得：x 1＝45，x 2＝75，①二次函数w'＝−10x 2＋1200x−32000−350的二次项系数为负，对称轴为直线x ＝60， ①当45≤x≤75时，每天支付物流费用后剩余的利润不少于1400元． 故答案为：45≤x≤75． 18．（1）243y x x =-+；（2）点B 为(2，4)或(2，－4)，直线AB 的解析式为4433y x =+或4433y x =--；（3）点p 为(2，32)或(2，－32) 【详解】解：（1）①抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象经过点M （1，0），N （3，0），①设该抛物线的解析式为()()13y a x x =-- ①抛物线与y 轴交于点D （0，3） ①1a =①抛物线的解析式为243y x x =-+（2）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ．①点A （1，0），抛物线243y x x =-+的对称轴为2x =①AC=3 ①6ABC S ∆= ①1•62AC BC =①BC=4点B 的坐标为（2，4）或（2，－4） ①直线AB 的解析式为4433y x =+或4433y x =--． （3）①点P 在抛物线的对称轴上，且①P 与射线AB 和x 轴都相切，所以点P 到射线AB 和x 轴的距离相等，即点P 在①BAN 或B AN ∠'的角平分线与对称轴l 的交点处． 当点P 在x 轴上方时， 设点P 的坐标为（2，b ）由（1）（2）可知，AC=3，BC=4，①AB=5 过点P 作PH①AB ，垂足为H ，则AH=AC=3①BH=AB -AH=5-3=2，PH=PC=b ，BP=BC -PC=4-b ， 在Rt BPH ∆中，222PH BH PB +=①()22224b b +=- ①32b =①点P 的坐标为（2，32） 同理，当点P 在x 轴下方时，点P 的坐标为（2，－32） 所以，点p 的坐标为（2，32）或（2，－32）． 19．（1）y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x +3；（2）当m ＝32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）m ＝2；（4）m 的值为2或32． 【详解】解：（1）①抛物线过A 、C 两点， ①代入抛物线解析式可得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，①抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，令y ＝0可得，﹣x 2+2x +3＝0，解x 1＝﹣1，x 2＝3， ①B 点在A 点右侧， ①B 点坐标为（3，0）， 设直线BC 解析式为y ＝kx +s ，把B 、C 坐标代入可得303k s s +=⎧⎨=⎩，解得13k s =-⎧⎨=⎩，①直线BC 解析式为y ＝﹣x +3； （2）①PM ①x 轴，点P 的横坐标为m ， ①M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，﹣m +3）， ①P 在线段OB 上运动， ①M 点在N 点上方，①MN ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ＝﹣（m ﹣32）2+94，①当m ＝32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）①PM ①x 轴，①当①CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，则有CM ①MN ，①M 点纵坐标为3，①﹣m 2+2m +3＝3，解得m ＝0或m ＝2，当m ＝0时，则M 、C 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，①m ＝2；（4）①PM ①x 轴，①MN ①OC ，当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC ＝MN ，当点P 在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m 2+3m ，①﹣m 2+3m ＝3，此方程无实数根，当点P 不在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m +3﹣（﹣m 2+2m +3）＝m 2﹣3m ，①m 2﹣3m ＝3，解得m或m综上可知当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为32+或32． 20．（1）2y x 2x 3=-++；（2）1(1,4)P ，2(2,3)P【详解】解：（1）把A （-1，0），点B （3，0），点C （0，3），代入二次函数y=ax 2+bx+c 中，得： 09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，二次函数的表达式为y=-x 2+2x+3；（2）过点P ，A 分别作y 轴得平行线与直线BC 交于点M ，N ．则AN①PM ，如图1．①//PQ AC ,①①ACQ=①PQC,①①ACN=①PQM,①AN①PM ，①①ANC=①PMQ,①①ACN①①PQM ， 则12PM PQ AN AC ==， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b,则303k b b +=⎧⎨=⎩解得：13k b =-⎧⎨=⎩①直线BC 得解析式为y=3-x ，则N （-1，4）， ①AN=4， ①12PM AN = ①PM=2，设P 点得横坐标为a ，则M （a ，3-a ），P （a ，-a 2+2a+3）， 得PM=-a 2+2a+3-（3-a ）=-a 2+3a ，令，-a 2+3a=2，解得x=1或x=2，故P 为（1，4）或（2，3）．。

2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：实际问题与二次函数（附答案）1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y＝60（300+20x）B．y＝（60﹣x）（300+20x）C．y＝300（60﹣20x）D．y＝（60﹣x）（300﹣20x）2．长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y＝x2B．y＝12﹣x2C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x）3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝x2+a4．记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A．y＝﹣（x﹣60）2+1825B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850C．y＝﹣（x﹣65）2+1900D．y＝﹣2（x﹣65）2+20005．用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为（）A．y＝x2﹣30x（0＜x＜30）B．y＝﹣x2+30x（0≤x＜30）C．y＝﹣x2+30x（0＜x＜30）D．y＝﹣x2+30x（0＜x≤30）6．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y＝x2B．y＝C．y＝D．y＝7．长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）8．中国贵州省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点O到口径面AB 的距离是100米，若按如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣100B．y＝﹣x2﹣100C．y＝x2D．y＝﹣x29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝10．某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝a（1+x）2C．y＝ax2D．y＝x2+a11．在长为10cm，宽为6cm的长方形硬纸片中，剪去一个边长为acm的正方形，则剩余硬纸片的面积S（cm2）与a（cm）之间的函数关系式及a的取值范围是（）A．S＝4a，a＞0B．S＝60﹣4a，0＜a≤6C．S＝60﹣a2，0＜a≤6D．S＝60﹣a2，6＜a≤1012．如图所示，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M 是DB上一点，且BP＝DM，设BP＝x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为．13．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．14．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是（不写定义域）．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D不重合），连接BM，作MF⊥BM，与正方形ABCD的外角∠ADE的平分线交于点F．设CM＝x，△DFM的面积为y，则y与x之间的函数关系式．16．已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为．17．某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x 元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为．（不写出x的取值范围）18．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是．19．是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是．20．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是．21．某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为x．则y与x的函数解析式．22．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）23．据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为0.75万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收入为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是．24．圆的半径是2cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加y cm2，那么y与x之间的关系表达式为．25．扎西的爷爷用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，设与墙垂直的一边为xcm，则矩形面积s随之x变化的函数解析式为．26．学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米，设花圃垂直于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．27．某店销售一种小工艺品．该工艺品每件进价12元，售价为20元．每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品售价提高x 元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为y元．（1）填空：每件工艺品售价提高x元后的利润为元，每周可售出工艺品件，y关于x的函数关系式为；（2）若y＝384，则每件工艺品的售价应确定为多少元？28．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．参考答案1．解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y＝（60﹣x）（300+20x），故选：B．2．解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），∴长方形的另一边长为12﹣x，∴y＝（12﹣x）•x．故选：C．3．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：A．4．解：设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，∵当x＝55，75，80时，y＝1800，1800，1550，∴，解得，∴y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，故选：D．5．解：由题意得：矩形的另一边长＝60÷2﹣x＝30﹣x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x （0＜x＜30）．故选：C．6．解：作出BC边上的高AD．∵△ABC是等边三角形，边长为x，∴CD＝x，∴高为h＝x，∴y＝x×h＝x2．故选：D．7．解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x（0＜x＜6）．故选：A．8．解：由题意可得：A（﹣250，0），O（0，﹣100），设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，则0＝62500a﹣100，解得：a＝，故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故选：A．9．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A．10．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．11．解：由题意可得：S＝60﹣a2，0＜a≤6．故选：C．12．解：∵AB＝8，BC＝6，∴CD＝8，∴BD＝10，∵DM＝x，∴BM＝10﹣x，如图，过点M作ME⊥BC于点E，∴ME∥DC，∴△BME∽△BDC，∴＝，∴ME＝8﹣x，而S△MBP＝×BP×ME，∴y＝x2+4x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．故填空答案：y＝x2+4x（0＜x≤6）．13．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．14．解：设平行于墙的一边为（10﹣2x）米，则垂直于墙的一边为x米，根据题意得：S＝x（10﹣2x）＝﹣2x2+10x，故答案为：S＝﹣2x2+10x15．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠C＝∠CDA＝90°＝∠ADE，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠ADE＝45°，∴∠MDF＝90°+45°＝135°．在BC上截取CH＝CM，连接MH，如图，则△MCH是等腰直角三角形，BH＝MD，∴∠CHM＝∠CMH＝45°，∴∠BHM＝135°，∴∠1+∠HMB＝45°，∠BHM＝∠MDF，∵FM⊥BM，∴∠FMB＝90°，∴∠2+∠BMH＝45°，∴∠1＝∠2．在△BHM与△MDF中，，∴△BHM≌△MDF（ASA），∴BH＝MD＝2﹣x，∴y与x之间的函数关系式为y＝x（2﹣x）＝﹣x2+x．故答案为：y＝﹣x2+x．16．解：∵矩形ABCD的周长为18，AB＝x，∴BC＝×18﹣x＝9﹣x，∵E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，∴y＝x（9﹣x）＝﹣x2+x，故答案为：y＝﹣x2+x；17．解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，商品利润为：y＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000．故答案为：y＝﹣10x2+100x+2000．18．解：设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2019年年人均收入为：300（x+1）2，y与x的函数关系式是为：y＝300（x+1）2．故答案为y＝300（x+1）2．19．解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（﹣2，﹣2）点，故﹣2＝4a，a＝﹣，故y＝﹣．20．解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，∴另一边长为8﹣x，∴S＝x（8﹣x）＝8x﹣x2．故答案为：S＝8x﹣x2．21．解：设今年投资额为2（1+x）元，明年投资为2（1+x）2元∴由题意可得y＝2（1+x）+2（1+x）2＝2x2+6x+4．22．解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范围是0＜x＜6，故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．23．解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：y与x之间的函数关系为：y＝0.75（1+x）2．故答案为：y＝0.75（1+x）2．24．解：∵圆的面积＝πR2，而增加的面积＝半径增加后的圆的面积﹣原来的圆的面积，∴y＝π（x+2）2﹣4π＝πx2+4πx．故填空答案：y＝πx2+4πx．25．解：由题意可得，s＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，故答案为：s＝﹣2x2+30x26．解：由题意可得，y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，即y与x的函数关系式是y＝﹣2x2+30x；∵墙的长度为18，∴0＜30﹣2x≤18，解得，6≤x＜15，即x的取值范围是6≤x＜15；故答案为：y＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）．27．解：（1）∵该工艺品每件进价12元，售价为20元，∴每件工艺品售价提高x元后的利润为：（20﹣12+x）＝（8+x）（元），∵把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件，∴每周可售出工艺品：（40﹣2x）（件），∴y关于x的函数关系式为：y＝（40﹣2x）（8+x））＝﹣2x2+24x+320；故答案为：8+x；40﹣2x；y＝﹣2x2+24x+320；（2）∵y＝384，∴384＝﹣2x2+24x+320，整理得出：x2﹣12x+32＝0，（x﹣4）（x﹣8）＝0，解得：x1＝4，x2＝8，4+20＝24，8+20＝28，答：每件工艺品的售价应确定为24元或28元．28．解：正确．抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）。

2021中考数学专项突破：二次函数的图象及性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是()A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．在对称轴右侧部分是下降的2. 若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中的信息可知y与x之间的函数解析式是()A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋83. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y34. 函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是()A．x＜－4或x＞2 B．－4＜x＜2C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜25. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞06. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋47. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a ＋c<b；④b2－4ac>0，其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知二次函数y ＝a (x －1)2＋c 的图象如图，则一次函数y ＝ax ＋c 的图象大致是( )9. 函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2－4c>0；②b ＋c ＋1＝0；③3b ＋c ＋6＝0；④当1<x<3时，x 2＋(b －1)x ＋c<0.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，其对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＝0；③4a ＋2b ＋c ＜0；④若(－32，y 1)，(103，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④二、填空题（本大题共6道小题）11. 已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1y2(填“<”“>”或“=”).12. 已知二次函数y=-(x-1)2+2，当t<x<5时，y随x的增大而减小，则实数t的取值范围是.13. 某个函数具有性质：当x>0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是________(只要写出一个符合题意的答案即可)．14. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．15. 已知函数y=的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为.16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 2019·天门在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1和直线l：y ＝kx＋b，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l上．(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．18. 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．19. 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图220. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin PAD ∠的值．2021中考数学 专项突破：二次函数的图象及性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C[解析] (1)∵二次函数y ＝x 2－x 的二次项系数为1＞0，∴图象开口向上，可见A 选项错误；(2)∵对称轴为直线x ＝－b 2a ＝12，可见B 选项错误；(3)∵原点(0，0)满足二次函数解析式y ＝x 2－x ，∴抛物线经过原点，可见C 选项正确；(4)∵抛物线的开口向上，∴图象在对称轴右侧部分是上升的，可见D 选项错误．综上所述，选C.2. 【答案】A[解析] ∵x ＝1时，ax 2＝1，∴a ＝1.将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧1－b ＋c ＝8，c ＝3，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝x 2－4x ＋3.故选A.3. 【答案】D【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)关于直线x ＝1对称，P 3(5，y 3)在图象的右下方部分上，因此，y 1＝y 2>y 3.4. 【答案】A[解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝－2a2a ＝－1，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(－4，0)．∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∴使y ＜0成立的x 的取值范围是x ＜－4或x ＞2.故选A.5. 【答案】B[解析] ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，∴a ＜0.∵二次函数图象的对称轴x ＝－b2a ＞0，∴b ＞0.∵二次函数图象与y 轴交于负半轴，∴c＜0.故选B.6. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.7. 【答案】C【解析】∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b 异号，∴b＞0，故①错误；∵图象与y轴交于x轴上方，∴c＞0，故②正确；当x＝－1时，a－b＋c<0，则a＋c<b，故③正确；图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故④正确．8. 【答案】B[解析] 根据二次函数的图象开口向上，得a＞0，根据c是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c＜0，故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限．故选 B.9. 【答案】B10. 【答案】C[解析] ∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①错误．∵b＝－2a，∴2a＋b＝0，∴②正确．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3，0)，∴当x＝2时，y＞0，∴4a＋2b＋c＞0，∴③错误．∵点(－32，y1)到对称轴的距离比点(103，y2)到对称轴的距离远，∴y1＜y2，∴④正确．故选C.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】>[解析]因为二次项系数为-1，小于0，所以在对称轴x=1的左侧，y 随x 的增大而增大;在对称轴x=1的右侧，y 随x 的增大而减小，因为a>2>1，所以y 1>y 2.故填“>”.12. 【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，因为t<x<5时，y 随x 的增大而减小，所以1≤t<5.13. 【答案】答案不唯一，如y ＝x 214. 【答案】0 [解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.15. 【答案】0<m<[解析]由y=x +m 与y=-x 2+2x 联立得x +m=-x 2+2x ，整理得x 2-x +m=0，当有两个交点时，b 2-4ac=(-1)2-4m>0，解得m<.当直线y=x +m 经过原点时与函数y=的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0，∴m 的取值范围为0<m<.16. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)∵点A (－3，－3)，B (1，－1)在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，－3k ＋b ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－32，∴直线l 的解析式为y ＝12x －32.联立y ＝ax 2＋2x －1与y ＝12x －32，则有2ax 2＋3x ＋1＝0，∵抛物线C 与直线l 有交点， ∴Δ＝9－8a ≥0且a ≠0， ∴a ≤98且a ≠0.(2)根据题意可得y ＝－x 2＋2x －1. ∵a <0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝1. ∵m ≤x ≤m ＋2时，y 有最大值－4， ∴当y ＝－4时，有－x 2＋2x －1＝－4， ∴x ＝－1或x ＝3.①在x ＝1左侧，y 随x 的增大而增大，∴x ＝m ＋2＝－1时，y 有最大值－4，∴m ＝－3； ②在对称轴x ＝1右侧，y 随x 的增大而减小， ∴x ＝m ＝3时，y 有最大值－4. 综上所述，m ＝－3或m ＝3. (3)①若a <0，当x ＝1时，y ≤－1， 即a ＋1≤－1，∴a ≤－2； ②若a >0，当x ＝－3时，y ≥－3， 即9a －7≥－3， ∴a ≥49.联立y ＝ax 2＋2x －1与y ＝12x －32， 则有ax 2＋32x ＋12＝0，由题意得Δ＝94－2a >0， ∴a <98，∴a 的取值范围为49≤a <98或a ≤－2.18. 【答案】（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDB S DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1． 所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线． 考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBO P S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++．所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)． 而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．19. 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ． 在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图420. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒， ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒，∴2222213232292(6)2282164164PH PN t t t t t ⎛⎫==-+=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴当6t =时，PH 取得最大值924，此时点P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是92；②当点P 到直线AD 的距离为52时，如图②所示，则2232521644t t -+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则221917(20)42P A ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴1sin34P AD∠==；当2P的坐标为(10,)72-，则2252P A==，∴24sin25102P AD∠==；由上可得，sin PAD∠．【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.。

2021年九年级数学中考复习专题突破训练：二次函数综合题（附答案）1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确的判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0B．2≤m＜C．2≤m≤4D．＜m≤3．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（n，）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上一点，且AQ⊥BQ，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣24．抛物线y＝ax2+3ax+b的一部分图象如图，设该抛物线与x轴的交点为A（﹣5，0）和B，与y轴的交点为C，若△ACO∽△CBO，则∠CAB的正切值为（）A．B．C．D．5．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN 上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C在x轴上，点D（3，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．若抛物线y＝ax2﹣4ax+10（a≠0且a为常数）的顶点落在△ADE的内部，则a的取值范围是（）A．B．C．D．7．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1B．h＝1C．1＜h＜2D．h＞28．二次函数y＝﹣x2+2x+8的图象与x轴交于B，C两点，点D平分BC，若在x轴上侧的A 点为抛物线上的动点，且∠BAC为锐角，则AD的取值范围是（）A．3＜AD≤9B．3≤AD≤9C．4＜AD≤10D．3≤AD≤8 9．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；③AB的长度可以等于5；④△OAB有可能成为等边三角形；⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，其中正确的结论是（）A．①②B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤10．如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（）A．MN+BN＜ABB．∠BAC＝∠BAEC．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABCD．四边形ACBM的最大面积为1311．如图，直线y＝与y轴交于点A，与直线y＝﹣交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（）A．﹣2B．﹣2≤h≤1C．﹣1D．﹣112．已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b＝0，②x ＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，③△P AB周长的最小值是+3．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③13．如图，以扇形AOB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），∠AOB＝45°．现从中随机选取一个数记为a，则a的值既使得抛物线与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数的概率是．14．如图，抛物线y＝﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连结BF．在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，则点P的坐标为．15．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上整点个数有个．16．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标是；（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标是．17．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为．18．已知二次函数y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3的图象与函数y＝﹣x2+6x的图象交于y 轴一点，则m＝．19．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为．20．设抛物线的解析式为y＝ax2，过点B1（1，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A1（1，2）；过点B2（，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A2，…；过点B n（（）n﹣1，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点A n，连结A n B n+1，得直角三角形A n B n B n+1．设1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），若Rt△A k B k B k+1与Rt△A m B m B m+1相似，则其相似比为．21．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点，若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，若存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似．请求出点N的坐标．22．已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y＝x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+3与二次函数y＝﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y＝﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．24．二次函数y＝（m﹣1）﹣6x+9的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标．（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B 的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．（1）求抛物线解析式；（2）直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值．26．如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y＝﹣2x2+bx+c 经过点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍．求出点Q的坐标；（3）点M是直线y＝﹣2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣kx﹣2k（k为常数）的顶点为N．（1）如图，若此抛物线过点A（3，﹣1），求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，①求∠ABO的度数；②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作CD∥x轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∽△BNA时，线段CD的长为．（3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为（2，0），当∠MHN＝90°时，请直接写出k的值．28．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设D（m，n），矩形ABCD的周长为l，写出l与m的关系式，并求出l的最大值；（3）点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否还存在点F，使得以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出F点的坐标．29．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值．（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．30．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积．31．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结P A，作PQ ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．（1）求AB的长；（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．32．已知抛物线y＝x2+mx﹣m2（m＞0）．（1）若抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m 的值；（2）在条件（1）的前提下，y轴上存在点C，使得△ABC为直角三角形，则点C的坐标为．参考答案1．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；综上所述，正确的结论是①③④．故选：C．2．解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为＝，解得a＝﹣1，c＝﹣，故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，∴2≤m≤4，故选：C．3．解：设ax2+bx+c＝0的两根分别为x1与x2，依题意有（x1﹣n）2++（x2﹣n）2+＝（x1﹣x2）2，化简得：n2﹣n（x1+x2）++x1x2＝0．有n2+n++＝0，∴an2+bn+c＝﹣a．∵（n，）是图象上的一点，∴an2+bn+c＝，∴﹣a＝，∴a＝﹣2，故选：D．4．解：设B点的坐标为（x，0），∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝＝﹣，∴点B的横坐标为＝﹣，∴x＝2，即B（2，0），∴AO＝5 BO＝2．∵△ACO∽△CBO，∴＝，∴＝，∴0C＝．∴∠CAB的正切值＝．故选：C．5．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，此时的A点坐标为（﹣1，0），当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），此时A点的坐标最小为（﹣3，0），故点A的横坐标的最小值为﹣3，故选：A．6．解：如图，过点E作EM⊥y轴于M，交BC延长线于N，∵∠AME＝∠DNE＝90°，∠AEM＝∠EDN，∴△AEM∽EDN，∴①，设AM＝BN＝m，ME＝n，∴EN＝MN﹣ME＝3﹣n，DN＝BN﹣BD＝m﹣3，代入①得，②，根据勾股定理得，m2+n2＝（3）2③，由②③得n1＝3，m1＝0（舍），n2＝2，m2＝5，∵点A的坐标为（0，4），点D（3，1），∴DE＝BD＝3，∴AB＝3，AF＝2，E（2，﹣1）．过点E作EF⊥AB于F，EF分别与AD、OC交于点G、H，过点D作DP⊥EF于点P，则EP＝PH+EH＝DC+EH＝2，∵∠AFG＝∠ABD＝90°，∠F AG＝∠BAD，∴△AFG∽△ABD．∴，即：＝，∴FG＝2．∴EG＝EF﹣FG＝3．∴点G的纵坐标为2．∵y＝ax2﹣4ax+10＝a（x﹣2）2+（10﹣20a），∴此抛物线y＝ax2﹣4ax+10的顶点必在直线x＝2上．又∵抛物线的顶点落在△ADE的内部，∴此抛物线的顶点必在EG上．∴﹣1＜10﹣20a＜2，∴．故选：B．7．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD＝∴＝，方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2即h＝（﹣h）2因h＞0，得h＝1，是个定值．故选：B．8．解：设B（m，0），C（n，0）；由题意m，n是方程﹣x2+2x+8＝0的两根，则有：m+n＝2，mn＝﹣8；故BC＝＝＝6；设抛物线顶点为P，则P（1，9）；∴BC＜AD≤DP，即3＜AD≤9；故选：A．9．解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时y的值随的x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，则正确的结论有①②⑤．故选：B．10．解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b解得：a＝，b＝﹣，设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），由勾股定理得：BN＝，而MN＝，BN+MN＝5＝AB，故本选项错误；B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，∴∠BAC＝∠BAE不成立，故本选项错误；C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴EB是∠ABC的平分线，易证：∠CAD＝∠ABE＝ABC，而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，故本选项正确；D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，S△ABC＝10，S△ABM＝MN•（x B﹣x A）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，故本选项错误．故选：C．11．解：∵将y＝与y＝﹣联立得：，解得：．∴点B的坐标为（﹣2，1）．由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k）．∵将x＝h，y＝k，代入得y＝﹣得：﹣h＝k，解得k＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h．如图1所示：当抛物线经过点C时．将C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝．如图2所示：当抛物线经过点B时．将B（﹣2，1）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：（﹣2﹣h）2﹣h＝1，整理得：2h2+7h+6＝0，解得：h1＝﹣2，h2＝﹣（舍去）．综上所述，h的范围是﹣2≤h≤．故选：A．12．解：①根据图象知，对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，即2a+b＝0．故①正确；②根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，故②正确；③如图所示，点A关于x＝1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．连接BA′与直线x＝1的交点即为点P，则△P AB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．∵B（0，3），A′（3，0），∴BA′＝3．即△P AB周长的最小值是3+．故③正确．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：A．13．解：由已知可得，OB＝2，OA＝2，∠AOB＝45°，则点A的横坐标为：OA•cos45°＝2×，纵坐标为：OA•sin45°＝2×，即点A的坐标为：（），∵，解得x＝，∴方程的解是正数时，且，得a＞﹣1且a，又∵抛物线与扇形AOB的边界有公共点，∴解得a≥﹣2，∴a的值既使得抛物线与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数时满足的条件是：a＞﹣1且a，∴从中随机选取一个数记为a，符合要求的有0和，∴从中随机选取一个数记为a，则a的值既使得抛物线与扇形AOB的边界有公共点，又使得关于x的方程的解是正数的概率是：．故答案为：．14．解：﹣x﹣2＝0整理得，x2﹣6x+8＝0，解得，x1＝2，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣2，则点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2）∴OA＝2，OB＝4，OC＝2，则AB＝2，BC＝＝2，如图1，作AP⊥x轴交BC于P，当△BAP∽△BOC时，＝，即＝，解得，AP＝1，∴点P的坐标为（2，﹣1）；如图2，作AP′⊥BC于P′，作P′Q⊥AB于Q，当△BAP′∽△BCO时，＝，即＝，解得，BP′＝，∵P′Q⊥AB，∠BOC＝90°，∴△BQP′∽△BOC，∴＝＝，即＝＝，解得，QP′＝，BQ＝，∴OQ＝OB﹣BQ＝，∴点P′的坐标为（，﹣），综上所述，以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，点P的坐标为（2，﹣1）或（，﹣），故答案为：（2，﹣1）或（，﹣）．15．解：将该二次函数化简得，y＝﹣（x﹣3）2+4，令y＝0得，x＝1或x＝5，则在红色区域内部及其边界上的整点为（1，0），（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）．共有15个．故答案为：15．16．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+x+2，点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，∴，得m＝1，∴点D的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）；（2）过点P作PE⊥DB交DB的延长线于点E，作EF⊥x轴于点F，作PG⊥EF交EF 的延长线于点G，∵∠DBP＝135°，∴∠PBE＝45°，∵∠BEP＝90°，∴∠BPE＝∠PBE＝45°，∴BE＝PE，∵∠BEP＝90°，∠EFB＝90°，∴∠PEG+∠BEF＝90°，∠EBF+∠BEF＝90°，∴∠PEG＝∠EBF，又∵∠PGE＝∠EFB＝90°，PE＝EB，∴△PGE≌△EFB（AAS），∴EG＝BF，PG＝EF，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）（x+1），∴当y＝0时，x＝2或x＝﹣1，∴点B的坐标为（2，0）∵点D（1，2），点B（2，0），∴tan∠DBA＝2，∴tan∠EBF＝2，设BF＝a，则EF＝2a，EG＝a，PG＝2a，∴点P的坐标为（2﹣a，﹣3a），∴﹣3a＝﹣（2﹣a）2+（2﹣a）+2解得，a1＝6，a2＝0（舍去），∴点P的坐标为（﹣4，﹣18），故答案为：（﹣4，﹣18）．17．解：如图，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE＝DE+D′F+FG+GE′＝DE+D′E′＝+＝+，∴四边形EDFG的周长的最小值为：+．故答案是：+．18．解：依题意，在y＝﹣x2+6x中，x＝0时，y＝0；在y＝x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3中，x＝0时，y＝m2﹣2m﹣3＝0；即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝﹣1或3．19．解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b＝0，∴b＝﹣2，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x＝2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x＝2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x＝2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|＝AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y＝3x﹣12，当x＝2时，y＝﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．20．解：如图1所示，A nB n＝2x2＝2×[（）n﹣1]2＝（）2n﹣3；B n B n+1＝（）n；依题意得∠A k B k B k+1＝∠A m B m B m+1＝90°，有两种情况：i）当Rt△A k B k B k+1∽Rt△A m B m B m+1时，＝，＝，（）2k﹣2m＝（）k﹣m，所以k＝m（舍去），ii）当Rt△A k B k B k+1∽Rt△B m+1B m A m时，＝，＝，（）2k﹣3﹣m＝（）k﹣2m+3，∴k+m＝6，∵1≤k＜m≤n（k，m均为正整数），∴取或；当时，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，相似比为：＝＝64，当时，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，相似比为：＝＝8，所以存在Rt△A k B k B k+1与Rt△A m B m B m+1相似，其相似比为64：1或8：1．故答案为：64：1或8：1．21．解：设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1，∵抛物线经过原点，∴a（0﹣1）2+1＝0，解得，a＝﹣1，则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣x2+2x，，解得，，，∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣3），∴AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝3，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°，设点N的坐标为（n，0），则点M的坐标为（n，﹣n2+2n），当△ONM∽△ABC时，＝，即＝，解得，n1＝﹣1，n2＝5，当△ONM∽△CBA时，＝，即＝，解得，n1＝，n2＝，综上所述，点N的坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0），故答案为：（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．22．解：依题意，应分为两种情况讨论，①当二次函数顶点在x轴下方，若y x＝1＜0且y x＝2≥0，即，解得此不等式组无解；若y x＝2＜0且y x＝1≥0，即，解得﹣1≤a＜﹣；②当二次函数的顶点在x轴上时，△＝0，即（a﹣3）2﹣12＝0，解得a＝3±2，而对称轴为x＝﹣，可知1≤﹣≤2，故a＝3﹣2．故答案为：﹣1≤a＜﹣或a＝3﹣2．23．解：（1）当x＝0时，y＝c，即（0，c）．由当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等，得（5，c）．将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；（2）联立抛物线与直线，得，解得，，即B（2，1），C（5，﹣2）．由勾股定理，得AB＝＝；（3）如图：，四边形ABCN是平行四边形，证明：∵M是AC的中点，∴AM＝CM．∵点B绕点M旋转180°得到点N，∴BM＝MN，∴四边形ABCN是平行四边形，又∵AB＝，BC＝3，AC＝2，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCN是矩形．24．解：（1）∵二次函数y＝（m﹣1）﹣6x+9，∴m2+m＝2且m﹣1≠0，∴m＝﹣2，∴二次函数解析式为y＝﹣3x2﹣6x+9，令y＝0，∴0＝﹣3x2﹣6x+9，∴x＝1或x＝﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）设P A＝t（0＜t＜3），则OP＝3﹣t，∵DP⊥PE，∴∠DP A＝∠PEO，∴△DAP∽△POE，∴，即，∴OE＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，OE有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在．当点P在y轴左侧时，如图1，DE交AB于G点，∵PD＝PE，∠DPE＝90°，∴△DAP≌△POE，∴PO＝AD＝4，∴P A＝1，OE＝1，∵AD∥OE，∴＝4，∴AG＝，∴S△DAG＝××4＝，∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；当P点在y轴右侧时，如图2，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，∴PO＝AD＝4，∴P A＝7，OE＝7，∵AD∥OE，∴，∴OG＝，同理可得BQ＝，∴S四边形DGBQ＝×（+1）×4+×4×＝∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．当点P和点A重合，此时，点E和点O重合，∴DP≠OP，此时，△PDE不是等腰三角形．25．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），∴＝1，∴m＝1，∴点A（﹣1，0），B（3，0），∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，根据题意得，，∴x2+（k﹣2）x﹣3＝0①，∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2﹣k）2+12＝（k﹣2）2+12，要使|x1﹣x2|最小，则（x1﹣x2）2最小，∴（k﹣2）2+12最小，即k＝2时，|x1﹣x2|最小，∴方程①可化为x2﹣3＝0，∴x＝±，∴M（﹣，﹣2+2），N（，2+2）；（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴C（0，3），P（1，4），∴CP＝＝，∵B（3，0），∴OB＝3，如图，记OB平移后对应的点分别为O'，B'，∴O'B'＝3，设平移后点O'的坐标为（n，0），则B'（n+3，0），以CP，BP'为两边邻边作平行四边形CPB'E，则CE＝B'P，E（n+3﹣1，0﹣1），即E（n+2，﹣1），过点C作直线m，使m∥x轴，作点O'关于直线m的对称点D（n，6），∴O'C＝DC，∵L＝CP+O'B'+O'C+B'P＝+3+DC+CE，要使L最小，则DC+CE最小，即点D，C，E在同一条直线上，DC+CE的最小值为DE，∵C（0，3），∴设直线DE的解析式为y＝k'x+3，∴，∴，∴O'（﹣，0），B'（，0），D（﹣，6），E（，﹣1），∴DE＝＝，∴L最小值为+3+．26．解：（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣2x+4＝0，解得x＝2，所以，点A（2，0），C（0，4），∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A、C，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）∵y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+，∴点P的坐标为（，），如图，过点P作PD⊥y轴于D，又∵C（0，4），∴PD＝，CD＝﹣4＝，∴S△APC＝S梯形APDO﹣S△AOC﹣S△PCD，＝×（+2）×﹣×2×4﹣××，＝﹣4﹣，＝，令y＝0，则﹣2x2+2x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴点B的坐标为（﹣1，0），∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，设△ABQ的边AB上的高为h，∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍，∴×3h＝4×，解得h＝4，∵4＜，∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方，即点Q的纵坐标为4或﹣4，当点Q的纵坐标为4时，﹣2x2+2x+4＝4，解得x1＝0，x2＝1，此时，点Q的坐标为（0，4）或（1，4），当点Q的纵坐标为﹣4时，﹣2x2+2x+4＝﹣4，解得x1＝，x2＝，此时点Q的坐标为（，﹣4）或（，﹣4），综上所述，存在点Q（0，4）或（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）；（3）存在．理由如下：如图，∵点M在直线y＝﹣2x+4上，∴设点M的坐标为（a，﹣2a+4），①∠EMF＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝﹣2a+4或a＝﹣（﹣2a+4），解得a＝或a＝4，∴点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；②∠MFE＝90°时，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|﹣2a+4|，即a＝（﹣2a+4），解得a＝1，﹣2a+4＝2×1＝2，此时，点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），或a＝﹣（﹣2a+4），此时无解，综上所述，点F坐标为（0，）时，点M的坐标为（，），点F坐标为（0，﹣4）时，点M的坐标为（4，﹣4）；点F坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2）．27．解：（1）将点A的坐标代入y＝x2﹣kx﹣2k并解得k＝2，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣4；（2）①对于y＝x2﹣2x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，故点B（0，﹣4），而点A（3，﹣1），点A、B横坐标的差和纵坐标的差相等，AB与x轴的夹角为45°，故∠ABO＝45°；②由抛物线的表达式知，点N（1，﹣5），由点A、B、N的坐标知，BN2＝12+（﹣5+4）2＝2，AB＝3，∵△BPN∽△BNA，∴，即BP＝＝＝，由①知，∠ABO＝45°，故△BPD为等腰直角三角形，故BD＝BP＝×＝，故点D（0，﹣），当y＝﹣时，即x2﹣2x﹣4＝﹣，解得x＝1±（舍去负值），故CD的长为x＝1+，故答案为1+；（3）y＝x2﹣kx﹣2k＝x2﹣k（x+2），当x＝﹣2时，y＝x2﹣kx﹣2k＝4，即点H（﹣2，4），如图，过点H作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，HG交x轴于点K，由抛物线的表达式知，点N（k，﹣﹣2k），∵∠NHG+∠MHG＝90°，∠MHG+∠HMO＝90°，∴∠NHG＝∠HMO，∴tan∠NHG＝tan∠HMO，即，∴＝，解得k＝﹣4或﹣6，当k＝﹣4时，点N的坐标为（﹣2，4）和点H重合，故舍去k＝﹣4，故k＝﹣6．28．解：（1）∵抛物线与x轴相交于O、M两点，OM＝4，∴顶点P的横坐标为4÷2＝2，M的坐标为（4，0），∵顶点P到x轴的距离是4，∴顶点P的纵坐标为4，∴顶点P的坐标为（2，4），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，则a（4﹣2）2+4＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，即y＝﹣x2+4x；（2）∵D（m，n）在抛物线上，∴n＝﹣m2+4m，BC＝4﹣2m，∴矩形ABCD的周长为l＝2（4﹣2m+n），＝2（4﹣2m﹣m2+4m），＝﹣2（m2﹣2m+1）+10，＝﹣2（m﹣1）2+10，即l＝﹣2（m﹣1）2+10，∴当m＝1时，周长l有最大值10；（3）①OM是平行四边形的边时，点F的横坐标为2﹣4＝﹣2，纵坐标为：﹣（﹣2）2+4×（﹣2）＝﹣4﹣8＝﹣12，此时，点F（﹣2，﹣12），或点F的横坐标为2+4＝6，纵坐标为：﹣62+4×6＝﹣36+24＝12，此时，点F（6，﹣12），②OM是平行四边形的对角线时，EF所在的直线经过OM的中点，∴EF都在抛物线的对称轴上，∴点F与点P重合，此时，点F（2，4），综上所述，点F（﹣2，﹣12）或（6，﹣12）或（2，4）时，以E、F、O、M为顶点的四边形是平行四边形．29．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC＝＝3，同理AC＝，∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，∴M（2，﹣1）；（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形．∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），则FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣4m）2+m2，GC2＝2m2，当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝m2+（m2﹣4m）2，解得m＝0（舍去）或4；当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或3；当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5或3（舍去），综上，m＝5或m＝4或或3．30．解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）．（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为直线x＝﹣1．∵M（m，0），∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式y＝kx+b，∴，解得k＝1，b＝3，∴直线AC的解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E（﹣2，1），∴EM＝1，AM＝1，∴S△AEM＝AM×EM＝．31．解：（1）对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6，故点B（6，3），故AB＝6；（2）设P（m，﹣m2+6m+3），∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，∴△ABO～△HP A，故，∴＝，解得m＝4．∴P（4，11）；（3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，则2（AO+HQ）＝PH，∴2（3+）＝﹣m2+6m，解得：m1＝4，m2＝3，∴P（4，11）或P（3，12）．32．解：（1）令y＝0，则x2+mx﹣m2＝0，解得x1＝﹣m，x2＝，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣m，0），B（，0），∴AB＝﹣（﹣m）＝2m＝4，解得m＝2；。